备战2025年中考数学真题题源解密（全国）专题14 三角形（解析版）

专题14三角形

课标要求考点考向

考向一三角形的分类

考向二三角形三边关系

1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等

与三角

概念，了解三角形的稳定性。考向三三角形的高

形有关

2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角

考向四三角形的中线

的线段

形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

考向五线段的垂直平分线

3.理解全等三角形的概念，掌握三角形全等的证明方法。

4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分考向六角平分线的性质和判定

线的性质定理。

与三角考向一三角形的内角和定理

5.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定

形有关考向二三角形的外角的定义及性

理。

的角质

6.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰（等边）三角

全等三考向一全等三角形的概念及性质

形的性质定理，探索并掌握等腰（等边）三角形的判定

角形考向二全等三角形的判定

定理。

考向一等腰三角形的定义及性质

7.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质

定理。等腰三考向二等腰三角形是判定

角形考向三等腰三角形的性质及判定

8.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单

的实际问题。考向四等边三角形

直角三考向一直角三角形

角形考向二勾股定理及逆定理

►考向一三角形的分类

1．（2024·陕西·中考真题）如图，在VABC中，BAC90，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接

AE，则图中的直角三角形有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【答案】C

【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．

【详解】解：由图得△ABD，VABC，△ADC，VADE为直角三角形，

共有4个直角三角形．

故选：C．

►考向二三角形三边关系

2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程x210x210的两个根，则这个三角形

的周长为（）

A．17或13B．13或21C．17D．13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得x13，

x27，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3，腰长为7，进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．

2

【详解】解：由方程x10x210得，x13，x27，

∵337，

∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，

∴这个三角形的周长为37717，

故选：C．

3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在VABC中，AB32,AC2，以BC为边作Rt△BCD，BCBD，

