辽宁省大连市沙河口区2024-2025学年八年级下学期开学考数学试题 （原卷版+解析版）

2025年辽宁省初中学业水平模拟考试（一）数学试卷（本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：抛物线的顶点坐标是第一部分选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（）A. B.C. D.2.在中学体育测试中，初一男生引体向上测试的满分标准为13次．在一次引体向上测试中，小明的成绩是12次，记为“”．如果小刚的成绩记为“”，那么小刚的成绩是（）A13次 B.14次 C.15次 D.16次3.“染色体”是人类“生命之书n中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有个碱基对，用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.4.如图，在菱形中，连接、，若，则的度数为（）A. B. C. D.5.下列运算正确的是（）A.a4+a5＝a9 B.a3•a4＝a12C.a8÷a4＝a2 D.（﹣2a2）3＝﹣8a66.在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（）A.摸出白球 B.摸出红球 C.摸出黑球 D.摸出白球或红球7.下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A. B. C. D.8.九章算术中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出钱，还盈余钱；每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为(

)A. B. C. D.9.如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是（）A.1 B.1.5 C.2 D.2.510.如图，直线与轴，轴的交点分别为点，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（）A. B. C. D.第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.方程的解是_______12.在平面直角坐标系中，点，，线段经过平移得到，若点的坐标是，则点的坐标是________．13.如图，在中，，若，，则为_______．14.如图，抛物线与轴交于点，点，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧，若，则点的坐标为_____．15.如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为______．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16计算：（1）；（2）．17.为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．（1）甲、乙两种工具每件各多少元？（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？18.2023年6月5日是世界环境日，某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题相关知识测试．为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，现从七年级和七年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D：．其中，七年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：学生平均数中位数众数方差七年级85.286b59.66八年级85.2a9191.76根据以上信息，解答下列问题；（1）填空：___________，___________，___________；（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）（3）若七年级有500名学生参赛，八年级有700名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？19.某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．销售单价x/元…1214161820…销售量y/盒…5652484440…（1）y与x的函数表达式是____________________；（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？20.如图1，桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．线段代表固定支架，与地面垂直，点、点分别代表重物和水桶（重物和水桶的大小忽略不计），线段是无弹力、固定长度的麻绳，，始终与地面垂直．．（1）如图2，当水桶C的位置低于地面时，，求这个桔槔支架的高度；（2）如图3，向上提水桶C，当时，求此时水桶C到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，）21.如图，点在的边上，，顶点在以为直径的上，过作交的延长线于点，交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，求阴影部分面积．22.如图，在矩形中，对角线，相交于点O，对角线所在的直线绕点O顺时针方向旋转，旋转中直线分别交边于点，．将四边形沿直线折叠得到四边形（点的对应点分别为，线段交边于．）（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，若，求证：；（3）若，①如图3，点在点左侧时，求的长；②如图4，点在点右侧时，直接写出长．23.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且（或且），则称直线是图形与的“区分直线”．例如：如图，正方形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，直线是函数的图象与正方形的一条“区分直线”．（1）在直线中，是图函数的图象与正方形的“区分直线”的为_____；（2）若直线是图函数的图象与正方形的“区分直线”，且直线与函数的图象有公共点，求公共点的坐标；（3）如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，点在点的右侧，点在点的上方，直角顶点的坐标是与的“区分直线”有且只有一条，求此“区分直线”的函数表达式；（4）正方形的边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，直线是函数的图象与正方形的“区分直线”，若，“区分直线”有且只有一条时，求的值；若存在“区分直线”，直接写出的取值范围．

