2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 1.2.1 第1课时 任意角的三角函数的定义（教师用书）教学实录 新人教A版必修4

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章节：第1章三角函数1.2.1第1课时任意角的三角函数的定义（教师用书）教学实录

内容：本节课将带领学生掌握任意角的三角函数定义，包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数的概念，以及它们在直角坐标系中的表示方法。通过具体实例，引导学生理解三角函数的定义，为后续学习三角函数的性质和应用奠定基础。核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养。通过本节课的学习，学生能够抽象出任意角的三角函数概念，运用逻辑推理分析函数特性，建立数学模型解决实际问题，并发展空间想象能力，为后续学习三角函数的性质和应用打下坚实的基础。教学难点与重点1.教学重点

明确本节课的核心内容，以便于教师在教学过程中有针对性地进行讲解和强调。

-重点一：任意角的三角函数定义的几何意义。例如，通过单位圆上的点坐标变化来理解正弦、余弦函数的定义，帮助学生建立直观的几何形象。

-重点二：三角函数在直角坐标系中的表示。例如，通过具体角度的正弦、余弦值，让学生掌握如何在坐标系中绘制三角函数图像。

2.教学难点

识别并指出本节课的难点内容，以便于教师采取有效的教学方法帮助学生突破难点。

-难点一：任意角的三角函数定义的理解。例如，学生可能难以理解非锐角和钝角的三角函数值是如何定义的，需要通过具体实例和图形辅助理解。

-难点二：三角函数周期性的掌握。例如，学生可能难以理解正弦、余弦函数的周期性，需要通过周期函数的性质和图像来加深理解。

-难点三：三角函数在坐标系中的绘制。例如，学生可能难以准确地绘制三角函数图像，需要通过反复练习和教师的指导来提高绘制技巧。教学方法与策略1.采用讲授法结合图形演示，清晰讲解任意角三角函数的定义及其几何意义。

2.通过小组讨论，让学生分析不同角度的三角函数值，培养合作学习和逻辑思维能力。

3.利用多媒体展示单位圆和三角函数图像，增强直观感受和空间想象能力。

4.设计实验活动，让学生通过实际操作理解三角函数的周期性和对称性。教学过程一、导入

（老师）同学们，我们之前学习了锐角的三角函数，今天我们将探讨任意角的三角函数的定义。首先，请大家回顾一下锐角三角函数的基本概念，比如正弦、余弦和正切。接下来，我们如何将这些概念推广到任意角呢？

（学生）老师，我们之前学习的都是直角三角形中的角度，那么任意角又是如何定义三角函数的呢？

二、新课导入

（老师）非常好，今天我们就来解决这个问题。首先，我会讲解任意角的三角函数的定义，然后我们通过具体实例来加深理解。

1.任意角的三角函数定义

（老师）任意角的三角函数是基于单位圆来定义的。我们先来回顾一下单位圆的概念。单位圆是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标系的原点。任意角可以通过圆上的点来表示，这个点的坐标就是该角度的三角函数值。

（学生）老师，那如何确定一个角的正弦和余弦值呢？

（老师）在单位圆上，如果我们以原点为顶点，画出角α，那么这个角的终边与单位圆交于点P（x，y）。点P的坐标就是该角度的正弦和余弦值。具体来说，正弦值是对边与斜边的比值，即sinα=y；余弦值是邻边与斜边的比值，即cosα=x。

2.正切函数的定义

（老师）正切函数是正弦和余弦函数的比值。在单位圆上，tanα=y/x。

三、实例分析

（老师）接下来，我们来分析几个具体的角度，看看如何计算它们的三角函数值。

（学生）老师，请举例说明。

（老师）好的，比如我们考虑角α=45°。在单位圆上，45°的终边会与单位圆相交于点P（√2/2，√2/2）。因此，sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=1。

（学生）老师，我明白了。那如果是角α=30°呢？

（老师）30°的终边会与单位圆相交于点P（√3/2，1/2）。所以，sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3。

四、小组讨论

（老师）现在，请大家分成小组，讨论以下问题：如何计算一个角度的三角函数值？如何绘制三角函数图像？在讨论过程中，要注意如何将三角函数的定义应用于实际问题的解决。

五、实践应用

（老师）现在，我将给出几个实际问题，请大家尝试用三角函数的知识来解决。

1.一个物体从静止开始，沿水平方向做匀加速直线运动，5秒后速度达到10m/s。求物体的加速度。

2.一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，夹角为60°，求第三边的长度。

（学生）老师，我们可以通过三角函数来解决这个问题。

（老师）很好，请同学们在小组内讨论解决方案，并尝试计算。

六、课堂总结

（老师）通过本节课的学习，我们掌握了任意角的三角函数的定义，并且能够计算特定角度的三角函数值。在解决实际问题时，我们要注意如何将三角函数的定义和性质应用于计算。接下来，我们将继续学习三角函数的性质和应用，希望大家能够持续关注并积极参与课堂讨论。

