【初中数学】等可能事件的概率第2课时教学设计-2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第三节等可能事件的概率第2课时教学设计一、教学内容和内容解析（一）教学内容教材第74～75页，等可能事件的概率（第2课时）（二）教学内容解析本课时重点聚焦于等可能事件的概率相关知识。这部分内容是在学生已对事件的确定性与不确定性有初步认识的基础上展开的，进一步引导学生深入探究事件发生可能性大小的量化表示。从教材的编排来看，通过一系列贴近生活的实例，如掷骰子、摸球等游戏活动，帮助学生直观感受等可能事件。像在掷骰子的情境中，每个点数出现的可能性相等，这就是典型的等可能事件。教材这样的设计，旨在让学生从熟悉的场景出发，更好地理解抽象的概率概念。在教学目标方面，通过参与实验、分析数据等活动，培养学生的逻辑思维和数据分析能力，让学生理解等可能事件的概念，掌握计算简单等可能事件概率的方法。激发学生对数学的兴趣，让学生体会数学在生活中的广泛应用。这一课时的内容在整个概率初步知识体系中起着承上启下的作用。它既是对之前事件确定性知识的深化，又为后续学习更复杂的概率模型，如与摸球有关的概率等内容奠定基础。同时，在实际生活中，概率知识在风险评估、决策制定等方面有着广泛应用，学好这部分内容有助于学生更好地应对生活中的不确定性问题。二、课程标准内容要求1.会用数学的眼光观察现实世界观察随机现象：要求学生能观察生活中存在的大量等可能事件的随机现象，如掷硬币、掷骰子、摸球等活动，认识到这些现象在现实生活中是普遍存在的，并且具有不确定性。理解等可能事件：引导学生通过具体实例理解等可能事件的概念，明确在一个试验中，如果所有可能的结果有种，每次试验有且只有其中的一种结果出现，并且每种结果出现的可能性相同，那么就称这个试验的结果是等可能的。2.会用数学的思维思考现实世界运用逻辑思维分析等可能事件：让学生运用逻辑思维去分析等可能事件背后的规律，比如在掷骰子试验中，能分析出每个点数出现的可能性是相同的，进而理解等可能事件概率的本质。理解概率计算方法：帮助学生理解在等可能事件中，事件发生的概率（其中是所有等可能结果的总数，是事件包含的结果数）这一计算方法的原理和应用，能通过分析具体问题中的和的值来计算概率。3.会用数学的语言表达现实世界用数学符号表达等可能事件概率：要求学生学会用数学符号来表达等可能事件的概率，如用表示事件发生的概率，能准确地根据具体情境写出相应事件的概率表达式。用数学语言描述等可能事件：引导学生用规范的数学语言描述等可能事件及其概率，例如在摸球试验中，能用“摸到红球的概率为”来描述摸到红球这一事件的可能性大小，提高学生的数学表达能力。三、教学目标和目标解析（一）教学目标1.数学抽象通过对生活中各类随机事件的观察和分析，如掷骰子、摸球等活动，能够抽象出等可能事件的概念，理解其特点，即试验结果有限且每种结果出现的可能性相等，能从具体情境中提炼出数学模型，用数学语言准确描述等可能事件。2.逻辑推理在探究等可能事件概率的过程中，依据概率的定义和基本原理，通过对不同试验结果的分析和比较，进行合理的逻辑推导，得出概率的计算公式，并能运用逻辑推理判断游戏的公平性，如判断抛硬币、抽奖等游戏规则对双方是否公平，培养有条理的思考和推理能力。3.数学运算熟练运用概率公式进行准确的数学运算，计算等可能事件发生的概率，如在摸球试验中，根据球的总数和目标球的数量，正确计算摸到特定颜色球的概率，提高运算能力和准确性，确保概率计算结果的正确性。4.直观想象借助树状图、列表等直观手段，对试验结果进行可视化呈现，帮助理解复杂的等可能事件，如在计算从多个口袋中摸球的概率时，通过绘制树状图清晰地展示所有可能的结果，培养学生的直观想象能力，使抽象的概率问题变得更加直观易懂。5.数学建模针对实际生活中的概率问题，如彩票中奖、天气预报中的降水概率等，能够构建相应的概率模型，将实际问题转化为数学问题，运用概率知识进行求解，提高运用数学知识解决实际问题的能力，体会数学模型在解决实际问题中的作用。