2024-2025学年下学期高一数学第六章B卷

第42页（共42页）第六章B卷一．选择题（共8小题）1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若4c2+b2＝4absinC，b＝1，则△ABC的面积是（）A．18 B．14 C．12 2．锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，若b+2acosB＝2c，且a=7，b＝A．A=π3 BC．S△ABC=3323．在平行四边形ABCD中，已知E，F分别为CD，AD的中点，直线BE，CF交于O，若AB→=aA．12a→+34b→ B．34．点A为曲线y=x+1xA．4 B．22-1 C．225．设向量α→，β→的夹角为θ，定义：α→⊗β→=|α→||β→A．2 B．1+32 C．3 D6．在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，D为AB的中点，P为线段CD上的一个动点，则(PAA．﹣6 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣27．在梯形ABCD中，满足AD∥BC，AD＝2，BC＝6，AB→⋅DC→A．4 B．6 C．10 D．128．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且BD＝3BC，则AD→A．4AC→-3AB→ B．3AC→-2AB→ C二．多选题（共4小题）（多选）9．如图，在边长为6的等边△ABC中，CD→=2DB→，AE→=ED→，点A．AB→B．PA→C．BE→D．AD→在AB→（多选）10．下列说法正确的是（）A．函数f(x)=cos(B．若a→=(1，1)，a→⋅bC．P是抛物线y2＝2x上一点，A（1，0），则|PA|的最小值为1 D．已知两直线l1：mx+2y﹣1＝0与l2：x+（m﹣1）y+1＝0，则“m＝2”是“l1，l2互相平行”的充分不必要条件（多选）11．在△ABC中，C=A．sinB=B．tanA＝2 C．BA→在BC→方向上的投影向量为D．若|AC→（多选）12．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是由德国机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长2为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，则（）A．莱洛三角形的周长为2π B．以此莱洛三角形为底面做一个侧面与底面垂直且高为10的柱形几何体，则该几何体的体积为20πC．点P为弧AB上的一点，则PA→⋅(D．点P为莱洛三角形曲边上的一动点，则PA→⋅(PA三．填空题（共5小题）13．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，在AD上取一点M，在AB上取一点P，使得AP＝2，AM=13AD，过M点作MN∥AB交BC于N点，若线段MN上存在一动点E，线段CD上存在一动点（i）若ME=13MN，用向量AB→，AD→表示向量PE→（ii）若PE→⋅PF→=4，则|PE→+14．甲同学碰到一道缺失条件的问题：“在△ABC中，已知a＝4，A＝30°，试判断此三角形解的个数．“查看标准答案发现该三角形有一解．若条件中缺失边c，那么根据答案可得所有可能的c的取值范围是．15．钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC=2，则AC＝16．已知三角形ABC的外接圆半径为1，外接圆圆心为O，且O点满足2OA→+3OB→+2OC→=017．如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，M为直线AE与DC的交点，N为直线AF与BD的交点，若AD＝3，AB＝4，∠BAD=π3，且DE→=12DO→，CF→=12CB→，AM→=四．解答题（共5小题）18．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+b＝2ccosB．（1）若C=π2（2）若a＝1，b＝3，求c．19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA2（cosA2-3sinA2）+cosA2（（1）求A；（2）若a＝2，cosA+cos（B﹣C）=2sin2BsinC，求△ABC20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=33atan（1）求角C；（2）若b＝4a，△ABC的面积为43，求cos（2A+C）．21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin2A＝sinA．（1）求角A的大小；（2）已知a=19，c＝3，求△22．如图，在△ABC中，AB＝2，cosB=13，点D在线段（Ⅰ）若∠ADC=3π4（Ⅱ）若BD＝2DC，△ACD的面积为223，求sin∠

第六章B卷参考答案与试题解析题号12345678答案BDBCBBCB一．选择题（共8小题）1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若4c2+b2＝4absinC，b＝1，则△ABC的面积是（）A．18 B．14 C．12 【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】B【分析】由题意及余弦定理得4a2﹣4a（sinC+2cosC）+5＝0，由判别式大于等于0，可得sinC，cosC的关系，再由角C的范围，可得sinC的值，丙求出a的值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积．