2024-2025学年北京师大附属实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）

第1页（共1页）2024-2025学年北京师大附属实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（共16分，每题2分）.1．（2分）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元（）A．1.581×109元 B．1.581×1010元 C．5.027×108元 D．5.27×108元3．（2分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（）A． B． C． D．4．（2分）若实数x的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（）A．|x|＝x B．0＜x+1≤2 C．﹣2≤2x≤4 D．0≤x2≤45．（2分）平面直角坐标系中，若点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是（）A．x1＞x2＞0 B．x2＞x1＞0 C．x1＜x2＜0 D．x2＜x1＜06．（2分）不透明的袋子中装有四个小球，上面分别写有数字“1”，“2”，“4”，除数字外这些小球无其他差别．从袋中随机同时摸出两个小球（）A． B． C． D．7．（2分）如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，不一定成立的是（）A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB于点D，BE＝BC．设CD＝h，AD＝m，给出下面三个结论：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2；③AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为．10．（2分）分解因式：x2y﹣12xy+36y＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，CE的延长线交于点F．若AF＝1，AB＝2，则．13．（2分）咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱，咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%，发芽率会逐渐降到75%；从五个月到九个月，结果如下表所示：种子数量n1050150300500800发芽数量m941133261431689发芽率0.90.820.8870.870.8620.861据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是（填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”）．14．（2分）若关于x的方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．15．（2分）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，点O1，O2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O2AC的值为．16．（2分）某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．尺寸数量（个）款式大中小A81525B01020烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为元．三、解答题（共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解．19．（5分）已知x﹣3y﹣2＝0，求代数式的值．20．（5分）如图，点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上，AE＝AD，EG∥BC交AF的延长线于点G，连接DG．（1）求证：四边形AEGD是菱形；（2）若AF＝BF，tan∠AEF＝，AB＝421．（5分）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB的高度，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为BC的长度．通过对示意图的分析讨论，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB的长为x米测量数据（精确到0.1米）如表所示：直杆高度直杆影长CD的长第一次1.00.615.8第二次1.00.720.1（1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是；（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得y＝10，则钟楼的高度约为米．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，1）（0，﹣1）．（1）求该函数解析式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值且大于﹣4，直接写出n的取值范围．23．（6分）商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）a．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：售价涨跌幅＝×100%，成本涨跌幅＝；b．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；c．