2024-2025学年下学期高二数学第五章A卷

第40页（共40页）第五章A卷一．选择题（共8小题）1．已知函数f（x）与f′（x）的图象如图所示，则函数y=A．在区间（﹣1，2）上是减函数 B．在区间(-3C．在区间（0，2）上是减函数 D．在区间（﹣1，1）上是减函数2．已知函数f（x）＝x3+mx2+x+1有两个极值点，则m的取值范围为（）A．(-3，3)C．(-∞，-2]∪[23．已知曲线C：y=12x2A．30° B．45° C．60° D．120°4．已知函数f（x）＝2x，则limΔxA．4ln2 B．4ln2 C．ln225．已知可导函数f（x）的部分图象如图所示，f（2）＝0，f′（x）为函数f（x）的导函数，下列结论不一定成立的是（）A．f′（1）＜f（1） B．f′（5）＜f（5） C．f′（2）＝f（2） D．f′（3）＜f′（4）＜f′（5）6．函数f(x)=A． B． C． D．7．下列求导正确的（）A．(xB．[lnC．(eD．（xsinx）′＝sinx+xcosx8．函数f(x)=axln(2x)在xA．-16 B．-112 C．1二．多选题（共4小题）（多选）9．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则以下说法正确的为（）A．﹣2是函数y＝f（x）的极值点 B．函数y＝f（x）在x＝1处取最小值 C．函数y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零 D．函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增（多选）10．已知函数f(A．函数f（x）在区间[12B．函数f（x）的值域为[2，6] C．函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣3x+4 D．关于x的方程f（x）＝a有2个不同的根当且仅当a（多选）11．已知二项式(ax2+1x)A．n的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素 B．若当n取最大值时常数项为30，则a=C．若当n取最小值时函数f(x)=(ax2+1x)n的D．若二项展开式中的所有项的系数和为0，则a＝﹣1（多选）12．已知函数f（x）＝sin2x，则（）A．f′（x）＝cos2x B．x=π4是f（C．f（x）在[0，π4D．f（x）在x＝0处的瞬时变化率为2三．填空题（共5小题）13．曲线y＝（2x﹣1）ex﹣2x+2在点（0，1）处的切线方程为．14．函数f（x）＝x3﹣ax2+2x﹣1有极值，则实数a的取值范围是．15．已知曲线y=1ex-lnx与直线y＝ax+4（a∈R）相切，则a＝16．若曲线y=f(x)=lnx+32x在x＝17．函数f（x）＝x2+lnx的图象在点（1，1）处的切线的斜率为．四．解答题（共5小题）18．已知二次函数f（x）＝x2+3x﹣a，a∈R．（Ⅰ）若a＝4时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[a，a+1]上具有单调性，求实数a的取值范围；（Ⅲ）解关于x的不等式f（x）＞ax+2a．19．设函数f(（1）证明：曲线y＝f（x）关于点（0，1）对称．（2）已知f（x）为增函数．①求a的取值范围．②证明：函数g(③若不等式f（﹣xex）+f（m﹣2ex）＜2对x∈[﹣4，2]恒成立，求m的取值范围．20．已知函数f（x）＝x2﹣4lnx．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．21．已知函数f（x）＝x2﹣2x+alnx，（a∈R）．（1）若a＝1，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线；（2）若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有(x1-x22．已知函数f（x）＝x2﹣（λ+3）x+λlnx．（1）若λ＝﹣3，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）既有极大值，又有极小值，求实数λ的取值范围．

第五章A卷参考答案与试题解析题号12345678答案BDBABDDB一．选择题（共8小题）1．已知函数f（x）与f′（x）的图象如图所示，则函数y=A．在区间（﹣1，2）上是减函数 B．在区间(-3C．在区间（0，2）上是减函数 D．在区间（﹣1，1）上是减函数【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】B【分析】求出函数y的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解．【解答】解：因为y'由图象知，-32＜x＜12时，f′（x）﹣f（x即y=f(当12＜x＜3时，f′（x）﹣f（x）＞0即y=f(x)ex在(12故选：B．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．2．已知函数f（x）＝x3+mx2+x+1有两个极值点，则m的取值范围为（）A．(-3，3)C．