2024秋高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角练习含解析新人教A版必修4

PAGE1-2.4.2平面对量数量积的坐标表示、模、夹角A级基础巩固一、选择题1．已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3eq\r(5)，则b＝()A．(－3，6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6，3)解析：由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ＜0)，由于|b|＝3eq\r(5)，所以|b|＝eq\r(λ2＋（－2λ）2)＝eq\r(5λ2)＝3eq\r(5)，所以λ＝－3，所以b＝(－3，6)．答案：A2．若两个非零向量a，b满意|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(5π,6) C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)解析：因为|a＋b|＝|a－b|，所以a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0.又|a＋b|＝2|a|，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝4|a|2，所以|b|2＝3|a|2.设a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(（a＋b）·（a－b）,|a＋b||a－b|)＝eq\f(|a|2－|b|2,4|a|2)＝eq\f(－2|a|2,4|a|2)＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(2π,3).答案：D3．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a·c＝0，b∥c，则|a＋b|＝()A.eq\r(5) B.eq\r(10) C．2eq\r(5) D．10解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·c＝0，,b∥c，))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4＝0，,2y＋4＝0，))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))所以a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．所以|a＋b|＝eq\r(10).答案：B4．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满意eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))，|eq\o(AO,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|，则向量eq\o(BA,\s\up15(→))在eq\o(BC,\s\up15(→))方向上的投影等于()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(3,2) D．3解析：由eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))可知O是BC的中点，则BC为外接圆的直径，所以∠BAC＝90°，|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝|eq\o(OB,\s\up15(→))|＝|eq\o(OC,\s\up15(→))|.又因为|eq\o(AO,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝1，故△OAC为等边三角形，所以∠AOC＝60°，所以∠ABC＝30°，且|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(BC,\s\up15(→))|sin60°＝eq\r(3)，所以eq\o(BA,\s\up15(→))在eq\o(BC,\s\up15(→))方向上的投影为|eq\o(BA,\s\up15(→))|·cos∠ABC＝eq\r(3)×cos30°＝eq\f(3,2).答案：C5．在△ABC中，若|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))|＝|eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(AF,\s\up15(→))＝()A.eq\f(8,9) B.eq\f(10,9) C.eq\f(25,9) D.eq\f(26,9)解析：由|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))|＝|eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))|得eq\o(AB,\s\up15(→))⊥eq\o(AC,\s\up15(→))，所以△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．由E，F为BC边的三等分点，所以eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→))，eq\o(AF,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up15(→))，因此eq\o(AE,\s\up15(→))·eq\o(AF,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up15(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up15(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up15(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up15(→))))＝eq\f(2,9)eq\o(AB2,\s\up15(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC2,\s\up15(→))＋eq\f(5,9)eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(2,9)×4＋eq\f(2,9)×1＝eq\f(10,9).答案：B二、填空题6．(2024·北京卷)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(eq\r(3)，1)，则a与b夹角的大小为________．解析：由题意得|a|＝eq\r(1＋3)＝2，|b|＝eq\r(3＋1)＝2，a·b＝1×eq\r(3)＋eq\r(3)×1＝2eq\r(3).设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(2\r(3),2×2)＝eq\f(\r(3),2).因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)7．若|a|＝2，b＝(eq\r(2)，eq\r(2))，a·(b－a)＋2＝0，则向量a与b的夹角为________．解析：因为b＝(eq\r(2)，eq\r(2))，所以|b|＝2.因为|a|＝2，a·(b－a)＋2＝0，所以a·b－a2＝a·b－22＝－2，所以a·b＝2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2,2×2)＝eq\f(1,2)，又θ∈[0，π]，所以向量a与b的夹角为eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)8．已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________________．解析：由于a与b的夹角为锐角，所以a·b>0，且a与b不共线同向．由a·b>0⇒－3λ＋10>0，解得λ<eq\f(10,3).当向量a与b共线时，得5λ＝－6，得λ＝－eq\f(6,5)，因此λ的取值范围是λ<eq\f(10,3)且λ≠－eq\f(6,5).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(λ<\f(10,3)且λ≠－\f(6,5)))))三、解答题9．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．解：(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝eq\r(42＋32)＝5，|b|＝eq\r(（－1）2＋22)＝eq\r(5)，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2,5\r(5))＝eq\f(2\r(5),25).(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝eq\f(52,9).10．设A(4，a)，B(b，8)，C(a，b)，若四边形OABC是平行四边形(其中O为原点)，求∠AOC.解：因为四边形OABC是平行四边形，所以eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))，即(4，a)＝(b－a，8－b)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝b－a，,a＝8－b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝6.))所以A(4，2)，C(2，6)，eq\o(OA,\s\up15(→))＝(4，2)，eq\o(OC,\s\up15(→))＝(2，6)．所以eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OC,\s\up15(→))＝4×2＋2×6＝20，|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，|eq\o(OC,\s\up15(→))|＝eq\r(22＋62)＝eq\r(40)＝2eq\r(10).所以cos∠AOC＝eq\f(\o(OA,\s\up15(→))·\o(OC,\s\up15(→)),\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up15(→))|·|\o(OC,\s\up15(→))|))＝eq\f(20,2\r(5)×2\r(10))＝eq\f(\r(2),2).因为0<∠AOC<π，所以∠AOC＝eq\f(π,4).B级实力提升1．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、B(4，1)、C(0，－1)，则△ABC的形态为()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．以上均不正确解析：eq\o(AC,\s\up15(→))＝(－1，－3)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝(3，－1)．因为eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))＝－3＋3＝0，所以AC⊥AB.又因为|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝eq\r(10)，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝eq\r(10)，所以AC＝AB.所以△ABC为等腰直角三角形．答案：C2．设向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(m，eq\r(3))，且a，b的夹角为eq\f(π,3)，则实数m＝________．解析：因为a＝(1，eq\r(3))，b＝(m，eq\r(3))．所以|a|＝eq\r(1＋3)＝2，|b|＝eq\r(m2＋3)，a·b＝m＋3.又a，b的夹角为eq\f(π,3)，所以m＋3＝2eq\r(m2＋3)×eq\f(1,2)，解得m＝－1.答案：－13．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．(1)求|a＋b|的值；(2)若向量ka＋b与a＋2b平行，求k的值；(3)若向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以a＋b＝(3，