备战2025年中考数学真题题源解密（全国）专题08 不等式及不等式组（解析版）

专题08不等式及不等式组

课标要求考点考向

一元一考向一不等式的性质

1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性

次不等

质;

式考向二解一元一次不等式

2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解

集;

考向三一元一次不等式的应用

3.会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的

解集;

一元一考向一解一元一次不等式组

4.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解

次不等

决简单的问题.考向二一元一次不等式组的应

式组

用

►考向一不等式的性质

1．（2024·上海·中考真题）如果xy，那么下列正确的是（）

A．x5y5B．x5y5C．5x5yD．5x5y

【答案】C

【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的

方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负

数，不等号的方向改变．

【详解】解：A．两边都加上5，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；

B．两边都加上5，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；

C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意；

D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意；

故选：C．

2．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足ab10，0ab11，则下列判断正确的是（）

11

A．a0B．b1

22

C．22a4b1D．14a2b0

【答案】C

【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可

得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键

【详解】解：∵ab10，

∴ab1，

∵0ab11，

∴0b1b11，

1

∴0b，选项B错误，不符合题意；

2

∵ab10，

∴ba1，

∵0ab11，

∴0aa111，

1

∴1a，选项A错误，不符合题意；

2

11

∵1a，0b，

22

∴22a1，04b2，

∴22a4b1，选项C正确，符合题意；

11

∵1a，0b，

22

∴44a2，02b1，

∴44a2b1，选项D错误，不符合题意；

故选：C

3．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表

示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（）

A．若ab，则acbcB．若ab，bc，则ac

ab

C．若ab，c0，则acbcD．若ab，c0，则

cc

【答案】A

【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．

【详解】解：由作图可知：ab，由右图可知：acbc，即A选项符合题意．

故选：A．

4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是()

b

A．若2，则b2a

a

B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变

C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等

D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形

【答案】D

【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定，多边形的外角与内角和问

题，逐项分析判断，即可求解．

b

【详解】解：A.若2，且a0，则b2a，故该选项不正确，不符合题意；

a

B.设原价为a元，则提价20%后的售价为：a120%1.2a元；

后又降价20%的售价为：1.2a120%1.2a80%0.96a元．

一件衣服降价20%后又提价20%，

这件衣服的价格相当于原价的96%，故该选项不正确，不符合题意；

C.一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，相等的边不一定对应，故该选项不正确，不

符合题意；

D.设这个多边形的边数为n，

∴由题意得：n21802360，

n24，

n6，

即这个多边形的边数是6；故该选项正确，符合题意；

故选：D．

5．（2024·江苏苏州·中考真题）若ab1，则下列结论一定正确的是（）

A．a1bB．a1bC．abD．a1b

【答案】D

【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同

时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向

不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．

直接利用不等式的性质逐一判断即可．

【详解】解：ab1，

A、a1b，故错误，该选项不合题意；

B、a1b2，故错误，该选项不合题意；

C、无法得出ab，故错误，该选项不合题意；

D、a1b，故正确，该选项符合题意；

故选：D．

6．（2024·山东烟台·中考真题）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A．bc3B．ac0C．acD．2a2b

【答案】B

【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断a，b，c的正负，然后判断即可，

解题的关键是结合数轴判断判a，b，c的正负．

【详解】由数轴可得，3a2，2b1，3c4，

A、bc3，原选项判断错误，不符合题意，

B、ac0，原选项判断正确，符合题意，

C、根据数轴可知：ac，原选项判断错误，不符合题意，

D、根据数轴可知：ab，则2a2b，原选项判断错误，不符合题意，

故选：B．

►考向二解一元一次不等式

易错易混提醒

（1）在解一元一次不等式时，必须确保未知数的系数不为零。如果系数为零，那么不等式就不再是一元一

次不等式。

（2）当不等式两边乘以（或除以）同一个整式时，必须确保这个整式不能为零。如果整式可能为零，则需

要单独考虑这种情况。

考查角度1求一元一次不等式的解集

7．（2024·陕西·中考真题）不等式2x16的解集是（）

A．x2B．x2C．x4D．x4

【答案】D

【分析】本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解．

【详解】解：2x16，

去括号得：2x26，

移项合并得：2x8，

解得：x4，

故选：D．

8．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式5x16成立的x的值为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

