




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
专题19外接球、内切球与棱切球
更盘点•置击看考
目录
题型一:基础:长方体模型........................................................................1
题型二:基础:四面体对棱相等模型................................................................4
题型三:重要模型:线面垂直型....................................................................6
题型四:重要模型:面面垂直型....................................................................9
题型五:常见几何体:棱锥型.....................................................................12
题型六:常见几何体:圆锥型.....................................................................16
题型七:常见几何体:圆台型.....................................................................19
题型八:常见几何体:棱台型.....................................................................22
题型九:常见几何体:组合体型...................................................................25
题型十:两线交心法模型:表面特殊三角形.........................................................28
题型十一:两线交心法模型:二面角型.............................................................32
题型十二:动点与翻折型外接球...................................................................35
题型十三:外接球最值范围型.....................................................................38
题型十四:内切球..............................................................................43
题型十五:棱切球..............................................................................48
题型十六:综合难题............................................................................50
结束..........................................................................
更突围・檐淮蝗分
题型一:基础:长方体模型
指I点I迷I津
正方体的棱长为a,球的半径为R,贝。:
①若球为正方体的外接球,则2R=W;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③球与正方体的各棱相切,则2R=也。
长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则外接球直径=长方体对角线,即:27?=方/+七+/
1XU-25高三王会徽宣城矫孽著钛5荐四面体ABCZ)♦,巨丽高万芬则为棱AB,而谦二百EFIAB,
EFJ.CD,若钻=C£>=2,EF=2,则该四面体外接球半径为()
A.也B.V3C.2A/2D.273
【答案】A
【分析】根据四面体的对棱性质,结合长方体面对角线的性质,即可将四面体的外接球问题转化为长方体
外接球问题,即可得半径.
【详解】根据长方体的面对角线特点,由对棱AB=CD=2,且对棱中点£,F分别满足EF1CD,
则可构造长方体使得四面体A5C。的顶点与长方体的顶点重合,由长方体的外接球即为四面体的外接球,
如图所示:设长方体的长、宽、高分别为。,瓦c则〃+°2=4/2=4,a=EF=2,
所以外接球的半径R="i+j止=正广=夜,即四面体ABCD的外接球半径为及.故选:A
2.(22-23贵州黔东南•模拟)我们将四个面均为正三角形的四面体称为“正四面体",在正四面体ABCD中,
及产分别为棱AB,CD的中点,当所=后时,四面体ABCD的外接球的表面积为()
A.12TIB.4冗C.3兀D.6兀
【答案】D
【分析】通过补形的方法求得外接球的半径,进而求得外接球的表面积.
【详解】设正四面体的棱长为2a,则:AF=BF=片,
在等腰三角形ABF中,AF=岛,AE=a,:.EF=4马7-a2=近a,
据此可得:0。=0,°=1,正四面体的棱长为:2a=2.将正四面体补形成正方体如下图所示,
正方体的边长为2x1=应,正方体的体对角线长为j2+2+2=#,所以外接球的半径为逅,
22
3.(20-21高三下•江苏•阶段练习)《九章算术》是我国古代数学经典名著,堪与欧几里得《几何原本》相媲
美的数学名著,在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为"鳖腌".已知某鳖腌A-3CZ)的外
接球半径为1,则该鳖膈A-3CD的体积最大值为()
A.36B.C.2百D.
927416
【答案】B
【分析】由题意可得鳖膈的一条侧棱垂直于底面,底面为直角三角形,将其补成长方体,结合均值不等式
可得答案.
【详解】由题意四面体A-5co为鳖腌如图,则侧棱AD,底面A3c且NABC=90。
故将四面体A-BCD补成长方体,四面体A-BCD与该长方体的外接球相同.
所以CD为外接球的直径,则CD=2设A8=x,8C=y,AD=z,则f+y2+z2=4
、+y2+z2=4N3y(孙z)2,则花=,当且仅当x=y=z=2,时取等号.
