山东省济南市市中区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

山东省济南市市中区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.从正面观察如图所示几何体，看到的形状图是（）A. B.C. D.2.已知，则值为（）A. B. C. D.3.已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在该函数图象上的是（）A. B. C. D.4.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.5.在一个不透明口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（）个．A.10 B.11 C.12 D.136.如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则的值为（）A.1 B. C. D.7.如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则（）A. B. C. D.8.如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为、．则木杆在轴上的投影长为（）A.3 B.5 C.6 D.79.一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.10.已知二次函数（其中x是自变量），当时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（）A. B.C.或 D.或二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）11.若为锐角，，则________．12.如图，与位似，点O为位似中心，，的面积为2，则的面积为_______．13.如图，点A是反比例函数（，）的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，．若的面积等于3，则k的值为_____．14.如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为_____．15.如图，将半径为的圆形纸片翻折，使得，，折痕为，则阴影部分的面积为___________________．16.如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，，当长度最大时，点D到的距离是___________________．三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.计算：．18.已知如图，，分别是的边，上的点，，，，．求的长度．19.如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）（1）求y关于x的函数解析式．（2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？20.随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为A、B、C、D．（1）当一名乘客通过该站闸口时，恰好从B闸口通过的概率是______．（2）请用树状图或列表法求甲、乙两名乘客选择相同闸口通过的概率．21.如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行到达D处，再沿着斜坡走到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到）（1）求斜坡的铅直高度和水平宽度．（2）求旗杆的高度．（参考数据：，，，）22.如图，在中，，以为半径的与相交于点E，与相切于点D（1）求证：平分；（2）已知，，求的半径r．23.把边长为的正方形硬纸板（如图），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图），长方体形的无盖盒子的侧面积为．（1）求与的函数关系式；直接写出取值范围；（2）求当取何值时，达到最大，并求出最大值．24.在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．（1）求的值；（2）如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界），当时，区域的整点个数为；直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围．25.（1）问题发现：如图1，和中，，，，连接，填空：；；（2）类比探究：如图2，在和中，，,连接交的延长线于点M，请判断，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将绕点O旋转至点C与点M重合，，填空：．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为．（1）该抛物线的表达式为；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

山东省济南市市中区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查几何体的三视图．根据观察方向即可求解．【详解】解：从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形且两个长方形在左侧位置对齐故选：A2.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，设则再代入分式求值即可.【详解】解：，设故选：【点睛】本题考查的是分式的值，掌握设辅助参数的方法求解分式的值是解题的关键.3.已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在该函数图象上的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用待定系数法求出的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于的值的就在反比例函数图象上，反之则不在．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，A、，故此点不在此函数图象上；B、，故此点在此函数图象上；C、，故此点不在此函数图象上；D、，故此点不在此函数图象上．故选：B．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．4.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．【详解】∵二次函数解析式为，∴顶点坐标为；故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．5.在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（）个．A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【解析】【分析】设黑球可能有个，根据摸到白球的频率稳定在25%附近得到口袋中摸到白球的概率为25%，根据概率公式即可求出黑球的个数．【详解】解：设黑球可能有个∵摸到白球的频率稳定在25%附近∴口袋中摸到白球概率为25%∴∴经检验：x=11是原方程的解，也符合题意.∴黑球可能有11个故选：B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率、根据概率公式计算概率等知识点，由频率估计概率是解答本题的关键．6.如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则的值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在中利用正切函数的定义即可求解．本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键【详解】解：如图，在中，，，则．故选：B．7.如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直径所对的圆周角为90°，直角三角形两锐角互余，以及同弧所对的圆周角相等，由是直径可得，由可知，再根据同弧所对的圆周角相等，可得的度数，即可得出答案．【详解】解：是的直径，，，，，，故选：B．8.如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为、．则木杆在轴上的投影长为（）A.3 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长、分别交轴于，作轴于，交AB于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长．【详解】解：延长分别交x轴于，作轴于，交于，如图∵．∴，，，∵，∴，∴，即∴，故选：C．9.一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．10.已知二次函数（其中x是自变量），当时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵二次函数，∴对称轴，当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴此时抛物线与x轴没有交点，∴，∴解得；当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴当时，，∴解得，∴，∴综上所述，当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）11.若为锐角，，则________．【答案】30【解析】【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见特殊角的三角函数值是解题的关键．根据“”即可解答．【详解】解：∵，∴．故答案为：30．12.如图，与位似，点O为位似中心，，的面积为2，则的面积为_______．【答案】18【解析】【分析】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．利用位似的性质得到，，所以，然后根据相似三角形的性质求解．【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，∴，，∴∵，∴，∴．