2024-2025学年下学期初中数学七年级第七章B卷

第30页（共30页）第七章B卷一．选择题（共10小题）1．（2024秋•三水区期末）如图，BG∥CE，BC∥GE，点F在GE上，线段BG的延长线与线段CF的延长线相交于点A．如果∠AGE＝70°，∠FCB：∠FCE＝5：6，求∠CFE的度数（）A．45° B．50° C．55° D．60°2．（2024秋•禅城区期末）如图，直线m∥n，一把含30°角的直角三角尺按所示位置摆放，若∠1＝30°，则∠2的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．40°3．（2024秋•顺德区期末）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且∠A＝45°，∠F＝30°．若BC∥EF，则∠CED的度数是（）A．5° B．10° C．15° D．20°4．（2024秋•盐田区期末）把一块含有45°角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若∠2＝25°，则∠1＝（）A．50° B．60° C．70° D．65°5．（2024秋•青山区期末）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（）A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180°6．（2024秋•溧阳市期末）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，∠1＝40°，∠2＝110°，则∠3+∠4的值为（）A．100° B．110° C．120° D．150°7．（2024秋•惠来县期末）下列命题是真命题的是（）A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若（a﹣1）2+（b+2）2＝0，则a＝1且b＝﹣28．（2024秋•新城区期末）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AD＝3OA，OB＝5，则OC的长为（）A．5 B．8 C．10 D．159．（2024秋•沈河区期末）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④10．（2024秋•崂山区期末）如图，直线MN∥PQ，一个直角三角板ABC，其中∠BAC＝30°，将三角板按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线PQ，MN上，AB是∠CAP角平分线，则∠1的度数为（）A．45° B．35° C．30° D．25°二．填空题（共5小题）11．（2024秋•金水区期末）小明认为命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”不正确，请你帮他举出一个反例．（画出图形，并加以解释）12．（2024秋•九龙坡区校级期末）为方便市民绿色出行，某市推出了共享单车服务，如图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其平面示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝70°，∠BAC＝50°，当∠MAC＝°时，AM∥CE．13．（2024秋•二七区期末）如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE，∠DCE，若∠AEC＝α，则∠AFC的度数用含α的式子表示为．14．（2024秋•西山区校级期末）如图，将直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF，已知BE＝4，AG＝3，AC＝7，则图中阴影部分的面积为．15．（2024秋•法库县期末）如图，一副三角尺按如图方式摆放．若直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•长沙期末）如图，点O在直线AB上，OC，OD在直线AB上方，且OC⊥OD．（1）若∠BOD＝26°，且OM在∠COD内部，∠DOM与∠BOD互余，则∠DOM＝，∠AOM＝．（2）若OE恰好平分∠AOC，且∠COE与∠AOD互补，求∠BOD的度数．17．（2024秋•成都期末）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求证：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．18．（2024秋•金水区期末）善于观察和思考的小金发现自行车的尾灯本身不发光，但无论光线从哪个方向射到尾灯上，都可以沿与入射光平行的方向反射回去，从而起到警示作用．这是什么原因呢？他拆开自行车尾灯，看到了多面互相垂直的小平面镜，几经思考，他终于想明白了其中的道理．请你结合图2说明反射光线DE与入射光线AB平行的理由．（其中射线BM和射线DN为法线）19．（2024秋•西山区校级期末）已知：如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1＝∠2．求证：∠FEC+∠ECB＝180°．20．（2024秋•洛阳期末）如图，已知：点E、O、A在同一直线上，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，求证：OD⊥OB．证明：∵OB平分∠AOC（已知），∴∠AOC＝2∠BOC（），同理可得：∠COE＝2∠COD，∵点E、O、A在同一直线上（），∴∠AOC+∠COE＝180°（），∴2∠BOC+2∠COD＝180°（），∴∠BOC+∠COD＝90°（），即∠BOD＝90°，∴OD⊥OB（）．21．（2024秋•洛阳期末）在同一平面内，将直尺、含60°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图所示的方式摆放，若AB∥CD，求∠1的大小．22．（2024秋•城关区期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C．求证：∠1＝∠2．23．（2024秋•滨海新区校级期末）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝80°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝1：2，求∠BOD的度数．