点D与点A在BC的两侧，则的最大值为（）

𝐴

A．232B．622C．5D．8

【答案】D

【分析】如图，把VABC绕B顺时针旋转90得到△HBD，求解AHAB2BH26，结合ADDHAH，

（A,H,D三点共线时取等号），从而可得答案．

【详解】解：如图，把VABC绕B顺时针旋转90得到△HBD，

∴ABBH32，ACDH2，ABH90，

∴AHAB2BH26，

∵ADDHAH，（A,H,D三点共线时取等号），

∴AD的最大值为628，

故选D

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合

适的辅助线是解本题的关键．

4．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为．

【答案】6

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种

情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能

构成三角形，即可得出答案．

【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，

662，

能构成三角形，

第三边长为6；

当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，

226，

不能构成三角形，舍去；

综上，第三边长为6，

故答案为：6．

►考向三三角形的高

5．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是VABC的（）

A．角平分线B．高线C．中位线D．中线

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得BDAC，从而可得答案．

【详解】解：由作图可得：BDAC，

∴线段BD一定是VABC的高线；

故选B

6．（2024·山东德州·中考真题）如图，在VABC中，AD是高，AE是中线，AD4，S△ABC12，则BE的

长为（）

A．1.5B．3C．4D．6

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据S△ABC12和AD4求出BC6，根据AE是中线即

可求解．

1

【详解】解：∵S△BCAD12，AD4，

ABC2

∴BC6

∵AE是中线，

1

∴BEBC3

2

故选：B

►考向四三角形的中线

7．（2024·河北·中考真题）如图，VABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4

的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．

△

（1）AC1D1的面积为；

（2）△B1C4D3的面积为．

【答案】17

1

【分析】（1）根据三角形中线的性质得S△=S△=S△=1，证明ACD≌ACDSAS，根据全

ABDACD2ABC11

等三角形的性质可得结论；

≌SS1

（2）证明AB1D1ABDSAS，得△AB1D1△ABD，推出C1、D1、B1三点共线，得

S=S+S=2S=4S=8S3S3△∽△

△AB1C1△AB1D1△AC1D1，继而得出△AB1C4△AB1C1，△AB1D3△AB1D1，证明C3AD3CAD，

4

得S△CAD9S△CAD9，推出S△S△12，最后代入S△BCDS△ACDS△ABDS△ABC即可．

33AC4D33C3AD3143431314

【详解】解：（1）连接B1D1、B1D2、B1C2、B1C3、C3D3，

∵VABC的面积为2，AD为BC边上的中线，

11

∴S△=S△=S△=´2=1，

ABDACD2ABC2

∵点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，

1

∴ACACCCCCCCCC，

112233454

∵点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，

1

∴ADADDDDDDD，

1122343

∵点A是线段BB1的中点，

1

∴ABABBB，

121

△

在AC1D1和ACD中，

ACAC

1

C1AD1CAD，

AD1AD

∴AC1D1≌ACDSAS，

∴SS1

△AC1D1△ACD，C1D1ACDA，

△

∴AC1D1的面积为1，

故答案为：1；

（2）在AB1D1和△ABD中，

ABAB

1

B1AD1BAD，

AD1AD

∴AB1D1≌ABDSAS，

∴SS1

△AB1D1△ABD，B1D1ABDA，

∵BDACDA180，

∴B1D1AC1D1A180，

∴C1、D1、B1三点共线，

∴S=S+S=1+1=2

△AB1C1△AB1D1△AC1D1，

∵AC1C1C2C2C3C3C4，

∴S=4S=4´2=8

△AB1C4△AB1C1，

∵S1

AD1D1D2D2D3，△AB1D1，

∴S3S313

△AB1D3△AB1D1，

△

在AC3D3和ACD中，

ACAD

∵333，CADCAD，

ACAD33

△∽△

∴C3AD3CAD，

2

SCADAC2

∴33339，

SCADAC

∴S9S919

△C3AD3△CAD，

∵AC1C1C2C2C3C3C4，

44

∴S△S△912，

AC4D33C3AD33

∴SSSS12387

△B1C4D3△AC4D3△AB1D3△AB1C4，

∴△B1C4D3的面积为7，

故答案为：7．

【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意

义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．

8．（2024·浙江·中考真题）在74的方格纸中，VABC的三个顶点都在格点上，请仅．用．无．刻．度．的．直．尺．，分

别按下列要求画图．

(1)在图1中的线段BC上找一点D，连接AD，使AD平分VABC的面积．

(2)在图2中的线段BC上找一点E，连接AE，使AE平分VABC的周长．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了三角形的中线及三角形的周长及比例线段问题，熟练掌握三角形中线的性质是解题的

关键；

（1）因BC从点B到点C水平数方格共7个，故中点在第3单元格和第4单元格个中点，连接第3单元格

和第4单元格的对角线即得到BC的中点D，连接AD即为所求；

（2）由图可知AB∶BC4∶3，BC从点B到点C水平数方格共7个，连接第2单元格和第4单元的对角线

即得到点E，连接AE即为所求；

【详解】（1）如图所示：中线平分VABC的面积．

𝐴

（2）如图所示：AE平分VABC的周长．

►考向五线段的垂直平分线

9．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在VABC中，ABAC6，BC4，分别以点A，点B为圆心，大

1

于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周

2

长为（）

A．7B．8C．10D．12

【答案】C

【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明ADBD，根据△BCD的

周长BDCDBCADCDBCACBC，即可求出答案．

【详解】解：由作图知，EF垂直平分AB，

ADBD，

△BCD的周长BDCDBCADCDBCACBC，

ABAC6，BC4，

△BCD的周长6410，

故选：C．

10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，ACB90，DE垂直平分AB交BC于点D，若ACD

的周长为50cm，则ACBC（）

A．25cmB．45cmC．50cmD．55cm

【答案】C

【分析】本题考查了线段垂直平分线的的性质，由线段垂直平分线的的性质可得ADBD，进而可得ACD

的周长ACCDADACCDBDACBC50cm，即可求解，掌握线段垂直平分线的的性质是解

题的关键．

【详解】解：∵DE垂直平分AB，

∴ADBD，

∴ACD的周长ACCDADACCDBDACBC50cm，

故选：C．

11．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、

F．若AD8，BE10，则tanABD．

1

【答案】

2

【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关

键．设EF与BD相交于点O，证明△BOE∽△BAD，根据相似的性质进行计算即可；

【详解】解：BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F．

1

EFBD，BOBD，

2

BOEA90，

ABDABD，

△BOE∽△BAD，

BEOE

，

BDAD

1

AD8，BE10，BOBD，

2

10OE

，

2BO8

OEBO40，

OE2OB2BE2100，

令OEx,OBy，

xy40

22，

xy100

x25x45

解得或（舍去），

y45y25

OE251

tanABD．

BO452

1

故答案为：．

2

►考向六角平分线的性质和判定

12．（2024·青海·中考真题）如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOB，PD2，则点P到OA的