2025年辽宁省初中学业水平模拟考试（一）数学试卷（本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：抛物线的顶点坐标是第一部分选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图的定义，从左边看到的图形是左视图，即可判断．【详解】解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．故选：B．【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是明确左视图是从物体的左边观察得到的图形．2.在中学体育测试中，初一男生引体向上测试的满分标准为13次．在一次引体向上测试中，小明的成绩是12次，记为“”．如果小刚的成绩记为“”，那么小刚的成绩是（）A.13次 B.14次 C.15次 D.16次【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若相对于标准次数不足用负数表示，那么相对于标准整理超出用正数表示，据此求解即可．【详解】解：∵满分标准为13次，小明的成绩是12次，记为“”．∴如果小刚的成绩记为“”，那么小刚的成绩是次．故选：D．3.“染色体”是人类“生命之书n中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有个碱基对，用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【详解】解：．故选：D．4.如图，在菱形中，连接、，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，以及求余角，设、相交于点O，由菱形的性质可得出，在利用余角的定义即可求出答案．【详解】解：设、相交于点O，∵四边形菱形，∴，∴，∵，∴，故选：C．5.下列运算正确的是（）A.a4+a5＝a9 B.a3•a4＝a12C.a8÷a4＝a2 D.（﹣2a2）3＝﹣8a6【答案】D【解析】【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法和除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．【详解】解：A、两项不是同类项，不能合并，故不符合题意；B、a3•a4=a7，故不符合题意；C、a8÷a4=a4，故不符合题意；D、（-2a2）3=-8a6，故符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．6.在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（）A.摸出白球 B.摸出红球 C.摸出黑球 D.摸出白球或红球【答案】B【解析】【分析】本题考查了概率公式，先算出总球数，再分别算出每种球的概率，即可作答．【详解】解：依题意，（种），∴白球的概率是；∴红球的概率是；∴黑球的概率是；故选：B．7.下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，即可一一判定．【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．8.九章算术中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出钱，还盈余钱；每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据“每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：设人数为人，物品价格为钱，依题意，得．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9.如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是（）A.1 B.1.5 C.2 D.2.5【答案】B【解析】【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识，利用垂线段最短求出的最小值是解题的关键．先利用菱形的性质求出，根据垂线段最短可知，根据中位线的性质可知从而得解．【详解】解：连接、，与交于点O，∵四边形是菱形，，∴，，又∵，∴，∵点G是线段上的动点，，∴，∵点E，F分别是线段，的中点，即是的中位线，∴，∴，故选：B．10.如图，直线与轴，轴的交点分别为点，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线的关系式可求出点A、点B的坐标，即可得的长，证明得，，可得出点C的坐标．【详解】解：如图，过点C作轴，垂足为N．∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴，，即，，∵四边形是正方形，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴点．故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，一次函数图象与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，证明是解答本题的关键．．第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.方程的解是_______【答案】x=9【解析】【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘x（x-3），得3x-9=2x，解得x=9．检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0．∴原方程的解为：x=9．故答案为：x=9．12.在平面直角坐标系中，点，，线段经过平移得到，若点的坐标是，则点的坐标是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．求原来点的坐标正好相反．直接利用平移中点的变化规律求解即可．【详解】解：线段经过平移得到，若点的坐标是，，横坐标从1到，说明是向左移动了，纵坐标从到1，说明是向上移动了，则点的坐标是，即．故答案为：．13.如图，在中，，若，，则为_______．【答案】18【解析】【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质．先利用等高的两个三角形面积的比等于底的比求得，则，由，证明，得，则，于是得到问题的答案．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：18．14.如图，抛物线与轴交于点，点，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧，若，则点的坐标为_____．【答案】##【解析】【分析】本题考查了垂直平分线的判定，抛物线与坐标轴的交点坐标，以及抛物线上点的坐标，解决此题的关键是和合理的推理正确的计算．由得点P在线段的垂直平分线上，求出的中点坐标为，然后解方程即可求解．【详解】解：∵，∴点P在线段的垂直平分线上，∵抛物线与y轴交于点C，∴，∵，∴的中点坐标为，∴P点纵坐标为，在中，令，可得，解得，（舍去），∴P点坐标为，故答案为．15.如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为______．【答案】【解析】【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出．【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，矩形中，，，．由作图过程可知，平分，四边形是矩形，，又，，在和中，，，，，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，．．，．，，，，即，解得．故答案为：．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了二次根式的加减，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（1）先根据乘方的意义、有理数的除法、二次根式的性质、绝对值的意义化简，再算加减；（2）先把括号内通分，并把除法转化为乘法，再约分化简即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．17.为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．（1）甲、乙两种工具每件各多少元？（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？【答案】（1）甲种工具每件16元，乙种工具每件4元；（2）50件【解析】【分析】（1）设甲种工具每件元，乙种工具每件元，根据“如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设甲种工具购买了件，则乙种工具购买了件，根据总价单价数量结合总费用不超过1000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】解：（1）设甲种工具每件元，乙种工具每件元，依题意得：，解得：．答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．