第七章B卷参考答案与试题解析题号12345678910答案BCCCCBDCAC一．选择题（共10小题）1．（2024秋•三水区期末）如图，BG∥CE，BC∥GE，点F在GE上，线段BG的延长线与线段CF的延长线相交于点A．如果∠AGE＝70°，∠FCB：∠FCE＝5：6，求∠CFE的度数（）A．45° B．50° C．55° D．60°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】B【分析】先利用平行线的性质可得∠CFE＝∠FCB，∠AGE＝∠ABC＝70°，再利用平行线的性质可得∠BCE＝110°，然后根据题目的已知易得：∠FCB=511∠BCE＝【解答】解：∵BC∥GE，∴∠CFE＝∠FCB，∠AGE＝∠ABC＝70°，∵BG∥CE，∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝110°，∵∠FCB：∠FCE＝5：6，∴∠FCB=511∠BCE＝∴∠CFE＝∠FCB＝50°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2024秋•禅城区期末）如图，直线m∥n，一把含30°角的直角三角尺按所示位置摆放，若∠1＝30°，则∠2的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．40°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】根据已知易得：∠DCB＝120°，然后利用平行线的性质可得∠ABC＝60°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝30°，∠4＝90°，∴∠DCB＝∠1+∠4＝120°，∵直线m∥n，∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝60°，∵∠3＝30°，∴∠2＝∠ABC﹣∠3＝30°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．3．（2024秋•顺德区期末）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且∠A＝45°，∠F＝30°．若BC∥EF，则∠CED的度数是（）A．5° B．10° C．15° D．20°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】先利用平行线的性质可得∠C＝∠CEF＝45°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠C＝∠CEF＝45°，∵∠DEF＝60°，∴∠CED＝∠DEF﹣∠CEF＝15°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4．（2024秋•盐田区期末）把一块含有45°角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若∠2＝25°，则∠1＝（）A．50° B．60° C．70° D．65°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】先利用三角形的外角性质可得∠3＝70°，然后利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝70°，即可解答．【解答】解：如图：∵∠3是△CEF的一个外角，∴∠3＝∠2+∠F＝25°+45°＝70°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3＝70°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2024秋•青山区期末）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（）A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线．【答案】C【分析】作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题．【解答】解：作EF∥AB．∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF，∴∠BAE+∠FEA＝180°，∠C＝∠FEC＝γ，∴α+（β﹣γ）＝180°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．6．（2024秋•溧阳市期末）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，∠1＝40°，∠2＝110°，则∠3+∠4的值为（）A．100° B．110° C．120° D．150°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】B【分析】利用平行线的性质进行计算，即可解答．【解答】解：如图：∵AE∥BF，∴∠1＝∠3＝40°，∵AB∥CD，∴∠2+∠4＝180°，∵∠2＝110°，∴∠4＝180°﹣∠2＝70°，∴∠3+∠4＝40°+70°＝110°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7．（2024秋•惠来县期末）下列命题是真命题的是（）A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若（a﹣1）2+（b+2）2＝0，则a＝1且b＝﹣2【考点】命题与定理；非负数的性质：偶次方；线段的性质：两点之间线段最短；对顶角、邻补角．【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】D【分析】根据两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质逐一判断即可．【解答】解：A、两点之间线段最短，两点之间直线最短是假命题，不符合题意；B、相等的角不一定是对顶角，相等的角是对顶角是假命题，不符合题意；C、若|a|＝|b|，则a＝±b，若|a|＝|b|，则a＝b是假命题，不符合题意；D、若（a﹣1）2+（b+2）2＝0，则a＝1且b＝﹣2，原选项是真命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了线段的性质、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质以及真假命题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．