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文档简介
淮安三模数学试题及答案姓名:____________________
一、选择题(每题5分,共50分)
1.下列各数中,有最小整数解的是()
A.√(2-√3)
B.√(2+√3)
C.√(3-√2)
D.√(3+√2)
2.函数y=kx+b中,k和b分别表示()
A.函数的斜率和截距
B.函数的周期和振幅
C.函数的对称轴和焦点
D.函数的顶点和渐近线
3.下列方程中,只有一个实数根的是()
A.x^2-2x+1=0
B.x^2+2x+1=0
C.x^2-4x+4=0
D.x^2+4x+4=0
4.若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则第10项与第5项的差是()
A.5d
B.4d
C.6d
D.7d
5.若不等式|x-3|≤2的解集为()
A.[-1,5]
B.[1,5]
C.[-1,3]
D.[1,3]
二、填空题(每题5分,共25分)
1.若a=(1+√3)/2,b=(1-√3)/2,则a^2+b^2=______。
2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是______。
3.等差数列{an}的前10项和为100,公差为5,则第20项为______。
4.若二次方程x^2-5x+6=0的两根分别为1和6,则方程x^2-5x+k=0有实数根的k的取值范围是______。
5.在平面直角坐标系中,点P(3,4)关于直线y=x对称的点是______。
三、解答题(每题20分,共80分)
1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),若f(1)=3,f(-1)=1,f(2)=0,求a,b,c的值。
2.设a,b,c是等差数列的三项,且a+b+c=12,求ab+bc+ac的值。
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=n^2-3n,求an的表达式。
4.已知等差数列{an}的公差为d,且a1=2,若an≥0对所有正整数n成立,求d的取值范围。
5.已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2在区间[0,2a]上的最大值为a,求a的值。
四、解答题(每题20分,共80分)
1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),若f(1)=3,f(-1)=1,f(2)=0,求a,b,c的值。
解:由题意得方程组:
a+b+c=3
a-b+c=1
4a+2b+c=0
解得a=1,b=1,c=1。
2.设a,b,c是等差数列的三项,且a+b+c=12,求ab+bc+ac的值。
解:由等差数列的性质知,b=(a+c)/2,代入a+b+c=12得a+(a+c)/2+c=12,化简得3a+3c=24,即a+c=8。所以ab+bc+ac=(a+b+c)(a+c)-3bc=12*8-3bc=96-3bc。由于a,b,c是等差数列的三项,bc=(b+c)(b-c)=(a+c)(a-c)=8(a-c)。因此,ab+bc+ac=96-24(a-c)。由于a+c=8,得a-c=0,所以ab+bc+ac=96。
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=n^2-3n,求an的表达式。
解:由数列的前n项和与通项的关系得an=Sn-Sn-1=(n^2-3n)-[(n-1)^2-3(n-1)]=n^2-3n-(n^2-2n+1-3n+3)=2n-4。因此,an的表达式为an=2n-4。
4.已知等差数列{an}的公差为d,且a1=2,若an≥0对所有正整数n成立,求d的取值范围。
解:由等差数列的通项公式得an=a1+(n-1)d=2+(n-1)d。由于an≥0对所有正整数n成立,所以2+(n-1)d≥0。当n=1时,2≥0,显然成立。当n>1时,(n-1)d≥-2,即d≥-2/(n-1)。由于n是正整数,d的取值范围是d≥-2。
5.已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2在区间[0,2a]上的最大值为a,求a的值。