7

【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到x，以

5

此判断即可．

【详解】解：∵5x16，

7

∴x．

5

∴符合题意的是A

故选A．

2x1x

9．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式1的解集是，这个不等式的任意一个解

32

都比关于x的不等式2x1xm的解大，则m的取值范围是．

【答案】x8m7

【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，

再根据题意列出关于m的不等式，求解即可得．

2x1x

【详解】解：1，

32

22x163x，

4x263x，

x8．

解不等式2x1xm得：x1m，

2x1x

∵不等式1任意一个解都比关于x的不等式2x1xm的解大，

32

∴1m8，

解得m7，

故答案为：x8；m7．

10．（2024·青海·中考真题）请你写出一个解集为x7的一元一次不等式．

【答案】x70（答案不唯一）

【分析】本题考查了不等式的解集．根据不等式的性质对不等式进行变形，得到的不等式就满足条件．

【详解】解：解集是x7的不等式：x70．

故答案为：x70（答案不唯一）．

11．（2024·广西·中考真题）不等式7x55x1的解集为．

【答案】x2

【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不

等式的步骤是解题的关键．

【详解】解：移项得，7x5x15，

合并同类项得，2x4，

系数化为1得，x2，

故答案为：x2．

12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数a，b定义运算“※”为a※ba3b，例如5※253211，

则关于x的不等式x※m2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是．

1

【答案】0m

3

【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于m的

不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于x的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整

数解得出关于m的不等式组求解可得．

【详解】解：根据题意可知，x※mx3m2

解得：x23m

x※m2有且只有一个正整数解

23m1①

23m2②

1

解不等式①，得：m

3

解不等式②，得：m0

1

0m

3

1

故答案为：0m．

3

考查角度2在数轴上表示不等式的解集

13．（2024·贵州·中考真题）不等式x1的解集在数轴上的表示，正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】根据小于向左，无等号为空心圆圈，即可得出答案．

本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键．

【详解】不等式x1的解集在数轴上的表示如下：

．

故选：C．

14．（2017·吉林·中考真题）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）

A．B．C．

D．

【答案】A

【详解】解：∵x+1≥2

∴x≥1

故选A．

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法

是解题的关键．

x1

15．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式x1，并把解集在数轴上表示出来．

2

【答案】x3，图见解析

【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，

合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可.

x1

【详解】解：x1，

2

去分母，得x12(x1)，

去括号，得x12x2，

移项，得122xx，

解得x3．

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

►考向三一元一次不等式的应用

16．（2024·山东·中考真题）根据以下对话，

给出下列三个结论：

①1班学生的最高身高为180cm；

②1班学生的最低身高小于150cm；

③2班学生的最高身高大于或等于170cm．

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【答案】C

【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2

班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，根据1班班长的对话，得x180，xa350，然后利用不

等式性质可求出a170，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得b140，yb290，然后利用不等

