温州市2025届高三学业水平评估数学试题（含答案解析）

温州市2025届高三学业水平评估数学试题

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.

1.在复平面内，复数z对应的点为(—1,1),则母=

A.—1+2B.—1—iC.iD.l+i

2.已知空间向量五=(1,0,0)石=(0,1,0),则下列向量可以与五,3构成空间向量的一组基底

的是

A.c=(0,0,0)B.c=(0,0,1)C,c=(1,1,0)D.c=(1,2,0)

3.圆心为且与抛物线才=4力的准线相切的圆的方程是

A.(力+1)2+(g+=4B.(6+1)2+(g+=3

C.(力一1y+日—通)2=4D.(力-1)2+3—")2=3

4.已知4名学生的期中考试数学成绩分别为98,110,馆,120,且上四分位数为H8,则m=

A.115B.116C.117D.118

5.已知数列｛%｝满足的=—《,」——L=2,则数列｛%｝中的最小项为

◎^n+lOn

A..012B.CZ>3C.tZ>4D.O>5

6.在△48。中，角ABC所对的边分别为a,b,c,已知$111>1=春,_8=24,6=8,则。=

O

A.4B.5C.芈D.筌

/OO

7.如图所示，“田”字型方格是由4个边长为1的正方形组成为其中的4个格点,

在9个格点中依次取不同的两点PQ,则概率等于］的事件是

A.PQ-AB=8B.<FQ,AB>=45°

C.PQ-GD=0D.在|弱|=出条件下，的〃臣5

8.已知函数/(工)=log(a+1)x-logax与gQ)=(a+1尸+

Q*(Q>0且QWI)在(0,+co)上都是增函数，则实数Q的取值范围

是

A.仙—]C.D.[^1,+8

。，1

二、选择题：本题共3小题,每小题6分，共18分.

9.已知实数a,b满足a>I">0,则

22

A.Q>bB.a>—6C.a>bD.—

ab

10.将下列平面四边形AB。。中的△ABD沿对角线BD翻折成△ABD,使二面角A-BD

-。为直二面角，其中四面体ABCD的外接球的半径等于2的是

CD

11.给定nCN+,若集合PU{1,2,3,­••,n),且存在a,b,c,deP,满足a<b&c<d,b—a=

d—c,则称P为“广义等差集合”.记P的元素个数为|P|,则

A.{1,2,3}是“广义等差集合”

B.{134,6}是“广义等差集合”

C.若P不是“广义等差集合"，当九=8时，的最大值为4

D.若P不是“广义等差集合"，若\P\的最大值为4,则"可以是13

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

626

12.已知二项式的展开式：(1—2a;)=a0++a2xH----Fa6/,则&3=

13.若角a的终边逆时针旋转f后经过点F(-3,4)，则sin(a-舟=______

o\O/

14.已知P为椭圆5+方=/(a>b>0)上一点，鸟,鸟分别为椭圆的左，右焦点，直线PK

交U轴于点Q,。为坐标原点，若|QE|=\PF2\=QP|,则椭圆的离心率等于

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数/(二)=—ar+21na:在土=1处的切线垂直于,轴.

⑴求实数a的值；

(2)求函数的极小值.

16.(15分)为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性,抽取了200名高三年级的学

生,统计数据，整理得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：

频率阈距

身高0(X50

性别合计U.网

低于170cm不低于170cm

0.032

女m200.030

男n0.015

500.008

0.005

合计

2000150155160165170175180185身胤单曲«)

⑴根据身高的频率分布直方图，求列联表中神，口的值；

(2)依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为高三年级学生的性别与身高是否低于

170cm有关联？

(3)用样本频率估计总体的概率，在全市不低于170cm的学生中随机抽取2人，其中不低于

175cm的人数记为X,求X的期望.

n(ad—be)2

附：r9=---------------------------------------

八(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=a0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

17.(15分)如图，已知四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面ABCD上的射影"落在线段

上(不含端点)，底面ABCD为直角梯形，ADIIBC,

AB±AD,

AB=2,BC=2AD=2V2.

⑴求证：BD_L平面PA。；

(2)若二面角A—BC—P的大小为a,直线PC与平面

ABGD所成的角为从

第17题图

⑴求分的值；

iidblip

(w)当Q=60°时，求P4的最小值.

