完全平方公式与平方差公式-2025年沪科版七年级数学寒假提升讲义（含答案）

第08讲完全平方公式与平方差公式

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模块二基础知识全梳理（吃透教材）能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并

模块三核心考点举一反三能利用公式进行简单计算；

模块四小试牛刀过关测

模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1平方差公式

1.平方差公式

（a+6）（°-6）=/一62即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

注意：（1）公式的左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数.

（2）公式的右边是两项的平方差，即相同的项的平方减去相反项的平方.

（3）公式中的。与6可以是具体的数字也可以是含有字母的代数式.

2.平方差公式的常见变形

（1）位置变化：（b+。乂—6+a）=（a+6乂a-b）=；

试卷第1页，共10页

(2)符号变化：a-6)=-(a+6)(a-6)=-^a2-b2^=-a2+b2；

(3)系数变化：(2a+36)(2a-36)=(2a)2-(36)2=4/-9/；

(4)指数变化:

(5)增项变化：(a-fe+c)(a-Z>-c)=(a-fe)2-c2；

(6)连用公式变化:(a-b)(a+b^a2+b2)(a4+b4)=as-bs.

(7)逆用公式变化：a2-b2=(a+b)(a-b).

知识点2完全平方公式

1.完全平方公式

(。+6)2=/+2"+〃；=a=2ab+/；即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平

方和，加上(或减去)它们的积的两倍.

注意：(1)公式特点：左边是两数的和(或差)的平方.右边是二次三项式，是这两数的平方

和加(或减)这两数之积的2倍.

(2)常见变形：

①/+〃=(a+6y-lab,a1+b~=(a-/>)2+2ab；

②(a++(口-4~=2(/+/)；

③(a一(0=4ab.

2.添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号,

括至U括号里的各项都改变符号.a+b+c=a+(b+c)=a-(-b-c)

注意：(1)无论怎样添括号，原式的值都不能改变.

(2)添括号与去括号是互逆的，符号变化也是一效的，可以用去括号法则检查添括号是否

正确.

6模块三核心考点举一反三

考点01：运用平方差公式进行运算

「、悯题

试卷第2页，共10页

1.计算：(2+1)X(22+1)X(24+1)X---X(216+1)+1=.

【变式11

2.计算：(2x-l)(-2x-l)=.

【变式2】

3.计算：(2x-y)2~(3x+2y)(3x-2y)

【变式3】

4.计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（结果保留累的形式）.

考点02：平方差公式与几何图形

0^例题

5.（1）将两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（大正方形）此时，阴影部分的面积

可以表示为:

（2）将同样的两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（长方形）此时，新拼成的长方

形的长是；宽是.则新拼成的长方形的面积可以表示为：.

（3）我们可以得到公式：.

【变式1】

6.如图，在边长为。的正方形正中间剪去一个边长为6的小正方形＞6）,把剩下的部分

按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形.剪拼前后的

两个图形可以验证的乘法公式是（）

A.(。+6)2=〃+2ab+b2B.(Q-6)=/-2Q6+Z?2

试卷第3页，共10页

C.-b~=(q+6)(q_6)D.a1+b2=(^a+by—2ab

【变式2】

（24-25七年级上•河南郑州•期中）

7.如图，从边长为。+3的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪

拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（）

【变式3】

（23-24七年级下•广东佛山•期中）

8.如图①，边长为。的大正方形中有一个边长为6的小正方形.

⑴请表示图①中阴影部分的面积;

（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图②），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表

示出它的面积吗？

（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？

考点03：运用完全平方公式进行运算

例题

9.已知(a+6)~=5,(a-b)2=3.贝!Ja2+〃=,ab=

【变式1】

10.已矢口（2024_a）（2022—a）=2023,贝|5_2023）2=

【变式2】

试卷第4页，共10页

【变式3】

,91

12.先化简，再求值：(x-2y)(x+y)-(x-2y)(x+2y)_(2x-y)~,其中x=-于)=—0.25

考点04：通过完全平方公式变形求值

，悯题

13.已知—8；—求砂的值.

【变式1】

14.已知。+6=2,ab=-8,贝!]/+〃=

【变式2】

15.已知：x+y=5,/+/=]3,则代数式无3^-3//+盯3的值为

【变式3】

16.代数式--lOx+Z）可以化为（x-a『-2,则a+b的值是.