式性质可求出y150，即可判断②．

【详解】解：设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，

根据1班班长的对话，得x180，xa350，

∴x350a

∴350a180，

解得a170，

故①错误，③正确；

根据2班班长的对话，得b140，yb290，

∴b290y，

∴290y140，

∴y150，

故②正确，

故选：C．

17．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，

3

恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有个绿球．

5

【答案】3

【分析】本题主要考查了已知概率求数量，一元一次不等式的应用，设袋子中绿球有3x个，则根据概率计

算公式得到球的总数为5x个，则白球的数量为2x个，再由每种球的个数为正整数，列出不等式求解即可．

【详解】解：设袋子中绿球有3x个，

3

∵摸到绿球的概率是，

5

3

∴球的总数为3x5x个，

5

∴白球的数量为5x3x2x个，

∵每种球的个数为正整数，

∴2x0，且x为正整数，

∴x0，且x为正整数，

∴x的最小值为1，

∴绿球的个数的最小值为3，

∴袋子中至少有3个绿球，

故答案为：3．

18．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3、工作期间需同时排水，乙池的排

水速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．

(1)求甲池的排水速度．

(2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水几小时？

【答案】(1)4m3/h

(2)4小时

【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意

是解题的关键．

（1）设甲池的排水速度为xm3/h，由题意得，363x23683，解方程即可；

（2）设排水a小时，则36248a24，再解不等式即可．

【详解】（1）解：设甲池的排水速度为xm3/h，

由题意得，363x23683，

解得：x4，

答：甲池的排水速度为4m3/h；

（2）解：设排水a小时，

则36248a24，

解得：a4，

答：最多可以排4小时．

19．（2024·四川·中考真题）端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两

种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元/盒）：

种类进价标价

A90120

B5060

(1)设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式（不必写出

自变量x的取值范围）；

(2)若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？

【答案】(1)y20x2000；

(2)至少需要购进A种粽子50盒．

【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．

（1）根据“总利润A种粽子利润A种粽子利润”，即可得出答案；

（2）根据题意列出不等关系式即可得出答案．

【详解】（1）解：根据题意，y(12090)x(6050)(200x)

20x2000，

答：y关于x的函数解析式为y20x2000；

（2）解：20x20003000，

解得：x50，

故若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，至少需要购进A种粽子50盒．

►考向一解一元一次不等式组

考查角度1求一元一次不等式组的解集

20．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与x1组成的不等式组无解的是（）

A．x2B．x0C．x<2D．x3

【答案】A

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不

到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可．

【详解】根据题意x1，可得x1，

A、此不等式组无解，符合题意；

B、此不等式组解集为x1，不符合题意；

C、此不等式组解集为x<2，不符合题意；

D、此不等式组解集为3x1，不符合题意；

故选：A

21．（2024·内蒙古包头·中考真题）若2m1，m，4m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，

则m的取值范围是（）

5

A．m2B．m1C．1m2D．1m

3

【答案】B

【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，

进行求解即可．

【详解】解：由题意，得：2m1m4m，

解得：m1；

故选B．

x20

22．（2024·吉林·中考真题）不等式组的解集为．

x30

【答案】2x3/3x2

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，

大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．

x20①

【详解】解：

x30②

解不等式①得：x2，

解不等式②得：x3，

∴原不等式组的解集为2x3，

故答案为：2x3．

x21

23．（2024·山东·中考真题）写出满足不等式组的一个整数解．

2x15

【答案】1（答案不唯一）

【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出

一元一次不等式组的解集为1x3，然后即可得出整数解．

x21①

【详解】解：，

2x15②

由①得：x1，

由②得：x3，

∴不等式组的解集为：1x3，

∴不等式组的一个整数解为：1；

故答案为：1（答案不唯一）.