2/

18.(17分)已知双曲线。:号—去=l(a>0,b>0)过点/(2,2)，其渐近线的方程为y=

ab

±2x.按照如下方式依次构造点2("=2,3,…)：过右支上点2T作斜率为1的直线与。的

左支交于点Qn-l,过Qn-l再作斜率为—1的直线与。的右支交于点2(彩,%).

(1)求双曲线。的方程；

⑵用吃,外表示点Qn―1的坐标；

⑶求证:数列｛2xn-%｝是等比数列.

19.(17分)已知函数/(工)=sin%+cos，(nC乂).

⑴当九=4时，判断了(,)的奇偶性；

(2)当"为偶数时，方程/(乃=靛有解，求功的最小值；

⑶若存在n，使得关于x的不等式/⑺+a(sin/+cos/)—以>0恒成立,求实数a的取值范

围.

温州市2025届高三学业水平评估数学解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.在复平面内，复数z对应的点为(-1,1),则捻=

A.—1+iB.-1—iC.iD.l+i

【答案】c

由题易知：z=-l+i,则含==i-

故选择：C

2.已知空间向量3=(1,0,0)]=(0,1,0),则下列向量可以与4石构成空间向量的一组基底的是

A.c=(0,0,0)B.c=(0,0,1)C.c=(1,1,0)D.c=(1,2,0)

【答案】B

由基底的定义易知B选项正确.

故选择：B

3.圆心为(1,8)且与抛物线y2=4比的准线相切的圆的方程是

22

A.(x+I)2+(y+V3)=4B.(x+I)2+(y+V3)=3

C.(x-l)2+(y-V3)=4D.(x-I)2+(y-V3)=3

【答案】C

抛物线的准线方程是X=-1,则满足题意的圆的方程为(x-I)2+(y-V3)=4.

故选择：C

4.已知4名学生的期中考试数学成绩分别为98,110,叫120,且上四分位数为118,则6=

A.115B.116C.117D.118

【答案】B

4x75%=3是整数，所以若图=118,得m=116.

故选择：B

11

--

5.已知数列｛册｝满足％=—52,则数列｛册｝中的最小项为

an

A.B.CI3C.Q4D.

【答案】B

由题意得=-1，。3=-1，所以Vn24,与＞0.

故选择：B

6.在△4BC中，角4,B,C所对的边分别为a,仇c,已知sinA==24,b=8,则。=

A.-B.5C.—D.—

233

【答案】B

B=2A,贝储是锐角，则cos力='所以。=霁=%=2=5.

5smbsm2i42cosA

故选择：B

7.如图所示，“田”字型方格是由4个边长为1的正方形组成，

A,B,C,。为其中的4个格点，在9个格点中依次取不同的两点尸,Q,

则概率等于;的事件是

4

A.PQ-AB=8

B.<PQ,AB>=45°

C.PQ-CD=0

D.在|同|=而条件下，PQ//CD

【答案】BD

向量是矢量，有方向有长度，故有用=72种取法.

A项：PQ-AB=8,\AB\=2V2,故|而|=2鱼且与荏同向，所以P

只能在4Q只能在B一种，所以P=J;

B项：〈而，而〉=45。,而可为图中：

AF,AC,FC,DG,DI,G/,EH,EB,HB,AD,AE,DE,FH,GH,~CI,CB,TB

18种，所以P=,=%

C项：PQ-CD=0,即而与丽垂直，而可为：AH,HA,FB,BFm,所以P=*=j

7218

D项：在|而|=逐条件下，即所可为

丽，而，丽，而，丽，丽,彳瓦兹，而，灰，万,71,厉，司，丽，砺共］6种,

与丽平行有而，瓦，国而四种，所以P=2="

164

故选择：BD

zx

8.已知函数/'(%)=log(a+i)x-log。％与g(x)=(a+l)+a(a>0且a*1)在(0,+8)上都是增

函数，则实数a的取值范围是

A.(。,另B.用,1)C.(1,*D.等…)

【答案】B

InxIn%In(a)—ln(a+1)

/(x)=logx-logx=^)-——=In%

(a+1)QIiTIInaIna-ln(a+1)

Ina—ln(a+1)pna<0

Ina-ln(a+1)>=(ln(a+1)>0°'

F/a+l\x

g(%)=(a+l)x+ctx,g(%)=(a+l)xln(a+1)+ax\na=ax(-------jln(a+1)+Ina,

只需ln(a+1)4-Ina=ln(a2+a)>0,则小+a—l>0=>aG1).

