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文档简介

对坐标的曲线积分

1.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在

xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,

求移“分割”

“取近似”“求和”

“取极限”常力沿直线所作的功本例解决办法:动过程中变力所作的功W.1)“分割”:2)“取近似”把

L分成

n个小弧段3)“求和”4)“取极限”(其中

为

n

个小弧段的最大长度)

2.定义.设L为xoy

平面内从

A到B

的一条有向光滑弧,向任意插入一点列

把

L

函数

在L

上有界.在L上沿L

的方弧段

上任意取定的点，如果当各小弧段长度的

设

，点

为有向分成n个有向小弧段最大值时，极限总存在，则称此极限为函数

在有向曲线弧L上对坐标

x

的曲线积分（或第二类曲线积分），记作

即类似地，如果

总存在，则称此极限称为函数

在有向曲线弧L上对坐标

y的曲线积分，记作

，即注1：注2：质点受到力

作用，沿平面曲

线L移动所作的功为3.主要性质设

L－

表示

L

的反向弧,则注：对坐标的曲线积分必须注意积分曲线的方向。4.对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向曲线弧

L上有定义且L的参数方程为，当参数

t单调地由连续,α变到β时，点M从L的起点沿L运动到终点,,在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且

,则

若L

：,且起点对应

x＝a,终点对应

x＝b（1）则

若L

：,且起点对应

y＝c，终点对应

y＝d（2）则注：例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.

例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则

例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式

作业P1141(1),(2),(3),(4)2原点O的距离成正比,思考与练习

设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:F

的大小与M到原F

的方向力F的作用

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