4x1

x1

24．（2024·重庆·中考真题）若关于x的不等式组3至少有2个整数解，且关于y的分式方程

2x1xa

a13

2的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为．

y11y

【答案】16

【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于x的一元一次不等

a2

式组至少有两个整数解，确定a的取值范围a8，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得y，

2

由分式方程的解为非负整数，确定a的取值范围a2且a4，进而得到2a8且a4，根据范围确定出

a的取值，相加即可得到答案．

4x1

x1①

【详解】解：3，

2x1xa②

解①得：x4，

a2

解②得：x，

3

关于x的一元一次不等式组至少有两个整数解，

a2

2，

3

解得a8，

a13a2

解方程2，得y，

y11y2

关于y的分式方程的解为非负整数，

a2a2

0且1，a2是偶数，

22

解得a2且a4，a是偶数，

2a8且a4，a是偶数，

则所有满足条件的整数a的值之和是26816，

故答案为：16．

考查角度2在数轴上表示不等式组的解集

2x11

25．（2024·浙江·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（）

32x6

A．B．

C．D．

【答案】A

【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，

再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键．

2x11①

【详解】解：，

32x6②

解不等式①，得：x1，

解不等式②，得：x4，

∴不等式组的解集为1x4．

在数轴上表示如下：

．

故选：A．

26．（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集

是．

【答案】x3/3x

【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，

大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．

【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为x3，x2，

∴不等式组的解集为x3，

故答案为：x3．

►考向二一元一次不等式组的应用

3x21

27．（2024·西藏·中考真题）解不等式组：2x1，并把解集在数轴上表示出来．

x2

3

【答案】1x5，数轴见解析

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口

诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可．

3x21①

【详解】解：2x1，

x2②

3

解不等式①得：x1，

解不等式②得：x5，

∴不等式组的解集为：1x5，

将解集表示在数轴上如图：

．

28．（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经

学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27

名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？

(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？

【答案】(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生

(2)至少种植甲作物5亩

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，

（1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27

名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可；

（2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物10a亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可．

【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，

3x2y27

根据题意，得，

2x2y22

x5

解得，

y6

答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生；

（2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物10a亩，

根据题意，得：5a610a55，

解得a5，

答：至少种植甲作物5亩．

1．（2024·浙江杭州·一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，

这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列

关系正确的是（）

A．50x60801000B．50x60801000

C．50x60801000D．50x60801000

【答案】B

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等

式是解题的关键．设可以搬运货物x箱．根据“额定限载量为1000千克”列出不等式即可．

【详解】解：设每次搬x箱重物，根据题意得，50x60801000，

故选：B．

2．（2024·湖南·三模）不同种类的药品的保存温度有区别．已知甲药品的保存温度为2℃～8℃，乙药品的

保存温度为5℃～15℃．若将甲、乙两种可以共同存放的药品放在一起保存，则下列能符合要求的温度是（）

A．2℃B．4℃C．6℃D．10℃

【答案】C

【分析】此题考查了不等式的应用，解题的关键是读懂题意，搞懂甲药品冷库储藏温度和乙药品冷库储藏

温度的要求．根据甲、乙两种药品的存放范围，得出甲、乙两种共同存放在一起的温度范围，即可得出答

案，

【详解】解：∵甲药品的保存温度为2℃～8℃，乙药品的保存温度为5℃～15℃，

∴甲、乙两种共同存放在一起保存时的温度范围是：5℃～8℃，

∴四个选项中，只有C选项符合要求．

故选：C．

3．（2024·广东·模拟预测）不等式5x28的解集是（）

66

A．xB．xC．x2D．x2

55

【答案】D

【分析】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握不等式的解法．根据不等式的性质解不等式即可．

【详解】解：5x28，

5x82，

5x10，

x2，

故选：D．

2x11

4．（2024·山西·模拟预测）把不等式组4x8的解集表示在数轴上，正确的是（）

0

3

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定

不等式组的解集．

【详解】解：解不等式2x11，得：x1，

4x8

解不等式0，得x2，

3

则不等式组的解集为1x2．

故选：B．

5．（2024·山东济南·模拟预测）如图所示，点A和点B分别在数轴上原点的左侧和右侧，且点A、B对应

的实数分别是a、b，下列结论正确的是（）

A．ab0B．2a2bC．ba<0D．a2b2

【答案】D

【分析】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取

值范围是解题的关键．依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对

每个选项进行逐一判断即可得出结论．

【详解】解：有题意可知：a0b，且ab，

A．a+b<0，原结论错误，故该选项不符合题意；

B．2a2b，原结论错误，故该选项不符合题意；

C．ba0，原结论错误，故该选项不符合题意；

D．a2b2，原结论正确，故该选项符合题意；

故选：D．

6．（2024·辽宁·模拟预测）下列命题是真命题的是（）

A．若acbc，则abB．若a2b2，则ab

C．同位角相等D．若ac2bc2，则ab

【答案】D

【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握平行线的性质，等式和不等式的性质是解题的关键．根据平行

