2024-2025学年下学期高二数学第八章B卷

第41页（共41页）第八章B卷一．选择题（共8小题）1．某科学兴趣小组的同学认为生物都由蛋白质构成，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某病毒的成活率与温度的关系，病毒数量y（个）与温度x（℃）的部分数据如下表，由表中数据算得经验回归方程ŷ=b̂x+â温度x/℃481018病毒数量y/个30221814A．10 B．9 C．8 D．72．下列说法错误的是（）A．对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 B．若随机变量Y服从两点分布，且E(Y)=12，则D（C．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.5x+1，则c，k的值分别是e，0.5 D．回归直线ŷ=b̂x3．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如如表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且ŷ=0.8x+â，现有一组测量数据为（色差x22242628色度y16192021A．1.4 B．1.2 C．﹣1.2 D．﹣1.44．某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据（i，yi），其中i＝1，2，3，yi为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程ŷ=6log2参考数据：log23≈1.6A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.25．以下关于一元线性回归模型的说法中，错误的是（）A．相关系数r的绝对值越接近0，则两个变量的线性相关程度越弱 B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好 C．点(x，y)D．若经验回归方程为ŷ=3x+10，则x每增加1个单位，6．给出以下四个命题：①已知一组数据x1，x2，x3，…，x10的方差为3，则x1+2，x2+2，x3+2，…，x10+2的方差也为3；②对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为ŷ=0.3x-m，若样本点的中心为（m，2.8③已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X＞﹣1）+P（X≥5）＝1，则μ＝2；④已知随机变量X服从二项分布B(n，13)，若E[3X+1]＝其中，真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x5，y5），（6，28），（0，28），利用此样本数据求得的经验回归方程为ŷ=107x+1667，现发现数据（6，28）和（0，28A．8 B．12 C．16 D．208．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（）男生女生篮球迷3015非篮球迷4510附：χ2P（χ2≥k）0.100.050.01k2.7063.8416.635A．没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关二．多选题（共4小题）（多选）9．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（）A．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B．相关变量x，y的线性回归方程为ŷ=8x﹣m，若样本点中心为（m，14），则m＝C．在独立性检验中，随机变量K2的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 D．以ŷ=cekx拟合一组数据时，经z＝lny代换后的线性回归方程为ẑ=ex+2（多选）10．某手机商城统计的2024年5个月手机的销量y（万部）如下表所示：月份7月8月9月10月11月x12345y223m4根据表中数据用最小二乘法得到的y关于月份编号x的回归直线方程为ŷA．m＝3 B．y与x正相关 C．当月份编号x增加1时，销量增加0.5万部 D．预测2025年2月份该手机商城的销量约为4万部（多选）11．某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57根据表中的数据可得到经验回归方程为y=1.23A．âB．y与x的样本相关系数r＞0 C．表中维修费用的第60百分位数为6 D．该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元（多选）12．为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于170cm的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表：单位：人性别身高合计低于170cm不低于170cm女14060200男120180300合计260240500附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.10.050.01xα2.7063.8416.635小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的110A．