外接球、内切球与棱切球-2025年高考数学一轮复习知识清单（解析版）

专题19外接球、内切球与棱切球

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目录

题型一：基础：长方体模型........................................................................1

题型二：基础：四面体对棱相等模型................................................................4

题型三：重要模型：线面垂直型....................................................................6

题型四：重要模型：面面垂直型....................................................................9

题型五：常见几何体：棱锥型.....................................................................12

题型六：常见几何体：圆锥型.....................................................................16

题型七：常见几何体：圆台型.....................................................................19

题型八：常见几何体：棱台型.....................................................................22

题型九：常见几何体：组合体型...................................................................25

题型十：两线交心法模型：表面特殊三角形.........................................................28

题型十一：两线交心法模型：二面角型.............................................................32

题型十二：动点与翻折型外接球...................................................................35

题型十三：外接球最值范围型.....................................................................38

题型十四：内切球..............................................................................43

题型十五：棱切球..............................................................................48

题型十六：综合难题............................................................................50

结束..........................................................................

更突围・檐淮蝗分

题型一：基础：长方体模型

指I点I迷I津

正方体的棱长为a,球的半径为R,贝。：

①若球为正方体的外接球，则2R=W；

②若球为正方体的内切球，则2R=a；

③球与正方体的各棱相切，则2R=也。

长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则外接球直径=长方体对角线，即：27?=方/+七+/

1XU-25高三王会徽宣城矫孽著钛5荐四面体ABCZ)♦，巨丽高万芬则为棱AB,而谦二百EFIAB,

EFJ.CD,若钻=C£>=2,EF=2,则该四面体外接球半径为（）

A.也B.V3C.2A/2D.273

【答案】A

【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题转化为长方体

外接球问题，即可得半径.

【详解】根据长方体的面对角线特点，由对棱AB=CD=2,且对棱中点£,F分别满足EF1CD,

则可构造长方体使得四面体A5C。的顶点与长方体的顶点重合，由长方体的外接球即为四面体的外接球,

如图所示：设长方体的长、宽、高分别为。，瓦c则〃+°2=4/2=4,a=EF=2,

所以外接球的半径R="i+j止=正广=夜，即四面体ABCD的外接球半径为及.故选：A

2.（22-23贵州黔东南•模拟）我们将四个面均为正三角形的四面体称为“正四面体"，在正四面体ABCD中,

及产分别为棱AB,CD的中点，当所=后时，四面体ABCD的外接球的表面积为（）

A.12TIB.4冗C.3兀D.6兀

【答案】D

【分析】通过补形的方法求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.

【详解】设正四面体的棱长为2a,则：AF=BF=片,

在等腰三角形ABF中，AF=岛,AE=a,:.EF=4马7-a2=近a,

据此可得：0。=0,°=1,正四面体的棱长为：2a=2.将正四面体补形成正方体如下图所示，

正方体的边长为2x1=应，正方体的体对角线长为j2+2+2=#,所以外接球的半径为逅，

22

3.（20-21高三下•江苏•阶段练习）《九章算术》是我国古代数学经典名著，堪与欧几里得《几何原本》相媲

美的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为"鳖腌".已知某鳖腌A-3CZ）的外

接球半径为1,则该鳖膈A-3CD的体积最大值为（）

A.36B.C.2百D.

927416

【答案】B

【分析】由题意可得鳖膈的一条侧棱垂直于底面，底面为直角三角形，将其补成长方体，结合均值不等式

可得答案.

【详解】由题意四面体A-5co为鳖腌如图，则侧棱AD,底面A3c且NABC=90。

故将四面体A-BCD补成长方体，四面体A-BCD与该长方体的外接球相同.

所以CD为外接球的直径，则CD=2设A8=x,8C=y,AD=z,则f+y2+z2=4

、+y2+z2=4N3y（孙z）2,则花=，当且仅当x=y=z=2,时取等号.