故答案为：18．13.如图，点A是反比例函数（，）的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，．若的面积等于3，则k的值为_____．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义．连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有，再结合函数图象所在的象限，确定k的值．【详解】解：如图，连接，轴，，，，反比例函数的图象的一支位于第一象限，，，故答案为：6．14.如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为_____．【答案】﹣5＜x＜3【解析】【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，∴另一个交点的坐标为（3，0），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．故答案为﹣5＜x＜3．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．15.如图，将半径为的圆形纸片翻折，使得，，折痕为，则阴影部分的面积为___________________．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、扇形面积的计算等．作于点D，连接，求出，得到，进而求得，再利用阴影部分的面积得出阴影部分的面积是面积的，即可得出结果．【详解】解：作于点D，连接．由折叠知，∴，∴，同理，∴，∴阴影部分的面积，故答案为：．16.如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，，当长度最大时，点D到的距离是___________________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，构造出与相似的三角形得出取最大时的情况是本题解题的关键；以为斜边构造与相似的直角三角形，然后利用三角形三边关系得出最大时的情况，再根据相似三角形的判定和性质进行求解即可．【详解】解：作直角三角形，使，，，连接，∵，，∴设，，则，∵，，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，，∴，当在同一直线上时，即时，长度最大，∵，∴，∴四点共圆，∴，作于F，∴，∴，∴，∴，即，∴，故答案为：三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.计算：．【答案】5【解析】【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值．先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：．18.已知如图，，分别是的边，上的点，，，，．求的长度．【答案】【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意得到，，可得，即可解题．【详解】，，．，∵，，，，∴19.如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）（1）求y关于x的函数解析式．（2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？【答案】（1）；（2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力．【解析】【分析】(1)根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式；(2)将x=1.5代入(1)中所求解析式，即可得出y的值．【小问1详解】解：由题意，得，则，∴y关于x的函数解析式为．【小问2详解】解：∵，∴当时，，故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键．20.随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为A、B、C、D．（1）当一名乘客通过该站闸口时，恰好从B闸口通过的概率是______．（2）请用树状图或列表法求甲、乙两名乘客选择相同闸口通过的概率．【答案】（1）；（2）P（甲乙乘客选择相同闸口通过）．【解析】【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：一名乘客通过该站闸口时，他选择闸口通过的概率为；【小问2详解】解：画树状图得：由树状图可知：有16种等可能的结果，其中两名乘客选择相同闸口通过的有4种结果，即，，，，两名乘客选择相同闸口通过的概率．21.如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行到达D处，再沿着斜坡走到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到）（1）求斜坡的铅直高度和水平宽度．（2）求旗杆的高度．（参考数据：，，，）【答案】（1）ED的铅直高度约为，水平宽度约为（2）【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．（1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）过点E作，垂足为H，根据题意可得：，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【小问1详解】解：在中，，∴，，∴斜坡的铅直高度约为，水平宽度约为；【小问2详解】解：过点E作，垂足为H，由题意得：，∴，在中，，∴，∴，∴旗杆的高度约为．22.如图，在中，，以为半径的与相交于点E，与相切于点D（1）求证：平分；（2）已知，，求的半径r．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而得到，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；（2）根据余弦的定义求出，根据列出比例式，把已知数据代入计算即可．【小问1详解】证明：连接，如图所示：∵切于点D，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即平分；【小问2详解】解：在中，，∵，，∴，解得：，∵，∴，∴，即，解得：．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．23.把边长为的正方形硬纸板（如图），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图），长方体形的无盖盒子的侧面积为．（1）求与的函数关系式；直接写出的取值范围；（2）求当取何值时，达到最大，并求出最大值．【答案】（1），；（2）当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．【解析】【分析】（）①依据题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为，进而列式可以得解；依据题意，列不等式，进而计算可以得解；（）依据题意，结合（）得，从而根据二次函数的性质进行判断可以得解；本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能找到关键描述语从而根据等量关系准确地列出函数关系式是解题的关键．【小问1详解】由题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为，∴盒子侧面积；由题意，，∴；【小问2详解】由题意得，，即，即，∴当时，，即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．24.在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．（1）求的值；（2）如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界），当时，区域的整点个数为；直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围．【答案】（1）；（2）①，②．【解析】【分析】（）根据点在的图象上，可求出的值；（）标出区域，再统计区域内的整数点即可；过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可；本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键．【小问1详解】∵双曲线经过点，∴，即的值为；【小问2详解】当时，由图可知，上的整点有个，上的整点有个，双曲线上段的整点有个，区域内部的整点有个，又点，，都被算了次，所以区域的整点个数为：，故答案为：；由题知，，则不论为何值，时，即直线过定点，∴，如图所示，当时，区域内的整点共有个，又被分成的区域和的整点个数之差不超过，则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求，此时，得，当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，故当点在直线上方时，即可，此时，得，故的取值范围是：．25.（1）问题发现：如图1，在和中，，，，连接，填空：；；（2）类比探究：如图2，在和中，，,连接交的延长线于点M，请判断，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将绕点O旋转至点C与点M重合，，填空：．【答案】（1）1；；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）如图1中，设交于J．证明，推出，可得结论．（2）设交于J．证明，推出，可得结论．（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得，则，，可得的长．【详解】解：（1）如图1中，设交于J．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，故答案为：1，．（2）如图2中，结论：理由：设交于J．在中，∵，∴，同理可得：，∴，∵，∴，∴，∴；（3）拓展延伸①点C与点M重合时，如图（3），同（2）得：，∴，，在中，；∵，，∴，∴，设，则，中，，∴，∴，中，，∴，在中，由勾股定理得：，∴，整理得：，∴，∴（舍