依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 B．依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 C．小组成员甲、乙计算出的χ2值相同，依据α＝0.01的独立性检验，他们得出的结论也相同 D．小组成员甲、乙计算出的χ2值不同，依据α＝0.01的独立性检验，他们得出的结论也不同三．填空题（共5小题）13．某水文站为了研究所在河段24h降雨量x（单位：mm）与水位增长量y（单位：cm）之间的关系，记录了10次相关数据，通过绘制散点图可看出y与x之间有线性相关关系，并设其回归方程为ŷ=b̂x+â．已知xi和yi分别表示第i（i＝1，2，…，10）次24h降雨量（单位：mm）和水位增长量（单位：cm），且i=110x1=500，i=110y114．某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为人．优秀合格合计语文202848英语30184815．为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据：x12345yy160y3y4y5若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为ŷ=b̂x+64，并据此计算在样本点（2，60）处的残差为016．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，计算得x=8，y=5，i=18yi2=214．由最小二乘法得经验回归方程为ŷ=b̂x+7.4，则k的值为17．对于两个事件M，N，若0＜P（M）＜1，0＜P（M）＜1，称P(M，N)=P(MN)-P(M)P(N)P(M四．解答题（共5小题）18．“潮州柑”是一种象征吉祥的果子，因比桔大，故俗称“大吉”，而桔与吉同音，用谐音会意法，就成了大吉．春节时候，潮州人有带“大吉”拜年的习俗，互换“大吉”，愿彼此“大吉大利”．春节将至，某水果店对“潮州柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：试销单价x（元）34567产品销量y件201615126（1）经计算相关系数r≈﹣0.97，变量x，y线性相关程度很高，求y关于x的经验回归方程；（2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望．参考公式：线性回归方程中b̂，â的最小二乘法估计分别为b̂参考数据：i=119．某款3A级别游戏自发布以来便受到了广泛关注，仅用了三天时间便在各大平台上卖出超过1000万份，这一速度令人惊讶．下表是该游戏发布以来在某一平台各月的销售量统计表．月份编号x12345销售量y（百万份）86.35.13.22.4（1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数r（结果保留两位小数），并判断月份编号x与销售量y之间是否具有较强的线性相关性；（2）预计该平台半年时间的销售量能否突破26百万份．参考数据：207≈14.39参考公式：r=20．某医学研究团队经过研究发现某良性肿瘤与恶性肿瘤的一项医学指标有明显差异，利用该指标可制定一个检测标准，需要确定临界值m，将该指标大于m的人判定为患恶性肿瘤，小于或等于m的人判定为患良性肿瘤．此检测标准的漏诊率是将恶性肿瘤判定为良性肿瘤的概率，记为p（m）；误诊率是将良性肿瘤判定为恶性肿瘤的概率，记为q（m）．（1）若利用临界值m＝157.5进行判定时，随机抽取男女患者各200名进行检验，发现共有11名男性患者出现诊断问题（漏诊或误诊），请完成如下的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.010的独立性检验，推断出现诊断问题是否与性别有关？出现诊断问题人数未出现诊断问题人数总计男性人数11200女性人数总计36400（2）经过大量调查，得到良性肿瘤和恶性肿瘤患者该指标的频率分布直方图如图：假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．设函数f（m）＝p（m）+q（m），m∈[155，165]，求f（m）的解析式，并解释f（m）取得最小值时临界值的实际意义．附：χα0.100.050.0100.001x02.7063.8416.63510.82821．食品安全负责部门为了对某大型超市经营的某品牌（由A，B两个不同的产地生产）的“预制食品”的某些指标进行检测，随机从A，B两个产地生产的产品中分别抽取了30个作为样本进行检测，依据检测相应指标的相关数据，将其划定为“优良”和“合格”两个级别，记录相关数据得到如下2×2列联表：单位：个级别产地合计AB优良201535合格101525合计303060（1）依据小概率值α＝0.10的独立性检验，分析“该食品的指标等级与产地”是否有关？（2）该超市对该“预制食品”进行打包促销，对于同一产地生产的食品采用每5个装为一个“促销大礼包”的促销形式，若某顾客随机购买了一个“促销大礼包”，经检测显示恰有4个为优良级别，试通过概率知识确定该“促销大礼包”内装的是A产地生产的食品的概率（该超市A，B两个产地的售出量之比为3：2，以列联表中产品的优良的频率代替各自产品优良的概率）．参考公式和数据：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82822．某市为创建全国文明城市，自2019年1月1日起，在机动车斑马线礼让行人方面，通过公开违规行车的照片及车牌号，效果显著．下表是该市人民广场某路口连续5年监控设备抓拍到该路口机动车不礼让行人的统计数据：记方案执行时间为执行后第x年，不礼让行人车数为y（单位：百辆）．x/年12345y/百辆5.85.24.53.72.8（1）求不礼让行人车数y与执行时间x之间的经验回归方程；（2）预测该路口2025年不礼让行人车数．参考公式：经验回归方程ŷ=b̂x