【解答】解：由b＝1及4c2+b2＝4absinC可得4c2+1＝4asinC，又余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcosC，则4（a2+1﹣2acosC）+1＝4asinC，整理可得：4a2﹣4a（sinC+2cosC）+5＝0，所以Δ＝16（sinC+2cosC）2﹣80⩾0，即（sinC+2cosC）2⩾5，可得sinC+2cosC≥5或sinC+2cosC≤-即sin（C+φ）≥1或sin（C+φ）≤﹣1，cosφ=1在△ABC中，C∈（0，π），φ∈（0，π2可得C+φ=π2，所以C=所以sinC＝cosφ=1此时Δ＝0，此时4a2﹣4a×5+5＝解得a=5又因为b＝1，所以S△ABC=12absinC=1故选：B．【点评】本题考查三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，考查转化思想，属于中档题．2．锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，若b+2acosB＝2c，且a=7，b＝A．A=π3 BC．S△ABC=332【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；运算求解．【答案】D【分析】根据正弦定理与三角恒等变换公式化简所给等式，得到sinB＝2cosAsinB，由此算出cosA=12，可得角A=π3；然后根据余弦定理列式，结合△ABC为钝角三角形求出c＝2，由三角形的面积公式算出S△ABC=332；进而根据S△ABD+S△ACD【解答】解：由b+2acosB＝2c，根据正弦定理得sinB+2sinAcosB＝2sinC，因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以sinB+2sinAcosB＝2（sinAcosB+cosAsinB），整理得sinB＝2cosAsinB，结合△ABC中，sinB≠0，可得1＝2cosA，即cosA=1因为A∈（0，π），所以A=π由余弦定理，可得a2＝b2+c2﹣2bccosπ3，即7＝9+c2﹣3c，整理得c2﹣3c+2＝0，解得c＝1或2当c＝1时，由a2+c2＝8＜b2，可知cosB=a2+c当c＝2时，a2+c2＝11＞b2，此时最大角B满足cosB＞0，B为锐角，△ABC是锐角三角形．综上所述，c＝2，△ABC的面积S=12bcsinA因为A=π3，角A的平分线交BC于点D，所以∠DAC＝∠DAB由S△ABD+S△ACD＝S△ABC，可得12AB•ADsinπ6+12AC即14c•AD+14b•AD=332，可得14AD（b+由以上的分析，对照各个选项可知A、B、C均正确，D项错误．故选：D．【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．3．在平行四边形ABCD中，已知E，F分别为CD，AD的中点，直线BE，CF交于O，若AB→=aA．12a→+34b→ B．3【考点】用平面向量的基底表示平面向量．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】设BO→=λBE→，用AF【解答】解：因为E，F分别为CD，AD的中点，直线BE，CF交于O，且AB→故设BO→所以AO=a又因为b→所以AO→因为F，O，C三点共线，所以1-λ2所以AO→故选：B．【点评】本题考查平面向量的线性运算与向量共线定理的应用，属于中档题．4．点A为曲线y=x+1xA．4 B．22-1 C．22【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】由平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，结合基本不等式的应用求解．【解答】解：设平面直角坐标系的原点为O，则AB=AO=AO设A(则|AO|2则AB→⋅AC故选：C．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．5．设向量α→，β→的夹角为θ，定义：α→⊗β→=|α→||β→A．2 B．1+32 C．3 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用；运算求解；新定义类．【答案】B【分析】设a→=OA→，b→=OB→，则BA→=a→-b→，在△OAB中，OA＝1，∠OBA=π【解答】解：设a→=OA→，因为|a→|=1，a→-b→与b→的夹角为5π由正弦定理，可得△OAB外接圆的半径R满足2R=|OA→|sinπ点B为圆上与O、A两点不重合的动点，设∠AOB＝θ（0＜由正弦定理，可得AB＝2Rsinθ＝2sinθ，OB＝2Rsin（5π6-θ）＝2sin（所以a→⊗b→=|OA→|•|OB→|sinθ＝2S△=2sinθsin=1所以当2θ-π3=π2故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理与三角形面积公式、三角恒等变换公式、三角函数的最值等知识，属于中档题．6．在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，D为AB的中点，P为线段CD上的一个动点，则(PAA．﹣6 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】求出等腰Rt△ABC的斜边AB上的中线AD=22，然后根据三角形中线的性质，化简出(PA→+PB→)⋅PC→=2PD→•PC→，设|【解答】解：根据题意，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，所以AB=42，结合D为AB的中点，可得CD=12△ABP中，PD为AB边上的中线，所以PA→+PB设|PD→|＝x（0≤x≤22），则|PC→可得(PA→+PB→)⋅PC→=2PD→•PC→=-由二次函数的性质，可知：当x=2时，2x2-42x所以当x=2时，即P为CD的中点时，(PA→故选：B．【点评】本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的数量积、二次函数的最值求法等知识，属于中档题．7．