2024-2025学年下学期初中数学七年级第十一章B卷

第30页（共30页）第十一章B卷一．选择题（共10小题）1．（2024秋•北林区期末）已知点P（2a+1，a﹣1）在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．2．（2024秋•北林区期末）若不等式组x-2≥A．3 B．5 C．7 D．93．（2024秋•锦江区校级期末）下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得am＞bm B．由a＞b，得a﹣2024＜b﹣2024 C．由ab＞ac，得b＜c D．由ba2+1＞4．（2024秋•平湖市期末）某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件a+A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b5．（2024•路桥区二模）在数轴上表示不等式3x＜x+2的解集，正确的是（）A． B． C． D．6．（2024春•巩义市期末）某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于15%，如果将这种品牌的运动鞋打x折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是（）A．200x≥200×15% B．300×xC．300×xD．300x﹣200≥200×15%7．（2024秋•镇海区月考）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果，若每个学生分4个苹果，则还剩8个苹果；若每个学生分5个苹果，则有一个学生所分苹果不足2个，若学生的人数为x，则列式正确的是（）A．1≤4x+8﹣5x≤2 B．0＜4x+8﹣5x＜2 C．0＜4x+8﹣5（x﹣1）≤2 D．1≤4x+8﹣5（x﹣1）＜28．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如果不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（）A．a＞0 B．a＞5 C．a≠5 D．a＜59．（2024秋•萧山区月考）已知关于x的不等式组x-①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；②当a＝3，则不等式组有解；③若它的整数解仅有1个，则a的取值范围是7≤a＜9；④若它有解，则a＞3．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2024秋•渝北区月考）已知关于y的方程a-(2+y)2=y-3的解为整数，A．8 B．11 C．13 D．19二．填空题（共5小题）11．（2024秋•临平区期末）关于x的一元一次不等式组-x+2＜02x12．（2024秋•余姚市期末）若定义max{a，b}是a与b中的较大者，例如：max{1，3}＝3，max{5，5}＝5，若有y＝max{x+3，﹣x+8}，那么y的最小值是．13．（2024秋•镇海区校级期末）若关于x的不等式组2x+a≥0x-2a＜14．（2024秋•雁塔区校级期末）已知函数y1＝|x|和y2=13x+43，若y1＞y215．（2024秋•锦江区校级期末）如果不等式（3﹣a）x＜a﹣3的解集为x＞﹣1，则a必须满足的条件是．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•无锡期末）在平面直角坐标系中，有一点P（a﹣1，2a）．（1）若点P在x轴上，求点P的坐标；（2）若点P在第二象限，求a的取值范围．17．（2024秋•沙坪坝区校级期末）新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元．（1）求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；（2）小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润．18．（2024秋•沙坪坝区校级期末）解不等式（组）：（1）解不等式，并把解集表示在数轴上：2x﹣11＜4（x﹣3）+3；（2）解不等式组：-319．（2024秋•金水区校级期末）根据以下素材，完成任务．素材一：春节，即农历新年，为了迎接春节，某商场出售春节限定水果礼盒和坚果礼盒．每个水果礼盒成本为120元，每个坚果礼盒成本为180元，每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒的利润与销售两个水果礼盒的利润相同．素材二：两种礼盒全部售完之后，商场决定第二次进货时同时购进两种礼盒共100个．坚果礼盒不超过40个．且这批礼盒全部按照原售价销售．（1）每个水果礼盒和坚果礼盒的售价各是多少？（2）素材二中．若使销售完这批礼盒后商场获得最大的利润，请帮助商场设计进货方案．20．（2024秋•临平区期末）以下为小颖在解不等式组x-解不等式②，2（2x+2）≤3x+1…第一步4x+4≤3x+1…第二步4x﹣3x≤1﹣4…第三步x≤﹣3…第四步（1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第步开始出现错误；（2）请你完成本题的解答：解：解不等式①，得，解不等式②，得，在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示；所以原不等式组的解集为．21．（2024秋•祁阳市校级期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；（2）已知关于x的不等式C：x-12＜a+13，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥12，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出22．（2023秋•湘西州期末）东方影院筹备举办“2024跨年晚会”，成人票售价每张120元，学生票售价每张60元．影院制定了两种团体购票优惠方案．方案1：每购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按购票总价的80%付款．育才学校将组织10名老师与x名（不少于10名）学生参加晚会．（1）则育才学校选择优惠方案1的付款金额是元（用含x的式子表示），选择优惠方案2的付款金额是元（用含x的式子表示）；（2）当x取何值时，两种优惠方案的付款金额相同？（3）当x＝40时，选择哪种优惠方案更省钱？23．（2023秋•遵义期末）某校每年的3月14日举行数学节“πDay”为下学期的“πDay”做准备，小颖和小星到文具店去购买A，B两种魔方，下面是小颖与小星的对话：（1）求A、B两种魔方的单价．（2）若购买A、B两种魔方共30件，其中B种魔方的数量不少于A种魔方的数量，且购买总费用不超过582元，有几种购买方案，并写出购买方案．