第八章B卷参考答案与试题解析题号12345678答案BDDBDBCA一．选择题（共8小题）1．某科学兴趣小组的同学认为生物都由蛋白质构成，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某病毒的成活率与温度的关系，病毒数量y（个）与温度x（℃）的部分数据如下表，由表中数据算得经验回归方程ŷ=b̂x+â温度x/℃481018病毒数量y/个30221814A．10 B．9 C．8 D．7【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】先计算出x，y，再利用点(x，y)在直线【解答】解：由表格数据可得，x=14因为点(x，y)在直线y所以â所以ŷ故当x＝22时，ŷ即预测当温度为22℃时，病毒数量为9个．故选：B．【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解，属于中档题．2．下列说法错误的是（）A．对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 B．若随机变量Y服从两点分布，且E(Y)=12，则D（C．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.5x+1，则c，k的值分别是e，0.5 D．回归直线ŷ=b̂x【考点】经验回归方程与经验回归直线；命题的真假判断与应用；n重伯努利试验与二项分布；变量间的相关关系；样本相关系数．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】对于A，由|r|越接近于1时，成对样本数据的线性相关程度越强，|r|越接近于0时，成对样本数据的线性相关程度越弱，可判断正确；对于B，由两点分布的期望与方差公式，和D（aX+b）＝a2D（X），可判断；对于C，由对数的运算性质可求c，k的值；对于D，由回归直线相关知识可判断．【解答】解：A：r1＞0，r2＜0，|r1|＜|r2|，因此A正确．B：由题可知：p=12，D(Y)=p(1-p)=14，DC：对y＝cekx两边同时取对数，得到lny＝lncekx＝lnc+kx，设z＝lny，则z＝lnc+kx＝0.5x+1，即k＝0.5，c＝e，因此C正确．D：回归直线方程恒过样本中心点，但不一定过样本点．因此D错误．故选：D．【点评】本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．3．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如如表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且ŷ=0.8x+â，现有一组测量数据为（色差x22242628色度y16192021A．1.4 B．1.2 C．﹣1.2 D．﹣1.4【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数据分析．【答案】D【分析】根据题意，由回归直线方程过样本中心点，即可得到â，然后将x＝31代入计算y【解答】解：由题意可知，x=22+24+26+284将（25，19）代入方程ŷ=0.8x+â，得â=19﹣所以ŷ=0.8x﹣1，当x＝31，ŷ=0.8×31﹣所以该数据的残差为22.4﹣23.8＝﹣1.4．故选：D．【点评】本题考查线性回归方程，以及残差，属于中档题．4．某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据（i，yi），其中i＝1，2，3，yi为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程ŷ=6log2参考数据：log23≈1.6A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】令x＝log2i，由y=6x+【解答】解：令x＝log2i，则ŷx=log由y=6x+â则ŷ下午2点时对应i＝4，可得ŷ故可预测下午2点时校门人流量为10.8千人．故选：B．【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于中档题．5．以下关于一元线性回归模型的说法中，错误的是（）A．相关系数r的绝对值越接近0，则两个变量的线性相关程度越弱 B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好 C．点(x，y)D．若经验回归方程为ŷ=3x+10，则x每增加1个单位，【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】由相关系数的定义求解选项A，由残差图的含义求解选项B，由线性回归方程的性质知点(x，y)一定在经验回归直线ŷ【解答】解：对于A，由相关系数r的绝对值越接近0，则两个变量的线性相关程度越弱，故A正确；对于B，由在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好，故B正确；对于C，因为点(x，y)一定在经验回归直线对于D，由回归方程的性质可知；若经验回归方程为ŷ则x每增加1个单位，ŷ的值就平均增加3个单位，故D故选：D．