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：甲商品的成本与售价信息表第一周第二周第三周第四周第五周成本2550254020售价40m45np根据以上信息，回答下列问题：（1）甲商品这五周成本的平均数为，中位数为；（2）表中m的值为，从第三周到第五周，甲商品第周的售价最高；（3）记乙商品这40周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，则（填“＞”“＝”或“＜”）．24．（6分）如图，△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，D在上，BD与AC交于点E，过点A作⊙O的切线（1）求证：AE＝EF；（2）若BC＝4，，求BE的长．25．（6分）已知乒乓球桌的长度为274cm，某人从球桌边缘正上方高18cm处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．（1）建立如图2所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：cm）（单位：cm）近似满足函数关系y＝a（x﹣h1）2+k（a＜0）．乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；水平距离x/cm04080120160竖直高度y/cm1842504218（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.005（x﹣h2）2+8．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1+a，y1），B（b，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上不重合的两点．（1）当a＝1，y1＝y2时，求b的值；（2）若对于2＜b＜3，都有y1＜y2，求a的取值范围．27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC（0°＜a＜360°）得到DC．（1）如图1，若α＝30°，连接AD交BC于点E，求DE的长；（2）如图2，若0°＜α＜90°，CF平分∠BCD交AD于点F，过点C作CG⊥AD，在射线CG上取点G使得∠BGC＝45°，请用等式表示线段CG、CF、BF之间的数量关系并证明；（3）如图3，若BC＝8，点P是线段AB上一动点，连接AQ，M为AQ的中点，请直接写出△ABM的面积．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，且点C关于弦AB的中点M的对称点在⊙O上或其内部，则称点C为弦AB的“α关联点”．（1）已知点．①在点中，点是弦AB的关联点，其中α＝．②若直线y＝﹣x+b上存在AB的“60°关联点”，则b的取值范围是；（2）若点C是AB的“60°关联点”，且OC＝，直接写出弦AB的最大值和最小值．

2024-2025学年北京师大附属实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）参考答案与试题解析题号12345678答案DDCDABDB一、选择题（共16分，每题2分）.1．（2分）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．该图是轴对称图形，故本选项不符合题意；B．该图是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．该图是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．该图既是中心对称图形也是轴对称图形．故选：D．2．（2分）在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元（）A．1.581×109元 B．1.581×1010元 C．5.027×108元 D．5.27×108元【解答】解：∵15.81亿元＝1.581×109元，∴这部电影在上映前三日平均每天的票房为6.581×109÷3＝3.27×108（元）．故选：D．3．（2分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（）A． B． C． D．【解答】解：从左面看，上面部分是矩形，矩形部分有一条看不见的线，故选：C．4．（2分）若实数x的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（）A．|x|＝x B．0＜x+1≤2 C．﹣2≤2x≤4 D．0≤x2≤4【解答】解：∵﹣1＜x≤2，∴当﹣3＜x≤0时，|x|＝﹣x，故选项A错误；∵﹣1＜x≤3，∴0＜x+1≤5，故选项B错误；∵﹣1＜x≤2，∴﹣5＜2x≤4，故选项C错误；∵﹣2＜x≤2，∴0≤x5≤4，故选项D正确；故选：D．5．（2分）平面直角坐标系中，若点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是（）A．x1＞x2＞0 B．x2＞x1＞0 C．x1＜x2＜0 D．x2＜x1＜0【解答】解：解法一：∵反比例函数，∴反比例函数的图象经过一，且在每一象限内，∴A（x1，8）和B（x2，4）都在第一象限，∵7＞2＞0，∴x6＞x2＞0．故选：A．解法二：∵点A（x4，2）和B（x2，4）在反比例函数图象上，∴，，∴，，∵k＞0，∴x1＞x2＞0．故选：A．6．（2分）不透明的袋子中装有四个小球，上面分别写有数字“1”，“2”，“4”，除数字外这些小球无其他差别．从袋中随机同时摸出两个小球（）A． B． C． D．【解答】解：树状图如下所示：，由上可得，一共有12种等可能性，∴这两个小球上的数字之和是5的概率是＝，故选：B．7．