8．（2024秋•新城区期末）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AD＝3OA，OB＝5，则OC的长为（）A．5 B．8 C．10 D．15【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．【答案】C【分析】由平行线分线段成比例定理，得到BOCO=AODO；利用AO、BO、DO的长度，求出CO的长度，再根据BC＝【解答】解：∵AD＝3OA，∴OD＝2OA，∵AB∥CD，OB＝5，∴BOCO∴5OC解得：OC＝10，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解题的关键．9．（2024秋•沈河区期末）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【考点】平行线的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．【答案】A【分析】根据平行线的判定方法，对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴b∥c（同位角相等，两直线平行）；②∵∠2＝∠3，∴b∥c（内错角相等，两直线平行）；③∠1＝∠4无法判断两直线平行；④∵∠2+∠5＝180°，∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）．故选：A．【点评】考查了平行线的判定，在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．10．（2024秋•崂山区期末）如图，直线MN∥PQ，一个直角三角板ABC，其中∠BAC＝30°，将三角板按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线PQ，MN上，AB是∠CAP角平分线，则∠1的度数为（）A．45° B．35° C．30° D．25°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】根据角平分线的定义可得：∠CAP＝60°，然后利用平行线的性质可得∠ACM＝120°，再利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：∵AB是∠CAP角平分线，∴∠CAP＝2∠BAC＝2×30°＝60°，∵MN∥PQ，∴∠ACM＝180°﹣∠CAP＝120°，∵∠ACB＝90°，∴∠1＝∠ACM﹣∠ACB＝120°﹣90°＝30°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2024秋•金水区期末）小明认为命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”不正确，请你帮他举出一个反例如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有可能互补．（画出图形，并加以解释）【考点】命题与定理；平行线的性质．【专题】应用题；推理能力．【答案】如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有可能互补，图见详解．【分析】因此此题可画出图形然后根据平行线的性质可进行求解．【解答】解：如图所示，根据平行线性质可知∠DEF＝∠BGD，∠ABC+∠BGD＝180°，∴∠DEF+∠ABC＝180°，故如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有可能互补；故答案为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有可能互补．【点评】本题主要考查平行线的性质及举反例，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．12．（2024秋•九龙坡区校级期末）为方便市民绿色出行，某市推出了共享单车服务，如图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其平面示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝70°，∠BAC＝50°，当∠MAC＝60°时，AM∥CE．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【答案】60．【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补求得∠ACB＝60°，再根据内错角相等，两直线平行可得结论．【解答】解：∵共享单车放在水平地面的平面示意图中，AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝70°，∠BAC＝50°，∴AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°，∴∠ACB＝180°﹣70°﹣50°＝60°，当∠MAC＝∠ACB＝60°时，AM∥CE，故答案为：60．【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理是解答本题的关键．13．（2024秋•二七区期末）如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE，∠DCE，若∠AEC＝α，则∠AFC的度数用含α的式子表示为12α【考点】平行线的性质；列代数式．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】12α【分析】通过作辅助线，得到∠BAE+∠ECD＝∠AEC＝α，同理可得∠BAF+∠DCF＝∠AFC，结合角平分线，得到结果．【解答】解：过E点作EM∥AB，过F点作FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EM∥FN，∴∠BAE＝∠AEM，∠ECD＝∠MEC，∵∠AEC＝α，∴∠BAE+∠ECD＝∠AEC＝α，同理，∠BAF＝∠AFN，∠DCF＝∠CFN，∴∠BAF+∠DCF＝∠AFC，∵AF、CF分别平分∠BAE，∠DCE，∴∠BAF=12∠BAE，∠DCF=1∴∠BAF+∠DCF=12（∠BAE+∠∴∠AFC=12故答案为：12α【点评】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．14．