又四面体4一38的体积丫=!']邙,所以丫=工'」呼41*随=记故选:
32326927
4.(22-23高按•辽宁沈阳•模拟)已知四面体ABC£>满足AB=CZ)=百,AD=BC=5AC=BD=2,且
该四面体4BC。的外接球的球半径为四面体的内切球的球半径为此,则9的值是()
22
A.>/iTB.—VTTC.y/6D.—A/6
33
[答案]A
【分析】将四面体补全为长方体,根据它们外接球相同求出外接球半径,利用等体积法求内切球半径,即
可得结果._
【详解】由题设,可将四面体补全为如下长方体,长宽高分别为6,逝』,
所以,四面体外接球即为长方体外接球,则半径心耳邛,
由题意,四面体的四个侧面均为全等三角形,cosZ4RD=W+:走,NABD为三角
2ABBD4石6
形内角,所以sin/4BD=返,贝US"0=』'2*退乂叵=①,
6ABD262
又^A-BCD=退X①■X1-4X§XqX—X5/2xl=,且^A-BCD=,
所以1xR,x4x巫=逅,即用=半,综上,券=而.故选:A
3-232而R2
5.(22-23•浙江温州•模拟)阳马和鳖腌[bienao:是我国古代对一些特殊锥体的称谓,取一长方体按下图斜
割一分为二,得两个一模一样的三棱柱(图2,图3),称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开(图4),
得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底,有一棱与底面垂直的四棱锥,称为阳马(图5).余下的三棱锥是
由四个直角三角形组成的四面体,称为鳖腌(图6).若图1中的长方体是棱长为4的正方体,则下列结论
A.鳖席中只有一个面不是直角三角形B.鳖席的外接球半径为2港
c.鳖膈的体积为正方体的;D.鳖腌内切球半径为2a-2
【答案】BD
【分析】利用题设条件,逐一对各个选项分析判断即可得到结果.
【详解】对于选项A,由题知,鳖席是由四个直角三角形组成的四面体,所以选项A错误;
对于选项B,由题知鳖腌的外接球即长方体的外接球,而长方体是棱长为4的正方体,
又易知,正方体外接球的半径为体对角线的一半,所以鳖席外接球的半径为R=2-,所以选项B正确;
对于选项c,鳖席是由四个直角三角形组成的四面体,且易知2c面BCG,
11132
fff^V=-SDi_BCCi=-x-x4x4x4=y,
又正方体的体积为43=64,故鳖膈的体积为正方体的),所以选项C错误;
6
32132
对于选项D,设鳖席内切球半径为r,由选项C知,鳖席的体积可,则](SBCCt+SDiC]C+SRGB+Snc,c)/=可,
又SBCC,=SD,C,C=8,SAc,产Sgx4x40=8收,所以一=20-2,所以选项D正确•
故选:BD
题型二:基础:四面体对棱相等模型
指I点I迷I津
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长
方体的体对角线长,即2R=A/7奇17(长方体的长、宽、高分别为a、b、c).秒杀公式:R2=R十厂-
(三棱锥的三组对棱长分别为尤、y、z).可求出球的半径从而解决问题.
2.(2022高三・全国•专题练习)如图,在三棱锥尸一ABC中,PA=BC=X,PB=AC=2,PC=AB=45,
则三棱锥尸-ABC外接球的体积为()
A.夜万B.也)兀C.而兀D.6兀
【答案】C
【分析】将三棱锥放到长方体中,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,求出a,b,c即得三棱锥P-ABC
外接球的半径,即得解.
【详解】解:由题意,PA=BC=y/3,PB=AC=2,PC=ABM,将三棱锥尸-ABC放到长方体中,可
得长方体的三条对角线分别为石,2,亚,设长方体的长、宽、高分别为a,6,c,
则+62=石,Ji?+02=2,y]c2+b2=>/5>解得。=1,6=0,c=73.
所以三棱锥P-ABC外接球的半径R=-x^a2+b2+c2=星.
22
4r-
•・・三棱锥尸-ABC外接球的体积丫=]万&=辰.故选:c
2.(2022,贵州•模拟预测)如图,在三棱锥。—ABC中,ZDAC=ZBCA=ZBCD=90°,DC=-J19,AB=3,
且直线AB与DC所成角的余弦值为*上,则该三棱锥的外接球的体积为(
19
125万
6
【答案】C
【分析】由题意,将三棱锥。-ABC放入对应的长方体中,根据已知条件建立关于长方体的长、宽、高的边
长a,b,c的方程组,求解得/+62+C2=25,进而可得外接球的直径即为长方体的体对角线长,从而根据
球的体积公式即可求解.
