浙教版数学九年级下学期第一次月考模拟练习卷（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）浙教版数学九年级下学期第一次月考模拟练习卷（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（）A．12 B．22 C．32．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（）A．π2 B．π C．2π 3．如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（）A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的1C．都没有变化 D．都不能确定4．如图所示的物体的左视图为（）A． B．C． D．5．三角形的内心是（）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（）A．513 B．512 C．12137．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处训得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道AB的长度为（）A．50sin40°米 B．50cos40°米C．50sin40°米 D．8．如图是某几何图形的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．球9．如图，等边△ABC边长为43，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1A．2 B．6−23 C．3−1 10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，AE=6，连接CE，交BD于F，若点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM且FM平分∠AMC①DF=3−1；②S△AEC=3(1+3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上.则大楼AB的高度.（结果保留根号）

12．如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O，则tan∠AOC＝.

13．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，cos∠OAB=23，则AB的长是14．活动楼梯如图所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度i为7：3，斜坡AC的坡面长度为32m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为m.15．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝32，则∠C的度数是16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，AD＝AC，点E在BC边上，∠BAE＝12∠ABC，点F为AE上一点，∠ADF＝2∠BCD，若DF＝2，BD＝1，则AD的长为三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，点O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M.（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为2，求正方形的边长.18．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线.已知甲山上A点到河边C的距离AC=130米，点A到CD的垂直高度为120米；乙山BD的坡比为4：3，乙山上B点到河边D的距离BD=450米，从B处看A处的俯角为25°（参考值：sin25°≈0.423，（1）求乙山B处到河边CD的垂直距离；（2）求河CD的宽度.（结果保留整数）19．如图，在△ABC中，F为AC上一点，以CF为直径的半圆O与AB相切于点E，与BC相交于点D，且E为DF的中点，连结DE，DF，过点F作FG//DE交（1）求证：四边DEGF为平行四边形.（2）若D为BC中点，AG=2，求半圆O20．如图，已知矩形ABCD中.

（1）请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分∠BED，（不写画法，保留画图痕迹）；（2）在（1）的条件下若AD=10，AB=6，求出tan∠BEC21．如图，已知△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于点D，过点D作AB的平行线分别交CA、CB的延长线于点P、Q，连接BD.（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）连接OB，若tan∠ACD=13，圆的半径为10，求22．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上.（1）判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AE＝4，∠A＝30°，求图中由BD、BE、弧DE围成阴影部分面积.23．如图①中N、A、M、C共线，若AB=4米，∠MAB的范围：30°≤∠MAB≤60°，∠ABC的范围：（1）如图②，当∠MAB=45°，BC恰好垂直MN时，求BC的长；（结果保留根号）（2）若（1）中BC长度不变，求点C、A间最远的距离多少米.（结果保留根号）24．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，PC为⊙O的切线，C为切点，点E在⊙O上，AC=CE.连接BE.（1）求证：BE⊥PC；（2）若AC=4，AB=25，求BE25．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点（不与点A，B重合），D是弦AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F.

（1）求证：FC＝FD.

（2）①当∠CAB的度数为时，四边形OEFC是矩形；②若D是弦AC的中点，⊙O的半径为5，AC＝8，则FC的长为.浙教版数学九年级下学期第一次月考模拟练习卷（解析版）（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（）A．12 B．22 C．3【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形的性质及特殊角的三角函数值即可解答．【解答】∵∠α是等边三角形的一个内角，

∴∠α=60°．

∴cosα=cos60°=12．

【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值和等边三角形的性质．2．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（）A．π2 B．π C．2π 【答案】C【解析】【解答】解：连接OA，OB.

则OA⊥PA，OB⊥PB∵∠APB=60°∴∠AOB=120°∴劣弧AB的长是：120π×3故答案为：C.