（二）目标解析《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：目标1的要求是：学生需要从具体的摸球情境中抽象出概率的概念。例如，从装有不同颜色球的袋子里摸球，将摸球这一实际行为抽象为数学上的随机事件，把摸到某种颜色球的可能性用概率数值来表示，从而理解概率是对随机事件发生可能性大小的一种度量。这有助于学生从具体的生活实例中提炼出数学本质，提升抽象思维能力，学会用数学的眼光看待生活中的随机现象。目标2的要求是：当学生面对不同的摸球问题时，需要运用逻辑推理来分析和解决。比如，在判断游戏是否公平时，学生要依据双方获胜的概率是否相等这一逻辑规则进行推理。已知袋子中球的数量和颜色分布，通过分析摸到不同颜色球的概率，进而得出游戏双方获胜的可能性大小，以此判断游戏是否公平。这种逻辑推理过程，让学生学会有条理地思考问题，依据已知条件推导出合理的结论，提升逻辑思维能力。目标3的要求是：在计算概率时，学生需要进行数学运算。无论是简单的等可能事件概率计算公式的运用，如摸到某种颜色球的概率=该颜色球的个数÷总球数，还是在复杂的概率问题中，如结合游戏规则计算双方获胜的概率，都涉及到数学运算。这要求学生熟练掌握基本的运算技巧，准确计算概率数值，提高运算能力和解决数学问题的准确性。目标4的要求是：虽然在概率问题中，直观想象不像在几何图形中那样明显，但依然有所体现。在思考摸球过程和概率结果时，学生可以在脑海中构建出摸球的场景，想象不同颜色球的分布以及摸球的随机性，帮助他们更好地理解概率的概念和计算过程。例如，通过直观想象，学生能更清晰地理解为什么摸到红球的概率是红球个数除以总球数，增强对概率知识的理解和记忆。目标5的要求是：在设计符合特定概率要求的摸球游戏时，学生需要进行数学建模。例如，要求设计一个摸到红球概率为某一特定值，摸到白球和黄球概率也为特定值的游戏，学生要根据概率公式，结合给定的概率条件，确定袋子中不同颜色球的数量，从而构建出符合要求的摸球模型。这一过程锻炼了学生将实际问题转化为数学模型并求解的能力，提高他们解决实际问题的创新意识和实践操作能力。四、学生学情分析学生基础情况知识掌握：学生在之前的学习中已经对随机事件、必然事件、不可能事件等概念有了一定的了解，知道事件发生的可能性是有大小的，能直观判断一些简单事件发生的可能性大小。学习了概率的基本定义，即一个事件发生的可能性大小的数值，了解了用数值来刻画事件发生可能性大小的方法，并且会计算一些简单的等可能事件的概率，如掷一枚质地均匀的骰子，求掷出某个点数的概率等。技能水平：学生在小学和初中前期的数学学习中，已经具备了一定的逻辑思维能力和分析问题的能力，能够进行简单的推理和判断。在学习概率初步的过程中，也逐渐培养了对数据的收集、整理和分析能力。具备了一定的用列举法求概率的能力，能对一些简单的等可能事件，通过列举出所有可能的结果来计算概率，在这个过程中，初步形成了有序思考的意识。学生学习难点1.对频率与概率概念的理解区别与联系难把握：学生难以清晰地理解频率和概率的本质区别与内在联系。频率是在多次重复试验中，某一事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有随机性，会随着试验次数的不同而有所变化。而概率是事件在大量重复试验下发生的可能性大小的稳定值，是一个客观存在的固定值。学生可能会混淆这两个概念，不明白频率是通过试验得到的具体数据，是对概率的一种近似估计，而概率是理论上的真实值。概率的抽象性难理解：概率本身是一个较为抽象的概念，它描述的是事件发生的可能性，不像具体的数字或物体那样直观。对于七年级的学生来说，理解这种抽象的可能性概念可能会有困难，他们可能难以将概率与实际生活中的具体事件联系起来，不知道如何用概率去解释和预测事件的发生。2.频率稳定性的理解试验次数与稳定性关系：学生可能难以理解为什么需要大量重复试验才能使频率稳定在某个值附近。他们可能会认为进行几次试验得到的频率就可以代表概率了，不明白随着试验次数的增加，频率会逐渐趋近于概率这一规律。在实际操作中，可能会因为试验次数较少，频率波动较大，而无法观察到频率的稳定性，从而对用频率估计概率的方法产生怀疑。