图形的折叠与拼接（7种题型）-2025年中考数学一轮复习（解析版）

微专题08图形的裁剪与拼接

（7种题型+真题训练）

1.（2020・青海・中考真题）剪纸是我国传统的民间艺术.如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③

□

D.

【答案】B

【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将最后一个图中的纸片按顺序打开铺平即可得到答案.

【详解】

还原后只有B符合题意,

故选B.

【点睛】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行准确分析，可以直

观的得到答案.

2.（2023•河北秦皇岛•三模）如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（）

【答案】A

【分析】根据轴对称的性质求解即可.

【详解】解：如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是A选项.

故选：A.

【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，剪纸问题，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考

题型.

3.（2022・贵州六盘水•中考真题）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形

展开后可得到（）

沿虚线剪下

A.三角形B.梯形C.正方形D.五边形

【答案】C

【分析】根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，从

而可以进行从题后的答案中选择.

【详解】解：由题意知，对折实际上就是对称，对折2次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等,

且每个角等于90度,

其只有正方形满足这一条件.

故选C.

【点睛】此题考查了利用对称设计图案以及菱形的判定，关键是根据对折实际上就是轴对称性质的运用进

行解答.也可动手折纸求解.

题型02裁剪与相似三角形判定

1.（2023•河北邯郸•一模）如图，将AABC沿着DE剪成一个小三角形力DE和一个四边形D'E'CB,若四

边形少OCB各边的长度如图所示，则剪出的小三角形2DE应是（)

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】利用相似三角形的性质即可判断.

【详解】解：设4D=x,AE=y,

•・,DE\\BC,

•••△ADEABC,

.AD_AE_DE

,•AB~AC~BCf

・•・上-=

"x+12y+1820’

•,»%=8,y=12,

故选：A.

【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属

于中考常考题型.

2.（21-22九年级上•上海宝山•期中）如图，中，乙4=76。，AB=8,AC=6.将△ABC沿图示中的

虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

【答案】c

【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可.此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形

相似的方法是解题的关键.

【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意；

B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意；

C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，

故本选项符合题意；

D、阴影三角形中，乙4的两边分别为6-2=4,8-5=3,则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三

角形相似，

故本选项不符合题意.

故选：C.

题型03裁剪与尺规作图综合

1.（2022.江苏常州•中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点。是圆心，直径4B的长是12cm,。是半

圆弧上的一点（点C与点力、B不重合），连接4C、BC.

AOBAOB

备用图

⑴沿AC、BC剪下△力8C,贝必ABC是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；

（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径4B上的点G、H.已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个

边长为6cm的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C,一定存在线段4C上的点M、线段BC上的点N和

直径力B上的点P、Q,使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形.小明的猜想是否正

确？请说明理由.

【答案】（1）直角

（2）见详解

（3）小明的猜想正确，理由见详解

【分析】（1）AB是圆的直径，根据圆周角定理可知/ACB=90。，即可作答；

（2）以A为圆心，AO为半径画弧交。。于点E,再以E为圆心，EO为半径画弧交于。。点尸连接EF、

FO.EA,G、〃点分别与A、。点重合，即可；

（3）当点C靠近点A时，设CN=gCB,可证MN||48,推出MN==4cm,分别以ALN为

圆心，MN为半径作弧交AB于点尸，Q,可得MN=MP=NQ=4cm,进而可证四边形MNQP是菱形；当

点C靠近点B时，同理可证.

【详解】（1）解：如图，

ZACB=90°,

Z.ACB是直角，

即△ABC是直角三角形,

故答案为：直角;

(2)解：以A为圆心，A。为半径画弧交。。于点E,再以E为圆心，石。为半径画弧交于。。点厂连接所、

FO、EA,G、"点分别与A、。点重合，即可,

作图如下:

-IOB

由作图可知AE=EF=FH=HG=0A=^AB=6,

即四边形EFHG是边长为6cm的菱形;

(3)解：小明的猜想正确，理由如下:

如图，当点C靠近点A时，设CN=^CB,

,CM_CN_1

•・CA-CB~3"

：.MNWAB,

.MN_CM_1

•・AB~CA~3"

：.MN=-AB=-x12=4cm.