又四面体4一38的体积丫=!'］邙,所以丫=工'」呼41*随=记故选：

32326927

4.（22-23高按•辽宁沈阳•模拟）已知四面体ABC£>满足AB=CZ）=百，AD=BC=5AC=BD=2,且

该四面体4BC。的外接球的球半径为四面体的内切球的球半径为此，则9的值是（）

22

A.>/iTB.—VTTC.y/6D.—A/6

33

［答案］A

【分析】将四面体补全为长方体，根据它们外接球相同求出外接球半径，利用等体积法求内切球半径，即

可得结果._

【详解】由题设，可将四面体补全为如下长方体，长宽高分别为6,逝』，

所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径心耳邛,

由题意，四面体的四个侧面均为全等三角形，cosZ4RD=W+:走,NABD为三角

2ABBD4石6

形内角，所以sin/4BD=返，贝US"0=』'2*退乂叵=①,

6ABD262

又^A-BCD=退X①■X1-4X§XqX—X5/2xl=,且^A-BCD=,

所以1xR,x4x巫=逅，即用=半，综上，券=而.故选：A

3-232而R2

5.（22-23•浙江温州•模拟）阳马和鳖腌［bienao:是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜

割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2,图3）,称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4）,

得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）.余下的三棱锥是

由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖腌（图6）.若图1中的长方体是棱长为4的正方体，则下列结论

A.鳖席中只有一个面不是直角三角形B.鳖席的外接球半径为2港

c.鳖膈的体积为正方体的;D.鳖腌内切球半径为2a-2

【答案】BD

【分析】利用题设条件，逐一对各个选项分析判断即可得到结果.

【详解】对于选项A,由题知，鳖席是由四个直角三角形组成的四面体，所以选项A错误；

对于选项B,由题知鳖腌的外接球即长方体的外接球，而长方体是棱长为4的正方体，

又易知，正方体外接球的半径为体对角线的一半，所以鳖席外接球的半径为R=2-，所以选项B正确;

对于选项c,鳖席是由四个直角三角形组成的四面体，且易知2c面BCG,

11132

fff^V=-SDi_BCCi=-x-x4x4x4=y,

又正方体的体积为43=64,故鳖膈的体积为正方体的），所以选项C错误；

6

32132

对于选项D,设鳖席内切球半径为r,由选项C知，鳖席的体积可，则］（SBCCt+SDiC］C+SRGB+Snc,c）/=可，

又SBCC,=SD,C,C=8,SAc,产Sgx4x40=8收，所以一=20-2，所以选项D正确•

故选：BD

题型二：基础：四面体对棱相等模型

指I点I迷I津

对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法（构造长方体）解决.外接球的直径等于长

方体的体对角线长，即2R=A/7奇17（长方体的长、宽、高分别为a、b、c）.秒杀公式：R2=R十厂-

（三棱锥的三组对棱长分别为尤、y、z）.可求出球的半径从而解决问题.

2.（2022高三・全国•专题练习）如图，在三棱锥尸一ABC中，PA=BC=X,PB=AC=2,PC=AB=45,

则三棱锥尸-ABC外接球的体积为（）

A.夜万B.也）兀C.而兀D.6兀

【答案】C

【分析】将三棱锥放到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,求出a,b,c即得三棱锥P-ABC

外接球的半径，即得解.

【详解】解：由题意，PA=BC=y/3,PB=AC=2,PC=ABM,将三棱锥尸-ABC放到长方体中，可

得长方体的三条对角线分别为石,2,亚,设长方体的长、宽、高分别为a,6,c,

则+62=石,Ji?+02=2,y]c2+b2=>/5>解得。=1,6=0，c=73.

所以三棱锥P-ABC外接球的半径R=-x^a2+b2+c2=星.

22

4r-

•・・三棱锥尸-ABC外接球的体积丫=]万&=辰.故选：c

2.（2022,贵州•模拟预测）如图，在三棱锥。—ABC中，ZDAC=ZBCA=ZBCD=90°,DC=-J19,AB=3,

且直线AB与DC所成角的余弦值为*上，则该三棱锥的外接球的体积为（

19

125万

6

【答案】C

【分析】由题意，将三棱锥。-ABC放入对应的长方体中，根据已知条件建立关于长方体的长、宽、高的边

长a,b,c的方程组，求解得/+62+C2=25,进而可得外接球的直径即为长方体的体对角线长，从而根据

球的体积公式即可求解.

