备战2025年中考数学真题题源解密（全国）专题01 实数及其运算（解析版）

专题01实数及其运算课标要求考点考向1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）．4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.5．能运用有理数的运算解决简单的问题．6．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值．7．能用有理数估计一个无理数的大致范围．8.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。有理数考向一正负数与具有相反意义的量考向二数轴考向三相反数、倒数、绝对值考向四有理数的加减运算考向五有理数的混合运算考向六科学记数法和有效数字实数考向一平方根与立方根考向二实数的相关性质与运算考点一有理数►考向一正负数与具有相反意义的量考查角度1正负数的定义．1.（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中：，负数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．【详解】解：，是正数；，是负数；，是负数；0既不是正数，也不是负数；，是负数；，是正数；负数有，，，共3个．故选：C．考查角度2具有相反意义的量2．（2024·海南·中考真题）负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若零上由正数表示，那么零下就用负数表示，据此可得答案．【详解】解：若若零上记作，那么零下应记作，故选：A．3．（2024·湖南·中考真题）在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可；【详解】解：收入为“”，则支出为“”，那么支出180元记作元．故选：C．考查角度3正负数的大小比较4.（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．【详解】解：由五日气温为得到，，∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．故选：A．►考向二数轴易错易混提醒（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）（2）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。（3）数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.考查角度1数轴的定义5．（2024·河南·中考真题）如图，数轴上点P表示的数是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解．【详解】解：根据题意可知点P表示的数为，故选：A．6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到，且是解题的关键．数轴上点A，M，B分别表示数，则、，由可得原点在A、M之间，由它们的位置可得，，且，再根据整式的加减乘法运算的计算法则逐项判断即可．【详解】解：数轴上点A，M，B分别表示数,∴、，∵，∴原点在A，M之间，由它们的位置可得，且，∴，，，故运算结果一定是正数的是．故选：A．考查角度2利用数轴比较大小7．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可．【详解】解：根据数轴得，∴，故选：D．8．（2024·四川巴中·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查利用数轴比较大小．实数，在数轴上对应点的位置可知，，，由此即可求解．【详解】解：由题意得，，，则，∴，，，观察四个选项，选项D符合题意．故选：D．►考向三相反数、倒数、绝对值考查角度1相反数的定义9．（2024·青海·中考真题）的相反数是（

）A．2024 B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据负数的相反数是正数解答即可．【详解】解：的相反数是2024．故选A．10．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（

）A．和 B．2024和C．和2024 D．和【答案】A【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可．【详解】解：A、和互为相反数，故A选项符合题意；B、2024和互为倒数，故B选项不符合题意；C、和2024不互为相反数，故C选项不符合题意；D、和不互为相反数，故D选项不符合题意；故选：A．考查角度2绝对值的定义11．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可．【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意；B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意；C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意；D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意．故选：C．12．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．【详解】解：∵，，，，，∴与原点距离最近的是1，故选：B．考查角度3相反数的定义13．（2024·湖南·中考真题）计算：．【答案】2024【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解．【详解】解：，故答案为：2024．►考向四有理数的加减运算解题技巧/易错易混规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算步骤：（1）减法化加法；（2）省略括号和加号；（3）运用加法运算律使计算简便；（4）运用有理数加法法则进行计算。注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：（1）同号的先结合；（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；（3）互为相反数的两数相结合；（4）能凑成整数的两数相结合；（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加14．（2024·广东·中考真题）计算的结果是（

）A． B． C．2 D．8【答案】A【分析】本题主要考查有理数的加法法则，掌握“异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并把较大数的绝对值减去较小数的绝对值”是解题的关键．根据有理数的加法法则，即可求解．【详解】解：，故答案是：A．15．（2024·湖南长沙·中考真题）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了温差的概念和有理数的运算，解决本题的关键是气温最高值与最低值之差，计算解决即可．【详解】解：能够耐受的温差是，故答案为：D．16．（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是．（写出一个符合题意的数即可）【答案】0【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．【详解】解：由题意，填写如下：，满足题意；故答案为：0．►考向五有理数的混合运算考查角度1有理数的乘法解题技巧多个有理数相乘的法则及规律：几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。17．（2024·吉林·中考真题）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：，，，，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D．18．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为．