33

分别以M,N为圆心，MN为半径作弧交A3于点尸，Q,作MD，ZB于点。，NEJ.AB于点E,

：.MN=MP=NQ=4cm.

MN\\AB,MDLAB,NE1g

・•・MD=NE,

在RtAMOP和RtANEQ中，

・•・RtAMDP=RtANEQ(HL),

，乙MPD=LNQE,

：.MP//NQ,

又：MP=NQ,

，四边形MN。尸是平行四边形，

又：MN=MP,

二四边形MNQP是菱形；

同理，如图，当点C靠近点2时，采样相同方法可以得到四边形MNQP是菱形,

故小明的猜想正确.

【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质与判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运

用上述知识解决问题.

2.（2022•江苏南京•二模）△ABC是一地铁皮，如何按要求从中剪一个面积展木的圆？

（1）【初步认识】

请用直尺和圆规在图①中作出面积最大的圆（不写作法，保留作图痕迹）.

（2）【继续探索】

若三角形铁皮上有一破损的孔点。（孔径大小忽略不计），要求剪一个面积最大的圆且圆面无破损，请用直

尺和圆规在图②中作出满足要求的圆（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）.

（3）【问题解决】

如图③，若4B=aC=10,BC=12,E、尸分别是48、AC的中点，破损的孔点。位于E尸上（孔径大小忽略

不计）.设DE为x,剪出面积最大的圆（圆面无破损）的半径为r,直接写出久和r的关系式以及相应x的取值

范围.

【答案】（1）作图见解析部分

(2)作图见解析部分

(3)当0<%<3-2段或3+2V2<%<6时，r=3；当3—<xW3时，x=9—2r—2,2r—4；当3<

x<3+2&时,x=2r+272T—4-3

【分析】(1)作N4BC的角平分线BE,作/4CB的角平分线CF,BE交CF于点0,过点。作。。_LBC于点0,

以点。为圆心，。。为半径作。。即可；

(2)作乙4BC的角平分线BE,在8E在取一点Oi，作0名与48、BC均相切；连接BD交0。1于点名，连接

。1。1，过。作D。IIAO］交BE于点。；以点。为圆心，。。为半径作O0即可；

(3)根据题意画出图形，分三种情况解答；

【详解】(1)解：如图，。。即为所作.

(2)①作乙4BC的角平分线BE,在BE在取一点Oi，作O。1与4B、8c均相切;

②连接8。交05于点。1，连接2。1，过。作。。II2。1交BE于点0；

③以点。为圆心，。。为半径作O。，则O。即为所作.