第十一章B卷参考答案与试题解析题号12345678910答案CADAABDDBD一．选择题（共10小题）1．（2024秋•北林区期末）已知点P（2a+1，a﹣1）在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【考点】解一元一次不等式组；点的坐标；在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】C【分析】由点P在第四象限，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得出答案．【解答】解：∵点P（2a+1，a﹣1）在第四象限，∴2a解得：-1在数轴上表示为：故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集以及点所在象限的坐标特征，解题的关键是根据点所在的象限得出关于a的一元一次不等式组．2．（2024秋•北林区期末）若不等式组x-2≥A．3 B．5 C．7 D．9【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】解不等式组可得x≥2，x＜m2，由不等式组无解可得2【解答】解：x-解不等式①，得x≥2，解不等式②，得x＜∵不等式组x-∴2≥∴m≤4，故选：A．【点评】本题考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．3．（2024秋•锦江区校级期末）下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得am＞bm B．由a＞b，得a﹣2024＜b﹣2024 C．由ab＞ac，得b＜c D．由ba2+1＞【考点】不等式的性质．【专题】数与式；运算能力．【答案】D【分析】不等式的基本性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；（3）等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此逐项分析判断即可．【解答】解：A．由a＞b，若m＞0，则可得am＞bm，故本选项变形错误，不符合题意；B．由a＞b，得a﹣2024＞b﹣2024，故本选项变形错误，不符合题意；C．由ab＞ac，若a＜0，则可得b＜c，故本选项变形错误，不符合题意；D．ba2+1＞ca2+1，因为a2故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．4．（2024秋•平湖市期末）某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件a+A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】A【分析】首先表示出9件货物的平均价格：5a+4b5+4元，后来商店以a+b2【解答】解：9件货物的平均价格：5a∵赔钱了，∴5a解得a＞b，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量的等量关系．5．（2024•路桥区二模）在数轴上表示不等式3x＜x+2的解集，正确的是（）A． B． C． D．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】首先移项，再合并同类项，把x的系数化为1可得到不等式的解集．【解答】解：3x＜x+2移项得：3x﹣x＜2，合并同类项得：2x＜2，把x的系数化为1得：x＜1，故选：A．【点评】此题考查了不等式的解法．不等式的解题步骤为：去分母，去括号，移项合并同类项，系数化一．注意系数化一时：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．6．（2024春•巩义市期末）某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于15%，如果将这种品牌的运动鞋打x折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是（）A．200x≥200×15% B．300×xC．300×xD．300x﹣200≥200×15%【考点】不等式的定义．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】B【分析】根据题意，列出不等式即可．【解答】解：如果将这种运动鞋打x折销售，根据题意得300×x10-200≥200故选：B．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据利润＝售价﹣进价，可列不等式求解．7．（2024秋•镇海区月考）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果，若每个学生分4个苹果，则还剩8个苹果；若每个学生分5个苹果，则有一个学生所分苹果不足2个，若学生的人数为x，则列式正确的是（）A．1≤4x+8﹣5x≤2 B．0＜4x+8﹣5x＜2 C．0＜4x+8﹣5（x﹣1）≤2 D．1≤4x+8﹣5（x﹣1）＜2【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．【答案】D【分析】根据题意，可以得到不等式1≤4x+8﹣5（x﹣1）＜2，从而可以判断哪个选项昂符合题意．【解答】解：由题意可得，1≤4x+8﹣5（x﹣1）＜2，故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式，注意不足2个暗含着小于2个，同时题干中有每个学生都分到苹果，则最少1个．8．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如果不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（）A．a＞0 B．a＞5 C．a≠5 D．a＜5【考点】解一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】D【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出a的范围即可．