在梯形ABCD中，满足AD∥BC，AD＝2，BC＝6，AB→⋅DC→A．4 B．6 C．10 D．12【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】由向量线性运算得AB→+CD【解答】解：∵AB→+BC∴AC=AB=BC=-=-＝﹣62+6×2+34＝10．故选：C．【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．8．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且BD＝3BC，则AD→A．4AC→-3AB→ B．3AC→-2AB→ C【考点】用平面向量的基底表示平面向量；平面向量的数乘与线性运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据BD→=3BC→，利用平面向量的减法法则化简得AD→-AB→=3【解答】解：由BD＝3BC，得BD→结合BD→=AD可得AD→-AB→=3（AC→-故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则及其应用，考查了概念的理解能力，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．如图，在边长为6的等边△ABC中，CD→=2DB→，AE→=ED→，点A．AB→B．PA→C．BE→D．AD→在AB→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量的数乘与线性运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解．【解答】解：在边长为6的等边△ABC中，CD→=2DB→，AE→=ED→，点对于A，AC→⋅即A正确；对于B，点P在以AB为直径的半圆上（不含点A，B），则PA⊥PB，即PA→即B正确；对于C，由题意可得：BE→即C错误；对于D，过D作DF⊥AB，过C作CH⊥AB，由题意可得：BFBH则BFAB即AFAB即AD→在AB→上的投影向量为即D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．（多选）10．下列说法正确的是（）A．函数f(x)=cos(B．若a→=(1，1)，a→⋅bC．P是抛物线y2＝2x上一点，A（1，0），则|PA|的最小值为1 D．已知两直线l1：mx+2y﹣1＝0与l2：x+（m﹣1）y+1＝0，则“m＝2”是“l1，l2互相平行”的充分不必要条件【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的数量投影．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】BC【分析】对于A，先化简，再利用奇偶性的定义判断即可；对于B，b→往a→方向上的投影长为a→⋅b→|a→|，据此求解即可；对于C，假设P的坐标，运用两点间的距离公式求出|PA|，再利用不等式求解即可；对于【解答】解：对于A，∵f(x)=cos(显然f（x）是奇函数，故A错误；对于B，b→往a→方向上的投影长为故B正确；对于C，设P（x0，y0），其中y0∴|PA|=(x0-即|PA|的最小值为1，故C正确；对于D，∵l1，l2互相平行，∴m（m﹣1）＝2且m≠﹣1，解得m＝2，又m＝2时，l1：2x+2y﹣1＝0与l2：x+y+1＝0显然平行，∴“m＝2”为“l1，l2互相平行”的充要条件，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．（多选）11．在△ABC中，C=A．sinB=B．tanA＝2 C．BA→在BC→方向上的投影向量为D．若|AC→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量．【专题】转化思想；综合法；解三角形；直线与圆；运算求解．【答案】AC【分析】根据（AB→+3AC→）•BC→=0，利用平面向量的线性运算法则与数量积的运算性质，算出|CB→|2＝4CA→•CB→，由此化简出a=22b，然后根据正弦定理与三角恒等变换公式算出sinB的值，即可判断出A项的正误；根据同角三角函数的关系算出tanB=13，结合C＝45°，利用两角差的正切公式求出tanA，即可判断出B项的正误；利用余弦定理算出c=5b，结合a=22b且cosB=31010，运用投影向量的公式算出BA【解答】解：对于A，（AB→+3AC→）•BC→=0，即[（CB→-CA→）﹣3CA→]•（-整理得|CB→|2＝4CA→•CB→，即a2＝4abcosC，结合C＝45°，化简得a根据正弦定理，可得sinA=22sinB，即sin（B+C）=22sin所以sinBcosC+cosBsinC=22sinB，即22sinB+22cosB整理得cosB＝3sinB，结合sin2B+cos2B＝1，B∈（0，π），解得sinB=1010，故对于B，由A项的分析，可得tanB=sinB结合C＝45°，可得tanA＝tan（135°﹣B）=-1-13对于C，由a=22b，C＝45°，根据余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcos45°＝5b2，所以c=5由A的结论，可知cosB＝3sinB=3所以BA→在BC→方向上的投影向量为BA→对于D，由B项的分析，可知tanA＝﹣2＜0，所以角A为钝角，cosA＜0，因此，AB→•AC→=|AB→|•|AC→|cosA＜0，当|AC→|=2时，不可能有故选：AC．【点评】本题主要考查向量数量积的运算、投影向量的定义、正弦定理与余弦定理等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．（多选）12．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是由德国机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长2为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，则（）A．