(3)情况一：如图，。。为AABC的内切圆，与4B、AC,BC分别相切于点R、S,G,。。与5尸交于点用、

N,连接R。、SO、MO、GO,贝l|R。=S。=M。=G。=r,连接40交EF交于点H,连接B。、CO,

.M。平分NB4C,0G1BC,ORLAB,OS1AC,

"：AB=4C=10,

：.A01BC,

点力、0,G三点共线,

：.AG1BC,4G平分NBAC,

"：BC=12,

：.BG=CG=-BC=6,

2

在Rt△4BG中，AG=7ABz-BG2=V102_62=8,

AABC=-BCxAG=-ABxRO+-ACxSO+-BCxGO,

△2222

即：1x12x8=1x(10+10+12),

=3,

：.GO=M。=3,

尸分另lj是4B、2C的中点，BC=12,AB=AC=10

：.EF||BC,EF==6,4E=AF=5,

AHAF11

AG1EF,EH=FH=-EF=3,

AGAB22

：.AH=-AG=4,GH=AH=4,

2

；.OHAG-AH-OG1,

在Rt△MHO中，MH=VMO2-OH2=V32-I2=2鱼，

:.NH=MH=2V2,

：.EM=3-2A/2,EN=EM+MH+NH3+2VL

当点。在线段EM上，0<x<3-2V2,

当点。在线段N尸上，3+2V2<%<6,

.•.当0W久W3-2夜或3+2V2<x<6时，r=3；

情况二：如图，当O。只与4C、BC相切，且点。在O。上，则点。在4G右侧，点。在4G左侧，过点。作。71BC

于7,。7的反向延长线交EF于X,交4C于/,。。与4C相切于点K,连接D。、K0,

：.D0=T0=KO=r,OK1AC,

,此时DE=乂的取值范围是：3-2&<xW3,

由情况一可知，AG1BC,AGLEF,GH=4,

:.乙XHG=乙HGT=乙GTX=90°,

四边形HGTX是矩形，

：.Z.HXT=90°,TX=GH=4,TX||GH,HX=GT,

:.乙CJT=Z.CAG,OX=TX-TO=4—r,

由情况一可知，AG1BC,AC=10,GC=6,4G=8,

.".sinzC/T=sinzCXG=生=|，

tanzC/r=tanzCAG=*=£

,：OKLAC,

•・.在Rt"K。中,川=岳=|「'

在RtA/TC中，/r=/O+OT=y+r=|r,TC=JT•tanzC/T=%x：=2r,

：.HX=GT=CG-TC=6-2r,

：.DXDH+HXEH-DE+HX3-x+6-2r-2r-x,

在RtADX。中，DX2+OX2=DO2,

(9—2r—%)2+(4—r)2=r2,

解得：x=9—2r—2A/27一4或%=9—2r+2V2r—4(舍去)；

・・・当3—2位〈久工3时，x=9-2r-2=2丁-4；

情况三：如图，当。。只与48、相切，且点。在O。上，则点。在4G左侧，点。在4G右侧，过点。作。W1BC

于。小的反向延长线交EF于丫，交48于U,。。与相切于点心连接O。、VO,

：.DO=WO=VO=r,OV1AB,

，此时DE=刀的取值范围是：3<x<3+2&,

由情况一可知，AG1BC,AG1EF,GH=4,

:.4YHG=^HGW=^GWY=90°,

•••四边形HGWY是矩形，

：./.HYW=90°,YW=GH=4,YW||GH,HY=GW,

：./LBUW=NB4G,OX=YW-WO=4-r,

由情况一可知，AG1BC,AB=10,BG=6,AG=8,

J.sin^BUW=sin484G=些=三，

AB5

tan^BUW=tan/BAG

AG4

VOV1ABf

.•.在RtAUV。中，UO=—^—=-r,

smz.BUW3

在RtABUW中，UW=UO+OW=—+r=-r,BW=UW-tanzBt/VK=-rx-=2r,

3334

：.HY=GW=BG—8勿=6—2r,

：.DY=DH+YH=DE-EH+YH=x-3+6-2r=3-2r+x,

在RMDY。中，DY2+OY2=DO2,

(3—2r+x)2+(4—r)2=r2,

解得：x=2r+272T-4-3或x=2r-272T-4-3(舍去)；

.•.当3<x<3+2/时，x=2r+2,2r-4-3.

综上所述，x和r的关系式以及相应x的取值范围：当03%工3-2e或3+2VIWXW6时，r=3；当3-

2V2<x<3时，%=9-2r-2,2r-4；当3<x<3+2&时，x=2r+272T-4-3

A

【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了三角形的内切圆，垂径定理，等腰三角形的三线合一的

性质，三角形的中位线，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的判定和性质，三角函数，一元二次方程

等知识，运用了等积法，分类讨论的解题方法.解题的关键是理解三角形的内切圆的圆心是三角形角平分

线的交点.

3.（2021•安徽合肥・二模）将正方形4BC0和等腰RtAADE如图所示摆放，正方形的边长为2,将此图剪后

拼成一个新的正方形.

