【初中数学】两条直线的位置关系第2课时垂直课件+2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第2课时垂直栏目导航知识梳理考点梳理1.两条直线相交成四个角,如果有一个角是

,那么称这两条直线互相

,其中的一条直线叫作另一条直线的

,它们的交点叫作

。

2.同一平面内,过一点

直线与已知直线垂直。

3.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,

。

4.如图,过点A作直线l的垂线,垂足为B,线段AB的长度叫作点A到直线l的

。

知识梳理直角垂直垂线垂足有且只有一条垂线段最短距离

垂直的定义考点梳理[典例1]如图,O是直线AB上的一点,∠AOC=40°,OD平分∠AOC,∠COE=70°。试说明:DO⊥OE。[变式1]如图,O为直线AB上一点,OC⊥OD,若∠1=40°,则∠2的度数是(

)A.40° B.50° C.60° D.70°B

垂线的画法[典例2]下列选项中,过点P画AB的垂线CD,三角板放法正确的是(

)CABCD[变式2]如图,P是∠AOB的边OB上的一点。(1)过点P画OB的垂线,交OA于点C;(2)过点P画OA的垂线,垂足为H。解:(1)(2)如图。

垂线的性质及点到直线的距离[典例3]如图,由NO⊥l,MO⊥l,可以得出MO与NO重合,其理由是

.

。

同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直[变式3]如图,现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短小路,过点A作AH⊥PQ于点H,沿AH修建,这样做的理由是(

)A.两点之间,线段最短B.垂线段最短C.过一点可以作无数条直线D.两点确定一条直线B栏目导航基础巩固练能力提升练素养培优练垂直的定义及垂线的画法基础巩固练1.如图,直线AB,CD相交于点O,下列条件:①∠AOD=90°;②∠AOC=∠BOC;③∠AOC=∠BOD。其中能说明AB⊥CD的有(

)A.① B.①或②C.①或③ D.①或②或③B2.如图,直线AB,CD相交于点O,若OE⊥AB,且∠COE∶∠BOD=7∶2,则∠DOE的度数是

。

3.如图,直线AB,CD相交于点O,过点O作OE⊥AB,OF平分∠BOD,∠AOC=40°,则∠EOF的度数为

。

70°54°4.如图,过点P分别画出OA,OB的垂线或画出AB,CD的垂线。解:如图①～④所示。5.如图,点A,B,C在一条直线上,已知∠ACD=56°,∠BCE=34°,则CD与CE垂直吗?请说明理由。解:CD⊥CE。理由如下:因为∠ACD+∠DCE+∠BCE=180°,∠ACD=56°,∠BCE=34°,所以∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-56°-34°=90°,所以CD⊥CE。6.下列语句叙述正确的有(

)A.相等的角是对顶角B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短D.直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离垂线的性质及点到直线的距离C7.(2024商丘期末)如图,AC⊥BC,AC=5.8,AB=6.5,若点P在线段BC上,则AP的长不可能是(

)A.6.5 B.6.2 C.6 D.5.5D8.下面三个日常现象:①跳远测量②道路改道③木条固定其中,可以用“垂线段最短”来解释的是

。(填序号)

9.如图,点A,B,C在直线l上,PB⊥l,PA=6cm,PB=5cm,PC=7cm,则点P到直线l的距离是

cm。

①510.如图,点P是直线a外的一点,点A,B,C在直线a上,且PB⊥a,垂足是B,PA⊥PC,则下列说法不正确的是(

)A.线段PC的长是点C到直线PA的距离B.线段AC的长是点A到直线PC的距离C.PA,PB,PC三条线段中,PB最短D.线段PB的长是点P到直线a的距离能力提升练B11.如图,AB⊥CD于点O,OE平分∠AOC,若∠BOF=18°,则∠EOF的度数为(

)A.116° B.117° C.118° D.127°B12.如图,在△ABC中,AC⊥BC,D为BC边上的任意一点,连接AD,E为线段AD上的一个动点,过点E作EF⊥AB于点F。若BC=6,AB=10,AC=8,则CE+EF的最小值为(

)A.6 B.4.8 C.2.4 D.5B13.如图,码头、火车站分别位于A,B两点,直线a和b分别表示铁路与河流。(1)从火车站到码头怎样走最近?画图并说明理由。(2)从码头到铁路怎样走最近?画图并说明理由。(3)从火车站到河流怎样走最近?画图并说明理由。解:(1)如图,连接AB,从火车站到码头沿BA走最近。理由如下:两点之间线段最短。(2)如图,过点A作AC⊥a,垂足为C,从码头到铁路沿AC走最近。理由如下:垂线段最短。(3)如图,过点B作BD⊥b,垂足为D,从火车站到河流沿BD走最近。理由如下:垂线段最短。素养培优练14.如图①,点A,O,B依次在直线MN上,现将射线OA绕点O按顺时针方向以每秒4°的速度转动,同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒6°的速度转动,直线MN保持不动,如图②,设转动时间为t秒(0≤t≤60)。(1)当t=3时,求∠AOB的度数。解:(1)当t=3时,∠AOB=180°-4°×3-6°×3=150°。①②(2)在转动过程中是否存在这样的t,使得射线OB与射线OA垂直?如果存在,请求出t的值;如果不存在,请说明理由。解:(2)