【详解】解：由题意知ACL3C,DC1BC,则平面AOC,所以3CLAD,

又ADLAC,ACBC=C,所以平面ABC,将三棱锥D-ABC放入对应的长方体中，如图：

易知EB〃DC,所以为直线A8与。C所成的角,

所以A£2=+B£2-243.8E•cosZABE,解得4£=也.

^

设长方体的长、宽、高分别为。，b,c,则/+〃=9,/+°2=22,b+^=\9,

三式相加得/+廿+°2=25,所以长方体的外接球的半径为五运运=』，

22

所以该三棱锥的外接球的体积为丫=3/="区.故选：c.

312）6

3.（23-24高三•四川绵阳•模拟）四面体P-ABC的三组对棱分别相等，且长度依次为26,而'，5.则该四面

体的外接球的表面积_

2929\/29

A.一万B.28万C.7nD.29万

46

【答案】D_

【详解】分析：先将四面体P-A5C补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为2君，屈，5,再通过

解方程组得长方体的长宽高，最后根据四面体的外接球为长方体的外接球求结果.

详解：因为将四面体尸-ABC补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为2班,屈，5,所以由

yjx2+y2=275,Jz。+与=713,A/X2+z2=5,得x2=16,y2=4,z2=9

因为四面体的外接球为长方体的外接球，所以外接球直径为jY+y2+z2;则

因此四面体的外接球的表面积为4兀炉=29兀，

选D.

点睛："补形法"是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形"补成一个完整的几何体

或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补

形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥_

4.（2023高三•河南•模拟）四面体S-ABC中，三组对棱分别相等，依次为扃，/T,5.则此四面体的体积

为.

A.20B.10出C.20陋D.30

【答案】A

%2+y2=52

【详解】如图，补成长方体，设其长、宽、高分别为x,y,z,则可得卜+z2=（两'丫解得彳=3,y=4,

x2+z2=^\/34j

5.（2024高三・全国•模拟，多选）一般地，我们把三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体.下列结论正

确的是（）

A.若一个四面体的四个面的周长都相等，则该四面体是等面四面体

B.等面四面体的一组对棱中点的连线与这组对棱都垂直

C.三组对棱长度分别为。，b,。的等面四面体外接球的表面积为4万（〃+。2+02）

D.过等面四面体任一顶点的三个面且以该点为顶点的三个角之和为兀

【答案】ABD

【分析】对于选项A,利用周长关系，化简可得答案；

对于选项B,作出图等面四面体R4BC中，设上4与2C的中点分别为M,N,可证明BAf=CM,从而证

明肱V_L3C,MN±PA,判断B；

对于C,将等面四面体PABC放到长方体ESFC-ADP〃中，即可求出外接球半径，从而得到外接球表面积；

对于D,将等面四面体的C展开，从而得到△APB也丝△CBR,即可说明答案.

【详解】选项A：四面体R4BC中，设AB=a,AC=b,PA=c,PC=p,PB=q,BC=r,且

a+b+r=a+c+q=b+c+p=p+q+r,

^a+b+r=p+q+r,a+c+4=P+q+〃两边分另I」相力口，得2〃+Z?+c=2p+q+r,

再由，+c+p=0+q+r得。=。，同理得b=q,c=r,所以四面体B1BC是等面四面体，所以A正确.

选项B：如图1,在等面四面体R4BC中，设以与BC的中点分别为M,N,

Q(P)CR(P)

图3

图1

连接BM,CM,则所以80欣，所以MN_L3C,同理可证MN_LPA,所以B正确.

选项C：将等面四面体R4BC放到长方体EBFC-AD尸〃中，如图2,

所以等面四面体己4BC的外接球即长方体EBFC-AD/W的外接球，不妨设X4=BC=c,PB=AC=b,

PC=AB=a,

/上层_2

贝=/,BD2+BF2=b2tBE'BF?=/,得BD?=--------------,

2

BE、"；",8尸=少土产^,所以等面四面体EBFC-皿方外接球的半径式=孝7?寿17,

所以等面四面体EBFC-ADPH外接球的表面积为^（a2+b2+c2）,所以C错误.