考点05：求完全平方公式中的字母系数

仆3例题

17.已知二项式/和单项式2满足4=x?+8+1,那么8=.

【变式1】

18.如果4/+（加一1八+25是一个完全平方式，那么常数十=.

【变式2】

19.若关于x的整式--（2-加）x+64是某个关于x的整式的平方，则心=.

【变式3】

20.已知9x2-2（后+l）x+16是一个完全平方式，则左的值为.

考点：06完全平方公式在几何图形中的应用

仆"1例题

21.如图所示，图1是一个长为2m,宽为2〃的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的

小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形.

试卷第5页，共10页

2m

2n-------------1।----------------------1——

।।

图1图2图3

⑴图1的面积为;(用m与n的代数式表示)

(2)在图2中，m与n的等量关系为；

(3)在图3中，若大正方形的面积为49,阴影小正方形的面积为24,请直接写出两个关于

m,n的等式.

【变式11

22.如图，长方形/BCD的周长为20cm,面积为16cm?,以AB、AD为边向外作正方形

和ADEF,求正方形ABGH和ADEF的面积之和.

23.如图，将4个长为。，宽为6的长方形木条拼成一个正方形相框.

---------1c

(1)若。=2,b=l,求正方形/8CD和正方形EFG8的面积；

(2)用两种不同的方法计算大正方形ABCD的面积，你发现了什么代数结论？

【变式3】

24.如图①是一个长为4a、宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,

然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图②).

试卷第6页，共10页

6

Qa

①

(1)根据上述过程，写出(。+6)2、(0-6)2、浦之间的等量关系：；

9

(2)利用(1)中的结论，若x+y=4,xy=~,则(x-y)2的值是；

(3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：—；

(4)两个正方形/5C。，月EFG如图④摆放，边长分别为x,y.若/+/=34,BE=2,

求图中阴影部分面积和.

考点07：整式的混合运算

例题7.(23-24七年级上•河北石家庄•期末)

25.先化简，再求值：(x+4y)(x-4y)+(x-4y)2-(4x2-xy),其中工=-2,j^=-1.

【变式1】

26.计算

⑴(2x+3y)(3y-2x)-(x-3y)(y+3x)

⑵(x+2y-1)(x-2y-1)

【变式2】

27.计算：

(l)(-2a2)3+2a2-a4-a8-a2；

(2)(-2)2+(202329；

(3)(2X+1)(X-2)；

(4)(x-2y+l)(x+2y-l).

【变式3】

28.已知x=3,将下面代数式先化简,再求值(x-1)2+(x+2)(x-2)+(x-3)(x-l)

<►>模块四小试牛刀过关测-------------------------------

试卷第7页，共10页

一、单选题

（23-24七年级下•安徽淮北・期末）

29.下列各式能用平方差公式计算的是

A.（3a—56）（3。—56）B.(-3a-56)(3。+5人)

C.（a-26）（-a+26）D.(-a-26)(a-2b)

（23-24七年级下•安徽安庆•期末）

30.下列计算正确的是（）

A.（加+"）~=m2+rrB.[m+n]^m-n)=m2+n2

C.2m2nm2-2nD.(-2m)3=-2m3

（23-24七年级下•安徽安庆•期末）

31.如图①，从边长为。的大正方形中剪去一个边长为6的小正方形，再将阴影部分沿虚

线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公

式为（）

A.(a-Z?)2=a2-2ab+b2B.(a+b)(a-b)^a2-b2

C.a^a-b^-a1—abD.(a+/?)"=a2+lab+b~

二、填空题

（22-23七年级下•安徽池州•期末）

32.已知(x+y)2=7,(尤_y)2=5,贝!jV+y：,xy=,

（23-24七年级下•安徽安庆•期末）

33.已知实数。满足（。一2023）（。-2024）=3,贝一2023）2+（a-2024）2的值是.

三、解答题

（23-24七年级下•辽宁阜新•期末）

34.计算：

试卷第8页，共10页

(l)(3x-2y)2-(3x+2y)2；

(2)(a-2b+1)(°+26-1)-(a+26)(a-2b).