【解答】解：∵不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，∴a﹣5＜0，∴a＜5，故选：D．【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．9．（2024秋•萧山区月考）已知关于x的不等式组x-①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；②当a＝3，则不等式组有解；③若它的整数解仅有1个，则a的取值范围是7≤a＜9；④若它有解，则a＞3．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】B【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围．【解答】解：x-解不等式①，得x＞1，解不等式②，得x≤a所以不等式组的解集为1＜x≤a①∵它的解集是1＜x≤3，∴a-1解得a＝7，故原结论正确；②∵a＝3，∴a-1故不等式组无解，故原结论错误；③∵它的整数解仅有1个，∴2≤a-解得3≤a＜7，故原结论错误；④∵不等式组有解，∴a-1∴a＞3，原结论正确；所以正确的结论个数是2个．故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10．（2024秋•渝北区月考）已知关于y的方程a-(2+y)2=y-3的解为整数，A．8 B．11 C．13 D．19【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】D【分析】先解一元一次方程，和一元一次不等式组，根据方程的解的情况以及不等式组的解集的情况，求出a的范围即可．【解答】解：a-解得：y=由x+13＞∵不等式组x+13＞∴2＜∴2＜∴5＜a≤11，∵y=∴a+4＝12或a+4＝15，∴a＝8或a＝11，∴满足条件的所有整数a的和是8+11＝19；故选：D．【点评】本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，熟练掌握该知识点是关键．二．填空题（共5小题）11．（2024秋•临平区期末）关于x的一元一次不等式组-x+2＜02x【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：-x解不等式①x＞2，解不等式②x＜3.5，不等式组的解集是2＜x＜3.5，其整数解是3．故答案为：3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．12．（2024秋•余姚市期末）若定义max{a，b}是a与b中的较大者，例如：max{1，3}＝3，max{5，5}＝5，若有y＝max{x+3，﹣x+8}，那么y的最小值是112【考点】解一元一次不等式；有理数大小比较．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】112【分析】根据题意列出一元一次不等式，再根据结果确定y的最小值．【解答】解：当x+3≥﹣x+8时，解得x≥5∴y＝x+3．∵x≥5x+3≥11则y≥11当x+3＜﹣x+8，解得x＜5∴y＝﹣x+8，∵x＜5﹣x+8＞11则y＞11∴y的最小值为112故答案为：112【点评】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解不等式的计算方法．13．（2024秋•镇海区校级期末）若关于x的不等式组2x+a≥0x-2a＜0的整数解有且【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】0＜a≤1【分析】首先解两个不等式，根据不等式组的整数解有且只有一个，即可得到一个关于a的不等式组，据此可解决问题．【解答】解：解不等式2x+a≥0得，x≥-a解不等式x﹣2a＜0得，x＜2a，所以-a当a＝0时，此不等式组无解，所以a≠0，则-a2与2所以此不等式组的整数解为0，则-1＜-a2＜0且0解得0＜a≤1故答案为：0＜a≤1【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．14．（2024秋•雁塔区校级期末）已知函数y1＝|x|和y2=13x+43，若y1＞y2，则x的取值范围是x【考点】解一元一次不等式；绝对值．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】x＜﹣1或x＞2．【分析】由函数的解析式根据题意得出关于x的不等式，解不等式即可．【解答】解：函数y1＝|x|和y2=13x+4∴|x|＞1当x≥0时，x＞1解得x＞2；当x＜0时，﹣x＞1解得x＜﹣1，∴符合题意的x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．故答案为：x＜﹣1或x＞2．【点评】本题考查了解一元一次不等式，绝对值的意义，根据绝对值的意义分类讨论是解题的关键．15．（2024秋•锦江区校级期末）如果不等式（3﹣a）x＜a﹣3的解集为x＞﹣1，则a必须满足的条件是a＞3．【考点】解一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】a＞3．【分析】根据已知不等式的解集得到3﹣a为负数，即可确定出a的范围．【解答】解：∵不等式（3﹣a）x＜a﹣3的解集为x＞﹣1，∴3﹣a＜0，解得：a＞3．故答案为：a＞3．【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•无锡期末）在平面直角坐标系中，有一点P（a﹣1，2a）．（1）若点P在x轴上，求点P的坐标；（2）若点P在第二象限，求a的取值范围．【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．【专题】一元一次不等式（组）及应用；平面直角坐标系；推理能力．【答案】（1）P（﹣1，0）；（2）0＜a＜1．【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a的值，再求解即可；（2）根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正可得a-【解答】解：（1）∵点P（a﹣1，2a）在x轴上，∴2a＝0，解得a＝0，∴a﹣1＝﹣1，∴P（﹣1，0）；（2）∵点P（a﹣1，2a）在第二象限，∴a-∴解得0＜a＜1．【点评】本题主要考查了点的坐、坐标与图形的性质、解一元一次不等式组，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．17．