(-∞，-2]∪[2【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】D【分析】根据函数有两个极值点，转化为导数有两个不等零点即可得解．【解答】解：因为f′（x）＝3x2+2mx+1，且函数f（x）＝x3+mx2+x+1有两个极值点，所以f′（x）＝0有两个不等实根，所以Δ＝4m2﹣12＞0，解得m＞3或即m的取值范围是（﹣∞，-3）∪（3，+故选：D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．3．已知曲线C：y=12x2A．30° B．45° C．60° D．120°【考点】导数与切线的斜率．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】B【分析】结合导数的几何意义，求出切线的斜率，再结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．【解答】解：y＝f（x）=1则f'（x）＝x，故f'（1）＝1，倾斜角的范围为[0，π），曲线C在点P处的切线的倾斜角为45°．故选：B．【点评】本题主要考查导数与切线的斜率，属于基础题．4．已知函数f（x）＝2x，则limΔxA．4ln2 B．4ln2 C．ln22【考点】变化率的极限与导数的概念．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】A【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，以及导数的定义，即可求解．【解答】解：函数f（x）＝2x，则f'（x）＝2xln2，故limΔx→0f(2+Δx)-f(2)Δx故选：A．【点评】本题主要考查导数的求导法则，以及导数的定义，属于基础题．5．已知可导函数f（x）的部分图象如图所示，f（2）＝0，f′（x）为函数f（x）的导函数，下列结论不一定成立的是（）A．f′（1）＜f（1） B．f′（5）＜f（5） C．f′（2）＝f（2） D．f′（3）＜f′（4）＜f′（5）【考点】导数及其几何意义．【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】B【分析】根据题意，由导数的几何意义，结合函数的图象依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由导数的几何意义，f'（1）＜0，由图可知，f（1）＞0，所以f'（1）＜f（1），故A成立；对于B，由图可知，f′（5）＞0，f（5）＞0，但不确定f′（5）与f（5）的大小关系，故B不一定成立；对于C，由图可知，f′（2）＝f（2）＝0，故C成立；对于D，由图可知，函数在区间[2，+∞）上单调递增，且增长速度越来越快，所以f′（3）＜f′（4）＜f′（5），故D成立．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，注意切线斜率的分析，属于基础题．6．函数f(x)=A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性；由函数解析式求解函数图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．【答案】D【分析】利用导数判定单调性即可得出选项．【解答】解：f(x)=ex(2x-∴f'令f'（x）＞0⇒x∈（﹣∞，0）∪（32，+所以f（x）在（﹣∞，0）和（32，+∞）上单调递增，排除A、C当x＜0时，2x﹣1＜0，x﹣1＜0，所以f（x）＞0，排除B．故选：D．【点评】本题主要考查了函数图象的判断，函数的导数的应用，属于基础题．7．下列求导正确的（）A．(xB．[lnC．(eD．（xsinx）′＝sinx+xcosx【考点】简单复合函数的导数．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．【解答】解：对于A，(x+1对于B，[ln(2x对于C，(exx对于D，（xsinx）′＝sinx+xcosx，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．8．函数f(x)=axln(2x)在xA．-16 B．-112 C．1【考点】导数与切线的斜率．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】B【分析】求出f（x）导数，f'(12)=4a，利用函数f（x）在x=12【解答】解：函数f(x)=f'又f（x）在x=12处的切线与直线y＝3所以3×4a＝﹣1，解得a=故选：B．【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则以下说法正确的为（）A．﹣2是函数y＝f（x）的极值点 B．函数y＝f（x）在x＝1处取最小值 C．函数y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零 D．函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增【考点】导数及其几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】AD【分析】根据导函数图像判断函数的单调性，再根据选项逐一判断即可．