莱洛三角形的周长为2π B．以此莱洛三角形为底面做一个侧面与底面垂直且高为10的柱形几何体，则该几何体的体积为20πC．点P为弧AB上的一点，则PA→⋅(D．点P为莱洛三角形曲边上的一动点，则PA→⋅(PA→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；组合几何体的面积、体积问题．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】ABD【分析】每段圆弧的长度为圆周长的16，计算三段圆弧总长度即可判断选项A先求出底面积为三个扇形的面积减去两个正三角形的面积，然后求体积即可判断选项B；设D为BC的中点，E为AD的中点，PA→⋅(因为点P为莱洛三角形曲边上的一动点，所以需要讨论点P在哪一条弧上，每一种情况将原式中的向量利用向量的运算转化为共起点且已知长度和角度的向量，再设出唯一变化的角∠PCA或∠PAC，进而利用数量积运算表示成该角的三角函数，借助辅助角公式求出最值即可判断选项D．【解答】③解：每段圆弧的长度为圆周长的16三段圆弧的总长度为3×所以莱洛三角形的周长为2π，故A正确；该几何体底面积为三个扇形的面积减去两个正三角形的面积，正三角形的面积为12×2×3故扇形的面积为16所以该几何体底面积为：3×故体积为(2π-2设D为BC的中点，E为AD的中点，如图所示，则PA2(PE在正三角形ABC中，AD=AB所以PA→因为CE=CD所以PA→⋅(PB→当点P落在圆弧AB上时，CP长度恒为半径2，设∠PCA＝θ，0≤原式PA（CA→-CP→）•（CA→+CA→2×2+2×2cosπ3-4×2×2cosθ﹣2×2cos（π3-θ）+3×18-其中tanθ=93又因为0≤θ≤所以当θ+φ=当点P落在圆弧BC上时，AP长度恒为半径2，设∠PAC＝α，0≤原式PA-AP-212-43所以π3≤α原式取最小值12-43故原式取最小值18-421故选：ABD．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质，属于中档题．三．填空题（共5小题）13．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，在AD上取一点M，在AB上取一点P，使得AP＝2，AM=13AD，过M点作MN∥AB交BC于N点，若线段MN上存在一动点E，线段CD上存在一动点（i）若ME=13MN，用向量AB→，AD→表示向量PE→（ii）若PE→⋅PF→=4，则|PE→+【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】数形结合；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（i）-1（ii）25【分析】（i）根据矩形的性质、平面向量的线性运算法则，求出用向量AB→，AD→表示向量（ii）由（PE→+PF→）2＝（PE→-PF→）2+4PE→•PF→，结合|FE→|≥2【解答】解：（i）根据题意，可得MN∥AB且MN＝AB，所以MN→=AB结合AM→=13AD（ii）因为PE→⋅PF→=4，所以（PE→+PF→）2＝（PE→-PF观察图形可得：|FE→|≥DM＝2，当EF⊥CD所以（PE→+PF→）2≥22+16＝20，可得|PE→+PF→|故答案为：（i）-16AB→+【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．14．甲同学碰到一道缺失条件的问题：“在△ABC中，已知a＝4，A＝30°，试判断此三角形解的个数．“查看标准答案发现该三角形有一解．若条件中缺失边c，那么根据答案可得所有可能的c的取值范围是（0，4]∪{8}．【考点】正弦定理与三角形解的存在性和个数．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（0，4]∪{8}．【分析】利用正弦定理得到c=asinA【解答】解：由正弦定理，可得asinA则c=因为三角形有一解，则C＝90°或C≤30°，则c＝8或c≤8sin30°＝4，则所有可能的c的取值范围是（0，4]∪{8}．故答案为：（0，4]∪{8}．【点评】本题考查利用正弦定理处理三角形的个数问题，考查数形结合思想，属中档题．15．钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC=2，则AC＝5【考点】余弦定理．【专题】计算题；分类讨论；转化法；解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinB，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用余弦定理即可得解AC的值．【解答】解：因为钝角三角形ABC的面积是12，AB＝c＝1，BC＝a=∴S=12acsinB=12，可得当B为钝角时，cosB=-22，利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB＝1+2+2＝5，即当B为锐角时，cosB=22，利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB＝1+2﹣2＝1，即AC＝1，此时AB2+AC2＝BC2，即△故答案为：5．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．16．已知三角形ABC的外接圆半径为1，外接圆圆心为O，且O点满足2OA→+3OB→+2OC→=【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】74【分析】依题意可得3OB→=-2OA→-2OC→【解答】解：因为三角形ABC的外接圆半径为1，所以|OA因为2OA→+3两边平方得：9OB即9=4+8OA→⋅因为cos∠又因为∠AOC＝2∠ABC，所以cos因为∠ABC∈（0，π），故sin∠故答案为：74【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于中档题．