七、课后作业

（老师）请同学们完成以下作业，巩固今天所学的知识：

1.计算以下角度的正弦、余弦和正切值：α=90°，α=180°，α=270°。

2.绘制以下角度的三角函数图像：α=30°，α=45°，α=60°。

3.应用三角函数解决以下问题：一个圆形游泳池的直径为12m，求其周长和面积。教学资源拓展1.拓展资源：

-任意角的三角函数在物理学中的应用：探讨三角函数在振动、波动、光学等领域中的应用，如简谐振动中的位移、速度和加速度的三角函数表示。

-三角函数在工程学中的角色：介绍三角函数在建筑设计、机械设计、信号处理等工程领域中的重要性，如振动分析、信号调制解调等。

-三角函数在计算机图形学中的应用：解释三角函数如何用于计算机图形学中的三维图形变换、投影和光照计算。

-三角函数在导航和定位技术中的应用：介绍三角函数在GPS导航、天文定位等导航技术中的核心作用。

2.拓展建议：

-阅读相关科普书籍：推荐《数学之美》等科普书籍，让学生了解数学在现实世界中的应用。

-观看在线教育资源：利用KhanAcademy、Coursera等平台上的数学课程，提供更深入的理论和实践知识。

-参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如美国数学竞赛（AMC）、国际数学奥林匹克（IMO）等，以提升解题技巧和数学思维能力。

-实验室实践：组织学生参观物理实验室或参与实验，观察振动和波动的实际表现，加深对三角函数物理意义的理解。

-设计个人项目：指导学生设计一个小型项目，如制作一个简单的振动模拟器，通过实际操作来理解三角函数的变化。

-研究历史文献：介绍三角函数的发展历史，如古代数学家如何使用三角函数来解决实际问题，激发学生的历史兴趣和探究精神。

-编写数学小论文：鼓励学生针对三角函数的某个特定方面进行深入研究，并撰写小论文，提升学生的研究能力和写作能力。

-制作三角函数教具：学生可以制作简单的三角函数教具，如可旋转的角度测量器和三角板，以直观地展示三角函数的概念和性质。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在课堂上的参与度：观察学生在课堂讨论和问题回答中的积极性，记录学生是否能够主动参与讨论，提出问题，以及是否能够清晰地表达自己的观点。

-学生的注意力集中程度：注意学生在课堂上的注意力集中情况，观察是否有分心的行为，如频繁看手机、走神等。

2.小组讨论成果展示：

-学生合作能力：评估学生在小组讨论中的合作效果，包括是否能够有效分工、互相补充和尊重他人意见。

-学生解决问题的能力：通过小组讨论成果的展示，观察学生是否能够运用所学知识解决实际问题，以及解决问题的创新性和合理性。

3.随堂测试：

-理解度测试：设计简短的问题，检查学生对任意角三角函数定义的理解程度，如计算特定角度的正弦、余弦和正切值。

-应用能力测试：给出实际问题，如计算物体运动中的加速度或求解三角形的边长，评估学生将理论知识应用于实际问题的能力。

4.学生自评与互评：

-学生自评：鼓励学生在课后填写自我评价表，反思自己在课堂上的表现，包括参与度、理解程度和问题解决能力。

-互评：组织学生之间进行互评，让学生评价同伴在课堂讨论和小组合作中的表现，培养学生的评价能力和团队协作精神。

5.教师评价与反馈：

-针对学生的课堂表现：教师对学生的课堂表现进行评价，包括对积极参与讨论、提出有建设性意见的学生给予肯定，对参与度较低的学生提供具体的改进建议。

-针对小组讨论成果：教师对小组讨论成果进行评价，指出小组合作的优点和不足，鼓励学生在未来的讨论中进一步提高合作效率。

-针对随堂测试结果：教师根据测试结果，对学生掌握知识的情况进行评价，对理解有困难的学生提供个别辅导，帮助其克服学习障碍。

-针对自我评价与互评：教师对学生的自我评价和互评结果进行反馈，帮助学生认识到自己的优势和需要改进的地方，并鼓励学生制定个人学习计划。

-针对教学策略：教师根据评价结果，反思自己的教学策略，调整教学方法，以提高教学效果。例如，如果发现学生在应用知识方面存在困难，教师可以增加实际操作和案例分析的教学环节。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-任意角的定义：以单位圆为基础，将任意角与单位圆上的点坐标联系起来。

-正弦、余弦、正切函数的定义：通过点P的坐标来定义正弦、余弦和正切函数，明确它们与角度的关系。

-三角函数的性质：探讨三角函数的周期性、奇偶性、单