（1）新正方形的边长为;

（2）在原图中画出剪拼示意图（保留剪和拼的痕迹）；

（3）剪拼过程中，&A4DE被分割成两部分，求这两部分的面积比.

【答案】⑴V5；（2）见解析；⑶

【分析】（1）分别计算出AADE和正方形28C。的面积，从而可得到新正方形的面积；

（2）沿EG剪开，使△ADE分成A人证和八两部分，沿GC剪开，使五边形HGBCZ）分成四边形HGCD

和AGBC,即可拼成一个正方形；

（3）分别求出和m的长，再求出被分割成两部分的面积比即可.

【详解】解：（1）在等腰RtAADE中，AE=DE=Vl2+I2=V2

•­SAAED=|/4E-DE=|xV2xV2=l

又S正方形ABCD=AB2=2^=4

:・S新正方市SAKD+S正方形ABCD=1+4=5

.•.新正方形的边长=有，

故答案为：V5；

（2）如图，设G,F,/为格点，H为4D与EG的交点，/为EF与CD延长线的交点，连接GC,CF,FE,EG,如

图，

沿EG剪开，使△A0E分成△人”£和4HEO两部分,

沿GC剪开，使五边形HGBCD分成四边形HGCD和△GBC,

-GB=FD=1

VZGBC=乙FDC=90°

.BC=DC=2

:.AGBC卷丛FDC

：.乙BCG=乙DCF

故4GBC补到△FDC的位置，△EAG补到△EDF的位置，

故可得：EG=GC=CF=EF=Vl2+22=V5

二四边形EGCT是菱形；

又乙BCG=4DCF

：.Z.GCF=Z.GCD+/.DCF=Z.GCD+/.BCG=乙BCD=90°

，菱形EGB是正方形，S正方形EGCF=CG2=（V5）2=5

菱形EGCF是正方形符合题意；

（3）'：AG//EI,AG=EI

=AG:EI=1:1

1113

：.AH=HI=-AI=HD=HI+ID=-+1=-

2222

•_殷__2__1

SAHEDHDI3

即被分割成两部分的面积比

【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解答此题的关键.

4.（2023・四川广安•一模）把一个等腰直角三角形A8C沿一条线（裁剪线）剪一刀，把裁下的一部分，与剩

下部分能拼成一个特殊四边形.请在下面4个图形中分别画出剪裁线和拼出的特殊四边形（工具不限，不

必写画法和证明）

【答案】作图见解析

【分析】取等腰直角三角形ABC斜边的中点D,沿着CD剪开，将得到的三角形2CD绕点C顺时针旋转90。到

三角形的位置，可得到一个正方形（如图①所示）；先沿平行于的中位线EF剪开，将得到的三角形

4EF绕点E逆时针旋转180。到三角形CE□的位置，可拼成一个平行四边形（如图②所示），或将得到的三角

形4E尸绕点F顺时针旋转180。到三角形的位置，可拼成一个矩形（如图③所示），或将得到的三角形4EF

先作轴对称变换再向下作平移变换，使得一条直角边与直角梯形的高重合，另一边与直角梯形的下底在一

条直线上，到三角形F'CE的位置，可拼成一个等腰梯形（如图④所示）.

【详解】解：拼成一个正方形（如图①所示）；

拼成一个平行四边形（如图②所示）；

拼成一个矩形（如图③所示）；

拼成一个等腰梯形（如图④所示）.

③④

【点睛】本题考查图形的剪拼，一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力,

重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程.掌握特殊四边形的判定是解题的关键.