【详解】解:由题意知ACL3C,DC1BC,则平面AOC,所以3CLAD,
又ADLAC,ACBC=C,所以平面ABC,将三棱锥D-ABC放入对应的长方体中,如图:
易知EB〃DC,所以为直线A8与。C所成的角,
所以A£2=+B£2-243.8E•cosZABE,解得4£=也.
^
设长方体的长、宽、高分别为。,b,c,则/+〃=9,/+°2=22,b+^=\9,
三式相加得/+廿+°2=25,所以长方体的外接球的半径为五运运=』,
22
所以该三棱锥的外接球的体积为丫=3/="区.故选:c.
312)6
3.(23-24高三•四川绵阳•模拟)四面体P-ABC的三组对棱分别相等,且长度依次为26,而',5.则该四面
体的外接球的表面积_
2929\/29
A.一万B.28万C.7nD.29万
46
【答案】D_
【详解】分析:先将四面体P-A5C补成一个长方体,相邻三个面的对角线长分别为2君,屈,5,再通过
解方程组得长方体的长宽高,最后根据四面体的外接球为长方体的外接球求结果.
详解:因为将四面体尸-ABC补成一个长方体,相邻三个面的对角线长分别为2班,屈,5,所以由
yjx2+y2=275,Jz。+与=713,A/X2+z2=5,得x2=16,y2=4,z2=9
因为四面体的外接球为长方体的外接球,所以外接球直径为jY+y2+z2;则
因此四面体的外接球的表面积为4兀炉=29兀,
选D.
点睛:"补形法"是立体几何中一种常见的重要方法,在解题时,把几何体通过“补形"补成一个完整的几何体
或置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体积等问题,常见的补形法有对称补形、联系补
形与还原补形,对于还原补形,主要涉及台体中“还台为锥_
4.(2023高三•河南•模拟)四面体S-ABC中,三组对棱分别相等,依次为扃,/T,5.则此四面体的体积
为.
A.20B.10出C.20陋D.30
【答案】A
%2+y2=52
【详解】如图,补成长方体,设其长、宽、高分别为x,y,z,则可得卜+z2=(两'丫解得彳=3,y=4,
x2+z2=^\/34j
5.(2024高三・全国•模拟,多选)一般地,我们把三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体.下列结论正
确的是()
A.若一个四面体的四个面的周长都相等,则该四面体是等面四面体
B.等面四面体的一组对棱中点的连线与这组对棱都垂直
C.三组对棱长度分别为。,b,。的等面四面体外接球的表面积为4万(〃+。2+02)
D.过等面四面体任一顶点的三个面且以该点为顶点的三个角之和为兀
【答案】ABD
【分析】对于选项A,利用周长关系,化简可得答案;
对于选项B,作出图等面四面体R4BC中,设上4与2C的中点分别为M,N,可证明BAf=CM,从而证
明肱V_L3C,MN±PA,判断B;
对于C,将等面四面体PABC放到长方体ESFC-ADP〃中,即可求出外接球半径,从而得到外接球表面积;
对于D,将等面四面体的C展开,从而得到△APB也丝△CBR,即可说明答案.
【详解】选项A:四面体R4BC中,设AB=a,AC=b,PA=c,PC=p,PB=q,BC=r,且
a+b+r=a+c+q=b+c+p=p+q+r,
^a+b+r=p+q+r,a+c+4=P+q+〃两边分另I」相力口,得2〃+Z?+c=2p+q+r,
再由,+c+p=0+q+r得。=。,同理得b=q,c=r,所以四面体B1BC是等面四面体,所以A正确.
选项B:如图1,在等面四面体R4BC中,设以与BC的中点分别为M,N,
Q(P)CR(P)
图3
图1
连接BM,CM,则所以80欣,所以MN_L3C,同理可证MN_LPA,所以B正确.
选项C:将等面四面体R4BC放到长方体EBFC-AD尸〃中,如图2,
所以等面四面体己4BC的外接球即长方体EBFC-AD/W的外接球,不妨设X4=BC=c,PB=AC=b,
PC=AB=a,
/上层_2
贝=/,BD2+BF2=b2tBE'BF?=/,得BD?=--------------,
2
BE、";",8尸=少土产^,所以等面四面体EBFC-皿方外接球的半径式=孝7?寿17,
所以等面四面体EBFC-ADPH外接球的表面积为^(a2+b2+c2),所以C错误.