（2024秋•沙坪坝区校级期末）新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元．（1）求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；（2）小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润．【考点】一元一次不等式组的应用．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）每副春联的进价8元，每对窗花的进价3元；（2）购进80副春联时销售利润最大，最大利润为1220元．【分析】（1）根据“购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元”列方程组求解；（2）根据“利润＝单利润×数量”列出函数表达式，再根据函数的性质求解．【解答】解：（1）设每副春联的进价x元，每对窗花的进价y元，则40x解得：x=8答：每副春联的进价8元，每对窗花的进价3元；（2）设购进a副春联，销售为w元，∴w＝（15﹣8）a+（6﹣3）（300﹣a）＝4a+900，∵8a解得：50≤a≤80，∵4＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝80时，w取最大值，为：4×80+900＝1220（元），∴购进80副春联时销售利润最大，最大利润为1220元．【点评】本题考查了一元一次不等式及方程组的应用，找到相等关系或不等关系三解题的关键．18．（2024秋•沙坪坝区校级期末）解不等式（组）：（1）解不等式，并把解集表示在数轴上：2x﹣11＜4（x﹣3）+3；（2）解不等式组：-3【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）x＞﹣1．（2）x≤1．【分析】（1）首先去括号、然后移项、合并同类项、系数化为1即可求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）2x﹣11＜4（x﹣3）+3，去括号，得：2x﹣11＜4x﹣12+3，移项，得：2x﹣4x＜﹣12+3+11，合并同类项，得：﹣2x＜2，系数化为1得：x＞﹣1．；（2）-3解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＜3，则不等式组的解集为x≤1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式（组），熟练掌握解题步骤和方法解答此题的关键．19．（2024秋•金水区校级期末）根据以下素材，完成任务．素材一：春节，即农历新年，为了迎接春节，某商场出售春节限定水果礼盒和坚果礼盒．每个水果礼盒成本为120元，每个坚果礼盒成本为180元，每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒的利润与销售两个水果礼盒的利润相同．素材二：两种礼盒全部售完之后，商场决定第二次进货时同时购进两种礼盒共100个．坚果礼盒不超过40个．且这批礼盒全部按照原售价销售．（1）每个水果礼盒和坚果礼盒的售价各是多少？（2）素材二中．若使销售完这批礼盒后商场获得最大的利润，请帮助商场设计进货方案．【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】（1）水果礼盒的售价为150元，坚果礼盒的售价为240元；（2）当进水果礼盒60个，坚果礼盒40个时，利润最大，最大值为4200元．【分析】（1）根据“销售一个坚果礼盒的利润与销售两个水果礼盒的利润相同”列方程求解；（2）先根据“利润＝单利润×数量”列出函数关系式，再根据函数的性质求解．【解答】解：（1）设水果礼盒的售价为x元，则坚果礼盒的售价为（x+90）元，则：x+90﹣180＝2（x﹣120），解得：x＝150，∴x+90＝240，答：水果礼盒的售价为150元，坚果礼盒的售价为240元；（2）设进水果礼盒a个，利润为w元，则：w＝（150﹣120）a+（240﹣180）（100﹣a）＝﹣30a+6000，∵﹣30＜0，∴w随a的增大而减小，∵0≤100﹣a≤40，∴60≤a≤100，∴当a＝60时，w取最大值，为：4200元，∴当进水果礼盒60个，坚果礼盒40个时，利润最大，最大值为4200元．【点评】本题考查了一元一次方程份应用，找到相等关系是解题的关键．20．（2024秋•临平区期末）以下为小颖在解不等式组x-解不等式②，2（2x+2）≤3x+1…第一步4x+4≤3x+1…第二步4x﹣3x≤1﹣4…第三步x≤﹣3…第四步（1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第一步开始出现错误；（2）请你完成本题的解答：解：解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤2，在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示；所以原不等式组的解集为﹣2＜x≤2．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题目中的解答过程可知第一步出错了；（2）先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知，第一步开始出现错误，理由是等号右边的1没有乘6，故答案为：一；（2）解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤2，在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示；所以原不等式组的解集为﹣2＜x≤2．故答案为：x＞﹣2；x≤2；﹣2＜x≤2．【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．21．