距离是（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作PEOA于点E，根据角平分线的性质可得PEPD，

即可求解．

【详解】解：过点P作PEOA于点E，

∵OC平分AOB，PDOB，PEOA，

∴PEPD2，

故选：C．

13．（2024·云南·中考真题）已知AF是等腰VABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到

直线AC的距离为（）

37

A．B．2C．3D．

22

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．

由等腰三角形“三线合一”得到AF平分BAC，再角平分线的性质定理即可求解．

【详解】解：如图，

∵AF是等腰VABC底边BC上的高，

∴AF平分BAC，

∴点F到直线AB，AC的距离相等，

∵点F到直线AB的距离为3，

∴点F到直线AC的距离为3．

故选：C．

14．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线

1

段BE，BF，使BEBF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在ABC内，两弧交于点

2

P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MNAB于点N．若MN2，AD4MD，则AM．

【答案】6

【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP平分ABC，根据角平分线的性

质可知DMMN2，结合AD4MD求出AD，AM．

【详解】解：作图可知BP平分ABC，

∵AD是边BC上的高，MNAB，MN2，

∴MDMN2，

∵AD4MD，

∴AD8，

∴AMADMD6，

故答案为：6．

15．（2024·陕西·中考真题）如图，在VABC中，ABAC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，

且BFAE，连接CF．若AC13，BC10，则四边形EBFC的面积为．

【答案】60

【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点C作CMAB，CNBF，

根据等边对等角结合平行线的性质，推出ABCCBF，进而得到CMCN，得到SCBFSACE，进而得

到四边形EBFC的面积等于SABC，设AMx，勾股定理求出CM的长，再利用面积公式求出VABC的面积

即可．

【详解】解：∵ABAC，

∴∠ABCACB，

∵BF∥AC，

∴ACBCBF，

∴ABCCBF，

∴BC平分ABF，

过点C作CMAB，CNBF，

则：CMCN，

11

∵SAECM,SBFCN，且BFAE，

ACE2CBF2

∴SCBFSACE，

∴四边形EBFC的面积SCBFSCBESACESCBESCBA，

∵AC13，

∴AB13，

设AMx，则：BM13x，

由勾股定理，得：CM2AC2AM2BC2BM2，

2

∴132x210213x，

119

解：x，

13

2

2119120

∴CM13，

1313

1

∴SABCM60，

CBA2

∴四边形EBFC的面积为60．

故答案为：60．

►考向一三角形的内角和定理

16．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线l1∥l2，ABCD于点D，150，则2的度数是（）

A．40B．45C．50D．60

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出ABC

的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可．

【详解】解：∵l1∥l2，150，

∴ABC150，

∵ABCD，

∴BDC=90，

∴2180905040，故A正确．

故选：A．

17．（2024·天津·中考真题）如图，Rt△ABC中，C90,B40，以点A为圆心，适当长为半径画弧，

1

交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径

2

相等）在BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则ADC的大小为（）

o

A．60B．65C．70D．75

【答案】B

【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互

余可求出BAC50，由作图得BAD25，由三角形的外角的性质可得ADC65，故可得答案

【详解】解：∵C90,B40，

∴BAC90B904050，

由作图知，AP平分BAC，

11

∴BADBAC5025，

22

又ADCBBAD,

∴ADC402565,

故选：B

18．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递

力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架AD,BC交于它们的中

点E，液压杆FG∥BC．若BAE53，则GFD�的�度数为（𝐴）

A．127B．106C．76D．74

【答案】D

【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出AEBE,BAEABE53，

确定AEB74，再由对顶角及平行线的性质即可求解

【详解】解：等长的支架AD,BC交于它们的中点E，BAE53，

AEBE,B∵AEABE53，

∴AEB180ABEBAE74，

∴AEBCED74，

∴FG∥BC，

∵GFDCED74，

故∴选：D

19．（2024·四川·中考真题）如图，在VABC中，ABAC，A40，按如下步骤作图：①以点B为圆

1

心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，

2

两弧在ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则ABG的大小为度．

【答案】35

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的

尺规作法是解题的关键．根据ABAC，A40，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得

ABCACB70，由尺规作图过程可知BG为ABC的角平分线，由此可得

1

ABGGBCABC35．

2

【详解】解：ABAC，A40，

ABCACB70，

根据尺规作图过程，可知BG为ABC的角平分线，

1

ABGGBCABC35，

2

故ABG35，

故答案为：35．

►考向二三角形的外角的定义及性质

20．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：

已知：如图，VABC中，ABAC，AE平分VABC的外角CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE

于点D，连接CD．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵ABAC，∴ABC3．

∵CANABC3，CAN12，12，

∴①______．

又∵45，MAMC，

∴△MAD≌△MCB（②______）．

∴MDMB．∴四边形ABCD是平行四边形．

若以上解答过程正确，①，②应分别为（）

A．13，AASB．13，ASA

C．23，AASD．23，ASA

【答案】D

【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得ABC3，根据三

角形外角的性质及角平分线的定义可得23，证明△MAD≌△MCB，得到MDMB，再结合中点的

定义得出MAMC，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

【详解】证明：∵ABAC，∴ABC3．

∵CANABC3，CAN12，12，

∴①23．

又∵45，MAMC，

∴△MAD≌△MCB（②ASA）．

∴MDMB．∴四边形ABCD是平行四边形．

故选：D．

21．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在VABC中，ABAC，BAC130，DAAC，则∠ADB（）

A．100B．115C．130D．145

【答案】B

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得

180BAC

C25，再由三角形外角的性质，即可求解．

2

【详解】解：∵ABAC，BAC130，

180BAC

∴C25，

2

∵DAAC，

∴CAD90，

∴∠ADBCCAD115．

故选：B

22．（2024·新疆·中考真题）如图，在Rt△ABC中，C90,A30,AB8．若点D在直线AB上（不

与点A，B重合），且BCD30，则AD的长为．

【答案】6或12

【分析】本题考查了含30的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，分①点D在线

段AB时，②点D在线段AB延长线上时，③点D在线段BA延长线上时，三种情况讨论求解即可．

【详解】解：∵C90，A30，AB8，

1

∴B=60，BCAB4，

2

①点D在线段AB时，

∵BCD30，B=60，

∴BDC=90，

1

∴BDBC2，

2

∴ADABBD6；

②点D在线段AB延长线上时，

∵BCD30，ABC60，

∴DABCBCD30BCD，

∴BCBD4，

∴ADABBD12；

③点D在线段BA延长线上时，

此时BCDACB，即∠BCD90，故不符合题意，舍去，

综上，AD的长为6或12．

23．（2024·重庆·中考真题）如图，在VABC中，ABAC，A36，BD平分ABC交AC于点D．若

BC2，则AD的长度为．

【答案】2

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边

对等角和三角形内角和定理求出CABC72，再由角平分线的定义得到ABDCBD36，进而

可证明∠A∠ABD，∠BDC∠C，即可推出ADBC2．

【详解】解：∵在VABC中，ABAC，A36，

180A

∴CABC72，

2

∵BD平分ABC，

1

∴ABDCBDABC36，

2

∴∠A∠ABD，∠BDC∠A∠ABD72∠C，

∴ADBD，BDBC，

∴ADBC2,

故答案为：2．

易错易混提醒

1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

3.三边分别相等的两个三角形全等。

4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

►考向一全等三角形的概念及性质

24．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和

中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE4,BE3，则DE（）

A．5B．26C．17D．4

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得HE的长度，利用勾股定理即可解

答，利用全等三角形的性质得到HE1是解题的关键．

【详解】解：△ABE,△BCF,△CDG,△DAH是四个全等的直角三角形，AE4,BE3

AHEB，DHAE4，

HEAEAH1，

四边形EFGH为正方形，

DHE90，

DEDH2HE217，

故选：C．

25．（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影

部分的两个三角形关于点O对称的是（）

A．B．C．

D．

【答案】C

【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点O

判断即可．

【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点O对称的是C，

故选：C．

26．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是4,6，将线段OA绕点O顺时针旋转，点A的对应

点的坐标是（）90°

A．4,6B．6,4C．6,4D．4,6

【答案】B

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的

关键．

根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．

【详解】解：如图所示，

分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，

由旋转可知，

OAOB，AOB90，

AOMBONAAOM90，

ABON．

在AOM和△OBN中，

ABON

AMOONB，

OAOB

△AOM≌△OBN(AAS)，

BNMO，ONAM．

点A的坐标为(4,6)，

BNMO4，ONAM6，

点B的坐标为(6,4)．

故选：B．

►考向二全等三角形的判定

27．（2024·浙江·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E，H，F，G分别是边AB，BC，CD，DA上的点，