选项D：将等面四面体R4BC展开，如图3,

由等面四面体的定义可以证得△APB四△3C4四△QACZ4CBR,所以NB4B=ZABC,NQAC=/ACB,

所以/上旬+/047+/区4。=加。+44。8+/847=兀，同理在其他顶点处也成立，所以D正确.

故选：ABD

题型三：重要模型：线面垂直型

指I点I迷I津

线面垂直型：

存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r,

满足正弦定理）

1.模板图形原理

PC

2.计算公式

1.（20-21高按•河北唐山•模拟）己知三棱锥尸-ABC中，面A8C,底面ABC是边长为2的正三角形,

PA=4f则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（）

32百万64万32万64万

A.3B.——C.——D.——

273327

【答案】B

【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，得到三棱锥的外接即为以VABC为底面，以外为高的

正三棱柱的外接球，分别求得棱锥底面外接圆的半径和球心到底面的距离，求得球的半径，利用球的面积

公式，即可求解.

【详解】根据已知中底面VABC是边长为2的正三角形，且底面ABC,

可得此三棱锥外接球，即为以VABC为底面，以序为高的正三棱柱的外接球，

因为VA5c时边长为2的正三角形，可得V钻C的外接圆半径为r=2叵，

3

所以球心到VABC的外接圆圆心的距离为d=2,故球的半径为R=J产+相=递，

3

64

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=47rH2=丁.故选：B.

TT

2.（22-23高三•河南郑州•模拟）在三棱锥A-BCD中，平面ABC，平面ADC,AD±AC,AD=AC,ZABC=-,

若此三棱锥的外接球表面积为28万，则三棱锥488体积的最大值为（）

573

A.7B.12C.6D.—

3

【答案】C

【分析】设三棱锥A-8CO外接球的半径为R,三棱锥的外接球球心为O,0ABe的外心为。，0ABC的外

接圆半径为r,取。C的中点为。2,过02作O2£0AC,则。。虎平面ABC,OO2团平面4OC,连结。4,OiA,

则。=设A£）=4C=b,则。。/=。2£=36,由5=4渡2=28%，解得由正弦正理求出b=,

若三棱锥A-8C。的体积最大，则只需0ABe的面积最大，由此能求出三棱锥A-BCD的体积的最大值.

【详解】根据题意，设三棱锥A-2。外接球的半径为R,三棱锥的外接球球心为。，0ABe的外心为

财BC的外接圆半径为r,取OC的中点为02,过。2作。2的4。，则。0电平面ABC,。。2团平面ADC,

如图，连结。4,01A,则。=设A£>=AC=b,贝lj。。/=。2£=’>，由5=4兀尺2=2阮，解得R=疗,

2

AQ—b1

在0ABC中，由正弦正理得2厂=--------,回2尸.%，解得6=6厂，在R/EI0A。/中，7=产+（—。）2,

sinZABCsin—2

解得r=2,b=2s/3,0AC=2V3，若三棱锥A-BCD的体积最大，则只需0ABe的面积最大，

在0ABe中,AC2=AB2+BC2-2»AB»BC»cos^ABC,E12=AB2+BC2-AB»BC>2AB»BC-AB»BC,

解得A2-BC412,0S.Rr=-ABBC-sinZABC<-xl2x^=3V3，

ABC222

团三棱锥A-BCD的体积的最大值：VD.ABC=诋,AD=（x3/乂24=6.故选：C.

3.（21-22高三・西藏拉萨•阶段练习）如图,三棱锥P-ABC中，尸3±平面ABC,BC1C4,且PB=BC=2CA=2,

则三棱锥P-ABC的外接球表面积为

R

A.3兀B.9兀C.12KD.367t

【答案】B

【详解】回收_1_面43。，ACu面ABC,13pBl.AC,0BC1G4,PAcBC=B,0AC±ffiPBC,回PCu

面BBC,0AC±PC,取上4的中点0,则OP=Q4=O3=OC,团0为球心，13PB=3C=2C4=2,0X4=3,

3

回球半径为r,回该三棱锥的外接球的表面积为4万户=9万，故选B.