【解答】解：根据导函数y＝f'（x）的图象，可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0且仅当x＝1时，f'（x）＝0，故函数在（﹣∞，﹣2）上函数f（x）单调递减；在（﹣2，+∞）函数f（x）单调递增，所以﹣2是函数y＝f（x）的极小值点，所以A正确；其中x＝1两侧函数的单调性不变，则在x＝1处不是函数y＝f（x）的最小值，所以B不正确；由图像可知f'（0）＞0，所以函数y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率大于零，所以C不正确；由y＝f（x）图象可得，当x∈（﹣2，2）时，f'（x）≥0，所以函数y＝f（x）在x∈（﹣2，2）上单调递增，所以D正确，故选：AD．【点评】本题主要考查了导数的几何意义和函数的单调性与极值，考查了数形结合思想，属于基础题．（多选）10．已知函数f(A．函数f（x）在区间[12B．函数f（x）的值域为[2，6] C．函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣3x+4 D．关于x的方程f（x）＝a有2个不同的根当且仅当a【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．【答案】BC【分析】根据已知条件，对函数f（x）求导，结合导数的几何意义，即可求解．【解答】解：函数f(求导可得，f'（x）＝3x2﹣3，令f'（x）＝3x2﹣3＝0，解得x＝1（负值舍去），当12≤x＜1时，f'（x）＜0，当1＜x≤2时，f'故f（x）在[12，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故Af（x）在x＝1处取得极小值，也为最小值，又f（2）＝6，f（12）=故函数f（x）的值域为[2，6]，故B正确；f'（0）＝﹣3，f（0）＝4，故函数f（x）在点（0，4）处的切线方程为y﹣4＝﹣3（x﹣0），即y＝﹣3x+4，故C正确；由AB选项可知，关于x的方程f（x）＝a有2个不同的根当且仅当a∈(2，故选：BC．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值，属于基础题．（多选）11．已知二项式(ax2+1x)A．n的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素 B．若当n取最大值时常数项为30，则a=C．若当n取最小值时函数f(x)=(ax2+1x)n的D．若二项展开式中的所有项的系数和为0，则a＝﹣1【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】BCD【分析】先根据展开式的项数不超过9，得到1≤n≤8，并利用二项式定理写出二项展开式的通项，再根据展开式中存在常数项求出n的所有取值，即可判断A；当n取最大值时求出n，k的值，根据二项展开式的通项即可求出常数项，进而可判断B；当n取最小值时可得f（x）的解析式，然后利用导数的几何意义求出a的值，最后进行检验，即可判断C；令x＝1可得二项展开式中的所有项的系数和，进而得到a的值，即可判断D．【解答】解：因为Tk+1=Cnk(ax2)因为展开式的项数不超过9，所以n+1≤9，所以1≤n≤8，因为展开式中存在常数项，所以2n﹣3k＝0有解，即k=2n3有解，所以n能被3整除，因此n＝3或选项A：显然n的所有取值组成的集合中有且仅有2个元素，故A错误．选项B：当n取最大值时，n＝6，此时k＝4，故a2C64=15选项C：当n取最小值时，n＝3，此时f(则f（1）＝（a+1）3，f'(x)=3(ax2+1x)2(2ax-1x2)，由f′（1）＝当a＝﹣1时，f（1）＝0，函数图象在点（1，f（1））处的切线与x轴重合，不符合题意，当a=12时，f(x)=(12x2+1选项D：对于(ax2+1x)n，令x＝1，则（a+1）n＝故选：BCD．【点评】本题考查二项式定理的应用，属中档题．（多选）12．已知函数f（x）＝sin2x，则（）A．f′（x）＝cos2x B．x=π4是f（C．f（x）在[0，π4D．f（x）在x＝0处的瞬时变化率为2【考点】基本初等函数的导数．【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．【答案】BD【分析】利用复合函数的导数、极值点的概念及平均变化率、瞬时变化率的算法逐项求解即可．【解答】解：函数f（x）＝sin2x，则f′（x）＝（sin2x）′＝cos2x•（2x）′＝2cos2x，所以A错误；因为f′（x）＝2cos2x，当x=π4且0＜x＜π4时，f′（x）＞0，π4＜x＜π2由f（x）在[0，π4]上的平均变化率为因为f′（x）＝2cos2x，当x＝0时，f′（0）＝2cos（2×0）＝2cos0＝2，故f（x）在x＝0处的瞬时变化率为2，所以D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查导数的应用，属于基础题．三．填空题（共5小题）13．曲线y＝（2x﹣1）ex﹣2x+2在点（0，1）处的切线方程为x+y﹣1＝0．【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】x+y﹣1＝0．【分析】由导数的几何意义即可求解．