解:函数f(x)=x^2-2ax+a^2是一个开口向上的抛物线,其对称轴为x=a。当x=a时,f(x)取得最小值a^2-2a^2+a^2=a。由于题目要求在区间[0,2a]上的最大值为a,所以当x=0或x=2a时,f(x)取得最大值a。因此,a=f(0)=0或a=f(2a)=(2a)^2-2a(2a)+a^2=a^2。解得a=0或a=1。
五、解答题(每题20分,共80分)
1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),若f(1)=3,f(-1)=1,f(2)=0,求a,b,c的值。
解:由题意得方程组:
a+b+c=3
a-b+c=1
4a+2b+c=0
解得a=1,b=1,c=1。
2.设a,b,c是等差数列的三项,且a+b+c=12,求ab+bc+ac的值。
解:由等差数列的性质知,b=(a+c)/2,代入a+b+c=12得a+(a+c)/2+c=12,化简得3a+3c=24,即a+c=8。所以ab+bc+ac=(a+b+c)(a+c)-3bc=12*8-3bc=96-3bc。由于a,b,c是等差数列的三项,bc=(b+c)(b-c)=(a+c)(a-c)=8(a-c)。因此,ab+bc+ac=96-24(a-c)。由于a+c=8,得a-c=0,所以ab+bc+ac=96。
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=n^2-3n,求an的表达式。
解:由数列的前n项和与通项的关系得an=Sn-Sn-1=(n^2-3n)-[(n-1)^2-3(n-1)]=n^2-3n-(n^2-2n+1-3n+3)=2n-4。因此,an的表达式为an=2n-4。
4.已知等差数列{an}的公差为d,且a1=2,若an≥0对所有正整数n成立,求d的取值范围。
解:由等差数列的通项公式得an=a1+(n-1)d=2+(n-1)d。由于an≥0对所有正整数n成立,所以2+(n-1)d≥0。当n=1时,2≥0,显然成立。当n>1时,(n-1)d≥-2,即d≥-2/(n-1)。由于n是正整数,d的取值范围是d≥-2。
5.已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2在区间[0,2a]上的最大值为a,求a的值。
解:函数f(x)=x^2-2ax+a^2是一个开口向上的抛物线,其对称轴为x=a。当x=a时,f(x)取得最小值a^2-2a^2+a^2=a。由于题目要求在区间[0,2a]上的最大值为a,所以当x=0或x=2a时,f(x)取得最大值a。因此,a=f(0)=0或a=f(2a)=(2a)^2-2a(2a)+a^2=a^2。解得a=0或a=1。
六、解答题(每题20分,共80分)
1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),若f(1)=3,f(-1)=1,f(2)=0,求a,b,c的值。
解:由题意得方程组:
a+b+c=3
a-b+c=1
4a+2b+c=0
解得a=1,b=1,c=1。
2.设a,b,c是等差数列的三项,且a+b+c=12,求ab+bc+ac的值。
解:由等差数列的性质知,b=(a+c)/2,代入a+b+c=12得a+(a+c)/2+c=12,化简得3a+3c=24,即a+c=8。所以ab+bc+ac=(a+b+c)(a+c)-3bc=12*8-3bc=96-3bc。由于a,b,c是等差数列的三项,bc=(b+c)(b-c)=(a+c)(a-c)=8(a-c)。因此,ab+bc+ac=96-24(a-c)。由于a+c=8,得a-c=0,所以ab+bc+ac=96。
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=n^2-3n,求an的表达式。
解:由数列的前n项和与通项的关系得an=Sn-Sn-1=(n^2-3n)-[(n-1)^2-3(n-1)]=n^2-3n-(n^2-2n+1-3n+3)=2n-4。因此,an的表达式为an=2n-4。
4.已知等差数列{an}的公差为d,且a1=2,若an≥0对所有正整数n成立,求d的取值范围。
解:由等差数列的通项公式得an=a1+(n-1)d=2+(n-1)d。由于an≥0对所有正整数n成立,所以2+(n-1)d≥0。当n=1时,2≥0,显然成立。当n>1时,(n-1)d≥-2,即d≥-2/(n-1)。由于n是正整数,d的取值范围是d≥-2。