4.（22-23高三•全国•阶段练习）如图，在三棱锥A-3CD中，平面3C£>,BC1CD,AB=BD=2,

M为AD中点，"为线段AC上一点（除AC的中点外），且当三棱锥M-H4B的体积最大时，则

三棱锥ABC的外接球表面积为（）

A

A.4万B.6万

C.8万D.12%

【答案】B

【分析】利用线面垂直的判定定理和性质，可以证明AM,平面的T,利用三棱锥的等积性，结合基本不

等式，这样可以求出==过点C作CK，3D,取AB,AC的中点T,N,连接"N,MT,过

点T作CK的平行线交于点。.利用线面垂直的性质和判定定理可以证明出。为三棱锥M-ABC的外接

球的球心，运用正切函数的定义，球的表面积公式进行求解即可._

【详解】在RtAAB。中，因为M为AD中点，故且因为CD_L3C,CDLAB,所

以CD_L平面ABC,故CD_LBH,又因为所以3H_L平面ACD,因此故40，平

面BHM,三棱锥以-”45的体积等于三棱锥A-3HM的体积，即只需底面面积最大即可.因为

2

BH-+HM-=BM=2^贝U2225H•的，故5As诩=2班>加,当且仅当==1时取等号.在

2

RtAABC中，ZC4B=30°,故8c=百，过点C作CKJ_3D,取48,AC的中点T,N,连接MV,MT,

过点T作CK的平行线交于点。住CKL平面知07,平面ABD又OCL平面ABC,故跖V_L平面

ABC.因此。为三棱锥M-ABC的外接球的球心，由tanATOM=tanZKCD=tanZCBK=0=0,因为

BC

TM=1,所以0T=———=①，故R2=OA2=』，即三棱锥M-ABC的外接球表面积为6万.

tanATOM22

5.（21-22高三上•湖北武汉•期中，多选）己知球。是三棱锥P-ABC的外接球，PA=AB=PB=AC=2,

则CP=2jL点。是尸8的中点，豆CD=布,则下列说法正确的是（）

A.三棱锥P-ABC最长的棱棱长为20B.AC,平面E48

C.球心。到底面B48的距离为行D.球。的表面积为筹

【答案】ABD

【分析】根据勾股定理的逆定理和线面垂直的判定定理即可判断B；求出最长棱长即可判断A；求出球心。

到底面距离即可判断C；进一步求得外接球表面积即可判断D.

c

【详解】如图，因为PA=AC=2,CP=2立，所以=(7产，得C4_LB4,

由。是PB的中点，得仞二物-牛=#,，又CA=2,CD=77,所以C&+AD?=aP,得C4」AD,

又R4cR4=A,所以C4_L平面故B正确；

由AB=AP,得CB=CP=20,故三棱锥P-ABC最长的棱棱长为2夜，故A正确；

取等边三角形上钻的中心G,连接OG,则OG=gAC=l,即球心。到底面上钻的距离为1,故C错误;

底面三角形外接圆的半径厂=子，外接球的半径R=J?+(竽了=,，

所以球的表面积为S=4万x(J)2=等，故D正确.故选：ABD.

题型四：重要模型：面面垂直型

指I点I迷I津

面面垂直型基本图形

一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型,

1.(22-23高三・安徽・模拟)在四面体ABCD中，若==则当四面体ABCD的体积最大

时其外接球表面积为

54〜

A.—71B.—7iC.冗D.2万

33

【答案】A

【分析】设^B=2X(O<X<1),可知当四面体ABCD的体积最大时，平面ACB1平面453,计算出

CE=DE=J1-X2，求出四面体ABCD的体积利用导数求出V的最大值以及对应的x的值，

再利用四面体的结构得出计算出外接球的半径，最后利用球体表面积公式可得出结果.

【详解】如下图，取A3的中点E,连接CE、DE,设AB=2x(O<x<l),

则CE=DE=Jl-炉,当四面体ABC。的体积最大时，平面AC8人平面

四面体ABCD的体积为V=—x—x2尤xjl—X、xJ1-无二=—尤—x3,V=—x2.