【点评】本题主要考查了相关系数的性质，考查了残差图的性质，以及线性回归方程的性质，属于中档题．6．给出以下四个命题：①已知一组数据x1，x2，x3，…，x10的方差为3，则x1+2，x2+2，x3+2，…，x10+2的方差也为3；②对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为ŷ=0.3x-m，若样本点的中心为（m，2.8③已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X＞﹣1）+P（X≥5）＝1，则μ＝2；④已知随机变量X服从二项分布B(n，13)，若E[3X+1]＝其中，真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】经验回归方程与经验回归直线；二项分布的均值（数学期望）与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解；数据分析．【答案】B【分析】由方差性质知①正确；根据回归直线过样本中心点可知②错误；根据正态分布曲线的对称性可求得③正确；根据数学期望的性质和二项分布期望公式可求得n，知④错误．【解答】解：对于①，若D[X]＝3，则由方差性质知：D[X+2]＝3，①正确；对于②，∵回归直线过样本中心点，∴2.8＝0.3m﹣m，解得：m＝﹣4，②错误；对于③，若P（X＞﹣1）+P（X≥5）＝1，则P（X＞﹣1）＝P（X＜5），∴μ=5+(-1)2对于④，∵E[3X+1]＝3E[X]+1＝6，∴E[X]=53，又X～B(n故选：B．【点评】本题考查方差性质，回归直线的性质，正态分布，二项分布，属中档题．7．在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x5，y5），（6，28），（0，28），利用此样本数据求得的经验回归方程为ŷ=107x+1667，现发现数据（6，28）和（0，28A．8 B．12 C．16 D．20【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】由题意求出y=28，根据点（x，y）在经验回归方程ŷ=107x+1667上求出x，进而求出x【解答】解：∵i=1∴y1+y2+y3+y4+y5+28+28＝140+28+28＝196，∴y=17×（y1+y2+y3+y4+y5+28+又∵（x，y）在经验回归方程ŷ∴28=107x+∴i=15xi=3×7﹣∴x'=i=15又∵（x'，y'）在经验回归方程∴28＝4×3+m，解得m＝16．故选：C．【点评】本题主要考查了经验回归方程的性质，考查了平均数的计算，属于中档题．8．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（）男生女生篮球迷3015非篮球迷4510附：χ2P（χ2≥k）0.100.050.01k2.7063.8416.635A．没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关【考点】独立性检验．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】A【分析】根据列联表运用公式χ2=n(ad【解答】解：根据题目中的列联表数据，男生女生合计篮球迷301545非篮球迷451055合计7525100得到χ2=n(ad-所以，没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关．故选：A．【点评】本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关，是中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（）A．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B．相关变量x，y的线性回归方程为ŷ=8x﹣m，若样本点中心为（m，14），则m＝C．在独立性检验中，随机变量K2的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 D．以ŷ=cekx拟合一组数据时，经z＝lny代换后的线性回归方程为ẑ=ex+2【考点】经验回归方程与经验回归直线；独立性检验．【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BCD【分析】根据线性回归方程的性质可判断AC，根据独立性检验的性质可判断B，对ŷ=c【解答】解：对于A，回归直线并非经过样本数据点最多的那条直线，而是通过最小二乘法确定的最能反映变量间关系的直线，故A错误；对于B，因为线性回归方程一定过样本点中心，所以14＝8×m﹣m，解得m＝2，故B正确；对于C，在独立性检验中，随机变量K2的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大，故C正确；对于D，对ŷ=cekx两边同时取对数得，lnŷ=lnc+lnekx所以ẑ=kx+所以k＝e，lnc＝2，即k＝e，c＝e2，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了独立性检验的应用，属于中档题．（多选）10．