(22-23七年级下•贵州毕节•期末)

35.先化简，再求值：

(1)[(x—3yy—x(x-4y)]+2_y,其中(x+—)2+|_y—1|=0

(2)(2x+y)(2x-j)-(x-2y)2+(6x4-1Ox2y2)(-2x2),其中x=；,y=-1

(22-23七年级下•安徽六安•期末)

2

36.我们知道完全平方公式是(。+6)2=/+2仍+62,(。-6)2=a^_2ab+b,由此公式我们可

以得出以下结论：①(a-6)2=(。+6)2-4。6；②成=；[(0+6)2-(/+62)]；利用公式①

和②解决下列问题：

(1)若加+〃=10,mn=-3,求(加一〃了的值.

(2)若m满足(2023-2m)2+(2m-2024)2=7,求(2023—2m)(2m-2024)的值.

(23-24七年级下•安徽淮北•期末)

37.(1)填空：

(a-b)(a+b)=；

(〃-6)(/+qb+/)=；

(a-b)^a3+a2b+ab2=；

(2)猜想：

12n32n21

(a-b)(a"-+a"-b+a-b+...+ab-+b'-)=(其中〃为正整数，且〃N2)；

(3)利用(2)猜想的结论计算：399+398+397+-+32+3+1.

(22-23七年级下•安徽合肥•期末)

38.数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片A、一张正方形纸片8、两张长方形纸片C,

拼成如图2所示的大正方形•观察图形并解答下列问题：

试卷第9页，共10页

x

ba

(1)写出由图2可以得到的等式；(用含。、6的等式表示)

(2)小明想用这三种纸片拼成一个面积为(2。+以3a+26)的大长方形，则需要A,B,C三种

纸片各多少张?

⑶如图3,岳，$2分别表示边长为X、了的正方形面积，且M、N、尸三点在一条直线上,

若岳+邑=20,x+y=6,求图中阴影部分的面积.

试卷第10页，共10页

1.232

【分析】此题考查了平方差公式.再原式的基础上乘以（2-1）,利用平方差公式进行计算即

可.

【详解】解：原式=（2-l）x（2+l）x（22+l）x（24+l）x…、（2"+1）+1

=（22-1）X（22+1）X（24+1）X---X（216+1）+1

=（24-1）X（24+1）X（28+1）X（216+1）+1

=（28-l）x（28+l）x（216+1）+1

=232-1+1

=232,

故答案为：232.

2.-4X2+1##1-4X2

【分析】本题考查了整式乘法公式，将原式变形为-（2X-D（2X+1）,再利用平方差公式运

算即可.

【详解】解：（2x-l）（-2x-1）=-（2X-1）（2X+1）=-4X2+1.

故答案为：-4x2+1.

3.-5x2-4xy+5v2

【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式，根据乘法公式进行计算即可求解.

【详解】解:（2x-y）2-（3x+2y）（3x-2y）

=4x2-4xy+y2-（9x?-4y2）

=4x2-4xy+y2—9x2+4y2

——5x2-4xy+5y2.

4.232-1

【分析】本题考查了平方差公式，先添加因式（2-1）,然后连续多次运用平方差公式进行计

算即可.

［详解］解：原式=（2-1）（2+002+1）（24+1）（28+1）（2"+1）

答案第1页，共18页

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）

=（24-l）（24+l）（28+l）（216+l）

=（28-l）（28+l）（216+l）

=（216-1）（216+1）

=232-1

5.（1）a2-b2;（2）a+b,a-b,a2-b2;（3）（a+Z»）-（a-Z＞）=a2-b2

【分析】本题考查了列代数式，平方差公式与几何图形面积；

（1）观察图形，从图中可看出阴影部分面积为边长为。的大正方形面积减去边长为6的小

正方形面积；

（2）两个长方形的再次组合形成的一个大长方形，可看出小长方形的宽和大长方形的宽都

是大正方形的边长与小正方形的边长的差，长方形的长是小长方形的长与大长方形的和；

（3）求出长方形的面积化简结果与图左阴影部分面积对比.

【详解】解:（1）从已知可得阴影部分面积:aa—bb=a2—b1;

（2）第一个图中阴影部分的小长方形的宽和大长方形的宽为6；

阴影部分的小长方形的长为b,大长方形长即为

••・新拼成的长方形的长为a+6,宽是a-b；

二新拼成的长方形的面积为（。+办（。-6）=/-"+儿-/=/-心

（3）根据（1）（2）中两个图形的阴影部分面积相等可得公式：（。+今（。-6）=/-/

6.C

【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可.