选项D:将等面四面体R4BC展开,如图3,
由等面四面体的定义可以证得△APB四△3C4四△QACZ4CBR,所以NB4B=ZABC,NQAC=/ACB,
所以/上旬+/047+/区4。=加。+44。8+/847=兀,同理在其他顶点处也成立,所以D正确.
故选:ABD
题型三:重要模型:线面垂直型
指I点I迷I津
线面垂直型:
存在一条棱垂直一个底面(底面是任意多边形,实际是三角形或者四边形(少),它的外接圆半径是r,
满足正弦定理)
1.模板图形原理
PC
2.计算公式
1.(20-21高按•河北唐山•模拟)己知三棱锥尸-ABC中,面A8C,底面ABC是边长为2的正三角形,
PA=4f则三棱锥P-ABC的外接球表面积为()
32百万64万32万64万
A.3B.——C.——D.——
273327
【答案】B
【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征,得到三棱锥的外接即为以VABC为底面,以外为高的
正三棱柱的外接球,分别求得棱锥底面外接圆的半径和球心到底面的距离,求得球的半径,利用球的面积
公式,即可求解.
【详解】根据已知中底面VABC是边长为2的正三角形,且底面ABC,
可得此三棱锥外接球,即为以VABC为底面,以序为高的正三棱柱的外接球,
因为VA5c时边长为2的正三角形,可得V钻C的外接圆半径为r=2叵,
3
所以球心到VABC的外接圆圆心的距离为d=2,故球的半径为R=J产+相=递,
3
64
所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=47rH2=丁.故选:B.
TT
2.(22-23高三•河南郑州•模拟)在三棱锥A-BCD中,平面ABC,平面ADC,AD±AC,AD=AC,ZABC=-,
若此三棱锥的外接球表面积为28万,则三棱锥488体积的最大值为()
573
A.7B.12C.6D.—
3
【答案】C
【分析】设三棱锥A-8CO外接球的半径为R,三棱锥的外接球球心为O,0ABe的外心为。,0ABC的外
接圆半径为r,取。C的中点为。2,过02作O2£0AC,则。。虎平面ABC,OO2团平面4OC,连结。4,OiA,
则。=设A£)=4C=b,则。。/=。2£=36,由5=4渡2=28%,解得由正弦正理求出b=,
若三棱锥A-8C。的体积最大,则只需0ABe的面积最大,由此能求出三棱锥A-BCD的体积的最大值.
【详解】根据题意,设三棱锥A-2。外接球的半径为R,三棱锥的外接球球心为。,0ABe的外心为
财BC的外接圆半径为r,取OC的中点为02,过。2作。2的4。,则。0电平面ABC,。。2团平面ADC,
如图,连结。4,01A,则。=设A£>=AC=b,贝lj。。/=。2£=’>,由5=4兀尺2=2阮,解得R=疗,
2
AQ—b1
在0ABC中,由正弦正理得2厂=--------,回2尸.%,解得6=6厂,在R/EI0A。/中,7=产+(—。)2,
sinZABCsin—2
解得r=2,b=2s/3,0AC=2V3,若三棱锥A-BCD的体积最大,则只需0ABe的面积最大,
在0ABe中,AC2=AB2+BC2-2»AB»BC»cos^ABC,E12=AB2+BC2-AB»BC>2AB»BC-AB»BC,
解得A2-BC412,0S.Rr=-ABBC-sinZABC<-xl2x^=3V3,
ABC222
团三棱锥A-BCD的体积的最大值:VD.ABC=诋,AD=(x3/乂24=6.故选:C.
3.(21-22高三・西藏拉萨•阶段练习)如图,三棱锥P-ABC中,尸3±平面ABC,BC1C4,且PB=BC=2CA=2,
则三棱锥P-ABC的外接球表面积为
R
A.3兀B.9兀C.12KD.367t
【答案】B
【详解】回收_1_面43。,ACu面ABC,13pBl.AC,0BC1G4,PAcBC=B,0AC±ffiPBC,回PCu
面BBC,0AC±PC,取上4的中点0,则OP=Q4=O3=OC,团0为球心,13PB=3C=2C4=2,0X4=3,
3
回球半径为r,回该三棱锥的外接球的表面积为4万户=9万,故选B.