【解答】解：∵y＝（2x﹣1）ex﹣2x+2，∴y′＝（2x+1）ex﹣2，当x＝0时，y′|x＝0＝﹣1，∴曲线在点（0，1）处的切线方程为y＝﹣x+1，即x+y﹣1＝0．故答案为：x+y﹣1＝0．【点评】本题考查利用导数求函数的切线，属基础题．14．函数f（x）＝x3﹣ax2+2x﹣1有极值，则实数a的取值范围是(-∞，-6【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】(-∞，-【分析】由题意知f′（x）有变号零点，根据Δ＞0求出答案．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣2ax+2，由题意知f′（x）有变号零点，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4×3×2＞0，解得a＞6或故答案为：(-∞，-【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．15．已知曲线y=1ex-lnx与直线y＝ax+4（a∈R）相切，则a＝【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】﹣2e．【分析】根据题意建立方程，即可求解．【解答】解：∵y'=-1ex2则ax∴lnx易知f(x)=lnx+3-2ex在区间（∴x0∴a=故答案为：﹣2e．【点评】本题考查利用导数研究函数的切线问题，方程思想，属基础题．16．若曲线y=f(x)=lnx+32x在x＝【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；导数与切线的斜率．【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；三角函数的求值；运算求解．【答案】3．【分析】根据题意，求出f′（x），由导数的几何意义可得tanα＝f′（2）＝2，进而由三角函数恒等变形公式分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝lnx+32x，其导数f′（x）又由该函数在x＝2处的切线的倾斜角为α，则tanα＝f′（2）＝2，则sinα+cosα故答案为：3．【点评】本题考查导数的几何意义，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．17．函数f（x）＝x2+lnx的图象在点（1，1）处的切线的斜率为3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数与切线的斜率．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】3．【分析】根据题意，求出函数的导数，再利用导数的几何意义可求出所求切线的斜率．【解答】解：根据题意，f（x）＝x2+lnx，其导数f'则f′（1）＝3．故函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线的斜率k＝3．故答案为：3．【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题．四．解答题（共5小题）18．已知二次函数f（x）＝x2+3x﹣a，a∈R．（Ⅰ）若a＝4时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[a，a+1]上具有单调性，求实数a的取值范围；（Ⅲ）解关于x的不等式f（x）＞ax+2a．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（Ⅰ）{x|﹣4＜x＜1}；（Ⅱ）{a|a≤-52或a≥-（Ⅲ）a＝﹣3时，解集为{x|x≠﹣3}，当a＞﹣3时，解集为{x|x＞a或x＜﹣3}，当a＜﹣3时，解集为{x|x＞﹣3或x＜a}．【分析】（I）把a＝4代入函数解析式，然后结合二次不等式的求法即可求解；（Ⅱ）结合二次函数的单调性即可求解；（Ⅲ）结合二次不等式的求法对a的范围进行分类讨论即可求解．【解答】解：（Ⅰ）当a＝4时，f（x）＝x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，故不等式的解集为{x|﹣4＜x＜1}；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[a，a+1]上具有单调性，则a+1≤-32或a解得a≤-52或a故a的范围为{a|a≤-52或a≥-（Ⅲ）由f（x）＝x2+3x﹣a＞ax+2a可得（x﹣a）（x+3）＞0，当a＝﹣3时，解得x≠﹣3，当a＞﹣3时，解得x＞a或x＜﹣3，当a＜﹣3时，解得x＞﹣3或x＜a，故a＝﹣3时，解集为{x|x≠﹣3}，当a＞﹣3时，解集为{x|x＞a或x＜﹣3}，当a＜﹣3时，解集为{x|x＞﹣3或x＜a}．【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了二次函数单调性的应用，属于基础题．19．设函数f(（1）证明：曲线y＝f（x）关于点（0，1）对称．（2）已知f（x）为增函数．①求a的取值范围．②证明：函数g(③若不等式f（﹣xex）+f（m﹣2ex）＜2对x∈[﹣4，2]恒成立，求m的取值范围．【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解函数的最值；不等式恒成立的问题．