【详解】解：第一个图形中剩余的面积为：a2-b2,

由第一个图形可知，大平行四边形的高为：a-b,

・•・第二个图形的大平行四边形的面积为（。+6）（。-与，

.-.a2—b2=（a+Z＞）（a-Z?）；

故选C.

7.B

【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，多项式除以单项式.能够通过所给正

答案第2页，共18页

方形和长方形的面积关系进行求解是解题的关键.先求出剩余部分的面积为：

6+3）2-9="+6%再由面积相等，即可求解.

【详解】解：•••边长为（。+3）的正方形的面积为（a+3『，边长为3的正方形的面积为9,

减去正方形后剩余部分的面积为：（a+3）2-9=/+6。，

•••长方形的一边为“，

二长方形的另一边长为：（/+6a）+a=a+6,

故选：B.

8.（l）a2-Z）2

（2）（a+^）（a-&）

⑶能

【分析】（1）求出大正方形及小正方形的面积，作差即可得出阴影部分的面积；

（2）图乙所示的长方形的长和宽分别为（。+»、（a-b）,由此可计算出面积；

（3）根据阴影部分的面积相等可得出平方差公式.

本题考查了平方差公式的几何背景，注意几次分割后边的变化情况是关键.

【详解】（1）解：大正方形的面积为/，小正方形的面积为〃，

・・・图①阴影部分的面积为/;

（2）解:图②的阴影部分为长为（。+6）,宽为（。-3，

.•.其面积为（。+6）（。-6）；

（3）解：由图①与图②的面积相等，可以得到平方差公式：（。+6）（。-6）=。2-/.

1

9.4-##0.5

2

【分析】本题考查了完全平方公式的变形与求值，熟练掌握完全平方公式和整体代入的思想

是解题关键.

利用完全平方公式化简，计算即可求值.

【详解】解：,..（a+6）2=a：!+2a6+62=5①，

（。一6）2^a2-2ab+b2=3②.

答案第3页，共18页

①+②得：2(/+>2)=8,即/+廿=4,

①—②得：4al>=2,即=—,

2

故答案为：4,；.

10.2024

【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

根据完全平方公式对原式进行变形，计算求值即可

【详解】解：•••(2024-。)(2022-。)=2023

(2023+1-。)(2023-1-a)=2023

(2023-0+1)(2023-a-l)=2023

(2023-a)2-1=2023

(2023-a)2=2024,

(a-2023)2=2024；

故答案为：2024.

11.8x2

【分析】本题主要考查了整式乘法的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键.

先根据完全平方公式，单项式乘以多项式，积的乘方计算法则去括号，然后合并同类项即可.

【详解】(2x+y)2-y(y+4x)+(~2x)2

=4x2+4xy+y2-y2-4xy+4x2

=8x2.

9

12.-4x2+3xy+y2,--

【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握运

算法则是解本题的关键.原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则

计算，去括号合并得到最简结果，把x与歹的值代入计算即可求出值.

【详解】解：(x-2y)(x+^)-(x-2y)(x+2j)-(2x-j；)2

=x2-xy-2y2-x2+4y2-^4x2-4xy+/)

答案第4页，共18页

=x2-xy-2y2-x2+4y2-4x2+4xy-y2

=­4/+3xy+,

当％=_1,y=-0.25=_?时,

24

19

原式=-4x(—5>+3X

131

=-44x—H----1----,

4816

,31

=-l+-+—,

816

__9_

一一话‘

13.3

【分析】本题考查了完全平方公式在计算中的应用，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的

关键.先把x『L5两边平方，利用完全平方公式展开后代入八/£的值即可求解.

【详解】解：—>=1.5,

•・Gry］，

_2xy+y2=­f

vx2+y2-8—,

4

.,.8--2xy=—

44

・•.2xy=6,

:.xy=3；

14.20

【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关

键.根据。2+/=（。+6）2,结合。+6=2,ab=-S,进行求值即可.

【详解】解：+b=2,ab=-8,

2

・•・/+b=(a+b『-2"=22-2x(-8)=4+16=20.

故答案为：20.