4.(22-23高三•全国•阶段练习)如图,在三棱锥A-3CD中,平面3C£>,BC1CD,AB=BD=2,
M为AD中点,"为线段AC上一点(除AC的中点外),且当三棱锥M-H4B的体积最大时,则
三棱锥ABC的外接球表面积为()
A
A.4万B.6万
C.8万D.12%
【答案】B
【分析】利用线面垂直的判定定理和性质,可以证明AM,平面的T,利用三棱锥的等积性,结合基本不
等式,这样可以求出==过点C作CK,3D,取AB,AC的中点T,N,连接"N,MT,过
点T作CK的平行线交于点。.利用线面垂直的性质和判定定理可以证明出。为三棱锥M-ABC的外接
球的球心,运用正切函数的定义,球的表面积公式进行求解即可._
【详解】在RtAAB。中,因为M为AD中点,故且因为CD_L3C,CDLAB,所
以CD_L平面ABC,故CD_LBH,又因为所以3H_L平面ACD,因此故40,平
面BHM,三棱锥以-”45的体积等于三棱锥A-3HM的体积,即只需底面面积最大即可.因为
2
BH-+HM-=BM=2^贝U2225H•的,故5As诩=2班>加,当且仅当==1时取等号.在
2
RtAABC中,ZC4B=30°,故8c=百,过点C作CKJ_3D,取48,AC的中点T,N,连接MV,MT,
过点T作CK的平行线交于点。住CKL平面知07,平面ABD又OCL平面ABC,故跖V_L平面
ABC.因此。为三棱锥M-ABC的外接球的球心,由tanATOM=tanZKCD=tanZCBK=0=0,因为
BC
TM=1,所以0T=———=①,故R2=OA2=』,即三棱锥M-ABC的外接球表面积为6万.
tanATOM22
5.(21-22高三上•湖北武汉•期中,多选)己知球。是三棱锥P-ABC的外接球,PA=AB=PB=AC=2,
则CP=2jL点。是尸8的中点,豆CD=布,则下列说法正确的是()
A.三棱锥P-ABC最长的棱棱长为20B.AC,平面E48
C.球心。到底面B48的距离为行D.球。的表面积为筹
【答案】ABD
【分析】根据勾股定理的逆定理和线面垂直的判定定理即可判断B;求出最长棱长即可判断A;求出球心。
到底面距离即可判断C;进一步求得外接球表面积即可判断D.
c
【详解】如图,因为PA=AC=2,CP=2立,所以=(7产,得C4_LB4,
由。是PB的中点,得仞二物-牛=#,,又CA=2,CD=77,所以C&+AD?=aP,得C4」AD,
又R4cR4=A,所以C4_L平面故B正确;
由AB=AP,得CB=CP=20,故三棱锥P-ABC最长的棱棱长为2夜,故A正确;
取等边三角形上钻的中心G,连接OG,则OG=gAC=l,即球心。到底面上钻的距离为1,故C错误;
底面三角形外接圆的半径厂=子,外接球的半径R=J?+(竽了=,,
所以球的表面积为S=4万x(J)2=等,故D正确.故选:ABD.
题型四:重要模型:面面垂直型
指I点I迷I津
面面垂直型基本图形
一般情况下,俩面是特殊三角形。垂面型,隐藏很深的线面垂直型,
1.(22-23高三・安徽・模拟)在四面体ABCD中,若==则当四面体ABCD的体积最大
时其外接球表面积为
54〜
A.—71B.—7iC.冗D.2万
33
【答案】A
【分析】设^B=2X(O<X<1),可知当四面体ABCD的体积最大时,平面ACB1平面453,计算出
CE=DE=J1-X2,求出四面体ABCD的体积利用导数求出V的最大值以及对应的x的值,
再利用四面体的结构得出计算出外接球的半径,最后利用球体表面积公式可得出结果.
【详解】如下图,取A3的中点E,连接CE、DE,设AB=2x(O<x<l),
则CE=DE=Jl-炉,当四面体ABC。的体积最大时,平面AC8人平面
四面体ABCD的体积为V=—x—x2尤xjl—X、xJ1-无二=—尤—x3,V=—x2.
32333
令v'=o,得x=3,当o<x<@时,v'>o;当且<x<i时,r<o.
333
所以,函数丫=尤3在x="处取得极大值,亦即最大值.