【分析】连接OA，OB，由圆的切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，结合已知根据四边形的内角和等于360°可得∠AOB=120°，再根据弧长公式l=nπR3．如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（）A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的1C．都没有变化 D．都不能确定【答案】C【解析】【解答】解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，故选：C．【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案．4．如图所示的物体的左视图为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：从左面看易得第一层有1个矩形，第二层最左边有一个正方形．故选A．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．5．三角形的内心是（）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点【答案】B【解析】【解答】解：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．故选B．【分析】根据三角形内心的性质求解．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（）A．513 B．512 C．1213【答案】C【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，∴cosA=ACAB故选C．【分析】直接根据余弦的定义即可得到答案．7．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处训得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道AB的长度为（）A．50sin40°米 B．50cos40°米C．50sin40°米 D．【答案】C【解析】【解答】在Rt△ABC中，

∵∠A＝40°，BC＝50米，

∴sin40°＝BCAB

故答案为：C【分析】根据锐角三角函数即可解决问题8．如图是某几何图形的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．球【答案】C【解析】【解答】∵俯视图为圆，

∴该几何体为圆柱、圆锥或球，

∵左视图和主视图为长方形，

∴该几何体为圆柱．

故答案为：C

【分析】根据几何体的三视图作出判断即可9．如图，等边△ABC边长为43，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1A．2 B．6−23 C．3−1 【答案】B【解析】【解答】解：过O点作OH⊥BC于H，OB1与BC交于点M，过M作MF⊥BO于F，如下图所示：

∵△ABC为等边三角形，且OB、OC分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1=12∠ABC=30°，∠3=1∴△OBC为等腰三角形，由“三线合一”可知：BH=CH=12BC=2∴BO=23∵△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB∴∠2=30°=∠1，∴△OBM为等腰三角形，由“三线合一”可知：BF=12∴MO=BM=233BF=∴MB1=OB1-OM=OB-OM=4−4又由旋转可知∠B=∠B1=30°，且对顶角∠BMO=∠DMB1=120°，∴∠MDB1=180°-∠B1-∠DMB1=180°-30°-120°=30°，∴△MB1D为等腰三角形，∴MD=MB1=4−4∴CD=BC-MD-BM=43∵对顶角∠EDC=∠MDB1=30°，且∠ACB=60°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，∴△CDE为30°、60°、90°直角三角形，∴DE=32CD=3故答案为：B.

【分析】过O点作OH⊥BC于H，OB1与BC交于点M，过M作MF⊥BO于F，根据等边三角形的性质以及角平分线的概念可得∠1=12∠ABC=30°，∠3=12∠ACB=30°，根据等腰三角形的性质可得BH=CH=23，然后求出BO，根据旋转的性质可得∠2=30°=∠1，由等腰三角形的性质可得BF=12BO=2，然后求出MO、MB1，易得△MB10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，AE=6，连接CE，交BD于F，若点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM且FM平分∠AMC①DF=3−1；②S△AEC=3(1+3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【解答】解：如图1，连结OE，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=AB=BC，∠ADC=∠DAB=90°，OD=OB，OC=OA，BD=AC，∴OD=OB=OC=OA，∵△ADE是等边三角形，AE=6∴AD=DE=AE=6∴CD=AD=AB=BC=6∴BD=A则OB=OD=1∵AE=DE，OD=OA，∴OE垂直平分AD，即OE⊥AD，DH=AH=1∴OH=OEH=DE⋅sin∴OE=OH+EH=6∵∠ADC=∠DHE=90°，∴CD∥OE，∴△CDF∽△EOF，∴DFOF=CDOE，则∵DF+OF=OD=3，则OF=∴6+322⋅DF=6∵S△AEC又∵CD∥OE，∴S△DEO∴S=====3(1+故②符合题意；如图2，过点F作PQ⊥CD分别交CD、AB于点P、Q，在MA上截取MT=MC，连接FT、CT，则△MCT为等腰三角形，在Rt△ABD中，AB=AD，∠DAB=90°，∴△ABD为等腰直角三角形，∠ADB=∠ABD=45°，由CD//AB得：∠CDB=∠ABD=45°，则△PDF为等腰直角三角形，∵BD=23∴BF=3+1，则QF=QB=BF⋅sin∴CP=CD−PD=6−6AQ=AB−BQ=6∵FM平分∠AMC，∴∠CMF=∠AMF，在△MCF和△MTF中，MC=MT∠CMF=∠AMF∴△MCF≌△MTF（SAS），∴CF=FT，在Rt△CFP和Rt△FTQ中，CF=FT∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL），∴QT=PF=6∴QT=AQ，则AT=QT+AQ=6∴BT=AB−AT=6在Rt△CBT中，tan∠CTM=∴∠CTM=60°，则△MCT为等边三角形，∴∠AMC=60°，故③符合题意；∵sin∠AMC=∴CM=BC÷32=∴MQ=MT+QT=22AM=MT+AT=22在Rt△FQM中，∠FQM=90°，∠FMQ=∴MF=2FQ=2×6∵CM+AM=2∴CM+AM=3MF，故∴正确的选项有3个，故答案为：C．【分析】①连结OE，根据正方形性质和等边三角形性质可证：OE垂直平分AD，进而可证：△CDF∽△EOF，由相似三角形性质即可求得DF；②由S△AEC=S△AEO+③过点F作PQ⊥CD分别交CD、AB于点P、Q，在MA上截取MT=MC，连接FT、CT，求得相关的线段长，可证：△MCF≌△MTF（SAS），Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL），求出BT的长，利用特殊角的三角函数值和等边三角形的判定与性质即可求得∠AMC；④根据解直角三角形和线段的加减运算分别求出CM、AM、MF的长，整理即可得出这三条线段之间的数量关系，即可做出判断．二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上.则大楼AB的高度.（结果保留根号）