线的性质，等式和不等式的性质依次判断各选项即可．

【详解】解：A、若acbc，且c0，则ab，原命题是假命题；

B、若a2b2，则ab，或ab，原命题是假命题；

C、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；

D、若ac2bc2，则ab，原命题是真命题；

故选：D．

63(x1)x5

7．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是x2，则m的取值范

xm1

围是（）

A．m3B．m3C．m3D．m3

【答案】D

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、

大小小大中间找、大大小小无解”即可确定m的范围．

【详解】解：解不等式63(x1)x5得，

解不等式xm1得xm1，�>2

∵解集是x2，

∴m12，

解得m3，

故选D．

二、填空题

8．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的函数y|xa|a(0x4)，y的最大值为4，则a的取值范围

是．

【答案】a2

【分析】本题考查了二次函数的最值．通过转化得到|xa|4a，即a4xa4a，根据0x4，

推出2a40，据此求解即可．

【详解】解：由题意得y|xa|a4，

即|xa|4a，

∴4a0，即a4，

又∵|xa|4a，

∴a4xa4a，即2a4x4，

∵0x4，

∴2a40，

解得a2，

故答案为：a2．

x2

9．（2024·贵州·模拟预测）要使分式有意义，则x的取值范围是.

x22

【答案】x2，且x2

【分析】本题考查分式有意义的条件、解不等式，平方根的定义，等知识，由分式有意义的条件得到x220，

求解即可得到答案，熟记不等式有意义的条件是解决问题的关键．

x2

【详解】解：要使分式有意义，

x22

x220，解得x2，且x2，

故答案为：x2，且x2．

10．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知m是1，0，1，2，3中的一个数，则关于x的方程x2xm0有解的概率

为．

2

【答案】/0.4

5

【分析】本题考查了一元二次方程根据与系数的关系，求不等式的解集，概率的计算，掌握一元二次方程

根与系数的关系和概率计算是解题的关键．

根据一元二次方程有解的判定方法“b24ac0”可得m的值，再根据概率的计算方法即可求解．

【详解】解：关于x的方程x2xm0有解，

2

∴14m0，

1

解得，m，

4

∴m的值可以是1或0，两个值，

2

∴方程有解的概率为，

5

2

故答案为：．

5

11．（2024·广西桂林·二模）若ab，则3a20243b2024．（填“”或“”）

【答案】

【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变是

解本题的关键．

利用不等式的基本性质即可解答．

【详解】解：∵ab，

∴3a3b，

∴3a20243b2024．

故答案为：．

12．（2024·重庆·二模）对于一个四位正整数Aabcd，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字

与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“优胜数”．则符合条件的A的最

Q(A)

大数与最小数的差为，QAabcd，RAa2，若能被7整除，则所有满足

R(A)

条件的四位正整数A的和为

【答案】75435154

【分析】此题考查了数字类规律题，整式加减的应用、不等式得应用等知识，根据题意求出当b=7,d=1时，

A的最大数为110b999d90208791，当b2,d8时，A的最小数为110b999d90201248，即可求

出符合条件的A的最大数与最小数的差，根据题意求出QA112b21，则RAa21或

RAa22或RAa23，进一步求出所有满足条件的四位正整数A，即可求出所有满足条件的

四位正整数A的和．

【详解】解：∵四位正整数Aabcd是“优胜数”．

∴ad9,cb2，

∴a9d,cb2，

∵1a9,1c9

∴3b29，1d8，1a8，

∴1b7，1d8，

可得到A为10009d100b10b2d110b999d9020，

当b=7,d=1时，A的最大数为110b999d90208791，

当b2,d8时，A的最小数为110b999d90201248，

∴最大值与最小值的差为879112487543；

QAabcd9dbb2d112b，

RAa27d

∵1b7，1d8，

∴13112b25，17d6，

∴13QA25，0RA6，

Q(A)

∵能被7整除，

R(A)