【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】（1）证明见详解．（2）①[1②证明见详解；③(-∞，-【分析】（1）根据函数对称性定义判断；（2）①由题可得f′（x）≥0恒成立，分离参数转化为最值问题解决；②求g′（x），判断g′（x）的单调性，结合零点存在性定理判断g′（x）的正负，进而得证；③根据题意可得h（x）＝f（x）﹣1为奇函数，增函数，可将不等式恒成立转化为h（m﹣2ex）＜﹣h（﹣xex）＝h（xex），即得m＜xex+2ex，x∈[﹣4，2]，构造函数p（x）＝xex+2ex＝（x+2）ex，利用导数求出最值得解．【解答】解：（1）证明：由于f(因此函数y＝f（x）关于点（0，1）对称．（2）①由于函数f（x）为增函数，因此导函数f'(所以a≥2由于2ex(ex+1)2=2e那么2ex(因此a≥12，所以实数a②证明：由于导函数g'(x)=ax又因为g'(-4)=2e-4+1-4a，因为2g′（0）＝1＞0，因此导函数g′（x）在（﹣4，0）上存在唯一的零点x0，当x＞x0时，导函数g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x＜x0时，导函数g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，因此g（x）存在唯一的极值点．③根据第一问知，y＝f（x）关于点（0，1）对称，因此函数h（x）＝f（x）﹣1为奇函数，根据f（﹣xex）+f（m﹣2ex）＜2，x∈[﹣4，2]，得f（﹣xex）﹣1+f（m﹣2ex）﹣1＜0，所以h（﹣xex）+h（m﹣2ex）＜0，所以h（m﹣2ex）＜﹣h（﹣xex）＝h（xex），由于函数f（x）为增函数，因此h（x）＝f（x）﹣1为增函数，所以m﹣2ex＜xex，所以m＜xex+2ex，x∈[﹣4，2]，设p（x）＝xex+2ex＝（x+2）ex，那么导函数p′（x）＝（x+3）ex，x∈[﹣4，2]当x＞﹣3时，导函数p′（x）＞0，p（x）单调递增，当x＜﹣3时，导函数p′（x）＜0，p（x）单调递减，所以p（x）在[﹣4，﹣3]上单调递减，在（﹣3，2]上单调递增，故m＜所以m的取值范围为(-∞，-【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．20．已知函数f（x）＝x2﹣4lnx．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】（Ⅰ）2x+y﹣3＝0；（Ⅱ）单调递增区间为(2，+∞)【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求解即可；（Ⅱ）利用导函数与函数单调性的关系求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f'则f′（1）＝﹣2，又f（1）＝1，则所求切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3＝0；（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），f'令f′（x）＞0，解得x＞2，令f′（x）＜0，解得则函数f（x）的单调递增区间为(2，+∞)【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．21．已知函数f（x）＝x2﹣2x+alnx，（a∈R）．（1）若a＝1，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线；（2）若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有(x1-x2【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】（1）y＝x﹣2．（2）a∈[0，2e3]．【分析】（1）求导，可得切点处的斜率，即可由点斜式求解直线方程，（2）将不等式变形为f(x1【解答】解：（1）f'当a＝1时，f（1）＝﹣1，f′（x）＝1，故切线方程为：y+1＝x﹣1，即y＝x﹣2；（2）不妨设0＜x1＜x2，则x2f（x1）﹣x1f（x2）＜0，同除以x1x2得f(所以G(x)=f(所以G'①若a＝0，G′（x）＞0恒成立，符合题意；②若a＞0，则1a≥令F(x)=令F'(x所以F（x）在(0，e3所以1a≥F(e32)=12e③若a＜0，同理，1a≤由②可知，当x→0+时，F（x）→﹣∞，所以不存在满足条件的a．综上，实数a的取值范围是a∈[0，2e3]．【点评】本题考查导数综合应用，属于难题．22．已知函数f（x）＝x2﹣（λ+3）x+λlnx．（1）若λ＝﹣3，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）既有极大值，又有极小值，求实数λ的取值范围．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的极值．【专题】综合题；对应思想；综合法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）单调递减区间为(0，62（2）（0，+∞）．【分析】（1）由题意，将λ＝﹣3代入函数解析式中，对函数进行求导，利用导数即可得到函数的单调性；（2）对函数f（x）进行求导，将问题转化成方程2x2﹣（λ+3）x+λ＝0有两个不同的正根，再进行求解即可．【解答】解：（1）当λ＝﹣3时，f（x）＝x2﹣3lnx，函数定义域为（0，+∞），可得f'当0＜x＜62时，f′（x）＜0；当x＞62时，f′（所以f（x）的单调递减区间为(0，62（2）易知f'令f′（x）＝0，若f（x）既有极大值，又有极小值，此时方程2x2﹣（λ+3）x+λ＝0有两个不同的正根，所以Δ=(解得λ＞0．故实数λ的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于基础题．