【答案】（6+43）米【解析】【解答】解：在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，∴DE=1过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，∴∠FBD＝45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF＝DF＝x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF＝DE＝2米，即AB＝（x+2）米，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴BC=ABBD=2BF=∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠DCB＝90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2解得：x＝4+43，则AB＝（6+43）米.故答案为：（6+43）米.【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得DE=1212．如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O，则tan∠AOC＝.

【答案】1【解析】【解答】解：如图：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，

∴∠AOC＝∠FDC，设正方形网格的边长为单位1，根据勾股定理可得：CF=22+DF=3∵(5∴CF∴∠FCD＝90°，∴tan∠AOC=故答案为：12

【分析】将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，则∠AOC＝∠FDC，设正方形网格的边长为单位1，利用勾股定理可得CF、CD、DF的值，结合勾股定理逆定理知△FCD为直角三角形，且∠FCD＝90°，然后根据三角函数的概念进行计算.13．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，cos∠OAB=23，则AB的长是【答案】8【解析】【解答】解：如图，连接OC.

∵AB是⊙O切线，∴OC⊥AB，AC=BC，∵cos∠OAB=23=∴设AC=2x，OA=3x根据勾股定理得，OC=∵OC=OD=2∴∴x=∴AC=2x=∴AB=2AC=8故答案为：85【分析】连接OC，由切线的性质可得OC⊥AB，AC=BC，设AC=2x，则OA=3x，然后在Rt△OAC中利用勾股定理表示出OC，由OC=OD=2可求得x的值，进而得到AC、AB的值.14．活动楼梯如图所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度i为7：3，斜坡AC的坡面长度为32m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为m.【答案】8【解析】【解答】解：设AB=3x，

根据坡度为7：3，则BC=7根据勾股定理得：(3x)2解得：x=8（舍负值），∴BC=87故答案为：87【分析】设AB=3x，根据坡度的概念可表示出BC，然后由勾股定理可求得x的值，进而得到BC的值.15．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝32，则∠C的度数是【答案】105°【解析】【解答】解：∵在△ABC中，cosA＝32∴∠A=30°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°.故答案为：105°【分析】由cosA＝3216．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，AD＝AC，点E在BC边上，∠BAE＝12∠ABC，点F为AE上一点，∠ADF＝2∠BCD，若DF＝2，BD＝1，则AD的长为【答案】4【解析】【解答】解：过点F作GF⊥DF于点F，交AD于点G，