某手机商城统计的2024年5个月手机的销量y（万部）如下表所示：月份7月8月9月10月11月x12345y223m4根据表中数据用最小二乘法得到的y关于月份编号x的回归直线方程为ŷA．m＝3 B．y与x正相关 C．当月份编号x增加1时，销量增加0.5万部 D．预测2025年2月份该手机商城的销量约为4万部【考点】经验回归方程与经验回归直线；变量间的相关关系．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】AB【分析】根据回归直线方程过样本中心点求出m判断A，利用回归直线方程的性质和概念判断BCD．【解答】解：由表中数可得，x=y关于月份编号x的回归直线方程为ŷ所以y=0.5×3+1.3=2.8则2+2+3+m+4＝2.8×5，解得m＝3，A说法正确；由回归直线方程中x的系数为正可知，y与x正相关，且其相关系数r＞0，B说法正确；当月份编号x增加1时，销量不一定增加0.5万部，C说法错误；2025年2月份对应的月份编号x＝8，y＝0.5×8+1.3＝5.3，D说法错误．故选：AB．【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于中档题．（多选）11．某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57根据表中的数据可得到经验回归方程为y=1.23A．âB．y与x的样本相关系数r＞0 C．表中维修费用的第60百分位数为6 D．该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ABC【分析】对A，计算出样本中心，代入方程计算出â，对B，根据相关系数的概念可判断，对C，根据百分位数的定义求解，对D【解答】解：根据题意可得，x=4，y所以样本中心点为（4，5），对于A，将样本中心点（4，5）代入回归方程y=1.23x+â，解得对于B，由表中数据可得y随着x增大而增大，x与y正相关，所以相关系数r＞0，故B正确；对于C，维修费用从小到大依次为2.2，3.8，5.5，6.5，7，第60百分位数为5.5+6.52=6，故对于D，根据回归分析的概念，机床投入生产的时间为10年时，所需要支出的维修费用大概是12.38万元，故D错误．故选：ABC．【点评】本题考查离散型随机变量的应用，线性回归方程的应用，属于中档题．（多选）12．为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于170cm的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表：单位：人性别身高合计低于170cm不低于170cm女14060200男120180300合计260240500附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.10.050.01xα2.7063.8416.635小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的110A．依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 B．依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 C．小组成员甲、乙计算出的χ2值相同，依据α＝0.01的独立性检验，他们得出的结论也相同 D．小组成员甲、乙计算出的χ2值不同，依据α＝0.01的独立性检验，他们得出的结论也不同【考点】独立性检验．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AD【分析】根据列联表及卡方公式求对应卡方值，结合独立性检验的基本思想得到结论，即可得答案．【解答】解：由题设，零假设H0：该中学高三年级学生的性别与身高没有关联，对于成员乙有χ2对于成员甲有χ2依据α＝0.01的独立性检验，小组成员乙不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联；依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲可认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联；小组成员甲、乙计算出的χ2值不同，他们得出的结论也不同．故选：AD．【点评】本题主要考查独立性检验的基本思想的应用，考查计算能力，属于中档题．三．填空题（共5小题）13．某水文站为了研究所在河段24h降雨量x（单位：mm）与水位增长量y（单位：cm）之间的关系，记录了10次相关数据，通过绘制散点图可看出y与x之间有线性相关关系，并设其回归方程为ŷ=b̂x+â．已知xi和yi分别表示第i（i＝1，2，…，10）次24h降雨量（单位：mm）和水位增长量（单位：cm），且i=110x1=500，i=110y1【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】35．【分析】根据线性回归方程ŷ=b̂x+â过点（【解答】解：因为b̂=0.5，所以ŷ=因为i=110x1所以x=50010=50因为线性回归方程ŷ=b̂x+a所以20＝0.5×50+a所以â=-所以ŷ=0.5x﹣当x＝80时，ŷ=0.5×80﹣5＝即若某次24h降雨量为80mm，据此估计水位增长量为35cm．故答案为：35．【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于中档题．14．