题型04与裁剪有关的求解问题

1.(2023•山东潍坊・中考真题)工匠师傅准备从六边形的铁皮力BCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如

图所示.经测量，AB||DE,4B与。E之间的距离为2米，力B=3米，4F=BC=1米，乙4=NB=90。，

ZC=ZF=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的

面积最大，最大面积是多少？

【答案】当的长度为三米时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是至平方米

48

【分析】连接CF，分别交于点P,交GN于点Q,先判断出四边形48CF是矩形，从而可得4EFC=NDCF=

45°,再判断出四边形4MPF和四边形BCQN都是矩形，从而可得PM=4F=BC=QN=1米，AM=

PF,BN=CQ,MH1CF,GN1CF,然后设矩形MNGH的面积为y平方米，MH=GN=%米,贝ijAM=PH=

(x-1)米，BN=GQ=(x-1)米，利用矩形的面积公式可得y关于x的二次函数，最后利用二次函数的性质

求解即可得.

【详解】解：如图，连接CF,分别交于点P,交GN于点Q,

AF||BC,

•••AF=BC=1米，

••・四边形4BCF是平行四边形,

又乙4=NB=90°,

••・四边形4BCF是矩形，

.­.Z.AFC=Z.BCF=90°,CF||AB,

•••4BCD=^AFE=135°,

•••乙EFC=乙DCF=45°,

•.•四边形MNGH是矩形,

•••MH1AB,GN1AB,GN=MH,

四边形4MPF和四边形BCQN都是矩形，

PM=AF=BC=QN=1米，AM=PF,BN=CQ,MH1CF,GN1CF,

RtAPF”和RtAQCG都是等腰直角三角形，

PH=PF,GQ=CQ,

AM=PH,BN=GQ,

设矩形MNGH的面积为y平方米，MH=GN=x米，贝=PH=(x—1)米，BN=GQ=(x—1)米,

AB=3米，

•••MN=AB-AM-BN^^5-2x)米，

.­.y=MH-MN=-2x)=-2(x-£)?+京

又AB||DE,4B与DE之间的距离为2米，AF=BC=1米，

•，•1<%<2,

由二次函数的性质可知，当lWxW：时，y随x的增大而增大；当：＜xW2时，y随x的增大而减小,

则当％=3时，y取得最大值，最大值为

答：当的长度为:米时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是:平方米.

48

【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题

关键.

2.（2021・山东烟台・中考真题）综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2,其中一边BC为8cm的锐角三

角形纸片（如图1）,经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形8CDE（如图2）,则矩形的周长为一

cm.

图1图2

【答案】22

【分析】根据题意画出示意图，由全等得到边相等，根据三角形面积计算出三角形高长度，找出矩形边与

高的关系，即可得到矩形宽长度，然后根据周长公式计算即可.

【详解】解：根据题意，相关的示意图如下：

A

由题意知，只有当点G、点H分别是三角形AB、AC边中点时，可拼成一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE,

过点A作2K±BC于点K衣G8于点F

此时：△AFG三&BEGAAFH=△CDH

：.AF=BE,AF=CD

又「四边形BCDE为矩形，且AK1BC,

=乙EBK=4FKB=90。

四边形E8KF为矩形

：.EB=FK

：.AF=BE=FK

\'-BC-AK=24,且BC=8

2

•*.AK=6(cm)

：.BE=CD=ix6=3(cm)

所以矩形BCDE的周长为：3+3+8+8=22(cm)

故答案为：22

【点睛】本题考查的是三角形全等，以及矩形的性质和判定等相关知识点，根据题意画出相关的示意图是

解题的关键.

3.(2024•浙江湖州•一模)甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽

可能大的正方形.

要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为30cm和40cm；

②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同；

③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大.

(1)计算甲、乙两位同学方案中拼成的正方形的边长，并比较大小.

(2)请设计一个方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大.(方案要求：在答题卷上

的两个直角三角形中分别画出裁剪线，标出所有裁剪线的长，求出这个正方形的边长.)

【答案】(1)甲同学方案中拼成的正方形边长为30cm,乙同学方案中拼成的正方形边长为詈cm,甲同学方

案中拼成的正方形边长较大.

(2)方案见解析.

【分析】(1)由直角三角形的最短边可得甲同学方案拼成的正方形边长，根据勾股定理，得MN=50cm.证

△MDAs^MON,&BCNFMON,得丝=竺="=三，

DMCBOM4

设4。=力则。M===求解得乙同学方案中拼成的正方形边长为甯cm,进而比

334449

较即可得解.