15.-30

【分析】本题考查了完全平方公式的应用.根据题意得出（X+>）2=25,求得9=6,将

答案第5页，共18页

彳3了-3//+中3化简为孙卜2-3孙+必)，再整体代入，即可得出答案.

【详解】解：+>=5,X2+y2=13,

・•・(x+y『=x2+y2+2xy=25,

：.xy=6,

・•・x3y-3x2y2+xy3

=xy(^x2-3盯+y2)

=6x(13-3x6)

=—30,

故答案为：-30.

16.28

【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，属于基础应用题，只需学生熟练掌握配方法，

即可完成.根据配方法化/T0X+6=(X-5)2+6-25,即可得到°、6的值，从而求得结果.

【详解】解：：/-10了+6=(无一5『+6-25,

.••〃=5,6-25=-2,

・・・6=23,

.,・。+6=5+23=28.

故答案为：28.

17.±2%,—x4

4

【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键.完全平方式:

/±2"+4的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，据此求解即可.

【详解】解：・.・A是二项式,

・•.A2是一个二项式的完全平方，

・•・/+3+1可以写成一个二项式的完全平方，

B—±2%,—x4.

4

故答案为：±2x,J/.

4

18.21或—19##—19或21

答案第6页，共18页

【分析】本题考查完全平方公式，熟记公式的形式，找出首项和尾项的底数是关键.根据完

全平方式的形式可知，该式子首项为2x的平方，尾项为5的平方，则中间项为±2x2x-5,

可得结果.

【详解】解：•••4/+（加-1卜+25是一个完全平方式，

.1.4x2+-1）x+25=（2x±5）"=4x2±20%+25,

m-l=±20,

解得："?=21或-19.

故答案为：21或-19.

19.-14或18

【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可知两平方项为V,8L则一次项为

±2-x-8,据此求解即可.

【详解】解：•••关于x的整式》2-（2-加）x+64是某个关于x的整式的平方，

X?—（2—机）x+64—x?—（2—加）工+82,

-（2-m）x=±2-x-8,

/.m-2=±16,

・••加=18或加=一14,

故答案为：-14或18.

20.-13或11

【分析】本题主要考查了求完全平方式，根据题意可知两平方项为（3x）2、42,据此可确定

一次项，进而求出左的值即可.

【详解】解：••,9/一2（左+l）x+16=（3x/-2（左+l）x+4?是一个完全平方式，

・・.-2（4+1）%=±2.3%•4,

.・.2（左+1）=±24,

・•・左=-13或左=11,

故答案为:-13或11.

21.（l）4mn

⑵m=3n

答案第7页，共18页

(3)(777+77)2=49,(/»-")-=24

【分析】本题主要考查了整式的运算，面积的计算等，审清题意列式是解题的关键.

(1)根据面积公式计算即可；

(2)根据图形推导长方形的长与三个宽相等求出即可；

(3)由图推出大正方形的边长和阴影小正方形的边长，再根据“大正方形的面积为49,阴

影小正方形的面积为24”列出关系式即可.

【详解】(1)解：由长方形的面积公式可得：2mx2n=4mn.

故答案为：4mn；

(2)由图可知：m=3n.

故答案为：m=3〃；

(3)由图可知：大正方形的边长为机+",阴影小正方形的边长为加-77,

又•••大正方形的面积为49,阴影小正方形的面积为24

两个关于小，"的等式为：(/77+〃)2=49,(m-n)2=24.

22.正方形/3G〃和4DE尸的面积之和为68cm2.

【分析】先根据题意列出长方形关于周长和面积的代数式，再根据完全平方公式的变

式应用即可求出答案.

【详解】解：设长方形的长为“cm,则宽为6cm,

长方形48co的周长为20cm,面积为16cm

。+b=10,ab=16f

正方形和ADEF的面积之和为

a2+b2=(a+6)2-lab=102-2x16=68(cm2).

二正方形和ADEF的面积之和为68cm2.

【点睛】本题主要考查完全平方公式变式应用，根据题意列出等式是解决本题的关键.

23.(1)正方形/8CZ)的面积为：9,正方形EFG”的面积为：1

(2)面积计算见解析，(a+4=("切+406

【分析】(1)根据正方形面积计算公式求解即可；

(2)根据大长方形面积等于边长乘以边长，以及大正方形面积等于4个小长方形面积加上

小正方形面积进行求解即可.