某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为12人．优秀合格合计语文202848英语301848【考点】独立性检验．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】12．【分析】用集合A表示语文合格，用集合B表示英语合格，则CardA＝28，CardB＝18，再利用容斥原理求解即可．【解答】解：全班共48名同学，用集合A表示语文合格，用集合B表示英语合格，则CardA＝28，CardB＝18用A∩B表示两项比赛均合格，当Card（A∩B）＝10时，48﹣18﹣10﹣8＝12人，所以两项比赛中都评定为优秀的同学最多为12人．故答案为：12．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系，考查了容斥原理的应用，属于基础题．15．为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据：x12345yy160y3y4y5若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为ŷ=b̂x+64，并据此计算在样本点（2，60）处的残差为0【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】290．【分析】先利用残差的计算公式求出b̂，再根据回归直线过样本点的中心求出y【解答】解：因为在样本点（2，60）处的残差为0，所以60-2b则y关于x的线性回归方程为ŷ因为x=15所以i=1故答案为：290．【点评】本题主要考查了残差的定义，考查了线性回归方程的性质，属于中档题．16．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，计算得x=8，y=5，i=18yi2=214．由最小二乘法得经验回归方程为ŷ=b̂x+7.4，则k的值为﹣0.3【考点】决定系数与模型的拟合效果．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】﹣0.3；0.98．【分析】把x=8，y=5代入经验回归方程ŷ=b̂x+7.4，求出b̂【解答】解：∵x=8，y=5，经验回归方程为∴5＝8b̂+∴b̂=-对f＝cWk（c，k为参数）两边同时取对数得，lnf＝lnc+klnW，∵令xi＝lnWi，yi＝lnfi，∴k=b̂由公式可知，R2≈1-0.28i=18(故答案为：﹣0.3；0.98．【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了决定系数R2的计算，属于中档题．17．对于两个事件M，N，若0＜P（M）＜1，0＜P（M）＜1，称P(M，N)=P(MN)-P(M)P(N)P(M)【考点】样本相关系数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】1965【分析】先求事件M，N，MN的概率，再按定义求事件M，N的的相关系数．【解答】解：事件M：金佛山景点至少有一人，则事件M：金佛山景点无人，则P(M)=事件N：仙女山和黑山谷两个景点恰有一个景点无人，所以P(所以P(事件MN：金佛山景点至少有一人，仙女山和黑山谷两个景点恰有一个景点无人，P(所以P(故答案为：1965【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了相关系数的计算，属于中档题．四．解答题（共5小题）18．“潮州柑”是一种象征吉祥的果子，因比桔大，故俗称“大吉”，而桔与吉同音，用谐音会意法，就成了大吉．春节时候，潮州人有带“大吉”拜年的习俗，互换“大吉”，愿彼此“大吉大利”．春节将至，某水果店对“潮州柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：试销单价x（元）34567产品销量y件201615126（1）经计算相关系数r≈﹣0.97，变量x，y线性相关程度很高，求y关于x的经验回归方程；（2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望．参考公式：线性回归方程中b̂，â的最小二乘法估计分别为b̂参考数据：i=1【考点】一元线性回归模型．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）ŷ=-3.2x（2）分布列为：X012P11035310数学期望=6【分析】（1）根据一元线性模型即可求解；（2）根据分布列和数学期望的性质即可求解．【解答】解：（1）由已知，得x=y=i=15则b̂所以â=y-b̂x=13.8﹣（﹣3.2）×5（2）当x＝3时，ŷ=20.2，当x＝4时，当x＝5时，ŷ=13.8；当x＝6时，ŷ=10.6；当x＝因此该样本的残差的绝对值依次为0.2，1，1.2，1.4，1.4，所以“次数据”有2个，所以“次数据”个数X的可能取值为0，1，2．P(X=0)=P(X=2)=X012P11035310则数学期望E(【点评】本题考查了一元线性模型，属于中档题．19．某款3A级别游戏自发布以来便受到了广泛关注，仅用了三天时间便在各大平台上卖出超过1000万份，这一速度令人惊讶．下表是该游戏发布以来在某一平台各月的销售量统计表．月份编号x12345销售量y（百万份）86.35.13.22.4（1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数r（结果保留两位小数），并判断月份编号x与销售量y之间是否具有较强的线性相关性；（2）预计该平台半年时间的销售量能否突破26百万份．