理科乙卷数学试题及答案

理科乙卷数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[5]分，共[20]分）

1.若函数\(f(x)=2x^2-3x+1\)在\(x=1\)处取得极值，则此极值为：

A.0

B.-1

C.2

D.1

2.下列数列中，哪一项不是等差数列？

A.1,4,7,10,...

B.3,6,9,12,...

C.2,6,18,54,...

D.5,10,15,20,...

3.若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，且\(a,b,c,d\)均不为零，则下列等式正确的是：

A.\(ad=bc\)

B.\(ab=cd\)

C.\(a+b=c+d\)

D.\(a-b=c-d\)

4.在直角坐标系中，点\(A(2,3)\)关于直线\(y=x\)的对称点坐标为：

A.(3,2)

B.(2,3)

C.(3,3)

D.(2,2)

5.若\(\sinA=\frac{1}{2}\)，则\(\cos2A\)的值为：

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{3}{4}\)

C.\(\frac{1}{4}\)

D.\(-\frac{1}{2}\)

二、填空题（每题[5]分，共[20]分）

6.若\(\sqrt{3x-1}=2-x\)，则\(x\)的值为_______。

7.在等差数列\(3,6,9,...\)中，第10项的值为_______。

8.若\(a,b,c\)是等比数列，且\(a+b+c=21\)，\(ab+bc+ca=99\)，则\(abc\)的值为_______。

9.在直角坐标系中，点\(P(1,2)\)到直线\(2x-3y+6=0\)的距离为_______。

10.若\(\tanA=3\)，则\(\sinA\)的值为_______。

三、解答题（每题[10]分，共[30]分）

11.已知函数\(f(x)=x^3-3x+2\)，求\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)。

12.解方程组：\(\begin{cases}2x+3y=6\\x-y=1\end{cases}\)。

13.若\(\sinA=\frac{3}{5}\)，\(\cosB=\frac{4}{5}\)，求\(\sin(A+B)\)的值。

四、解答题（每题[10]分，共[30]分）

14.已知数列\(\{a_n\}\)为等比数列，且\(a_1=2\)，\(a_3=16\)，求该数列的通项公式\(a_n\)。

15.在三角形ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，且\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\)，求角A的正弦值\(\sinA\)。

16.已知函数\(f(x)=x^2-4x+3\)，求函数\(f(x)\)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

五、证明题（每题[10]分，共[20]分）

17.证明：对于任意实数\(x\)，都有\((x+1)^2\geq4x+1\)。

18.证明：对于任意正整数\(n\)，都有\(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。

六、应用题（每题[10]分，共[20]分）

19.某商品的原价为\(P\)，售价为\(1.2P\)，为了促销，商家决定以\(0.9P\)的价格出售，问售价降低了多少百分比？

20.一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶了2小时后，因故障停车0.5小时，之后以80km/h的速度行驶了1.5小时，求汽车行驶的总路程。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.解析：函数\(f(x)=2x^2-3x+1\)的导数为\(f'(x)=4x-3\)，令\(f'(x)=0\)解得\(x=\frac{3}{4}\)，将\(x=\frac{3}{4}\)代入原函数得\(f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{8}\)，故选A。

2.解析：选项C的数列中，每一项都是前一项的3倍，故不是等差数列。

3.解析：根据等比数列的性质，有\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)可得\(ad=bc\)，故选A。

4.解析：点\(A(2,3)\)关于直线\(y=x\)的对称点坐标为\((3,2)\)，故选A。

5.解析：由\(\sinA=\frac{1}{2}\)可知\(A\)为30°或150°，因此\(\cos2A=\cos60°=\frac{1}{2}\)，故选A。

二、填空题答案及解析思路：

6.解析：将\(\sqrt{3x-1}=2-x\)两边平方得\(3x-1=4-4x+x^2\)，整理得\(x^2-7x+5=0\)，解得\(x=1\)或\(x=5\)。

7.解析：等差数列的通项公式为\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(a_1=3\)，\(d=3\)，代入\(n=10\)得\(a_{10}=3+9\times3=30\)。

8.解析：由等比数列的性质，有\(a\cdota_2=a_2\cdota_3\)，即\(a^2=a_2\cdota_3\)，代入\(a+b+c=21\)和\(ab+bc+ca=99\)可得\(abc=49\)。

9.解析：点到直线的距离公式为\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，代入\(A=2\)，\(B=-3\)，\(C=6\)，\(x_0=1\)，\(y_0=2\)得\(d=\frac{|2\times1-3\times2+6|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\)。

10.解析：由\(\tanA=3\)可得\(\sinA=\frac{3}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)。

三、解答题答案及解析思路：

11.解析：\(f'(x)=3x^2-3\)。

12.解析：将第二个方程\(x-y=1\)代入第一个方程\(2x+3y=6\)得\(2x+3(x-1)=6\)，解得\(x=3\)，代入\(x-y=1\)得\(y=2\)。

13.解析：由\(\sinA=\frac{3}{5}\)和\(\cosB=\frac{4}{5}\)可得\(\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB=\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}+\frac{4}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{24}{25}\)。

四、解答题答案及解析思路：

14.解析：由\(a_3=a_1\cdotr^2\)可得\(16=2\cdotr^2\)，解得\(r=2\)，因此\(a_n=2\cdot2^{n-1}=2^n\)。

15.解析：由余弦定理\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)可得\(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7^2+8^2-5^2}{2\times7\times8}=\frac{1}{2}\)，因此\(\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

16.解析：\(f'(x)=2x-4\)，令\(f'(x)=0\)解得\(x=2\)，代入原函数得\(f(2)=-1\)，故最小值为-1；在区间[1,3]的端点值分别为\(f(1)=0\)和\(f(3)=2\)，故最大值为2。

五、证明题答案及解析思路：

17.解析：将不等式\((x+1)^2\geq4x+1\)展开得\(x^2+2x+1\geq4x+1\)，整理得\(x^2-2x\geq0\)，即\(x(x-2)\geq0\)，故\(x\leq0\)或\(x\geq2\)，因此原不等式成立。

18.解析：当\(n=1\)时，等式成立。假设当\(n=k\)时等式成立，即\(1^2+2^2+3^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)，则当\(n=k+1\)时，等式左边为\(1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2