答案第8页，共18页

【详解】⑴解：正方形的面积为：(。+6)2=(2+1>=9

正方形EFG”的面积为：("bp=(2-1)2=1；

(2)解：方法一：正方形N3CD的面积为：(4+6)2

方法二：正方形/BCD的面积为：(a-b^+Aab

,两种表示方法表示的面积相等，

•••(a+=(0-b)~+4ab.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，代数式求值，熟知完全平方公

式是解题的关键.

24.(l)(a-Z?)2=(a+b)2-4ab

(2)7

⑶(3a+b)(a+b)=3a2+4ab+b1

(4)8

【分析】(1)图①的面积是4a6,图②的面积是(a+b)、(a-b)2,由此即可求解；

(2)根据(1)的结论，代入计算即可求解；

(3)将图形中各部分的面积通过图形面积计算公式表示出来并等于大长方形的面积即可求

解；

(4)BE=x-y=2,并计算出x+y=8,分别求出x,V,根据图中阴影部分面积和

S&DFC+S&BEF，由此即可求解.

【详解】(1)解：中间部分的面积可以看作从边长为。+方的正方形面积减去4个长为。，宽

为6的长方形面积，即(。+方)2-4金,

'•(6t-b)~=(a+b)。—4ab,

故答案为：(a-b)2=(a+6)2-4a6.

9

(2)解：•.•x+y=4,xy=-^(x-y)2=(x+y)2-4xy,

•••(x-y)2=(x+y)2-4xy

=16-4x-

4

答案第9页，共18页

=7,

故答案为：7.

(3)解：分别以大矩形的面积和几个小矩形的面积为等量可得：

(3a+b)(a+b)=3a2+4ab+b2,

故答案为：(3a+b)(“+b)=3a2+4〃b+/.

(4)解：-x2+y2=34,BE=2,

••・1一)二2①，

・••x2-2xy+j/=4,

34-2xy=4,

xy=15,

v(x+y)2=x2+2xy+y2=34+30=64,且

••・x+y=8②，

①+②得，x=5,

・•・V=3,

图中阴影部分面积和

11121112122

=S4DFC+^^BEF=~x(x~y)+~y(x~y)=~x--xy+—xy--y=~(x-y)

=1x(25-9)=8.

【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法，乘法公式与图形面积，掌握整式的乘法运算

法则是解题的关键.

25.-2x~-7xy,-15

【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键.先利用整

式的混合运算法则化简，再代入求值即可.

【详解】解：(x+4y)(x-4y)+(x-4y)2~(^4x2-xy^

=x2-16y2+x2—Sxy+16y2-4x2+xy

=_212_1xy,

答案第10页，共18页

当％=—2,>=一1■时,

原式=-2x(—2)2-7x(-2)=-8-7=-15.

26.(1)—7%2+12y2+8xy

(2)x2—2x+1-4y2

【分析】本题考查了整式的混合运算的法则和顺序，解决此题的关键是掌握平方差公式和完

全平方公式进行运算.

(1)根据整式的混合运算的法则和顺序，结合平方差公式计算即可；

(2)根据整式的混合运算的法则和顺序，结合平方差公式和完全平方公式计算即可.

【详解】(1)解：(2x+3田(3y—2x)—(x—3y)(y+3x)

=9产-4x2-+3x2-3y2-9盯),

=9y2-4x2-(3x2-3y2-8盯),

=9y2—4%2—3x2+3y2+Sxy

=—7%2+12y2；

(2)解：(x+2j-1)(x-2)/-1)

=(x-1+2y)(x-1-2y)

二(1)2—(2炉

—-2x+1-4y2.

27.(1)-7-

(3)2/-3X-2

(4)x?-4y2+4y-l

【分析】本题考查的知识点是同底数基相乘、积的乘方运算、同底数塞的除法运算、整式的

混合运算、实数的混合运算、整数指数塞的运算、计算多项式乘多项式、运用平方差公式进

行运算、运用完全平方公式进行运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则.

(1)根据同底数幕相乘、积的乘方运算、同底数幕的除法运算、整式的混合运算即可解答;

答案第11页，共18页

(2)根据整数指数累的运算、实数的混合运算即可求解；

(3)利用多项式乘多项式的法则进行计算即可求解；

(4)利用平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解.