设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=AC=x，

∴∠ADF=2α，∠B=2β，AB=AD+BD=x+1，

∵∠ACB=90°，AD=AC，

∴∠ACD=∠ADC=∠ACB-∠BCD=90°-α

∵∠ADC=∠BCD+∠B=α+2β，

∴90°-α=α+2β，

∴2α+2β=90°，

∵在Rt△DFG中，∠FGD=90°-∠FDA=90°-2α=2β，

∴∠FGD=∠B，

∵sinB=ACAB=xx+1，sin∠FGD=DFDG=2DG=2x−AG，

∴xx+1=2DG

解之：DG=2x+2x，

∴AG=AD−DG=x−2x+2x=x2−2x−2x；

∵∠FGD=2β，∠BAE=β，

∴∠GFA=∠FGD-∠BAE=β=∠BAE，

∴GF=AG，

在Rt△FGD中，三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，点O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M.（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为2，求正方形的边长.【答案】（1）证明：如下图，过O作OH⊥BC于H，∵正方形ABCD，∴∠ACB=∠ACD=45°，∵CD是⊙O的切线，∴OM⊥CD，∴OM=OH，∵OM为⊙O的半径，∴OH为⊙O的半径，∴BC与⊙O相切（2）解：∵⊙O的半径为2，∴OA=OM=2由（1）可知，CM=OM=2∴OC=(∴AC=OA+OC=2∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°，则在Rt△ABC中，AC2=A∴2解得：AB=2故正方形ABCD的边长为2+1【解析】【分析】（1）过O作OH⊥BC于H，由正方形ABCD，可得∠ACB=∠ACD=45°，证明OM⊥CD，再证明OM=OH从而可得结论；（2）先根据勾股定理求出OC=2，从而可得AC=218．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线.已知甲山上A点到河边C的距离AC=130米，点A到CD的垂直高度为120米；乙山BD的坡比为4：3，乙山上B点到河边D的距离BD=450米，从B处看A处的俯角为25°（参考值：sin25°≈0.423，（1）求乙山B处到河边CD的垂直距离；（2）求河CD的宽度.（结果保留整数）【答案】（1）解：如图，过B作BF⊥CD于点F，∵乙山BD的坡比为4：∴BFDF设BF=4t米，则DF=3t米，∴BD=B又BD=450米，∴5t=450，∴t=90，∴BF=360米，答：乙山B处到河边CD的垂直距离为360米；（2）解：过A作AE⊥CD于点E，过A作AH⊥BF于点H，则四边形AEFH为矩形，，∴HF=AE=120米，AH=EF，∴BH=BF−HF=360−120=240（米），∵从B处看A处的俯角为25°，∴∠BAH=25°，在Rt△ABH中，tan∠BAH=∴AH=BH∴EF=AH≈515（米），在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE=A由（1）可知，DF=270米，∴CD=EF−CE−DF=515−50−270=195（米），答：河CD的宽度约为195米.【解析】【分析】（1）过B作BF⊥CD于点F，根据坡比的概念得BFDF=419．如图，在△ABC中，F为AC上一点，以CF为直径的半圆O与AB相切于点E，与BC相交于点D，且E为DF的中点，连结DE，DF，过点F作FG//DE交（1）求证：四边DEGF为平行四边形.（2）若D为BC中点，AG=2，求半圆O【答案】（1）证明：连结OE，∵AE切半圆于点E，

∴OE⊥AB，∵E为DF的中点，OE为半径，∴OE⊥DF，

∴∵FG//∴四边形DEGF是平行四边形；（2）解：连结OE交DF于点H，∵OE⊥DF∵OF=OC设OH=x，则CD=2x，BD=2x，

∵CF为直径，

∴∠CDF=90°∴EH=BD=2x∴DF=CF2−CD2=42x

∵BE=DH=12DF=22x，∴OC=3x=3【解析】【分析】（1）连结OE，由圆的切线垂直于经过切点的直径得OE⊥AB，由垂径定理得OE⊥DF，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得FD∥AB，进而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论；

（2）连结OE交DF于点H，由垂径定理得FH=HD，由三角形的中位线定理得OH=1220．如图，已知矩形ABCD中.

（1）请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分∠BED，（不写画法，保留画图痕迹）；（2）在（1）的条件下若AD=10，AB=6，求出tan∠BEC【答案】（1）解：如图（2）解：∵EC平分∠BED∴∠BEC=∠CED∵矩形ABCD∴AD∥BC，AD=BC=10∴∠BCE=CED∴∠BEC=∠BCE∴BC=BE=10在Rt△ABE中由勾股定理得AE=∴ED=10−8=2在Rt△CDE中得tan∵∠BEC=∠CED∴tan【解析】【解答】解：（1）解：以点C为圆心，CD长为半径画圆，作BC的垂直平分线，以BC的垂直平分线与BC的交点为圆心，BC长为直径画圆，与圆C相交，连接点B与交点并延长交AD于点E，交点E即为所求.