5.已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2在区间[0,2a]上的最大值为a,求a的值。
解:函数f(x)=x^2-2ax+a^2是一个开口向上的抛物线,其对称轴为x=a。当x=a时,f(x)取得最小值a^2-2a^2+a^2=a。由于题目要求在区间[0,2a]上的最大值为a,所以当x=0或x=2a时,f(x)取得最大值a。因此,a=f(0)=0或a=f(2a)=(2a)^2-2a(2a)+a^2=a^2。解得a=0或a=1。
试卷答案如下:
一、选择题
1.B
解析思路:选项B的数值是最大的,因为√(2+√3)>√(3)>1,所以2+√3>3>1,从而选项B的数值最大。
2.A
解析思路:函数y=kx+b表示直线,其中k是直线的斜率,b是直线与y轴的交点,即截距。
3.A
解析思路:方程x^2-2x+1=0可以分解为(x-1)^2=0,所以只有一个实数根x=1。
4.B
解析思路:等差数列的第n项an=a1+(n-1)d,第10项与第5项的差为(10-1)d-(5-1)d=4d。
5.A
解析思路:不等式|x-3|≤2的解集是x在3的左右各2个单位内,即1≤x≤5。
二、填空题
1.3
解析思路:a^2+b^2=[(1+√3)/2]^2+[(1-√3)/2]^2=(1+2√3+3)/4+(1-2√3+3)/4=4/4=1。
2.3
解析思路:函数y=|x-1|+|x+2|的最小值出现在x=-2或x=1时,此时y=3。
3.14
解析思路:等差数列的前n项和Sn=n(a1+an)/2,已知Sn=n^2-3n,代入公式得n(a1+an)=2Sn=2(n^2-3n),又an=a1+(n-1)d,代入得a1+a1+(n-1)d=2n^2-6n,化简得2a1+(n-1)d=2n^2-6n,又a1=2,d=5,代入得4+5(n-1)=2n^2-6n,化简得2n^2-11n+9=0,解得n=9/2,所以第20项为a1+19d=2+19*5=97。
4.(-1,+∞)
解析思路:由韦达定理,方程x^2-5x+k=0的两根之和为5,两根之积为k,因此两根一正一负。当x=0时,k>0;当x=1时,k≥0,所以k的取值范围是(-1,+∞)。
5.(4,3)
解析思路:点P(3,4)关于直线y=x对称的点是(4,3),因为交换x和y的值即可得到对称点。
三、解答题
1.a=1,b=1,c=1
解析思路:利用待定系数法,将f(1),f(-1),f(2)的值代入函数表达式中,得到三个方程,解方程组即可得到a,b,c的值。
2.ab+bc+ac=96
解析思路:利用等差数列的性质,将b表示为a和c的函数,然后代入求和公式中,得到关于a和c的方程,解方程即可得到ab+bc+ac的值。
3.an=2n-4
解析思路:根据数列的前n项和Sn与通项的关系,将Sn表达式代入通项公式中,化简得到an的表达式。
4.d≥-2
解析思路:利用等差数列的通项公式和an≥0的条件,解不等式得到d的取值范围。
5.a=0或a=1
解析思路:由于函数f(x)=x^2-2ax+a^2是一个开口向上的抛物线,最大值出现在对称轴x=a处,将a代入函数表达式中得到最大值,根据题目条件得到a的取值。
四、解答题
1.a=1,b=1,c=1
解析思路:利用待定系数法,将f(1),f(-1),f(2)的值代入函数表达式中,得到三个方程,解方程组即可得到a,b,c的值。
2.ab+bc+ac=96
解析思路:利用等差数列的性质,将b表示为a和c的函数,然后代入求和公式中,得到关于a和c的方程,解方程即可得到ab+bc+ac的值。
3.an=2n-4
解析思路:根据数列的前n项和Sn与通项的关系,将Sn表达式代入通项公式中,化简得到an的表达式。
4.d≥-2
解析思路:利用等差数列的通项公式和an≥0的条件,解不等式得到d的取值范围。
5.a=0或a=1
解析思路:由于函数f(x)=x^2-2ax+a^2是一个开口向上的抛物线,最大值出现在对称轴x=a处,将a代入函数表达式中得到最大值,根据题目条件得到a的取值。
五、解答题
1.a=1,b=1,c=1
解析思路:利用待定系数法,将f(1),f(-1),f(2)的值代入函数表达式中,得到
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