参考数据：207≈14.39参考公式：r=【考点】一元线性回归模型．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）r≈﹣0.99，具有较强的线性相关性；（2）不能．【分析】（1）根据题目中所给的关于r的参考公式即可求解．（2）根据一元线性模型即可求解．【解答】（1）由题知，x=1+2+3+4+55i=15（xi-x）（yi-y）＝（1﹣3）（8﹣5）+（2﹣3）（6.3﹣5）+（3﹣3）（5.1﹣5）+（4﹣3）（3.2﹣5）+（5﹣3）（2.4â=y-b̂x=5+1.43×3＝9.29，i=15（xi-x）2＝（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3i=15（yi-y）2＝（8﹣5）2+（6.3﹣5）2+（5.1﹣5）2+（3.2﹣5）2+（2.4﹣5）所以r=所以月份编号x与销售量y之间具有较强的线性相关性；（2）b̂所以回归方程为ŷ=-1.43x+9.29，当x＝6时，yi=1所以该平台半年时间的销售量不能突破26百万份．【点评】本题考查了一元线性模型，属于中档题．20．某医学研究团队经过研究发现某良性肿瘤与恶性肿瘤的一项医学指标有明显差异，利用该指标可制定一个检测标准，需要确定临界值m，将该指标大于m的人判定为患恶性肿瘤，小于或等于m的人判定为患良性肿瘤．此检测标准的漏诊率是将恶性肿瘤判定为良性肿瘤的概率，记为p（m）；误诊率是将良性肿瘤判定为恶性肿瘤的概率，记为q（m）．（1）若利用临界值m＝157.5进行判定时，随机抽取男女患者各200名进行检验，发现共有11名男性患者出现诊断问题（漏诊或误诊），请完成如下的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.010的独立性检验，推断出现诊断问题是否与性别有关？出现诊断问题人数未出现诊断问题人数总计男性人数11200女性人数总计36400（2）经过大量调查，得到良性肿瘤和恶性肿瘤患者该指标的频率分布直方图如图：假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．设函数f（m）＝p（m）+q（m），m∈[155，165]，求f（m）的解析式，并解释f（m）取得最小值时临界值的实际意义．附：χα0.100.050.0100.001x02.7063.8416.63510.828【考点】独立性检验．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）列联表详见解析，认为出现诊断问题与性别无关；（2）f(m)=0.72-0.004m，m∈[155，160]0.008m是检测效果最好的临界值．【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解；（2）依次求出两段分段函数，结合函数的单调性，即可求解．【解答】解：（1）依题意，列出2×2列联表为：出现诊断问题人数未出现诊断问题人数总计男性人数11189200女性人数25175200总计36364400零假设H0：出现诊断问题与性别无关，则χ2=400×(11×175-25×189)故可以认为，依据小概率值α＝0.010的独立性检验，没有充分的证据证明零假设H0不成立，即认为出现诊断问题与性别无关；（2）当m∈（160，165]时，f（m）＝p（m）+q（m）＝0.008×5+（m﹣160）×0.016+（165﹣m）×0.008＝0.008m﹣1.2．当m∈[155，160]时，f（m）＝p（m）+q（m）＝（m﹣155）×0.008+（160﹣m）×0.012+0.008×5＝0.72﹣0.004m，所以f(所以f（m）在[155，160]上单调递减，在（155，160]上单调递增，故当m＝160时，有fmin（m）＝0.08．在实际中，以f（m）取得最小值时的临界值m＝160为标准，可以使漏诊率与误诊率的和最小，是检测效果最好的临界值．【点评】本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题．21．食品安全负责部门为了对某大型超市经营的某品牌（由A，B两个不同的产地生产）的“预制食品”的某些指标进行检测，随机从A，B两个产地生产的产品中分别抽取了30个作为样本进行检测，依据检测相应指标的相关数据，将其划定为“优良”和“合格”两个级别，记录相关数据得到如下2×2列联表：单位：个级别产地合计AB优良201535合格101525合计303060（1）依据小概率值α＝0.10的独立性检验，分析“该食品的指标等级与产地”是否有关？（2）该超市对该“预制食品”进行打包促销，对于同一产地生产的食品采用每5个装为一个“促销大礼包”的促销形式，若某顾客随机购买了一个“促销大礼包”，经检测显示恰有4个为优良级别，试通过概率知识确定该“促销大礼包”内装的是A产地生产的食品的概率（该超市A，B两个产地的售出量之比为3：2，以列联表中产品的优良的频率代替各自产品优良的概率）．参考公式和数据：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【考点】独立性检验．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）认为“该食品的指标等级与产地”无关．（2）256337【分析】（1）计算χ2，与临界值比较即可得解；（2）利用全概率公式及条件概率公式求解即可．