【详解】(1)解：原式=-8(+206一原,

=-7a6；

(2)解：原式=4+1—,

4

19

=7;

(3)解：原式=2x?-4x+x-2,

=2x~-3x~2；

(4)解：原式=[x_(2y_l)][x+(2y_l)],

=x2-(2y-l)2,

=x2-(4_y2-4y+1),

=x2-4y2+4y-1.

28.3x2-6x;9

【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项,

最后把x=3代入计算即可.

【详解】解：(X-1)2+(X+2)(X-2)+(X-3)(X-1)

—+1—2x+—4+—x—3x+3

=3x2-6x

将x=3代入，原式=27-18=9.

29.D

【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式的结构特征进行判断即可.

【详解】解：A、(3"5b)(3a-5b)=(3°-5叶，不能用平方差公式，故该选项不正确，不

符合题意；

B、(-3a-56)(3°+5b)=-(3a+56)2,不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意;

C、("26)(-4+26)=-("2与2,不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意；

答案第12页，共18页

D、(-a-26)(a-2b)=(-26『-I,能用平方差公式，故该选项正确，符合题意；

故选：D.

30.C

【分析】本题考查了整式的运算，利用完全平方公式判断选项A；利用平方差公式判断选项

B；利用单项式除以单项式法则判断选项C；利用积的乘方法则判断选项D即可.

【详解】解：A.(勿+力)2=/+2"?〃+〃2,原计算错误，不符合题意；

B.("z+〃)(加-")=«?-心原计算错误,不符合题意；

C.2加2”加2=2〃，原计算正确，符合题意；

D.(-2m)3=-8m3,原计算错误，不符合题意；

故选：C.

31.B

【分析】本题考查几何图形验证平方差公式，分别表示出图①和图②中阴影面积，即可解

答.

【详解】解：图①中阴影面积为/-从，

图②中阴影面积为(a+6)("b),

根据根据两部分阴影面积相等可以得到(a+b)(a-b)=a、62.

故选：B

32.6-##0.5

2

【分析】根据完全平方公式将原式变形：x2+2xy+/=70,/-2盯+/=5②，①+②

和①-②即可得出答案

【详解】解：v(x+y)2=7,(x-y)2=5,

x2+2xy+y2=7(T),x2—2xy+y2=5(2),

二①+②得：

x2+2xy+y2+x2-2xy+y2=12,

贝|］一+/=6；

①-②得：

答案第13页，共18页

4xy=2,

解得：xy=~-

故答案为：6;y.

【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确运用完全平方公式是解题的关键.

33.7

【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提,

根据已知条件设元求解是关键.设"2023=、，"2024=九得孙=3,X-k1,利用完全

平方公式变形得一+/=(工-四2+2盯，代入计算即可得答案.

【详解】解：设。一2023=%,a-2024=y,

:.x—y=a—2023—(a—2024)=1,

・・・3—2023)(4—2024)=3,

:.xy=3,

x2+y2=(x-y)2+2xy,

.-.x2+/=l2+2x3=7,

(a-2023)2+(a—2024)2=7.

故答案为：7.

34.(l)-24xy

⑵431

【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式：

(1)先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可；

(2)先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可.

【详解】⑴解:(34-2好-3+2班

=9尤2一12孙+4「_(9x?+12盯+4月

=9x2-12盯+4y2-9x2-12xy-4y2

=-24^7；

(2)解：(。一26+1)(。+26—1)一(。+26)(。一26)

=[〃_(26-1)][a+(26-1)]-(a?_4/)

答案第14页，共18页

=a12-*(2Z>-l)2-a2+4P

=4b2-(4b2-4b+1)

=4b2-4b2+4b-l

=46—1.

9

35.(l)-J-x；5

⑵4中；-2

【分析】(1)先利用整式的混合运算法则进行化简，再根据非负数的性质求得x=-;，

了=1,最后代入求值即可；

(2)先利用平方差公式和完全平方公式及多项式除以单项式法则进行计算，再进行合并同

类项，最后代入求值即可.

【详解】(1)解：[(x-3y)2-x(x-4y)]+2〉

=(J-6孙+9>2-x2+4盯)+2y

9

=-x+r

■■(x+^)2+\y-l\=O,

••・x+；=0,y—l=O,

11

**.x=--,y=l,

1Q1Q

把x=V=1代入得，一%+7歹=