【答案】220【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可．【详解】解：，当，，，时，，故答案为：220．考查角度2有理数的混合运算19．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则．【答案】8【分析】根据定义，得，解得即可．本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．【详解】根据定义，得，故答案为：8．20．（2024·广西·中考真题）计算：【答案】【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可．【详解】解：原式．21．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目ABCD演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排【答案】60【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键．①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可．【详解】解：①节目D的演员的候场时间为，故答案为：60；②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面，∴①按照顺序，则候场时间为：分钟；②按照顺序，则候场时间为：分钟；③按照顺序，则候场时间为：分钟；④按照顺序，则候场时间为：分钟；⑤按照顺序，则候场时间为：分钟；⑥按照顺序，则候场时间为：分钟．∴按照顺序彩排，候场时间之和最小，故答案为：．►考向六科学记数法和有效数字考查角度1科学记数法表示较大的数22．（2024·海南·中考真题）福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量8万余吨，数据80000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数据80000用科学记数法表示为．故选：B．23．（2024·内蒙古·中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为．【答案】【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．【详解】解：3802亿，故答案为：．考查角度2科学记数法表示较小的数24．（2024·黑龙江大庆·中考真题）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可．【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为，故选：C．考查角度3无理数的估算25．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数．（1）若，则；（2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少个．【答案】【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键；（1）由即可得到答案；（2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案．【详解】解：（1）∵，而，∴；故答案为：；（2）∵a，b，n均为正整数．∴，，为连续的三个自然数，而，∴，，观察，，，，，，，，，，，而，，，，，∴与之间的整数有个，与之间的整数有个，∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个），故答案为：．考点二实数►考向一平方根与立方根26．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（

）A．2 B．5 C．10 D．20【答案】B【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可．【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100，∴一个正方形的面积为，∴正方形的边长为，故选：B．27．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是．（写出一个答案即可）【答案】2（答案不唯一）【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算．利用算术平方根的性质求得，，再根据无理数的估算结合，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，即，∴正方形的边长，即，∴正方形的边长可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．►考向二实数的相关性质与运算28．（2024·山西·中考真题）无理数的相反数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】题目主要考查实数相反数的定义，理解只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键根据相反数的定义求解即可【详解】解：无理数的相反数是，故选：A29．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可.【详解】解：∵，，，，而，∴平方最大的数是3；故选A30．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（

）A．2 B． C． D．-2【答案】A【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可．【详解】解∶由数轴知∶，，∴，∴，故选：A．31．（2024·青海·中考真题）若式子有意义，则实数x的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件列不等式解答即可．【详解】解：∵式子有意义∴，解得：．故答案为：．32．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：（填“>”或“<”）．【答案】>【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案．【详解】解：∵，，而，∴，∴；故答案为：33．（2024·西藏·中考真题）计算：．【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：．一、单选题1．（2024·广东·模拟预测）某市2024年1月的最高气温为，最低气温为零下，则计算2024年1月该市温差列式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，直接用最高气温减去最低气温即可得到答案．【详解】解：∵某市2024年1月的最高气温为，最低气温为零下，∴2024年1月该市温差为，故选：A．2．（2024·湖南·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了用数轴表示数以及不等式的性质，加法与乘法法则，依次判断选项即可．【详解】解：从题图中得出a=2，，，所以，，，，故选项B、C、D错误，选项A正确，故选：A．3．（2024·云南昭通·二模）一个正方体纸盒的体积为，它的棱长大约在（

）A．之间 B．之间 C．之间 D．之间【答案】D【分析】此题是考查估算无理数的大小在实际生活中的应用，“夹逼法”估算方根的近似值是解题的关键．可以利用方程先求正方体的棱长，然后再估算棱长的近似值即可解决问题．【详解】解：设正方体的棱长为，由题意可知，解得，∵，∴．故选：D．4．（2024·辽宁·模拟预测）下列结论错误的是（

）A．关于x的不等式，其解集是B．若，则C．老师在班级随机抽取一个学号，这个学号对应的同学是男同学是必然事件D．小宇某次练习射击中，其10次射击的成绩（环）为8，9，8，8，9，7，7，6，8，6，则8环的频数是4【答案】C【分析】本题考查了解不等式，负整数指数幂，事件的分类，频数等知识，利用解不等式的知识判定选项A；利用负整数指数幂的意义，平方根的定义判定选项B；利用事件的分类判定选项C；利用频数的定义判定选项D．【详解】A．关于x的不等式，其解集是，原结论正确，但不符合题意；B．若，则，原结论正确，但不符合题意；C．老师在班级随机抽取一个学号，这个学号对应的同学是男同学是随机事件，原结论错误，符合题意；D．小宇某次练习射击中，其10次射击的成绩（环）为8，9，8，8，9，7，7，6，8，6，则8环的频数是4，原结论正确，但不符合题意；故选：C．5．（2024·湖南·模拟预测）我国是最早使用负数的国家，在数据，，0，，，中是负数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．小于0的数即为负数，据此即可求得答案．【详解】解：，是负数，共2个，故选：B．6．（2024·上海·三模）某市参加中考的学生人数约为人．对于这个近似数，下列说法正确的是（