(2)根据全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质设计即可得解.

【详解】(1)解：甲同学方案中拼成的正方形边长为30cm.

对于同学，如图，由拼成条件可得2B=DC=24。=2BC,

记直角三角形为。MN,根据勾股定理，得MN=V302+402=50cm.

9：AD1MN,AMON=90°,BC1MN,

：.Z.MDA=乙MON=90°,乙NCB=乙NOM=90°,

VzM=zM,(N=CN,

SMDAfMON,2BCNFMON,

.DA_CN_ON_3

''DM~CB-OM~4

设A。=%,则DM=CN==?%

3344

43

+2x+-%=50,

34

解得％=嘤51,

49

•••乙同学方案中拼成的正方形边长为幽cm.

49

•••30>—,

49

甲同学方案中拼成的正方形边长较大.

（2）解：其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下

边长计算如下：

如图，过点B作1OM于点H,

:.乙AHB=NOA=90°,

...乙4BH+NB4H=90。，

根据拼接要求，AABN为等腰直角三角形，/.BAN=90°,

：.AB=AN,/.BAH+Z.NAO=180°-90°=90°,

:•乙ABH=乙NAO,

：.△ONA三AHAB,

：.HA=0N=30cm,HB=OA,

设。/=%,贝MH=10-%,

VzM=ZM,乙MHB=乙MON=90°,

fMON,

,MH_BHRMIO-X_x

**OM-ON40-30’

解得x=y.

.•.根据勾股定理，得

AB=7HB2+AH2=竺小＞30,即满足要求的正方形边长为竺小cm.

77

【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定

以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质

是解题的关键.

4.（2024.福建・中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸力BCD,要求大家利用它制

作一个底面为正方形的礼品盒.小明按照图2的方式裁剪（其中4E=FB）,恰好得到纸盒的展开图，并利

用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示.

1_______________D/

E

F

BCB

1

⑴直接写出当的值；

（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展

开图图样是（）

图4

并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用

卡纸的总费用.

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不

要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考

虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿

用）

【答案】⑴2；

⑵C;

(3)见解析.

【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关

知识是解题的关键.

(1)由折叠和题意可知，GH+AH=四边形EFNM是正方形，得到EM=EF,即4G=EF,

即可求解；

(2)根据几何体的展开图即可求解；

(3)由题意可得，每张型号团卡纸可制作10个正方体，每张型号团卡纸可制作2个正方体，每张型号团卡

纸可制作1个正方体，即可求解.

【详解】⑴解：如图：

上述图形折叠后变成:

由折叠和题意可知，GH=AE+FB,AH=DH,

四边形EFNM是正方形，

：.EM=EF,即4G=EF,

/.GH+AG^AE+FB+EF,即=

"：AH=DH,

・ADAH+DHr

・・一=-----=Z，

ABAB

.•霁的值为：2.

（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中

间相隔一个几何图形，且字体相反，

，C选项符合题意，

故选：C.

（3）解：

卡纸型号型号团型号团型号团

需卡纸的数量（单位：张）132

所用卡纸总费用（单位：元）58

根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm,则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为:

型号回卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图:

型号回卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图:

型号回卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图:

.••可选择型号团卡纸2张，型号团卡纸3张，型号团卡纸1张，则

10x2+2x3+1x1=27（个），

二所用卡纸总费用为：

20x2+5x3+3x1=58（兀）.

题型05与七巧板有关的剪拼/拼接问题

1.（2023•浙江温州•中考真题）图1是4x4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为近，现将它剪拼

成一个“房子”造型（如图2）,过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点4

E,D,B在圆上，点C,F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为.若点4N,M在同一直线

上，AB||PN,DE=V6FF,则题字区域的面积为.

A

【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得r,连接

0E,取的中点T,连接0T,在RtAOET中，根据勾股定理即可求解.

