初二数学期末知识点总结

【本讲教育信息】一.教学内容：1.平移与旋转．2.函数和一次函数．3.四边形．4.分式方程．5.命题与证明．6.数据的代表值与离散程度．二.知识要点：1.平移、旋转、轴对称和中心对称的比较

概念性质图例联系平移在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连线段平行且相等；对应角分别相等，且两边分别平行且方向一致．①都是在平面内进行的图形变换；②在变换前后都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；③变换前后两个图形全等，对应边相等，对应角相等．旋转在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度．对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等．中心对称把一个图形绕着某一个点旋转180°连结对称点的线段都经过对称中心并且被对称中心平分．轴对称在平面内，将一个图形沿某条直线折叠．对应线段或延长线相交，交点在对称轴上；对应点的连线被对称轴垂直平分．

2.函数（1）函数的三种表示方法：表达式法、列表法、图像法．（2）函数图像的画法：列表、描点、连线．3.一次函数的图像与性质（1）一次函数的图像是一条直线，类型如下：（2）性质：k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小．（3）直线y＝kx＋b由y＝kx向上（b>0）或向下（b<0）平移︱b︱个单位得到．4.一次函数与方程（组）、不等式之间的关系（1）一元一次方程kx＋b＝y0（y0是已知数）的解就是直线y＝kx＋b上y＝y0时该点的横坐标．（2）一元一次不等式kx＋b≤y0（或kx＋b≥y0）（y0是已知数）的解集就是直线y＝kx＋b上满足y≤y0（或y≥y0）的那条射线所对应的自变量的取值范围．（3）利用二元一次方程组确定一次函数y＝kx＋b中k、b的值；两条直线y1＝k1x＋b1、y2＝k2x＋b2的交点坐标是方程组的解．5.几种特殊四边形的区别（1）平行四边形从边看——从角看——两组对角分别相等从对角线看——对角线互相平分（2）矩形从角看——从对角线看——（3）菱形从边看——从对角线看——（4）正方形从边看——有一组邻边相等的矩形从角看——有一个角是直角的菱形6.分式方程解分式方程的基本思想是通过去分母把分式方程转化为整式方程，并不是每个分式方程都有解，必须验根．7.命题与证明8.数据的代表值与离散程度三.重点难点：本册重点内容有三个：一是几种四边形的性质的判定方法；二是几何命题及证明；三是一次函数的图像和性质．难点内容主要是运用函数知识解决实际问题和几何命题的证明方法．四.考点分析：平移和旋转、数据的代表值与离散程度一般会以选择题或填空题的形式出现，所占比重不大，大概1~2题．有关四边形、分式方程、函数的内容一般以解答题形式出现，分值较高．【典型例题】例1.下列图形中哪些是中心对称图形而不是轴对称图形（

）A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形分析：平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形；矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形．解：A评析：正确把握中心对称图形和轴对称图形的概念及识别方法是解决此类问题的关键．例2.（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝12，BD＝9．此梯形的上、下底之和是__________．（2）如果方程＋3＝有增根，那么a＝__________．分析：（1）四边形问题在不能得到直接解决时可以转换为三角形问题解决，作DE∥AC交BC的延长线于点E，则DE＝AC＝12，因为AC⊥BD，所以∠BDE＝90°．在Rt△BDE中，BD＝9，DE＝12，所以BE＝15．又AD＝CE，所以BC＋AD＝BC＋CE＝BE＝15．（2）去分母并整理得a＝5－2x．因为此方程有增根，即x－2＝0，所以x＝2，a＝5－2x＝1．解：（1）15，（2）1评析：（1）若题中没有可以利用的三角形、平行四边形，可以通过作辅助线构造三角形来解决．（2）x＝2虽不是原分式方程的根，但是它是a＝5－2x的根．例3.如图所示，已知AB∥CD，求证：∠AEC＝∠1＋∠2．分析：本题已知平行线，关键是如何使要证的角与平行线发生联系，需作出辅助线，沟通已知和结论．证法一：如图所示，过点E作EF∥AB，∴∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等）．又∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等）．∵∠AEC＝∠3＋∠4，∴∠AEC＝∠1＋∠2（等量代换）．证法二：如图所示，连结AC，∵AB∥CD（已知），∴∠BAC＋∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠1＋∠3＋∠4＋∠2＝180°，∴∠1＋∠2＝180°－∠3－∠4（等式性质）．在△ACE中，∠3＋∠4＋∠E＝180°（三角形三个内角的和等于180°），∴∠E＝180°－∠3－∠4（等式性质），即∠AEC＝∠1＋∠2．评析：添加辅助线时，需要根据个人对问题的分析思路来确定．例4.我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追击．如图所示，l1、l2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．根据图像回答下列问题：（1）哪条线段表示B离海岸的距离与追赶时间的关系？（2）A、B哪个速度快？（3）15分钟内B能否追上A？（4）如果一直追下去，那么B能否追上A？（5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？分析：注重实际问题向数学问题的转化，本题依据图像语言体现数据，注重了数形结合思想．解：由图像得：（1）当t＝0时，B距海岸0海里，即s＝0，故l1表示B离海岸的距离与追赶时间之间的关系．（2）t从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，而l1的纵坐标增加了5，即10分钟内，A行驶了2海里，B行驶了5海里，所以B的速度快．（3）延长l1、l2（如图所示），可以看出，当t＝15时，两直线未相交，故15分钟内B不能追上A．（4）如图所示，l1、l2相交于点P．因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A．（5）图中，l1和l2交点P的纵坐标小于12，这说明在A逃入公海前，我边防快艇B能够追上A．评析：你能用其他方法解决上述问题吗？体会数形结合的作用，利用图像很直观地获得解决，感悟数形结合的优点．此外，如果轮船不是匀速航行，只要航行时间一定，最后结果也一样，只是所画的图像不是直线而已．例5.在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212