（2024秋•西山区校级期末）如图，将直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF，已知BE＝4，AG＝3，AC＝7，则图中阴影部分的面积为22．【考点】平移的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据平移的性质可得S△DEF＝S△ACB，DF＝AC＝7，BE＝CF＝4，推出阴影部分的面积＝S梯形CFDG，即可求解．【解答】解：由平移的性质得，S△DEF＝S△ACB，DF＝AC＝7，BE＝CF＝4，∴阴影部分的面积＝S梯形CFDG，∵AG＝3，AC＝7，∴GC＝AC﹣AG＝7﹣3＝4，∴S梯形∴阴影部分的面积为22．故答案为：22．【点评】本题主要考查平移的性质，关键是根据平移的性质解答．15．（2024秋•法库县期末）如图，一副三角尺按如图方式摆放．若直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为10°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】10°．【分析】根据已知易得：∠ABD＝80°，然后利用平行线的性质可得∠4＝∠ABD＝80°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝50°，∠3＝30°，∴∠ABD＝∠1+∠3＝80°，∵a∥b，∴∠4＝∠ABD＝80°，∵∠CAB＝90°，∴∠2＝∠CAB﹣∠4＝10°，故答案为：10°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•长沙期末）如图，点O在直线AB上，OC，OD在直线AB上方，且OC⊥OD．（1）若∠BOD＝26°，且OM在∠COD内部，∠DOM与∠BOD互余，则∠DOM＝64°，∠AOM＝90°．（2）若OE恰好平分∠AOC，且∠COE与∠AOD互补，求∠BOD的度数．【考点】垂线；角平分线的定义；余角和补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】（1）64°，90°；（2）30°．【分析】（1）画出相应的图形，由两个角互余的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可；（2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可．【解答】解：（1）如图，∵OM在∠COD内部，∠DOM与∠BOD互余，∴∠DOM+∠BOD＝90°，∴∠AOM＝90°，∵∠BOD＝26°，∴∠DOM＝90°﹣∠BOD＝64°，∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠COE＝90°﹣26°＝64°，故答案为：64°，90°；（2）若OE恰好平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE=1∵∠COE与∠AOD互补，∴∠COE+∠AOD＝180°，∵∠BOD+∠AOD＝180°，∴∠COE＝∠BOD，∵∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∴∠BOD=13（∠AOC+∠BOD）=13【点评】本题考查角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角的定义，理解“好线”的定义是正确解答的关键．17．（2024秋•成都期末）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求证：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）要证明EF∥BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH＝∠CHB可得结论．（2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB及∠BHC的度数即可．【解答】证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，∴EB∥HC．∴∠EBH＝∠CHB．∵∠BHC+∠BEF＝180°，∴∠EBH+∠BEF＝180°．∴EF∥BH．（2）解：∵∠HCO＝∠EBC，∴∠HCO＝∠EBC＝64°，∵BH平分∠EBO，∴∠EBH＝∠CHB=12∠EBC＝∵EF⊥AO于F，EF∥BH，∴∠BHA＝90°．∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．∵∠CHO＝180°﹣∠FHC＝180°﹣122°＝58°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键．18．（2024秋•金水区期末）善于观察和思考的小金发现自行车的尾灯本身不发光，但无论光线从哪个方向射到尾灯上，都可以沿与入射光平行的方向反射回去，从而起到警示作用．这是什么原因呢？他拆开自行车尾灯，看到了多面互相垂直的小平面镜，几经思考，他终于想明白了其中的道理．请你结合图2说明反射光线DE与入射光线AB平行的理由．（其中射线BM和射线DN为法线）【考点】平行线的性质；平行线的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】理由见详解．【分析】由题意易得MB⊥CQ，ND⊥CP，∠C＝90°，然后可得∠NDB+∠MBD＝90°，进而根据同旁内角互补，两直线平行及光的折射可进行求解．【解答】解：如图，由图可知：MB⊥CQ，ND⊥CP，∠C＝90°，∴∠NDC＝∠NDB+∠BDC＝90°，∠MBD+∠DBC＝∠MBC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠NDB+∠MBD＝90°，根据光的折射可知：∠ABM＝∠MBD，∠NDB＝∠NDE，∴∠ABD+∠BDE＝2∠MBD+2∠NDB＝2×90°＝180°，∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．【点评】本题主要考查平行线的判定，平行线的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．19．（2024秋•西山区校级期末）已知：如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1＝∠2．求证：∠FEC+∠ECB＝180°．