【详解】解：如图所示，依题意，GH=2=GQ,

•.,过左侧的三个端点Q,K,L作圆，QH=HL=4,

又NK1QL,

在KN上，连接0Q,贝UOQ为半径，

YOH=r-KH=丫-2,

在RtAOHQ中，0H2+QH2=Q02

：.(r-2)2+42=r2

解得：r=5；

连接0E,取ED的中点T,连接。7,交4B于点S,连接PB,AM,

图1图2

U：AB||PN,

：.AB1OT,

：.AS=SBf

•・,点N,M在同一直线上，

,AN_AS

••NM-SB'

：.MN=AN,

又NB=NA,

：.Z.ABM=90°

•：MN=NB,NP1MP

：.MP=PB=2

：.NS=-MB=2

2

•・・KH+”N=2+4=6

ON=6-5=1

AOS=3,

"：DE=y[6EF,

设EF=ST=a,则ET=»E=?a

在RtZiOET中，OE2=OT2+TE2

_2

即52=(3+a)2+W

整理得5G2+12a-32=0

即(a+4)(5a-8)=0

解得：a=I或a=-4

题字区域的面积为乃a?=||V6

故答案为：5；||A/6.

【点睛】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关

键.

2.（2024•江西・中考真题）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形4BCD,连接2C,贝肚an/CAB=

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图1,设等腰直角△MNQ

的直角边为a,利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的

定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键.

【详解】解：如图1，设等腰直角AMNQ的直角边为a,则MQ=&a,小正方形的边长为a,

：.MP=2a,

：.EM=J（2a）2+（2a）2=2缶，

：.MT=EM=2V2a,

QT=2V2a—V2cz=V2a,

如图2,过点C作CH1ZB的延长线于点H,则=BH=CD,

由图（1）可得，AB=BD=2&a,CD=yj2a+y[2a=2&a,

：.CH=2V2a,BH=2^2a,

.,.AH-2-\[2a+2/a=4V2a,

2y[2a1

4V2a2

故答案为：

3.（2021•江西・中考真题）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，

将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）

下

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】该题可以自己动手进行拼接，根据勾股定理得知①的直角边为1和1,斜边为企,拼接时要依据

重合的边要相等，然后根据轴对称图形的概念进行判断即可.

【详解】在左侧构成轴对称图形如图：

1

下

在下方构成轴对称图形如图:

1

在右侧构成轴对称图形如图:

【点睛】本题考查勾股定理，图形的拼接以及轴对称图形的判断，掌握轴对称图形的概念是解题的关键.

4.（2021・浙江丽水•中考真题）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图

1的七巧板,设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己.已知图1正方形纸片的边长为4,图2中FM=2EM,

则“奔跑者”两脚之间的跨度，即ZB,CD之间的距离是.

【答案】y

【分析】先根据图1求E。与CD之间的距离，再求出8。，即可得到力B,CD之间的距离=E。与CD之间

的距离+B。.

【详解】解：过点E作则EQ〃CD

根据图1图形EQ与CO之间的距离gx4+（x（x4=3

由勾股定理得：2EF2=42,解得：EF=2V2；

AM2=2XGX4）：解得：AM=2V2

VFM=2EM

：.EM=-FM=-AM

33

•：EQ_LBM,48=90。

：.EQ//AB

：.BQ=-2BM=-2x2=-4

“333

：.AB,CD之间的距离=EQ与CO之间的距离+8。=3+；5

故答案为当.

【点睛】本题考查了平行线间的距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形

结合法找到需要的数据是解答此题的关键.

5.（23-24九年级上•福建三明•期末）某校数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②

分另U是等腰Rt△4BE和等腰RtABCF,③和④分另！］是RtACDG和RtAZM”，⑤是正方形EFG”.这副五巧

板恰好拼成互不重叠也无缝隙且对角互补的四边形4BCD,直角顶点E,F,G,H分别在边

BF,CG,DH,AE上.