已经算得两组的人平均分都是80分，请根据你学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中哪一组的成绩好些，哪一组稍差，并说明理由．分析：本题要求我们用所学过的统计知识，对数据进行进一步分析，是多角度的，不要仅仅局限于用方差．解：①甲组成绩的众数为90分，而乙组成绩的众数是70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．②通过计算，得＝172，＝256，＜，所以甲组成绩的波动小．③甲、乙两组成绩的中位数都是80分，甲组成绩在中位数及以上有33人，而乙组成绩在中位数及以上有26人，从这一角度看甲组成绩总体较好．④从成绩统计表看，甲组成绩等于或高于90分的有20人，乙组成绩等于或高于90分的有24人，乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组满分人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看乙组的成绩较好．评析：对于一组数据来说，我们要衡量这组数据的集中趋势，可以通过平均数、众数和中位数这三个统计量来分析．如果要衡量这组数据中的离散趋势，也就是要研究它的波动情况，就需要利用方差或标准差这两个统计量来衡量，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小，越稳定．【方法总结】1.辅助线在几何证明题中的应用证明时，若问题的条件不够，则需要添加辅助线，构成新的图形，从而搭建起由已知到未知互相沟通的桥梁．常用的辅助线有：过一点作已知直线的平行线或垂线；连结两点，构成三角形；连结线段垂直平分线上的点和线段的端点；过角平分线上的点向两边作垂线，延长三角形的一边形成外角等．2.几种数学思想学习本册内容最重要的思想方法有两个：一个是转化思想，解分式方程时要将其转化成整式方程来解，四边形的问题往往转化成平行四边形或三角形来解决．另一个是数学建模思想，主要针对一些实际问题，要构建方程或函数模型来解决．【模拟试题】（答题时间：90分钟）一.选择题（每小题3分，共30分）1.在以下现象中，①电风扇的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移的是（

）A．①②

B．①③

C．②③

D．②④2.在方程①＝8＋②＝x③＝④x－＝0中，分式方程有（

）A．①②

B．②③

C．③④

D．①④3.小薇同学借了一本书共280页，要在两周借期内读完，当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．她读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（

）A．＋＝14

B．＋＝14C．＋＝14

D．＋＝14.如图所示，下列推理正确的是（

）A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CF

B．∵∠2＝∠3，∴BE∥CFC．∵∠2＝∠4，∴BE∥CD

D．∵∠1＝∠4，∴AB∥CD5.两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是（

）A．60°

B．120°

C．60°或120°

D．无法确定6.若一次函数y＝kx＋b的图像经过第一、二、四象限，则k、b的取值范围是（

）A．k＞0，b＞0

B．k＞0，b＜0

C．k＜0，b＜0

D．k＜0，b＞07.既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A．等边三角形

B．等腰直角三角形C．等腰梯形

D．菱形8.一个菱形两条对角