故选择：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.已知实数见b满足a>\b\>0,则

A.a>bB.a>—bC.a2>b2D.->-

ab

【答案】ABC

a>\b\>b,则a>瓦a>-b,故A、B正确；|a|>|b|,则/>按，故C正确；

D项：举反例，取a=2,b=l,则工故D错误.

故选择：ABC

10.将下列平面四边形4BCD中的△4BD沿对角线BD翻折成△dBD,使二面角4'-BD-C为直

二面角，其中四面体/BCD的外接球的半径等于2的是

【答案】ACD

A项：如图，F=(3-R)2+(b)=R2_6R+12,得R=2,故A正确;

B项：底面半径丁=#^=2,而R>丁，故B错误；

C项：BO中点即球心，R=~BD=2,故C正确；

D项：4。中点即球心半径r=2,故D正确.

故选择：ACD

11.给定九6N+,若集合PG{1,2,3,…，九},且存在a,b,c,dGP,满足a<b<c<d,b—a=d—c,

则称P为“广义等差集合”.记P的元素个数为|P|,则

A.{1,2,3}是“广义等差集合”

B.{1,3,4,6}是“广义等差集合”

C.若P不是“广义等差集合"，当n=8时，|P|的最大值为4

D.若P不是“广义等差集合"，若|P|的最大值为4,则n可以是13

【答案】ABC

选项A：a=l,b=c=2,d=3,故A正确；

选项B：a=l,b=3,c=4,d=6=>b—a=d—c=2,故B正确；

选项C：当|P|=4时，取。={1,2,4,8},当|P|。5时,={«!，a2,a3,a4,a5},由题意可知，

0.2-,已3—a2,CI4一。3,—两两不同•则已5—的=(tZj-a。+(<14-的)+(。3—已2)+

(a2—cii)21+2+3+4=10,矛盾，故C正确；

选项D：当n=13时，取2={1,2,4,8,13},与|P|max=4矛盾！故D错误.

故选择：ABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知二项式的展开式：(1—2光)6=a°+%%++…+。6抬6,则.

【答案】-160

33333

a3x=Cl■(-2x)-I=20•(-8x)=-160x,所以CI3=-160.

故答案为：-160

13.若角Q的终边逆时针旋转g后经过点P(—3,4),则sin(a—§=.

【答案】|

sin(a—匀=sin(a+]一小=-cos(a+其中cos(a+§=-1,所以sin(a—§=|.

故答案为：|

22

14.已知P为椭圆a+>=I(a>b>0)上一点，%,尸2分别为椭圆的左，右焦点，直线P外交y

轴于点Q,。为坐标原点，若IQ%]=|P七|=|。尸|,则椭圆的离心率等于.

【答案】噂

PF1+PF2—3m+2m—2a,所以m=|a,所以PH2=4^2—*2="层一12,

P在椭圆上，所以抬+丁匚=1,解得：e=片.

a"5

1

9m2+4m2-4c21V10

另解：cos""=%；---------=-e=—

2-3m-2m45

故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数f(%)=一Q%+21nx在％=1处的切线垂直于y轴.

(1)求实数。的值;

(2)求函数f(%)的极小值.

解：(1)/(%)=1%2—ax+21nx,求导得/'(%)=%—a+：,

x=1处切线斜率k=f(1)=1—a+2=3—a,由题意知k=0,则3—Q=0,得a=3.

2

(2)/(%)=|x—3%+21nx(x>0)/(%)=%—3+1=久-

当0<%<1或%>2时，/(%)>0,/(%)单调递增；

当1<》V2时，/(%)<0,/(工)单调递减，

因此f(x)极小值为/(2)=-4+21n2.

16.(15分)为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，抽取了200名高三年级的学

生，统计数据，整理得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：

身高

性别合计

低于170st不低于170c/w

女m20

男50n

合计200

(1)根据身高的频率分布直方图，求列联表中租，九的值;

(2)依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为高三年级学生的性别与身高是否低于

170cm有关联?