32333

令v'=o,得x=3,当o<x<@时，v'>o；当且<x<i时，r<o.

333

所以，函数丫=尤3在x="处取得极大值，亦即最大值.

333

此时，CE=yJl-x2=—,sinZBAC=—=—,设2MBe和AABD的外接圆半径为r,由正弦定理得

3AC3

2r=—生二=",.」=亚.设ZL4BC、AABD的外接圆圆心分别为M、N,外接球的球心为点。，如

sinABAC2

图所示：RtABCE中,BM=

四边形OMEN是正方形，且边长为=

12

所以，四面体ABCD的外接球半径R=4BM-+OM-=1

5STT

因此，该四面体的外接球表面积为4万082=4万=故选A.

123

2.（24-25高二上•河北石家庄•阶段练习）已知四棱锥尸-的各顶点在同一球面上，四边形ABCD为等

腰梯形，若AD=2AB=28C=4,一为正三角形，且面上钻，面ABC。，则该球的表面积为（）

B.167rD.20兀

【答案】C

【分析】作如图所示辅助线，由线面垂直和面面垂直找到球心的位置，在证明。到四棱锥的所有点的距离

相等，再根据勾股定理求出半径，进而求出表面积；

【详解】FC如图，取AD的中点E,取的中点G,连接EG,尸G,

在线段PG上取一点尸，使/G=；PG,过点E作平面ABCD的垂线OE,使OE=PG,连接OP,

易知四边形AB。是等腰梯形，.ABE,BCE,..C初均为等边三角形，所以AE=BE=CE=DE=2,

因为OE_L平面ABCZ）,所以NO£A=NO£B=NO£C=NO£E>=90。，

所以。4=O3=OC=OD,因为」为正三角形，AB的中点G,所以PGLAS,

又面上"_1面至8,面PABc面ABCD=AB,PGu面Q4B,所以PG_L面ASCD,

因为平面ABCD,所以尸G//OE,即HA/OE,又FG=OE,所以四边形OE/G为平行四边形，则

OF//EG,因为ABE为正三角形，A8的中点G,所以EGLAS,又面PAB_1_面ABCD,面面

ABCD=AB,AB,EGABCD,所以£<7_1面2钻，所以0尸_1面己钻，

又尸是的外心，所以£4=口？=五？，所以。4=03=0尸，所以。为四棱锥外接球的球心，

因为OE=FG=：PG=#,AE=2,所以R=04=JOE、+AE，=]]曰+4=~^~,

/I--\2

所以5=4兀叱=4兀x俎2=—,故选：C

33

\7

3.（2024・江西•一模）在体积为12的三棱锥A-5CD中，ACLAD,BC上BD,平面ACD_L平面5CD,

TTTT

ZACD=-,ZBCD=~,若点A,5CD都在球。的表面上，则球。的表面积为（）

34

A.12nB.167rC.32兀D.48n

【答案】D

【分析】如图，取C。的中点。，连接AO,BO,根据题中条件确定点。为球心，设球。半径为R,利用

三棱锥A-BCD的体积求出R,最后用球的表面积公式即可求解.

【详解】

O/'如图,取的中点。，连接A。，BO,因为ACLAD,BC1BD,所以

7T

OA=OB=OC=OD,因此点。就是球心，XZBC£）=-,故△BCD是等腰直角三角形，所以03_LCD.

因为平面ACD_L平面BCD,平面ACD）平面3co=CD,所以。B_L平面ACD.

设球。半径为R,则03=R,AC=R,又ZAC£>=5，则40=有我，

所以三棱锥A-BCD的体积V=』S“nOBuJx'xACADOBu走&=12,

3ACD326

所以R=26,所以球。的表面积为471&=48兀.故选：D.

4.（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）如图，在三棱锥P—ABC中，ZACB=60°,2AC=BC=PB=PC,

平面P3CJL平面ABC,。是BC的中点，PD=4y/3,则三棱锥尸-ACD的外接球的表面积为（）

B.40兀

208兀

D.8071

3

【答案】C

【分析】确定球心位置，求出三棱锥的外接球的半径上，由球的表面积公式即可求解.