（2）设甲种工具购买了件，则乙种工具购买了件，依题意得：，解得：．答：甲种工具最多购买50件．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程及不等式．18.2023年6月5日是世界环境日，某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试．为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，现从七年级和七年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D：．其中，七年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：学生平均数中位数众数方差七年级85286b59.66八年级85.2a9191.76根据以上信息，解答下列问题；（1）填空：___________，___________，___________；（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）（3）若七年级有500名学生参赛，八年级有700名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？【答案】（1）87.5；88；35；（2）八年级的成绩更好，理由见解析；（3）估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有430人．【解析】【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，根据八年级等级C的学生人数求出其所占百分比，可得m的值；（2）依据表格中平均数、中位数、众数，方差做出判断即可；（3）用样本估计总体即可．【小问1详解】解：由题意得：八年级等级A的学生人数为（人），等级B的学生人数为（人），∴八年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故八年级学生成绩的中位数；七年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数；由题意可得：，故，故答案为：87.5；88；35；【小问2详解】解：八年级的成绩更好，理由：因为两个年级的平均数相同，而八年级的成绩的中位数和众数均大于七年级；【小问3详解】解：（人），

答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有430人．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．19.某超市购入一批进价为10元/盒糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．销售单价x/元…1214161820…销售量y/盒…5652484440…（1）y与x的函数表达式是____________________；（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）（2）当时，取最大值为【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数，二次函数的应用，用到的知识点为：二次函数的二次项系数小于0，求二次函数的最大值，可整理成，二次函数的最大值为；也可整理成一般式：，最大值为：．（1）设与的函数表达式为：，把表格中的两组数值代入可得和的值，即可求出与的函数关系式；（2）设日销售利润为元，每盒糖果的利润销售量，把所得函数解析式整理为顶点式，可得糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少；【小问1详解】解：设，将代入，．解得：．；【小问2详解】解：设日销售利润为元．则可得，当时，取最大值为，答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；20.如图1，桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．线段代表固定支架，与地面垂直，点、点分别代表重物和水桶（重物和水桶的大小忽略不计），线段是无弹力、固定长度的麻绳，，始终与地面垂直．．（1）如图2，当水桶C的位置低于地面时，，求这个桔槔支架的高度；（2）如图3，向上提水桶C，当时，求此时水桶C到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，）【答案】（1）这个桔槔支架的高度为（2）此时水桶到地面的距离大约为【解析】【分析】（1）过点作交的延长线于点，交于点，与地面的交点为，根据直角三角形的性质求出，求出，证明四边形为矩形，得出，最后求出结果即可；（2）过点作于点，延长交延长线于点，过作于点，解直角三角形得出，证明，得出，求出，得出，证明四边形为矩形，得出，得出答案即可．【小问1详解】解：如图1，过点作交的延长线于点，交于点，与地面的交点为，∵都与地面垂直，则，，，，，∴在Rt中，，，，，，∴四边形为矩形，，．答：这个桔槔支架的高度为；【小问2详解】解：如图2，过点作于点，延长交延长线于点，过作于点，则，在中，，∵，，∵，∴，∴，，，∵，∴，∴四边形为矩形，，．答：此时水桶到地面的距离大约为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，数形结合，作出辅助线．21.如图，点在的边上，，顶点在以为直径的上，过作交的延长线于点，交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，再根据，证明，即可证明，即可证明结论；（2）根据特殊角的三角函数值得到，求出，分别求出和和的面积即可得到答案，【小问1详解】证明：连接，，，，，，，，，点在上，故是的切线；【小问2详解】解：，为的直径，，，，，且，，，，，令半径为，，，，过点作于点，，，，，．【点睛】本题主要考查圆的性质，切线的性质，特殊角的三角函数值，以及扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．22.如图，在矩形中，对角线，相交于点O，对角线所在的直线绕点O顺时针方向旋转，旋转中直线分别交边于点，．将四边形沿直线折叠得到四边形（点的对应点分别为，线段交边于．）（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，若，求证：；（3）若，①如图3，点在点左侧时，求的长；②如图4，点在点右侧时，直接写出的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）①5；②2【解析】【分析】（1）根据证明，利用全等三角形的性质可证；（2）设与的交点为，在上截取，连接证明得，再证明是等边三角形得，证明得，进而可证；（3）①过作于，则，证明四边形、是矩形得、，证明，由勾股定理求出，设，则，根据求出，进而可求出；②过作于，同理，．设，则，由求出，可得．【小问1详解】证明：四边形是矩形，．．又，，；【小问2详解】证明：如图2，设与的交点为，在上截取，连接∵四边形是矩形，与相等且互相平分，，．四边形沿直线折叠得到四边形，．又，，，．，．，，设，则，．，，，即．，是等边三角形，，．又，，．，，即；【小问3详解】①如图3，过作于，则，∵四边形是矩形，，，四边形是矩形，．同理四边形是矩形，．，．又折叠，，，．在中，根据勾股定理得，．设，则．，，，；②如图4，过作于，同理，．设，则，，，．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．23.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且（或且），则称直线是图形与的“区分直线”．例如：如图，正方形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，直线是函数的图象与正方形的一条“区分直线”．（1）在直线中，是图函数的图象与正方形的“区分直线”的为_____；（2）若直线是图函数的图象与正方形的“区分直线”，且直线与函数的图象有公共点，求公共点的坐标；（3）如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，点在点的右侧，点在