2

且AB2，EF5，G，H分别在边AD，BC上，且GH与EF交于点O，记GOF，若tan，则

3

GH（）

365265365265

A．B．C．D．

5577

【答案】D

【分析】如图，过点B作BP∥EF交DC于点P，作BM∥HG交AD于点M，延长BP、AD交于点M，

MN2

过点M作MNBP，根据平行线的性质得出GOFMQFMBP，从而得出tan，设

BN3

MN2x,BN3x，则BM13x，证明四边形BEFP是平行四边形，得出BPEF5，在RtBCP中，

MN1

勾股定理算出CP1，得出DP1，证明MDP≌BCP，得出DKBC2,AK4，根据，得

MK5

出MK25x,AM425x，在RtABM中，列方程求解即可．

【详解】解：如图，过点B作BP∥EF交DC于点P，作BM∥HG交AD于点M，延长BP、AD交于点K，

过点M作MNBP，

∴GOFMQFMBP，

MN2

∴tan，

BN3

设MN2x,BN3x，则BMMN2BN213x，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥DC,AD∥BC,BCCDADAB2，

∵BP∥EF,BE∥FP，

∴四边形BEFP是平行四边形，

∴BPEF5，

2

∴在RtBCP中，CPBP2BC25221，

∴DPDCCP1，即DPCP，

∵AKBC，

∴KPBC,KDPC，

∴KDP≌BCPAAS，

∴DKBC2,AK4，

MNPC1

∵sinKsinPBC，

MKBP5

∴MK25x,AM425x，

22

∴在RtABM中，425x2213x，

25

∴解得：x25或x，

7

当x25时，425x0，

25

∴x，

7

265

∴BM13x．

7

故选：D．

【点睛】该题主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性质，正方形的性质，平行四边形的性质

和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知

识点，正确做出辅助线．

28．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连接AG，BH，

CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（）

A．1B．2C．5D．10

【答案】C

【分析】先证明四边形MNPQ是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出DQPQ，AMQM，证

明ADG≌BAHSAS得出DAGABH，则可得出QMNAMB90，同理AQD90，得出平行四

边形MNPQ是矩形，证明ADQ≌BAMAAS，得出DQAM，进而得出DQAMPQQM，得出矩形

MNPQ是正方形，在Rt△ADQ中，利用勾股定理求出QM25，然后利用正方形的面积公式求解即可．

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴ABBCCDDA，AB∥CD，AD∥BC，DABABCBCDCDA90，

∵E，F，G，H分别为各边中点，

11

∴CGDGCDAH，AEAB，

22

∴DGCGAE，

∴四边形AECG是平行四边形，

∴AG∥CE，

同理DFBH，

∴四边形MNPQ是平行四边形，

∵AG∥CE，

DQDG

∴1，

PQCG

∴DQPQ，

同理AMQM，

∵DGAH，ADGBAH90，ADBA，

∴ADG≌BAHSAS，

∴DAGABH，

∵DAGGAB90，

∴ABHGAB90，

∴QMNAMB90，同理AQD90，

∴平行四边形MNPQ是矩形，

∵AQDAMB90，DAGABH，ADBA，

∴ADQ≌BAMAAS，

∴DQAM，

又DQPQ，AMQM，

∴DQAMPQQM，

∴矩形MNPQ是正方形，

在Rt△ADQ中，AD2DQ2AQ2，

2

∴52QM22QM，

∴QM25，

∴正方形MNPQ的面积为5，

故选：C．

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知

识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键．

29．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于AOB”的尺规作图方法.

（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）作射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；以点C为圆心，CD长为半径画弧，

两弧交于点D¢；

（3）过点D¢作射线OB，则AOBAOB.

上述方法通过判定△COD≌△COD得到AOBAOB，其中判定△COD≌△COD的依据是（）

A．三边分别相等的两个三角形全等

B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

【答案】A

【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.

本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.

【详解】解：根据上述基本作图，可得OCOC，ODOD，CDCD，

故可得判定三角形全等的依据是边边边，

故选A.