333
此时,CE=yJl-x2=—,sinZBAC=—=—,设2MBe和AABD的外接圆半径为r,由正弦定理得
3AC3
2r=—生二=",.」=亚.设ZL4BC、AABD的外接圆圆心分别为M、N,外接球的球心为点。,如
sinABAC2
图所示:RtABCE中,BM=
四边形OMEN是正方形,且边长为=
12
所以,四面体ABCD的外接球半径R=4BM-+OM-=1
5STT
因此,该四面体的外接球表面积为4万082=4万=故选A.
123
2.(24-25高二上•河北石家庄•阶段练习)已知四棱锥尸-的各顶点在同一球面上,四边形ABCD为等
腰梯形,若AD=2AB=28C=4,一为正三角形,且面上钻,面ABC。,则该球的表面积为()
B.167rD.20兀
【答案】C
【分析】作如图所示辅助线,由线面垂直和面面垂直找到球心的位置,在证明。到四棱锥的所有点的距离
相等,再根据勾股定理求出半径,进而求出表面积;
【详解】FC如图,取AD的中点E,取的中点G,连接EG,尸G,
在线段PG上取一点尸,使/G=;PG,过点E作平面ABCD的垂线OE,使OE=PG,连接OP,
易知四边形AB。是等腰梯形,.ABE,BCE,..C初均为等边三角形,所以AE=BE=CE=DE=2,
因为OE_L平面ABCZ),所以NO£A=NO£B=NO£C=NO£E>=90。,
所以。4=O3=OC=OD,因为」为正三角形,AB的中点G,所以PGLAS,
又面上"_1面至8,面PABc面ABCD=AB,PGu面Q4B,所以PG_L面ASCD,
因为平面ABCD,所以尸G//OE,即HA/OE,又FG=OE,所以四边形OE/G为平行四边形,则
OF//EG,因为ABE为正三角形,A8的中点G,所以EGLAS,又面PAB_1_面ABCD,面面
ABCD=AB,AB,EGABCD,所以£<7_1面2钻,所以0尸_1面己钻,
又尸是的外心,所以£4=口?=五?,所以。4=03=0尸,所以。为四棱锥外接球的球心,
因为OE=FG=:PG=#,AE=2,所以R=04=JOE、+AE,=]]曰+4=~^~,
/I--\2
所以5=4兀叱=4兀x俎2=—,故选:C
33
\7
3.(2024・江西•一模)在体积为12的三棱锥A-5CD中,ACLAD,BC上BD,平面ACD_L平面5CD,
TTTT
ZACD=-,ZBCD=~,若点A,5CD都在球。的表面上,则球。的表面积为()
34
A.12nB.167rC.32兀D.48n
【答案】D
【分析】如图,取C。的中点。,连接AO,BO,根据题中条件确定点。为球心,设球。半径为R,利用
三棱锥A-BCD的体积求出R,最后用球的表面积公式即可求解.
【详解】
O/'如图,取的中点。,连接A。,BO,因为ACLAD,BC1BD,所以
7T
OA=OB=OC=OD,因此点。就是球心,XZBC£)=-,故△BCD是等腰直角三角形,所以03_LCD.
因为平面ACD_L平面BCD,平面ACD)平面3co=CD,所以。B_L平面ACD.
设球。半径为R,则03=R,AC=R,又ZAC£>=5,则40=有我,
所以三棱锥A-BCD的体积V=』S“nOBuJx'xACADOBu走&=12,
3ACD326
所以R=26,所以球。的表面积为471&=48兀.故选:D.
4.(24-25高三上•江苏南通•阶段练习)如图,在三棱锥P—ABC中,ZACB=60°,2AC=BC=PB=PC,
平面P3CJL平面ABC,。是BC的中点,PD=4y/3,则三棱锥尸-ACD的外接球的表面积为()
B.40兀
208兀
D.8071
3
【答案】C
【分析】确定球心位置,求出三棱锥的外接球的半径上,由球的表面积公式即可求解.