稳定性的本质认识：学生对频率稳定性的本质认识可能不够深刻，不清楚频率稳定是一种统计规律，是大量随机现象的必然结果。他们可能会把频率的稳定性简单地理解为频率会固定在某个值上，而忽略了这种稳定性是在一定范围内的波动，并且是在大量试验的基础上才会表现出来的。3.用频率估计概率的应用实际问题的转化：将实际问题转化为用频率估计概率的数学模型是学生的一个难点。他们可能难以判断哪些实际问题可以用频率估计概率的方法来解决，以及如何确定试验的对象、事件和次数等。例如，在估计池塘中鱼的数量、产品的次品率等问题中，学生可能不知道如何设计试验，如何收集数据并进行分析。估计结果的准确性：学生可能不理解用频率估计概率得到的结果是一个近似值，存在一定的误差。他们可能会对估计结果的准确性有过高的期望，或者在得到不同的估计结果时，不知道如何判断其合理性，也不知道如何通过增加试验次数等方法来提高估计的准确性。4.试验操作与数据处理试验设计与实施：在进行试验时，学生可能会在试验设计方面遇到困难，例如不知道如何保证试验的随机性和独立性，如何控制试验条件等。在实施试验过程中，可能会出现操作不规范、数据记录不准确等问题，从而影响试验结果的可靠性。数据处理与分析：学生在处理和分析试验数据时，可能会遇到困难。例如，不知道如何对大量的数据进行整理和统计，如何绘制频率分布图表来直观地展示数据的变化趋势，以及如何从数据中提取有用的信息，得出合理的结论。学生学习需求1.知识理解需求深入理解概率模型：学生需要清晰分辨不同类型的概率模型，如古典概型和几何概型，理解它们的特点和适用范围。例如，对于古典概型，学生要明白其基本事件的有限性和等可能性；对于几何概型，要理解如何通过几何度量（如长度、面积、体积）来计算概率。掌握概率公式推导：不仅要记住概率计算公式，更要理解公式的推导过程。以古典概型概率公式为例，学生需要明白是试验中所有可能出现的基本事件总数，是事件包含的基本事件数，通过实际例子来理解公式的由来，而不是单纯死记硬背。2.技能掌握需求数据收集与整理技能：在探究概率问题时，学生需要学会收集相关数据，并运用合适的方法进行整理。比如，通过问卷调查、实验操作等方式收集数据，然后用列表、画树状图等方法整理数据，为后续计算概率提供依据。概率计算技能：熟练掌握运用概率公式进行准确计算的技能。无论是简单的古典概型问题，还是结合几何图形的几何概型问题，都能正确找到相关数据，代入公式求解。同时，对于复杂的概率问题，能通过分解、转化等方法，运用已学知识解决。3.思维发展需求逻辑思维培养：在解决概率问题过程中，培养严谨的逻辑思维。例如，在分析事件之间的关系（如互斥事件、对立事件）时，能够有条理地思考，准确判断事件的性质，进而运用相应的概率法则进行计算。创新思维激发：鼓励学生从不同角度思考概率问题，尝试用多种方法解决同一问题。比如，在计算复杂事件概率时，除了常规方法，引导学生探索是否可以通过转化为简单事件概率之和或差的方式求解，培养学生的创新思维和灵活运用知识的能力。4.情感态度需求增强学习兴趣：概率知识与生活实际紧密相连，学生希望通过有趣的生活实例，如抽奖、彩票、体育赛事等，感受概率的实用性，从而增强对数学学习的兴趣。提升学习信心：在学习过程中，通过及时的反馈和鼓励，让学生在解决概率问题时获得成就感，逐步提升学习数学的信心，克服对数学学习的畏难情绪。六、教学重难点（一）重点：概率模型概念的形成过程，游戏公平性的理解。（二）难点：分析概率模型的特点，设计符合要求的简单概率模型。七、教学过程教学流程活动一：回顾旧知，新课导入【情境导入】等可能试验的概率计算公式是什么？设计意图：为学习与摸球有关的概率做准备。复习引入。活动二：交流合作，探究新知探究点与摸球有关的概率问题1一个袋中装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？以下是小明和小颖的说法。你认为小明和小颖谁说的有道理？小颖说的有道理。问题2小明和小颖一起做游戏。在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？