17．如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，M为直线AE与DC的交点，N为直线AF与BD的交点，若AD＝3，AB＝4，∠BAD=π3，且DE→=12DO→，CF→=12CB→，AM→=【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】43；101【分析】取{AB→，AD→}为基底表示向量【解答】解：在▱ABCD中，由DE→=1由DM∥AB，可得DMAB=DE则AM→=13AB→+故λ+由O，F分别为AC，BC的中点，得N为△ABC的重心，则AN→而AB→所以AM=1=1故答案为：43；101【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．四．解答题（共5小题）18．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+b＝2ccosB．（1）若C=π2（2）若a＝1，b＝3，求c．【考点】解三角形．【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（1）π4（2）23．【分析】（1）由直角三角形的性质，可得cosB的值，代入已知等式可得角B的大小；（2）由余弦定理可得关于c的方程，可得c的值．【解答】解：（1）因为a+b＝2ccosB，C=可得cosB=ac，所以a+b＝2c•可得a＝b，所以B=π（2）因为a＝1，b＝3，由余弦定理可得cosB=a可得a+b＝2c•a2整理可得c2＝a（a+b）﹣a2+b2＝1（1+3）﹣1+9＝12，可得c＝23．【点评】本题考查余弦定理的应用，属于中档题．19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA2（cosA2-3sinA2）+cosA2（（1）求A；（2）若a＝2，cosA+cos（B﹣C）=2sin2BsinC，求△ABC【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；运算求解．【答案】（1）π6（2）6+3【分析】（1）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式，算出sin（A+π3）＝1，结合A为三角形的内角，求出角A（2）将cosA＝﹣cos（B+C）代入cosA+cos（B﹣C）=2sin2BsinC，结合三角恒等变换公式化简得2sinBsinC=22sinBcosBsinC，由此算出cosB=22，可得B=π4，进而得出sinC＝sin（A+B）=6【解答】解：（1）由sinA2（cosA2-3sinA2）+cosA2（整理得2sinA2cosA2+3（cos2A2-sin2A2）＝2，即sin可得2（sinAcosπ3+cosAsinπ3）＝2，整理得sin（A+因为A∈（0，π），所以A+π3=π（2）根据cosA+cos（B﹣C）=2sin2BsinC，且cosA＝﹣cos（B+C可得﹣cos（B+C）+cos（B﹣C）=2sin2BsinC即（﹣cosBcosC+sinBsinC）+（cosBcosC+sinBsinC）=22sinBcosBsinC整理得2sinBsinC=22sinBcosBsinC因为△ABC中，sinB＞0，sinC＞0，所以2=22cosB，解得cosB=结合B∈（0，π），可得B=π所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB=6根据正弦定理，可得asinA=b所以b=2sinπ4可得△ABC的周长a+b+c＝2+6【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、正弦定理及其应用，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=33atan（1）求角C；（2）若b＝4a，△ABC的面积为43，求cos（2A+C）．【考点】三角形中的几何计算．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（1）π3（2）126【分析】（1）由正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式即可求解；（2）由已知根据面积公式可求得a，b，由余弦定理即可求c；由正弦定理可得sinA，由同角三角函数的平方关系可得cosA，由二倍角公式可得sin2A和cos2A，再根据两角和的余弦公式即可求解．【解答】解：（1）因为bcosC+所以sinBcosC+所以sin(因为A+B+C＝π，所以sin（B+C）＝sinA，所以sinA=因为A∈（0，π），所以sinA≠0，所以tanC=因为C∈（0，π），所以C=（2）因为12absinC=43，所以又b＝4a，所以a＝2，b＝8，所以c2所以c=2由正弦定理asinA=c所以sinA=因为a＜c，所以A＜C，所以cosA=所以sin2A=2所以cos(2【点评】本题考查正弦定理，余弦定理及倍角公式，和角公式的应用，属中档题．21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin2A＝sinA．（1）求角A的大小；（2）已知a=19，c＝3，求△【考点】解三角形．【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（1）π3；（2）15【分析】（1）由二倍角公式化简即可求得；（2）由余弦定理可求得b＝5，再由三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）由sin2A＝sinA，得2sinAcosA＝sinA，又因为A∈（0，π），所以sinA＞0，所以cosA=12（2）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即19=b2+9-2×3b×12，解得b所以S△【点评】本题考查二倍角公式、余弦定理、三角形面积公式的应用，属于中档题．