【解答】解：（1）零假设为H0：该食品的指标等级与产地无关，根据表中数据计算得，χ2依据小概率值α＝0.10的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为“该食品的指标等级与产地”无关．（2）记M为“‘促销大礼包’中有4个为优良级别”；A为“‘促销大礼包’中的食品由A产地生产”；B为“‘促销大礼包’中的食品由B产地生产”，依题意，P(A)=P（M）＝P（M|A）P（A）+P（M|B）P（B）=C则P(所以该“促销大礼包”内装的是A产地生产的食品的概率为256337【点评】本题主要考查独立性检验，全概率及条件概率公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．22．某市为创建全国文明城市，自2019年1月1日起，在机动车斑马线礼让行人方面，通过公开违规行车的照片及车牌号，效果显著．下表是该市人民广场某路口连续5年监控设备抓拍到该路口机动车不礼让行人的统计数据：记方案执行时间为执行后第x年，不礼让行人车数为y（单位：百辆）．x/年12345y/百辆5.85.24.53.72.8（1）求不礼让行人车数y与执行时间x之间的经验回归方程；（2）预测该路口2025年不礼让行人车数．参考公式：经验回归方程ŷ=b̂x【考点】一元线性回归模型．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）ŷ（2）140辆．【分析】（1）根据线性回归方程的求法计算得解；（2）根据所求回归方程代入数据预测即可．【解答】解：（1）由表中数据可得，x=i=15xi所以b̂所以â所以不礼让行人车数y与执行时间x之间的经验回归方程为ŷ（2）由（1）可知，ŷ令x＝7得，ŷ所以2025年该路口不礼让行人车数的预测值是140辆．【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解和应用，属于中档题．

考点卡片1．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．2．n重伯努利试验与二项分布【知识点的认识】1、二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，2、独立重复试验：（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p【解题方法点拨】独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．【命题方向】典例1：如果ζ～B（100，12），当P（ζ＝k）取得最大值时，k＝50解：∵ζ～B（100，12当P(由组合数知，当k＝50时取到最大值．故答案为：50．典例2：一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m＝3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？解：（Ⅰ）∵取出2球的颜色相同则为中奖，∴每次中奖的概率p=C（Ⅱ）若m＝3，每次中奖的概率p=2∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为C3（Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p）=C31p(1-p)2=3p3﹣6p2∴f′（p）＝3（p﹣1）（3p﹣1），∴f（p）在（0，13）上单调递增，在（13，∴p=13时，f（p）取得最大值，即∴m＝2，即m＝2时，f（p）取得最大值．3．二项分布的均值（数学期望）与方差【知识点的认识】二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，﹣均值（数学期望）：E(X)=n×﹣方差：D(【解题方法点拨】﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．【命题方向】﹣重点考察二项分布的期望和方差计算，常用于统计数据分析和预测问题．4．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中实数（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）=12πσe（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值12（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=18πA．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．题型4：正态分布的应用典例1：2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有辆．解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15＝180辆．点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有x1+典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，19），问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间（3，5]解∵X～N（4，19），∴μ＝4，σ=∴不属于区间（3，5]的概率为P（X