30．（2024·湖北·中考真题）平面坐标系xOy中，点A的坐标为4,6，将线段OA绕点O顺时针旋转90，

则点A的对应点A的坐标为（）

A．4,6B．6,4C．4,6D．6,4

【答案】B

【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点A和点A分别作x轴的垂线，证明AOB≌OACAAS，得到

ACOB4，OCAB6，据此求解即可．

【详解】解：过点A和点A分别作x轴的垂线，垂足分别为B，C，

∵点A的坐标为4,6，

∴OB4，AB6，

∵将线段OA绕点O顺时针旋转90得到OA，

∴OAOA，AOA90，

∴AOB90AOCOAC，

∴AOB≌OACAAS，

∴ACOB4，OCAB6，

∴点A的坐标为6,4，

故选：B．

31．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形ABCDE中，ABAE，BCDE，F是的中点．下列条件中，

不能推出AF与一定垂直的是（）𝐴

A．ABC��AEDB．BAFEAF

C．BCFEDFD．ABDAEC

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的

判定的方法是解题的关键．

利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．

【详解】解：A、连接AC、AD，

∵ABCAED，ABAE，BCDE，

∴ACB≌ADESAS，

∴ACAD

又∵点F为的中点

∴AFCD�，�故不符合题意；

B、连接BF、EF，

∵ABAE，BAFEAF，AFAF，

∴ABF≌AEFSAS，

∴BFEF，AFBAFE

又∵点F为的中点，

∴CFDF�，�

∵BCDE,

∴CBF≌DEFSSS，

∴CFBDFE，

∴CFBAFBDFEAFE90，

∴AFCD，故不符合题意；

C、连接BF、EF，

∵点F为的中点，

∴CFD�F�，

∵BCFEDF，BCDE，

∴CBF≌DEFSAS，

∴BFEF，CFBDFE，

∵ABAE，AFAF，

∴ABF≌AEFSSS，

∴AFBAFE，

∴CFBAFBDFEAFE90，

∴AFCD，故不符合题意；

D、ABDAEC，无法得出题干结论，符合题意；

故选：D．

32．（2024·山东·中考真题）如图，点E为ABCD的对角线AC上一点，AC5，CE1，连接DE并延长

至点F，使得EFDE，连接BF，则BF为（）

57

A．B．3C．D．4

22

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助

线是解题关键．

CEDEDC

解法一：延长DF和AB，交于G点，先证DEC∽GAE，得到，再证BGF∽AGE，得

AEGEAG

BFFG3

到，即可求得结果；

AEEG4

解法二：作FH∥AB交AC于点H，证明出CDE≌HFEAAS，得到HECE1，FHCD，然后证明

出四边形ABFH是平行四边形，得到BFAHACCH3．

【详解】解：解法一：延长DF和AB，交于G点，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，DCAB即DC∥AG，

∴DEC∽GAE

CEDEDC

∴，

AEGEAG

∵AC5，CE1，

∴AEACCE514，

CEDEDC1

∴，

AEGEAG4

DEDE1

又∵EFDE，，

GEEFFG4

EF1

∴，

FG3

DCDC1

∵，DCAB，

AGABBG4

DC1

∴，

BG3

EFDC1

∴，

FGBG3

BGFG3

∴

AGEG4

∴AE∥BF，

∴BGF∽AGE，

BFFG3

∴

AEEG4

∵AE4，

∴BF3．

解法二：作FH∥AB交AC于点H

∴CDEHFE，DCEFHE，

又∵EFDE，

∴CDE≌HFEAAS，

∴HECE1，FHCD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，CDAB，

∴HF∥AB，HFAB，

∴四边形ABFH是平行四边形，

∴BFAHACCH3．

故选：B．

►考向一等腰三角形的定义及性质

33．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中△OAB

与ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OEOF．下

列推断错误的是（）

A．OBODB．BOCAOB

C．OEOFD．BOCAOD180

【答案】B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

11

A.由对称的性质得AOBDOC，由等腰三角形的性质得BOEAOB，DOFDOC，即可判

22

断；

B.BOC不一定等于AOB，即可判断；

C.由对称的性质得OAB≌ODC，由全等三角形的性质即可判断；

D.过O作GMOH，可得GODBOH，由对称性质得BOHCOH同理可证AOMBOH，

即可判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键．

【详解】解