【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求解；

（2）由角平分线的定义和平行线的性质可得∠BEC=∠BCE，于是由等角对等边可得BC=BE，在直角三角形ABE中，用勾股定理可求得AE的值，由线段的构成ED=AD-AE可求得ED的值，在直角三角形CDE中，根据锐角三角函数tan∠CED=CDDE21．如图，已知△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于点D，过点D作AB的平行线分别交CA、CB的延长线于点P、Q，连接BD.（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）连接OB，若tan∠ACD=13，圆的半径为10，求【答案】（1）证明：连接OD.∵DC平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=∴OD⊥AB，∵AB//∴OD⊥PQ，∵OD是半径，∴PQ是⊙O的切线；（2）解：作直径DR，连接BR.∵AD=∴∠ACD=∠DRB，∴tan∠ACD=tan∠DRB=1∵DR是直径，∴∠DBR=90°，∴tan∠DRB=DB设DB=x，则BR=3x，∵DR∴20∴x=210(负根已经舍去∴BD=210【解析】【分析】（1）连接OD.根据角平分线的定义及垂径定理可得OD⊥AB，利用平行线的性质可得OD⊥PQ，根据切线的判定定理即证；

（2）作直径DR，连接BR.由（1）知AD=BD，可得∠ACD=∠DRB，从而得出tan∠ACD=tan∠DRB=13，根据圆周角定理及锐角三角函数可得tan∠DRB=DB22．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上.（1）判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AE＝4，∠A＝30°，求图中由BD、BE、弧DE围成阴影部分面积.【答案】（1）解：直线BD与⊙O的位置关系是相切证明：连接OD、DE∵∠C＝90°∴∠CBD+∠CDB＝90°∵∠A＝∠CBD∴∠A+∠CDB＝90°∵OD＝OA∴∠A＝∠ADO∴∠ADO+∠CDB＝90°∴∠ODB＝180°-90°＝90°∴OD⊥BD∵OD为半径∴BD是⊙O切线（2）解：∵AE是⊙O直径∴∠ADE＝90°∵AE＝4，∠A＝30°∴DE＝12∵OD＝OE∴△DOE是等边三角形∴∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝2∵∠ODB＝90°∴∠EDB＝30°∴∠B＝∠DEO-∠EDB＝60°-30°＝30°∴OB＝2OD＝4由勾股定理得：DB＝42∴阴影部分的面积S＝S△ODB-S扇形DOE＝1＝23【解析】【分析】（1）连接OD、DE，由已知条件可知∠A=∠CBD，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADO，结合∠A+∠CDB=90°可得∠ODB＝90°，据此证明；

（2）由圆周角定理可得∠ADE＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得DE＝12AE＝2，推出△DOE是等边三角形，得到∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝2，则∠EDB＝30°，∠B＝∠DEO-∠EDB＝30°，OB＝2OD＝4，由勾股定理可得DB，然后根据S阴影=S△ODB-S扇形DOE23．如图①中N、A、M、C共线，若AB=4米，∠MAB的范围：30°≤∠MAB≤60°，∠ABC的范围：（1）如图②，当∠MAB=45°，BC恰好垂直MN时，求BC的长；（结果保留根号）（2）若（1）中BC长度不变，求点C、A间最远的距离多少米.（结果保留根号）【答案】（1）解：如图：由题意得：∠MAB=45°，∠C=90°，AB=4m，∴BC=AB⋅sin答：BC的长为22（2）解：如图：由题意得，∠MAB=30°，∠ABC=105°时，伸展到最远，过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D，在Rt△ABD中，∠MAB=30°，AB=4m，∴AD=AB⋅cos∵∠MAB=30°，BD⊥MN，∴∠ABD=60°，∵∠ABC=105°，∴∠CBD=45°，在Rt△CBD中，∠CBD=45°，BC=22∴CD=BC⋅cos∴AC=CD+AD=(2+23∴点C、A间最远的距离为2+23【解析】【分析】（1）根据∠MAB的正弦函数的概念就可求出BC；

（2）由题意得∠MAB=30°，∠ABC=105°时，伸展到最远，过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D，根据三角函数的概念可得AD、CD，然后根据AC=CD+AD进行计算.24．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，PC为⊙O的切线，C为切点，点E在⊙O上，AC=CE.连接BE.（1）求证：BE⊥PC；（2）若AC=4，AB=25，求BE【答案】（1）证明：连接OC，OE，∵AC=CE，OC=OC，OA=OE，∴△AOC≌△EOC(SSS)，∴∠ACO=∠ECO，∵AC=EC，∴OC⊥AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OC，∵PC切⊙O于C，∴OC⊥PC，∴BE⊥PC；（2）解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，