∴QA112b14或QA112b21，则RAa21或RAa22或RAa23，

3

当QA112b14时，b，不符合题意；

2

当QA112b21时，b5

∴cb27

当RAa21时，a3或1，

∴此时d9a6或d9a8

∴此时四位正整数A为3576或1578；

当RAa22时，a4或0（舍去）

∴此时d9a5，和b重复，应舍去，

当RAa23时，a5，和b重复，应舍去，或1（舍去），

综上所述，所有满足条件的四位正整数A为3576或1578，

∴所有满足条件的四位正整数A的和为357615785154．

故答案为：7543，5154．

13．（2024·江苏常州·一模）小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板．三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板

的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的

体重应小于千克．

【答案】25

【分析】此题重点考查一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．

设小明的体重为x，则小明妈妈的体重为2x，爸爸的体重为1503x，根据题意列出不等式，解不等式即可

求解．

【详解】解：设小明的体重为x，则小明妈妈的体重为2x，爸爸的体重为1503x．

x2x1503x

6x150

x25

因此小明的体重应小于25千克．

故答案为：25．

三、解答题

x2x2

14．（2024·安徽·模拟预测）解不等式：1．

52

4

【答案】x

3

【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的解法是解题关键．依次去分母、去括号、移项合

并、系数化1，即可解不等式．

x2x2

【详解】解：1，

52

去分母得：2x25x210，

去括号得：2x45x1010，

移项、合并同类项得：3x4，

4

系数化为1得：x．

3

5x2

x①

15．（2024·湖南·模拟预测）解不等式组3，并把解集表示在数轴上．

4x24x②

【答案】1x2，图见解析

【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，然后取它们的公共部分得到不

等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可

5x2

x①

【详解】解：3，

4x24x②

解不等式①，得：x1，

解不等式②，得：x2，

原不等式组的解集为1x2，

其解集在数轴上表示如下：

16．（2024·河南·模拟预测）某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球购买数量

不少于50个，付款总额不得超过11200元，已知篮球和排球的厂家批发价分别是每个120元和每个100元，

商场零售价分别是每个150元和每个120元．设该商场采购x个篮球．

(1)求该商场的采购费用y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；

(3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球批发价上调了3mm0元/个，同时排球批

发价下调了2m元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润

是2300元，求m的值．

【答案】(1)y20x1000050x60；

(2)商场把这100个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为2600元；

(3)将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，m的值为3元．

【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函

数解析式是解答的关键．

（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可；

（2）设利润为W元，根据题意得到总利润W10x2000，利用一次函数的增减性质求解即可；

（3）设利润为W元，根据题意得到总利润W105mx200m2000，分105m0和105m0，利

用一次函数的增减性质求解即可．

【详解】（1）解：根据题意得，y120x100100x20x10000；

x50

，解得：50x60，

120x100100x11200

∴y20x1000050x60；

答：采购费用y与x的函数关系式为y20x1000050x60；

（2）解：设总利润为W，根据题意得：

W150120x120100100x10x2000

∵k100，

∴W随x的最大的增大，

∴x60时，W最大60020002600元，

答：商场把这100个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为2600元；

（3）解：由题意得：

W1501203mx1201002m100x105mx200m2000，

①当105m0时，即m2时，W随x的增大而增大，

又∵50x60，

∴当x50时，W最小2300，

即：105m50200m20002300，

解得：m42舍去，

②当105m0时，即m2时，W随x的增大而减小，

又∵50x60，

∴当x60时，W最小2300，

即：105m60200m20002300，

解得：m3，

综上所述，将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，m的值为3元．

17．（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器

容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围

的解集在数轴上表示．

551

【答案】x1，y；数轴表示见解析

9182

【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意正确列出不等式组成为解题的关键．

5xy3①5111

设大器容x斛，小器容y斛，由题意得则xy，再根据x1,yx可得y，当yx，

x5y2②6222

55

即x2y时可得y、x，进而完成解答．

189

【详解】解：设大器容x斛，小器容y斛，由题意得:

5xy3①

,

x5y2②

5

①②可得：6xy5，即：xy，

6

1

∵x1,yx

2

1

∴y，

2

1555

当yx，即x2y时，2yy，即y，x，

26189

551

∴x1，y；

9182

小器容米数量范围的解集在数轴上表示如下：