D

(1)求证：^ADH=ADCG；

(2)若AH=HE=2,求DG的长；

(3)若背=：,求等的值.

Un4UL

【答案】(1)见解析

(2)717-1

(3)|

【分析】(1)根据题意利用等腰三角形性质得N4BC=NABE+NCBF=90。，再利用三角形内角和性质即

可得到本题答案；

(2)根据题意利用正方形性质得HE=EF=FG=GH,再利用相似三角形判定得△DAHCDG,后利用

对应边成比例即可得到本题答案；

(3)根据(2)中相似的结论利用相似三角形性质即可得到本题答案.

【详解】(1)解：证明：:AaBE和A8CF都是等腰直角三角形，

•••乙ABE=45°,/.CBF=45°,

.­./.ABC=/.ABE+Z.CBF=90°

••・四边形4BCD是对角互补的四边形，

•••"DC+AABC=180°,

.­./.ADC=90°,即乙4OH+NCDG=90。.

•••△CDG是直角三角形，

.­.4DCG+乙CDG=90°.

.­./.ADH=ZDCG；

(2)解：•.・四边形EFGH是正方形，

HE=EF=FG=GH.

•・•△4BE和ABCF都是等腰直角三角形,

AE=BE,BF=CF,

vAH=HE=2,

AE=BE=4,BF=CF=6,CG=8,

•・・△DAH^^COG都是直角三角形,

・•・^AHD=乙DGC=90°,

由（1）得乙40"=乙DCG,

**•△DAHs△kCDG.

AHDH2DG+2

而，n即n防=k

DG

DG=V17-1；

(3)解：设DG=5fc,GH=4k,AH=x,则HE=EF=FG=4k,

AE=BE=4k+%,BF=CF=8k+x,CG=12k+x,

由(2)知；ADAHCDG,

AHDHAD

DGCGDC

媒=彘，解得「=3k,

DA_3

DC~5

【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形内角和性质，正方形性质，相似的判定及性质.熟悉相关

图形的性质，弄清图中线段间的关系是解题的关键.

题型06裁剪/拼接与实际问题综合

1.（2023・湖北十堰•中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形48C（乙4=

90。）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中。，E,尸分别为力B,AC,BC的中点，G,”分别为DE,BF的中

点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最

小值为.,最大值为.

【答案】88+2V2

【分析】根据题意，可固定四边形GFCE,平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值,

最大值.

【详解】

图1

如图1,BC=4,AC=4Xy=2V2,CI=BD=CEIAC=V2

DI=BC=4

：.四边形BC7D周长=4+4+2V2=8+2V2；

如图2,4尸=4/=/C=FC=2

四边形AFC/周长为2X4=8；

故答案为：最小值为8,最大值8+2a.

【点睛】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键.

2.（2024.广东清远.模拟预测）综合与实践

主题：制作无底圆锥

素材：一张直径为10cm的圆形纸板，如图1.

步骤1：将圆形纸板对折，如图2,得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆；

步骤2：如图3,在剪好的半圆纸板中，圆心为。，直径为4B,使力。与B。重合，制作成一个无底的圆锥.

Af---

图1图2图3

猜想与计算：

(1)直接写出圆形纸板的周长C1与圆锥的底面周长。2的大小关系；

(2)如图3.求圆锥母线。B与圆锥高0H的夹角NB。”的度数.

【答案】(1)。2=(C1(或G=2c2)

Q”BOH=30°

【分析】本题主要考查圆锥的展开图，解直角三角形，掌握相关定义是解题的关键.

(1)根据圆锥的展开图即可得到答案；

(2)根据=]6得到8H的长，在直角AOBH中，利用正弦定义得到sin/BOH,进而得到

【详解】(1)解：由题可知，半圆的弧长等于圆锥的底面周长，

C2==2c2.

(2)解：g=nd=IOTT,

。2=3G，

2兀•BH=-x10/r,

2

解得：BH=2.5,

在直角中，03=^43=5,