【详解】依题意,jCB为等边三角形,且高产。=46,则尸C=CB=P3=8,
而AC=CD=4,又ZACB=60。,贝UACD为等边三角形,
平面P3CJ_平面ABC,PDA.BC,ABC'ipffiPBC=BC,PDu平面PBC,于是尸£>_L平面ABC,
令,ACD的外心为G,三棱锥尸-ACD外接球的球心为0,则。G_L平面AS,
又三棱锥P-ACD的外接球球心。在线段PD的中垂面上,此平面平行于平面ACD,
因此OG=1PD=2有,等边,ACD外接圆半径r=2x4sin60=逑,
233
三棱锥P-ACD的外接球R,则炉=OG?+/=12+(―)2=—,
所以三棱锥P-ACD的外接球的表面积S=4兀代=管,故选:c
5.(22-23高三上•黑龙江哈尔滨,期末,多选)如图,三棱锥5—ABC中,平面54CL平面A8C,过点8且与
AC平行的平面a分别与棱SA、SC交于E,F,若SA=SC=BA=BC=24,AC=2正,则下列结论正确
的为()
s
A.三棱锥S—ABC中的外接球表面积为16万
B.EF//AC
C.若E,尸分别为SA,SC的中点,则8/与SA所成角的余弦值为"
3
D.SC.LBF
[答案]BC
【4析】根据勾股定理可得AC为三棱锥S-ABC外接球的直径,代入计算即可判断选项A;利用线面平行
的性质即可判断选项B;平移直线&4,得到如P(或其补角)即为M与&4所成的角.根据面面垂直得到
线面垂直,在直角三角形中求得角的余弦值,可判断选项C;根据条件得到ASBC为正三角形,找到要使
SC±BF的条件即可判断选项D.
【详解】对于A,因为SA=SC=2括,AC=2娓,所以AC?=SA?+SC?,则SA_LSC,同理
边AC中点到点A,B,C,S距离相等,所以AC为三棱锥S-MC外接球的直径,则R=",
所以三棱锥S-ABC外接球的表面积S=4nR2=24TI,故选项A错误;
对于B,因为AC//a,过AC的平面5ACca=EF,由线面平行的性质可得:EFIIAC,故选项B正确;
对于C,取AC的中点尸,连接BP7/7,因为尸为SC的中点,所以尸产//S4且尸产=《&4=有,所以NfiEP
2
(或其补角)即为即与S4所成的角.
因为平面S4CJ■平面ABC,且平面SAC=平面A3C=AC,
又BA=BC,所以3PJ_AC,3Pu平面ABC,所以BP_L平面SAC,
PFu平面SAC,所以BP_LPb,因为=PF=《SA=6
22
所以BF=《BP?+PF?=3,在RtBPF中,cosZBFP=—,
BF3
所以即与S4所成的角的余弦值为且,故选项C正确;
3
对于D,连接SP,由选项C分析可得:3尸,平
面SAC,因为SPu平面qIC,
所以BP_LSP,又因为SP=;AC=#,所以SBMJBP2+SP。=2后'因为SC=BC=2g,所以△SBC为
正三角形,要使SC_LBF,则/一定是班的中点,题中并没有说明b是SC的中点,故选项D错误,
故选:BC
题型五:常见几何体:棱锥型
指I点I迷I津
棱锥的外接球有其特殊性,如果底面四边形是矩形。特殊情况下,还可以转化为“线面垂直-直棱柱模
型”
1.(2022・河南•模拟预测)在四棱锥S-ABCD中,侧面SAD_L底面A8C。,且&1=S£),NASD=90°,底
面ABCD是边长为2的正方形,设P为该四棱锥外接球表面上的动点,则三棱锥尸-SAZ)的最大体积为()
A.1+V2B.C.彦D.1±^1
333
[答案]D
【4析】根据题意作图,结合几何关系,求得四棱锥S-ABCD外接球的球心位置以及球半径,再求三棱锥
尸-&4。体积的最大值即可.
【详解】连接AC,B£>交于点。,取4D中点为
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 农村道路建设合同范本
- 翻修门窗服务合同范本
- 冷冻物品购销合同范本
- 租售全新吊篮合同范本
- 房屋租赁合同书 (八)
- 阅读指导课说课
- 项目管理工作总结和规划
- 广东省广州市普通高中毕业班2025年综合测试(一)地理试卷 (含答案)
- 预算员工作流程
- 项目物资管理亮点
- 初级食品销售练习
- 国开2023秋《人文英语4》第1-4单元作文练习参考答案
- 雅安厦钨新能源材料有限公司年产40000吨磷酸铁项目环境影响报告书
- 中国质量奖评审标准
- 潜水员体检表
- 《思想道德与法治》第三章
- 全过程工程咨询工作总结报告(全过程咨询)
- 桥梁预应力结构张拉压浆智能化施工成套技术
- 谐波减速器仿真优化
- 多重耐药菌护理查房-课件
- 土的筛分试验(JTG34302020)
评论
0/150
提交评论