【详解】依题意，jCB为等边三角形，且高产。=46，则尸C=CB=P3=8,

而AC=CD=4,又ZACB=60。，贝UACD为等边三角形，

平面P3CJ_平面ABC,PDA.BC,ABC'ipffiPBC=BC,PDu平面PBC,于是尸£>_L平面ABC,

令，ACD的外心为G,三棱锥尸-ACD外接球的球心为0,则。G_L平面AS,

又三棱锥P-ACD的外接球球心。在线段PD的中垂面上，此平面平行于平面ACD,

因此OG=1PD=2有，等边，ACD外接圆半径r=2x4sin60=逑，

233

三棱锥P-ACD的外接球R,则炉=OG?+/=12+（―）2=—,

所以三棱锥P-ACD的外接球的表面积S=4兀代=管，故选：c

5.（22-23高三上•黑龙江哈尔滨,期末，多选）如图，三棱锥5—ABC中，平面54CL平面A8C,过点8且与

AC平行的平面a分别与棱SA、SC交于E,F,若SA=SC=BA=BC=24,AC=2正,则下列结论正确

的为（）

s

A.三棱锥S—ABC中的外接球表面积为16万

B.EF//AC

C.若E,尸分别为SA,SC的中点，则8/与SA所成角的余弦值为"

3

D.SC.LBF

［答案］BC

【4析】根据勾股定理可得AC为三棱锥S-ABC外接球的直径，代入计算即可判断选项A；利用线面平行

的性质即可判断选项B；平移直线&4,得到如P（或其补角）即为M与&4所成的角.根据面面垂直得到

线面垂直，在直角三角形中求得角的余弦值，可判断选项C；根据条件得到ASBC为正三角形，找到要使

SC±BF的条件即可判断选项D.

【详解】对于A,因为SA=SC=2括，AC=2娓,所以AC?=SA?+SC?,则SA_LSC,同理

边AC中点到点A,B,C,S距离相等，所以AC为三棱锥S-MC外接球的直径，则R=",

所以三棱锥S-ABC外接球的表面积S=4nR2=24TI,故选项A错误；

对于B,因为AC//a,过AC的平面5ACca=EF,由线面平行的性质可得：EFIIAC,故选项B正确；

对于C,取AC的中点尸，连接BP7/7,因为尸为SC的中点，所以尸产//S4且尸产=《&4=有，所以NfiEP

2

（或其补角）即为即与S4所成的角.

因为平面S4CJ■平面ABC,且平面SAC=平面A3C=AC,

又BA=BC,所以3PJ_AC,3Pu平面ABC,所以BP_L平面SAC,

PFu平面SAC,所以BP_LPb,因为=PF=《SA=6

22

所以BF=《BP?+PF?=3,在RtBPF中,cosZBFP=—,

BF3

所以即与S4所成的角的余弦值为且，故选项C正确;

3

对于D,连接SP,由选项C分析可得：3尸，平

面SAC,因为SPu平面qIC,

所以BP_LSP,又因为SP=；AC=#，所以SBMJBP2+SP。=2后'因为SC=BC=2g,所以△SBC为

正三角形，要使SC_LBF,则/一定是班的中点，题中并没有说明b是SC的中点，故选项D错误，

故选：BC

题型五：常见几何体：棱锥型

指I点I迷I津

棱锥的外接球有其特殊性，如果底面四边形是矩形。特殊情况下，还可以转化为“线面垂直-直棱柱模

型”

1.（2022・河南•模拟预测）在四棱锥S-ABCD中，侧面SAD_L底面A8C。，且&1=S£）,NASD=90°,底

面ABCD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥尸-SAZ）的最大体积为（）

A.1+V2B.C.彦D.1±^1

333

［答案］D

【4析】根据题意作图，结合几何关系，求得四棱锥S-ABCD外接球的球心位置以及球半径，再求三棱锥

尸-&4。体积的最大值即可.

【详解】连接AC,B£＞交于点。，取4D中点为