22．如图，在△ABC中，AB＝2，cosB=13，点D在线段（Ⅰ）若∠ADC=3π4（Ⅱ）若BD＝2DC，△ACD的面积为223，求sin∠【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（1）83．（2）6【分析】（I）由已知得sinB=223，∠ADB=π4（II）设DC＝a，则BD＝2a，S△ABC＝3S△ACD，可求a＝1，由余弦定理可求AD，再由正弦定理可得sin∠BAD的值．【解答】解：（I）∵B∈（0，π），cosB=1∴sinB=1-∵∠ADC=3∴∠ADB=π在△ABD中，由正弦定理得，ADsinB∴AD223=（II）设DC＝a，则BD＝2a，∵BD＝2DC，△ACD的面积为22S△ABC＝3S△ACD＝22，∴22=12×2×∴a＝1．∴在△ABD中，由余弦定理有AD2＝4+4﹣2×2×2×2∴AD=433，在△ABD∴433223【点评】本题考查正余弦定理和三角形面积公式，属中档题．

考点卡片1．平面向量的数乘与线性运算【知识点的认识】（1）实数与向量a→的积是一个向量，记作λa→，它的大小为|λa→|＝|λ||a→|，其方向与λ的正负有关．若|λa→|≠0，当λ＞0时，λa→的方向与a→的方向相同，当λ＜当λ＝0时，λa→与a对于非零向量a、b，当λ≠0时，有a→∥b→⇔a（2）向量数乘运算的法则①1a→=a→；（﹣②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ③（λ+μ）a→=λa→④λ（a→+b→）＝λ一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果l→=λa→+2．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a→|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．3．平面向量的投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解题方法点拨】投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→cosθ（其中e→为与b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命题方向】（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．（3）空间几何问题：求点到平面的距离．4．平面向量的数量投影【知识点的认识】1、两个向量的数量积及其性质：（1）a→•b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→⇔a→•b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2、向量的投影：|b→|cosθ=a→⋅b→|5．用平面向量的基底表示平面向量【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．【解题方法点拨】﹣表示转换：将向量v→写成基底向量的线性组合．例如，v→用基底e→1和﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合．【命题方向】﹣向量基底表示：考查如何使用基底向量表示任意平面向量．﹣基底下的计算：如何在给定的基底下进行向量运算．在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且CB→=e1→，CA→=e2→，试用基底解：在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且CB→=e由题意得BD→=14BA故CD→-CB→=同理，CE→-CB→=12所以CE→=12（因为CB→=e整理得，CE→=16．数量积表示两个平面向量的夹角【知识点的认识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ【解题方法点拨】例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60解：zz=3+i3∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为故答案为：60°．点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．【命题方向】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．7．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S=12a•ha（ha表示边2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．8．正弦定理与三角形解的存在性和个数【知识点的认识】在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．【解题方法点拨】﹣解的存在性：利用正弦定理验证已知条件是否能够构成三角形．﹣解的个数：分析三角形的解的个数，如是否有唯一解、无解或多个解．【命题方向】﹣三角形解的存在性分析：考查如何通过正弦定理判断三角形的解是否存在．﹣解的个数问题：利用正弦定理探讨三角形解的个数，如一解、两解或无解情况．在△ABC中，a＝5，b＝8，A=πA．有两解B．有一解C．无解D．解的个数不确定解：因为a＝5，b＝8，A=π所以由正弦定理可得5sin可得sinB=45＞12=sin故选：A．9．余弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．10．三角形中的几何计算【知识点的认识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三