(3)用样本频率估计总体的概率，在全市不低于170cm的学生中随机抽取2人，其中不低于

175cm的人数记为X,求X的期望.

2_n(ad—bc')2

附:X(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(z2>K)=a0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：(1)由图，低于170cm的学生有200x5x(0.005+0.015+0.030+0.060)=)10名,

则不低于170cm的学生有90名，从而租=110-50=60,n=90—20=70.

2_200(60x70-20x50)2

(2)X-80x110x120x90x21.5>3.841,

所以可以认为高三学生的性别与身高是否低于170cm有关联.

(3)X可取0,1,2,抽中不低于175cm的概率P=荒=3，

16

但。"(扰)¥—福・评唱飞)。81,

匚匚、(

所以iiE!-•(zX\7)'\=0\x—25+।"lx—40+।c2x—16=-8.

'/8181819

17.(15分)如图，已知四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面4BCD

上的射影H落在线段4c上(不含端点)，底面4BCD为直角梯

形，AD//BC,AB1AD,AB=2,BC=2AD=2亚

(1)求证：平面PAC；

(2)若二面角4-BC-P的大小为a,直线PC与平面4BCD所

成的角为从

(i)求毁的值；

tan/?

(ii)当a=60。时，求PA的最小值.

解：(1)由题PH1平面u平面力BCD,所以PH1BD,

因为底面4BCD为直角梯形，所以BD=>JAD2+AB2=46,AC=7AB2+8。=2V3,

将4c沿4。平移，力与D重合，贝IJBC'=2鱼+鱼=3鱼,8。'2=+8。2=18,所以4clBD.

又因为4c1BD,PH1BD,AC,PHu平面ZM&ZCClPH=H,所以BD1平面PAC.

(2)(i)由题tan0=2过H作BC垂线，垂足为E,连接PE,

HL

所以tana=—,从而=—=——--=V3.

HEta叩HEsin4cB

(ii)以/为原点，以极力D为“轴，以过4点且垂直于平面/BCD的直线为z轴建系,

贝必(0,0,0),8(2,0,0),。(2,2鱼,0),D(0,V2,0),设P(a,V2a,b)fH(a,V2a,0),

从而加=(a-2,y[2a,b),BC=(0,2鱼,0),p

设平面PBC法向量为元=(x,y,z),

则[.前=0=｛(a-2)x+V2ay+bz=0\\

令x=-b,则元=(一瓦0,a—2),二

而平面4BCD法向量为记=(0,0,1),《

所以cosa=器^=7号=1,即4(a-2)2=按+(a—2)2=按=3(a-2)2,

|n||m|V^2+(«-2)22

又有|P川=Va2+2a2+b2,代入上式得，\PA\=J3a2+3(a-2)2=V6Va2-2a+2>V6,

所以R4的最小值为巡.

18.(17分)已知双曲线一，=l(a>0,b>0)过点Pi(2,2),其渐近线的方程为y=±2x.按

照如下方式依次构造点P"O=2,3,…)：过右支上点Pn_i作斜率为1的直线与C的左支交于点

Q"_l，过再作斜率为-1的直线与C的右支交于点「九(/，%)•

(1)求双曲线C的方程；

(2)用%九,为表示点Q九_i的坐标；

(3)求证：数列｛2/—是等比数列.

解：⑴由匕一子一，解得6=3所以双曲线c的方程为《芸=1.

17一记一11/=12312

(2)过Pn(xn,yn)斜率是-1的直线方程是x+y=xn+yn,

22

联立其与双曲线方程，有：3x+2(x„+yn)x-(xn+yn)-12=0.

由韦达定理，其两根是税,修，则和,无n=f'z-2x,?-y“z_i2=r“2-2》;厂4如2,

85

52--

33即点Q九_i的坐标为(一"九一|yA%+?yj.

所以％Q=--xn--yn,yqnn

(3)设/_i=和+t,yn-i=y(2+力，则

2222

4%n-i-yn-1=4(XQ+t)-(yQ+t)=4.+8txQ+4t一另一2tyQ-t

2

=12+8txQ—2tyQ+3t=12,

解得：t=-+，Q，所以

525/52\2/85\4120

y+

=-3^+3^=-3(-3J3G%+3M=yxn+-y.

858/52、5/85\8041

yx=-/Q