（2024秋•祁阳市校级期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；（2）已知关于x的不等式C：x-12＜a+13，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥12，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出【考点】解一元一次不等式；解二元一次方程组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；（2）根据“雅含”关系的定义得出2a+4（3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据m≥12，n＜﹣1，且k为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得【解答】解：（1）不等式A：x+2＞1的解集为x＞﹣1，A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；（2）∵不等式C：x-12＜a+13的解集为x＜2a+53，不等式D：2x﹣（3﹣x∴2a+5解得a≤1（3）由2m+n∵m≥12，n＜﹣∴k+3解得﹣1.5≤k＜3，∵k为整数，∴k的值为﹣1，0，1，2；不等式P：kx+6＞x+4整理得，（k﹣1）x＞﹣2；不等式Q：6（2x﹣1）≤4x+2的解集为x≤1，①当k＝1时，不等式P的解集是全体实数，∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，②当k＞1时，不等式P的解集为x＞-2不能满足P与Q存在“雅含”关系，③当k＜1时，不等式P：kx+6＞x+4的解集为x＜-∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，∴k﹣1＜0，且-2k解得﹣1＜k＜1，∴k＝0，综上k的值为0或1．【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．22．（2023秋•湘西州期末）东方影院筹备举办“2024跨年晚会”，成人票售价每张120元，学生票售价每张60元．影院制定了两种团体购票优惠方案．方案1：每购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按购票总价的80%付款．育才学校将组织10名老师与x名（不少于10名）学生参加晚会．（1）则育才学校选择优惠方案1的付款金额是（6x+600）元（用含x的式子表示），选择优惠方案2的付款金额是（48x+960）元（用含x的式子表示）；（2）当x取何值时，两种优惠方案的付款金额相同？（3）当x＝40时，选择哪种优惠方案更省钱？【考点】一元一次不等式的应用；列代数式；一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】（1）（60x+600），（48x+960）；（2）x＝30；（3）方案2．【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据（1）中代数式列方程计算即可；（3）根据（1）中代数式求值比较即可．【解答】解：（1）方案1的付款金额为：120×10+（x﹣10）×60＝（60x+600）元；方案2的付款金额为：60x×80%+120×10×80%＝（48x+960）元；故答案为：（60x+600），（48x+960）；（2）当两种优惠方案的付款金额相同时，则60x+600＝48x+960，解得：x＝30，∴当x＝30时，两种优惠方案的付款金额相同；（3）当x＝40时，方案1的付款金额为：60x+600＝60×40+600＝3000（元），方案2的付款金额为：48x+960＝48×40+960＝2880（元），∵2880＜3000，∴选择优惠方案2更省钱．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据题中等量关系列出方程是解题的关键．23．（2023秋•遵义期末）某校每年的3月14日举行数学节“πDay”为下学期的“πDay”做准备，小颖和小星到文具店去购买A，B两种魔方，下面是小颖与小星的对话：（1）求A、B两种魔方的单价．（2）若购买A、B两种魔方共30件，其中B种魔方的数量不少于A种魔方的数量，且购买总费用不超过582元，有几种购买方案，并写出购买方案．【考点】一元一次不等式组的应用．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）A、B两种魔方的单价分别为16元和22元；（2）有3种购买方案，见详解．【分析】（1）设A、B两种魔方的单价分别为x元和y元，根据题意列出方程组求解即可；（2）结合两种魔方得单价列出不等式组求得可能的情况，再结合单价求出购买方案．【解答】解：（1）设A、B两种魔方的单价分别为x元和y元，则x+解得x=16答：A、B两种魔方的单价分别为16元和22元；（2）设购进x个A款魔方，则购进（30﹣x）个B款魔方，根据题意得：30-解得：13≤x≤15，有3种购买方案：第一种：购进13个A款魔方，则购进30﹣13＝17（个）B款魔方，购买总费用13×16+17×22＝582（元）；第二种：购进14个A款魔方，则购进30﹣14＝16（个）B款魔方，购买总费用14×16+16×22＝576（元）；第三种：购进15个A款魔方，则购进30﹣15＝15（个）B款魔方，购买总费用15×16+15×22＝570（元）．【点评】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式组的应用，正确进行计算是解题关键．

考点卡片1．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．有理数大小比较（1）有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．（2）有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．【规律方法】有理数大小比较的三种方法1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．3．作差比较：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b＝0，则a＝b．3．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．4．一元一次方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．5．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．6．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用x=7．不等式的定义（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．8．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．9．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时