P（小明获胜）=，P（小颖获胜）=，由于两人获胜的概率不相等，所以游戏对双方不公平。追问1在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公平的？在一个双人游戏中，游戏对双方公平是指双方获胜的概率相等。追问2如果问题2中的游戏不公平，你可以如何修改规则使得这个游戏变得公平？拿走一个白球或再放入一个红球。问题3利用一个口袋和4个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏。(1)使得摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是；(2)使得摸到红球的概率是，摸到白球和黄球的概率都是。（1）选取2个红球、2个白球；（2）选取2个红球、1个白球、1个黄球。问题4（1）你能选取8个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗?（2）你能选取7个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗?（1）选取8个球：（1）4个红球、4个白球；（2）4个红球、2个白球、2个黄球。（2）选取7个球：不可能。【对应训练】教材P75随堂练习第1，2题。设计意图：巩固与摸球相关的概率问题的计算方法，并从中总结游戏公平的原则，尝试设计符合要求的简单概率模型，体会本节课在实际生活中的作用。活动三：当堂训练，巩固提升例在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球、2个黄球、1个白球。(1)乐乐从中任意摸出一个小球，摸到的白球概率是多少？(2)乐乐和亮亮商定一个游戏，规则如下：乐乐从中任意摸出一个小球，摸到红球则乐乐胜，否则亮亮胜，该游戏对双方是否公平？为什么？解：(1)因为在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球、2个黄球、1个白球，所以P(摸到白球)=。（2）该游戏对双方是公平的。理由如下：由题意可知P(乐乐获胜)==，P(亮亮获胜)=，所以他们获胜的概率相等，即游戏是公平的。【对应训练】小颖和小明做游戏：一个不透明的袋子中装有6个完全一样的球，每个球上分别标有数字1，2，2，3，4，5，从袋中任意摸出一个球，然后放回。规定：若摸到的球上所标数字大于3，则小颖赢，否则小明赢。你认为这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请修改游戏规则，使游戏公平。解：游戏不公平。理由如下：因为摸到的球上所标数字大于3的概率是概率是，，摸到的球上所标数字不大于3的概率是，所以小明赢的概率大，故游戏不公平。修改规则如下：方法一：若摸到的球上所标数字小于3，则小颖赢，否则小明赢。方法二：若摸到的球上所标数字是偶数，则小颖赢，否则小明赢。设计意图:考查对与摸球相关的等可能事件概率的计算公式的掌握，以及对于游戏公平性的理解和判断，并设计符合公平性的规则。活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你会计算与摸球有关的概率吗？理解游戏的公平性吗？2.你能设计与摸球有关的简单概率模型吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P77～79习题3.3第4，5，9，10，11题。2.相应课时训练。八、板书设计第2课时与摸球有关的概率九、教学反思（一）课前反思从教学目标来看：本课时旨在让学生进一步理解概率的意义，掌握用列举法求简单随机事件的概率。回顾教学目标，发现表述较为清晰，但在实际操作中，要如何让学生深刻体会概率在生活中的应用，还需进一步思考。计划在课堂引入环节，多列举一些生活实例，如抽奖、游戏公平性等，帮助学生快速建立起知识与生活的联系。教学方法方面：计划采用讲授法、小组合作探究法相结合的方式。讲授法能高效传递知识，但可能会使课堂稍显枯燥。小组