（2分）如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，不一定成立的是（）A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C【解答】解：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AE＝BE，∠CBD＝90°，∠CBO＝∠C，故A、B、C不符合题意；故选：D．8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB于点D，BE＝BC．设CD＝h，AD＝m，给出下面三个结论：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2；③AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，∴n2+h2＝a2，∵∠ACB＝90°，∴（m+n）2＝a2+b5，∵a2＜a2+b3，∴n2+h2＜（m+n）7，故①符合题意，∵h2＝mn，∴2h6＝2mn，∵a＜b，a＝，∴m＞n，∴（m﹣n）6＞0，即m2+n3＞2mn，∴m2+n5＞2h2，故②不符合题意，x2+2ax﹣b2＝5，配方得2﹣（a2+b2）＝0，∵a2+b8＝（m+n）2，∴（x+a）2﹣（m+n）6＝0，即（x+a）2＝（m+n）4，∴x＝m+n﹣a或x＝﹣m﹣n﹣a，∵BE＝BC，BC＝a，∴BE＝a，∵AB＝AD+BD＝m+n，∴AE＝m+n﹣a，∴AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b5＝0的一个实数根x＝m+n﹣a，故③符合题意，故选：B．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为x．【解答】解：要使二次根式有意义，解得：x≤，所以实数x的取值范围是x．故答案为：x．10．（2分）分解因式：x2y﹣12xy+36y＝y（x﹣6）2．【解答】解：x2y﹣12xy+36y＝y（x2﹣12x+36）＝y（x﹣5）2，故答案为：y（x﹣6）8．11．（2分）方程的解为x＝1．【解答】解：，方程两边都乘x（x+2），得4x﹣（x+2）＝0，解得：x＝7，检验：当x＝1时，x（x+2）≠6，所以分式方程的解是x＝1．故答案为：x＝1．12．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，CE的延长线交于点F．若AF＝1，AB＝2，则．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD＝AB＝2，∴△FAE∽△CDE，∴＝，∵AF＝1，∴＝．故答案为：．13．（2分）咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱，咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%，发芽率会逐渐降到75%；从五个月到九个月，结果如下表所示：种子数量n1050150300500800发芽数量m941133261431689发芽率0.90.820.8870.870.8620.861据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是三至五个月（填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”）．【解答】解：∵表中种子的发芽率在0.82～0.4之间，∴据此推测这批咖啡树种子的保存时间是三至五个月．故答案为：三至五个月．14．（2分）若关于x的方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是且m≠0．【解答】解：∵关于x的方程mx2+3x﹣3＝0有两个不相等的实数根，∴，解得且m≠0．故答案为：且m≠0．15．（2分）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，点O1，O2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O2AC的值为．【解答】解：如图，连接O2C，过O2点作O8E⊥BC，垂足为E，则O1A＝O1B＝O3C＝a，在Rt△O2CE中，O2C＝a，∠CO2E＝30°，∴EC＝O5C＝a＝BE，O3E＝O8C＝a，∴AE＝8a+a＝a，∴tan∠O2AC＝＝．故答案为：．16．（2分）某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．尺寸数量（个）款式大中小A81525B01020烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用2次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为135元．【解答】解：（1）设烧制这批陶艺品需使用A款电热窑x次，根据题意得：8x≥10，解得：x≥，又∵x为正整数，∴x的最小值为2，∴A款电热窑至少使用2次．故答案为：3；（2）当使用A款电热窑烧制2次时，将第2次的6个大尺寸陶艺品位置替换成10个中尺寸陶艺品，∴还需烧制中尺寸陶艺品50﹣15×2﹣10＝10（个），小尺寸陶艺品76﹣25×2﹣8＝20（个），又∵B款电热窑一次可烧制10个中尺寸陶艺品，20个小尺寸陶艺品，∴还需使用B款电热窑烧制一次，∴此方案所需成本为55×2+25＝135（元）．当A款电热窑使用3次时，所需成本为55×5＝165（元）．∵165＞135，∴烧制这批陶艺品成本最低为135元．故答案为：135．三、解答题（共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．（5分）计算：．【解答】解：原式＝2﹣+5+5＝2﹣+2﹣＝7．18．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解．