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】依据“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相垂直”可得CD∥GF由平行线的性质和已知可得∠1＝∠FGB，从而证明EF∥BC，从而得到结论．【解答】证明：∵CD⊥AB，GF⊥AB，∴CD∥GF，∴∠2＝∠FGB又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠FGB，∴EF∥BC，∴∠FEC+∠ECB＝180°．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是找到∠1＝∠FGB从而证明EF∥BC．20．（2024秋•洛阳期末）如图，已知：点E、O、A在同一直线上，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，求证：OD⊥OB．证明：∵OB平分∠AOC（已知），∴∠AOC＝2∠BOC（平分线的定义），同理可得：∠COE＝2∠COD，∵点E、O、A在同一直线上（已知），∴∠AOC+∠COE＝180°（平角的定义），∴2∠BOC+2∠COD＝180°（等量代换），∴∠BOC+∠COD＝90°（等式的性质），即∠BOD＝90°，∴OD⊥OB（垂直的定义）．【考点】垂线；角平分线的定义；角的计算．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】平分线的定义，已知，平角的定义，等量代换，等式的性质，垂直的定义．【分析】根据角平分线的定义推角的关系，再根据A，O，E三点在同一条直线上，推∠AOC+∠COE＝180°，进一步推出∠BOD＝90°，根据垂直的定义即可得出结论．【解答】证明：∵OB平分∠AOC（已知），∴∠AOC＝2∠BOC（平分线的定义），同理可得：∠COE＝2∠COD，∵点E、O、A在同一直线上（已知），∴∠AOC+∠COE＝180°（平角的定义），∴2∠BOC+2∠COD＝180°（等量代换），∴∠BOC+∠COD＝90°（等式的性质），即∠BOD＝90°，∴OD⊥OB（垂直的定义）．故答案为：平分线的定义，已知，平角的定义，等量代换，等式的性质，垂直的定义．【点评】本题考查了垂线，角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线定义的应用，准确找出角的和差关系是解题关键．21．（2024秋•洛阳期末）在同一平面内，将直尺、含60°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图所示的方式摆放，若AB∥CD，求∠1的大小．【考点】平行线的性质；垂线．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】30°．【分析】先利用平行线的性质可得∠ABF＝∠CDF＝60°，再根据垂直定义可得∠CDE＝90°，然后利用平角定义进行计算即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDF＝60°，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝90°，∴∠1＝180°﹣∠CDF﹣∠CDE＝30°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．22．（2024秋•城关区期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C．求证：∠1＝∠2．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】见试题解答内容．【分析】先根据垂直的定义得∠ADF＝∠EFC＝90°，则可判断AD∥EF，根据平行线的性质得∠2＝∠DAC，再根据平行线的判定方法，由∠3＝∠C可得DG∥AC，则利用平行线的性质得∠1＝∠DAC，然后根据等量代换即可得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADF＝∠EFC＝90°，∴AD∥EF，∴∠2＝∠DAC，又∵∠3＝∠C，∴DG∥AC，∴∠1＝∠DAC，∴∠1＝∠2．【点评】本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．也考查了垂线的定义．23．（2024秋•滨海新区校级期末）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝80°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝1：2，求∠BOD的度数．【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）40°；（2）30°．【分析】（1）先根据已知条件和角平分线的性质，求出∠AOC，再根据对顶角相等，求出∠BOD即可；（2）先根据已知条件，求出∠EOC+∠EOD＝180°，然后设∠EOC＝x°，∠EOD＝2x°，求出x，从而求出∠EOC，最后根据角平分线的性质，求出∠AOC，再由对顶角相等，求出∠BOD即可．【解答】解：（1）∵∠EOC＝80°，OA平分∠EOC，∴∠AOC∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠BOD＝∠AOC＝40°；（2）∵直线AB和CD相交于O，∴∠EOC+∠EOD＝180°，设∠EOC＝x°，则∠EOD＝2x°，∴x+2x＝180，解得：x＝60，∴∠EOC＝60°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC∴∠BOD＝∠AOC＝30°．【点评】本题主要考查了对顶角、邻补角和角平分线的性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系．

考点卡片1．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．2．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．3．线段的性质：两点之间线段最短线段公理两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．4．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．5．角的计算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．6．余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应