）A．精确到百分位，有3个有效数字 B．精确到百位，有3个有效数字C．精确到百分位，有5个有效数字 D．精确到百位，有5个有效数字【答案】B【分析】本题考查的是科学记数法与有效数字，先把科学记数法表示的数还原，看6在原数中的位置就是精确到的数位，而有效数字是9，0，6，从而可得答案．【详解】解：∵，∴它有3个有效数字，9，0，6，精确到百位．故选B．7．（2024·山西·模拟预测）2023年11月15日，部署在塔里木盆地的中国石化“深地一号”跃进井测试获得高产油气流，日产原油200吨，天然气5万立方米．以此计算，该油井天然气年（按365天）产量用科学记数法表示（

）A．立方米 B．立方米C．立方米 D．立方米【答案】B【分析】本题考查有理数的乘法和科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．【详解】（立方米）．故选：B．8．（2024·广东·模拟预测）已知a与c互为相反数，且，那么下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了相反数的定义，由相反数的定义得出，再逐项判断即可得出答案，熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解此题的关键．【详解】解：∵a与c互为相反数，且，∴，A、的结果不确定，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项正确，符合题意；故选：D．9．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）比2024的倒数小的数是（）A．1 B．2024 C． D．【答案】D【分析】此题考查了倒数和有理数的大小的比较，掌握相关定义和方法是解答此题的关键．先利用倒数的定义得到2024的倒数，再比较数的大小即可．【详解】解：2024的倒数是，∵，∴比2024的倒数小的数是，故选D二、填空题10．（2024·湖南长沙·二模）毛主席在《七律・长征》中守道“更喜岷山千里雪，三军过后尽开颜．”《七律・长征》等于1935年9月下旬，10月定稿．1934年10月，中国工农红军从江西瑞金出发，他们跋山涉水，翻过连绵起伏的五岭，突破了乌江天险，四渡赤水，越过乌蒙山，巧渡金沙江，飞夺泸定桥，爬雪山，过草地，最后翻过岷山，历经十一个省，于1936年10月到达陕北，是人类史上一个伟大的事件．岷山，自中国甘肃省南部延伸至四川省西北部的一褶皱山脉，全长约一千里．某幅地图上，测量得长征的路线全长近似于岷山全长的25倍，由此估计长征的路线全长大约为里．【答案】25000【分析】本题考查有理数乘法计算的应用，地图距离的倍数等于实际距离的倍数，由此列乘法算式即可求解．【详解】解：，估计长征的路线全长大约为25000里．故答案为：25000．11．（2024·贵州黔南·一模）若贵阳市某天的最高气温记作，那么当天的最低气温零下记作．【答案】【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负，气温零上记作正，那么气温零下九记作负，据此求解即可．【详解】解：贵阳市某天的最高气温记作，那么当天的最低气温零下记作，故答案为：．12．（2024·上海·模拟预测）用科学记数法表示：．（保留4位有效数字）【答案】【分析】此题考查了科学记数法与有效数字，把已知数字变成为科学记数法即可．【详解】＝．故答案为：．13．（2024·北京·模拟预测）小明与小李讨论小区、学校和超市的距离．小明：我从家到学校需要5分钟，从家到超市需要7分钟小李：那你从学校到超市需要多少分钟呢？小明：大约是分钟吧假设小明行走的速度恒定不变，小明可能推测的a取值范围为【答案】【分析】本题考查了有理数的加减应用，解题的关键是需要进行分类讨论，求出最大（小）值，即可确定范围．【详解】解：当学校与超市在小明家的同一侧且三者到同一条直线上时，小明从学校到超市需要分钟，当学校与超市在小明家的两侧且三者到同一条直线上时，小明从学校到超市需要分钟，故，故答案为：．14．（2024·山西·二模）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表：气温（）…13151719…蟋蟀鸣叫次数（次/分钟）…708498112…若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为．【答案】10【分析】本题考查了数字规律探究和有理数的混合运算的应用，理清题意，正确列出算式是解题关键．根据表中的数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加次，据此列式计算即可．【详解】解：有表格数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加14次，由此，在温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫的70次的基础上可得，，即这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时