【解答】解：，由①得：4x+4＞x﹣1，3x＞﹣8，x＞﹣1，由②得：3x≤3，x≤2，∴﹣1＜x≤6，∴x＝0，1，6．19．（5分）已知x﹣3y﹣2＝0，求代数式的值．【解答】解：＝+＝+＝，∵x﹣8y﹣2＝0，∴x﹣2y＝2，∴原式＝＝3．20．（5分）如图，点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上，AE＝AD，EG∥BC交AF的延长线于点G，连接DG．（1）求证：四边形AEGD是菱形；（2）若AF＝BF，tan∠AEF＝，AB＝4【解答】（1）证明：∵AE＝AD，AF⊥BD，∴EF＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵EG∥BC，∴AD∥EG，∴∠GEF＝∠ADF，在△GEF和△ADF中，，∴△GEF≌△ADF（ASA），∴GF＝AF，∵EF＝DF，∴四边形AEGD是平行四边形，∵AE＝AD，∴四边形AEGD是菱形；（2）解：∵AF⊥BD，AF＝BF，∴△AFB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴由勾股定理得，，∵tan∠AEF＝，∴，即，∴EF＝，∵四边形AEGD是菱形，∴AG＝2AF＝，ED＝2EF＝，∴菱形AEGD的面积．21．（5分）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB的高度，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为BC的长度．通过对示意图的分析讨论，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB的长为x米测量数据（精确到0.1米）如表所示：直杆高度直杆影长CD的长第一次1.00.615.8第二次1.00.720.1（1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是y＝0.6x﹣15.8，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是y＝0.7x﹣20.1；（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得y＝10，则钟楼的高度约为43米．【解答】解：（1）由同一时刻测量，可得＝，第一次测量：，化简得，第二次测量：＝，化简得，故答案为：y＝3.6x﹣15.8，y＝2.7x﹣20.1；（2）对于y＝5.6x﹣15.8，代入y＝10，得，7.6x﹣15.8＝10，解得：x＝43，∴钟楼AB＝43米，故答案为：43．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，1）（0，﹣1）．（1）求该函数解析式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值且大于﹣4，直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）把点A（2，1）和B（3，则，解得，∴该函数解析式为y＝x﹣5；（2）由y＝x﹣1知，当x＝﹣2时；在平面直角坐标系中画出直线y＝x﹣3和满足条件的直线y＝x+n∵当x＞﹣6时，函数y＝，∴当y＝x+n过点（﹣2，∴×（﹣2）+n＝﹣8，解得m＝﹣2；∵当x＞﹣2时，函数y＝，∴当y＝x+n过点（﹣2，∴×（﹣2）+n＝﹣4，解得n＝﹣5，综上所述，满足条件的n的取值范围为﹣3≤n≤﹣2．23．（6分）商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）a．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：售价涨跌幅＝×100%，成本涨跌幅＝；b．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；c．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：甲商品的成本与售价信息表第一周第二周第三周第四周第五周成本2550254020售价40m45np根据以上信息，回答下列问题：（1）甲商品这五周成本的平均数为32，中位数为25；（2）表中m的值为60，从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高；（3）记乙商品这40周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，则＞（填“＞”“＝”或“＜”）．【解答】（1）解：由题意知，成本从小到大依次排序为20，25，50；∴甲商品这五周成本的平均数为＝32，中位数为第3个位置的数即中位数是25，故答案为：32，25；（2）解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为，∴第二周售价的涨跌幅为×100%＝100%×，解得，m＝60；同理，第四周成本的涨跌幅为60%×100%＝60%×，解得，n＝58.5；第五周成本的涨跌幅为﹣50%，第五周售价的涨跌幅为，解得，p＝43.875；∵43.875＜45＜58.5，∴从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高，故答案为：60，四；（3）解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，∴＞，故答案为：＞．24．（6分）如图，△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，D在上，BD与AC交于点E，过点A作⊙O的切线（1）求证：AE＝EF；（2）若BC＝4，，求BE的长．