考点卡片1．由函数解析式求解函数图象【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．【命题方向】识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．函数f(x)=A.B.C.D.解：∵函数f(x)=x3+sinx3x∴函数为奇函数，故排除C，D，又f(π)=故选：A．2．导数及其几何意义【知识点的认识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）=x【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．【命题方向】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线y=x2A．3B．2C．1D．1解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线y=x2∴y′=x02-3x0=12，解得x故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．3．变化率的极限与导数的概念【知识点的认识】导数的概念：函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解题方法点拨】导函数的特点：①导数的定义可变形为：f′（x）=△②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．【命题方向】常见题型包括利用极限定义导数，解决涉及导数和变化率的实际问题．已知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）＝﹣1，则limΔx→0解：∵f'（x0）＝﹣1，∴limΔx→0f(x0+4．导数与切线的斜率【知识点的认识】导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）=x【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．【命题方向】求切线方程典例2：已知函数f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．5．基本初等函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，(lnx-2对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，(sinxx)'=故选C．6．简单复合函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，(lnx-2对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，(sinxx)'=故选C．7．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x（Ⅲ）求证：ln2解：（Ⅰ）f'(x当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴g由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln8．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B9．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．10．利用导数求解函数的极值【知识点的认识】1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．2、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点．﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．【命题方向】常见题型包括利用导数求解函数的极值，分析函数在极值点的行为．已知函数f（x）＝﹣lnx+2x﹣2．求函数f（x）的极值．解：f（x）的定义域为（0，+∞）．令f'（x）＝0，得-1x+2=0令f'（x）＞0，得x＞12；令f'（x）＜0故f（x）在(0，12所以f（x）存在极小值为f(11．利用导数求解函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函