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，∴AB是⊙O的直径，∵AF与⊙O相切于点A，∴AF⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵BD＝AC，∴＝，∴＝，∴＝，∴∠EAB＝∠EBA，∵∠EAB+∠EAF＝90°，∠EBA+∠F＝90°，∴∠EAF＝∠F，∴AE＝EF．（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADF＝∠ADB＝90°，由（1）得＝，∠EAB＝∠EBA，∴BC＝AD＝4，BE＝AE＝EF∵AF＝2，∴DF＝＝＝2，∵∠ADF＝∠BAF＝90°，∠F＝∠F，∴△ADF∽△BAF，∴＝，∴BF＝＝＝10，∴BE＝BF＝5，∴BE的长是5．25．（6分）已知乒乓球桌的长度为274cm，某人从球桌边缘正上方高18cm处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．（1）建立如图2所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：cm）（单位：cm）近似满足函数关系y＝a（x﹣h1）2+k（a＜0）．乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；水平距离x/cm04080120160竖直高度y/cm1842504218（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.005（x﹣h2）2+8．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．【解答】解：（1）由表中数据可知，乒乓球竖直高度的最大值为50cm，h1＝80，k＝50；∴y与x的函数关系式为y＝a（x﹣80）2+50，把（3，18）代入函数解析式得：18＝a×802+50，解得a＝﹣0.005，∴y与x的函数关系式为y＝﹣7.005（x﹣80）2+50；（2）令y＝0，则﹣6.005（x﹣80）2+50＝0，解得x＝180或x＝﹣20（舍去），∴球第一次落在球桌面上的点为（180，4），把（180，0）代入y＝﹣0.005（x﹣h5）2+8得：﹣2.005（180﹣h2）2+5＝0，解得h2＝140（舍去）或h5＝220，∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.005（x﹣220）2+8，当y＝0时，0＝﹣2.005（x﹣220）2+8，解得x＝260或x＝180（舍去），∵260＜274，∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1+a，y1），B（b，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上不重合的两点．（1）当a＝1，y1＝y2时，求b的值；（2）若对于2＜b＜3，都有y1＜y2，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（1+a，y1），B（b，y5）是抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠3）上不重合的两点．∴当y1＝y2时，则点A（6+a，y1），B（b，y2）关于对称轴对称，∵抛物线y＝ax7﹣2ax（a≠0）对称轴为直线x＝﹣＝1，∴，∵a＝4，∴b＝0；（2）∵抛物线对称轴为x＝1，∴点A（7+a，y1）关于对称轴的对称点为（1﹣a，y4），∵对于2＜b＜3，都有y7＜y2，∴当a＞0时，抛物线开口向上，y2）在对称轴直线x＝1的右侧，则1+a≤4，解得a≤1，∴0＜a≤3，当a＜0时，抛物线开口向下，y1）在对称轴直线x＝6的左侧，则1﹣a≥3，解得a≤﹣4，综上，a的取值范围是a≤﹣2或0＜a≤5．27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC（0°＜a＜360°）得到DC．（1）如图1，若α＝30°，连接AD交BC于点E，求DE的长；（2）如图2，若0°＜α＜90°，CF平分∠BCD交AD于点F，过点C作CG⊥AD，在射线CG上取点G使得∠BGC＝45°，请用等式表示线段CG、CF、BF之间的数量关系并证明；（3）如图3，若BC＝8，点P是线段AB上一动点，连接AQ，M为AQ的中点，请直接写出△ABM的面积．【解答】解：（1）由旋转可得∠BCD＝α＝30°，CB＝CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∠ACD＝90°+30°＝120°，∴∠CAD＝∠CDA＝∠BCD＝30°，∴DE＝EC，AE＝2EC，在Rt△AEC中，AC2+EC3＝AE2，∴68+EC2＝（2EC）8，∴，∴；（2）；证明：连接BD，AD与CG交于点O，由旋转可得∠BCD＝α，CB＝CD＝CA，∴∠CBD＝∠CDB＝90°﹣α，∠ACD＝90°+α，∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF＝，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴BF＝DF，∴∠FDB＝∠FBD，∵CG⊥AD，∴∠GOD＝∠FOC＝90°，∠ACG＝∠DCG＝α，∴∠OCF＝∠DCG﹣∠FCD＝45°+α﹣，∴∠OCF＝∠OFC＝45°，∴△OFC是等腰直角三角形，∴，∵，∴∠FDB＝∠CDB﹣∠FDC＝（90°﹣α）﹣（45°﹣，∴∠FDB＝∠FBD＝45°，∵∠BGC＝45°，∠GOD＝90°，∴G、B、D三点共线，∴OG＝OD，∴CG＝OG+OC＝OD+OC＝OF+FD+OC＝CF+，整理得；（3）如图3，过P作PH⊥AC交AC于H，过Q作QH⊥PH交PH于G，延长CB至E，过A作AF⊥QG交QG于F，∵将CP绕点P逆时针旋转90°得到QP，∴CP＝QP，∠CP