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文档简介
难点04特殊三角形的常考题型
(8大热考题型)
麴型盘点N
题型一:等腰三角形的性质
题型二:等腰三角形的判定
题型三:等腰三角形的构造与个数问题
题型四:等腰三角形的性质与判定的综合问题
题型五:等边三角形的性质与判定的综合
题型六:含有30。锐角的直角三角形
题型七:斜边上的中线
题型八:勾股定理及其应用
.睛淮堤分
题型一:等腰三角形的性质
【中考母题学方法】
【典例1】(2024•江苏苏州・中考真题)如图,VABC中,AB=AC,分别以8,C为圆心,大于;长为
半径画弧,两弧交于点。,连接CD,AD,AD与交于点E.
(1)求证:△ABD9△AGO;
⑵若8£>=2,ZBDC=120°,求BC的长.
【答案】(1)见解析
(2)BC=2A/3
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是:
(1)直接利用SSS证明9△ACD即可;
(2)利用全等三角形的性质可求出NB/M=NCZM=60。,利用三线合一性质得出ZM_L3C,BE=CE,在
Rt△血组中,利用正弦定义求出8E,即可求解.
【详解】(1)证明:由作图知:BD=CD.
在和,ACE>中,
AB=AC,
<BD=CD,
AD=AD.
.•△ABD当"CD.
(2)解:ABDgACD,ZBDC=120°,
:.ZBDA=ZCDA=60°.
又•,BD=CD,
:.DA1.BC,BE=CE.
BD=2,
:.BE=BDsinZBDA=2x—=y/3,
2
BC=2BE=2A/3.
【变式1-1](2024•福建・中考真题)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图,其
中△OA3与。。DC都是等腰三角形,且它们关于直线/对称,点E,尸分别是底边AB,C。的中点,
OEVOF.下列推断错误的是()
A.OBVODB./BOC=ZAOB
C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°
【答案】B
【分析】本题考查了对称的性质,等腰三角形的性质等;
A.由对称的性质得NAO3=NOOC,由等腰三角形的性质得ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,即可
22
判断;
B./BOC不一定等于NAO3,即可判断;
C.由对称的性质得OAB丝ODC,由全等三角形的性质即可判断;
D.过。作GM_LO”,可得NGOD=NBOH,由对称性质得=同理可证NAOM=/3。”,
即可判断;
掌握轴对称的性质是解题的关键.
【详解】解:A/OEYOF,
ZBOE+ZBOF=90°,
由对称得ZAOB=ZDOC,
1•点E,厂分别是底边AB,C。的中点,△OAB与ODC都是等腰三角形,
ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,
22
:.ZBOF+ZDOF=90°,
:.OB1OD,结论正确,故不符合题意;
B.NBOC不一定等于3AO3,结论错误,故符合题意;
C.由对称得OAB^ODC,
•.•点E,尸分别是底边AB,CD的中点,
:.OE=OF,结论正确,故不符合题意;
过。作GN_LO”,
:./GOD+ZDOH=90°,
NBOH+NDOH=90°,
ZGOD=ZBOH,由对称得/BOH=NCOH,
:.Z.GOD=Z.COH,
同理可证ZAOM=ZBOH,
ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,结论正确,故不符合题意;
故选:B.
【变式1-2](2024.江苏镇江.中考真题)等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为.
【答案】6
【分析】本题考查了等腰三角形的性质,三角形三边关系,熟练掌握分类讨论思想是解题的关键.分两种
情况讨论:当6为一腰长时;当2为一腰长时;分别求出第三条边长,并根据三角形三边关系判断是否能
构成三角形,即可得出答案.
【详解】解:当6为一腰长时,则另一腰长为6,底边长为2,
6+6>2,
,能构成三角形,
■•第三边长为6;
当2为一腰长时,则另一腰长为2,底边长为6,
2+2v6,
二不能构成三角形,舍去;
综上,第三边长为6,
故答案为:6.
【变式1-3](2024•山东济南・中考真题)如图,已知VABC是等腰直角三角形,ZBAC=90°,顶点
4,8分别在44上,当N1=7O。时,Z2=.
【答案】65。/65度
【分析】本题考查等腰三角形的性质,平行线的性质,根据平行线的性质,得到N3=/l,等边对等角,得
到ZABC=45°,再根据角的和差关系求出Z2的度数即可.
【详解】解:是等腰直角三角形,N54c=90。,
ZABC=ZACB=45°,
,/lt//l2,
:.Z3=Z1=7O°,
Z2=180°-Z3-ZABC=65°;
故答案为:65°.
【变式1-4](2024.四川雅安・中考真题)如图,在VABC和VAZ汨中,AB=AC,ABAC=ZDAE=40°,将
VAZ组绕点A顺时针旋转一定角度,当AD上3C时,一的度数是.
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质,旋转的性质,分两种情况分别画出图形,再结合等腰三角形的
性质与角的和差运算可得答案;
【详解】解:如图,当时,延长AD交BC于J,
VAB=AC,ABAC=ZDAE=40°,
:.ZBAI=ZCAJ=2.0°,
:.ZBAE=20°+40°=60°;
如图,当4。23c时,延长ZM交BC于J,
D
VAB=AC,ABAC=ZDAE=40°,
,ZBAJ=ZCAJ=20°,
:.ZBAE=180°-20°-40°=120°,
故答案为:60。或120。
【中考模拟即学即练】
1.(2025•山东临沂・一模)如图,在同一平面内,将VABC绕点A旋转得到△AB'C',使得CC'〃AB,已
知NACC=75。,则()
【分析】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质,等腰三角形的性质,由AC=AC',先证
ZACC^ZAC'C,然后由CC'〃AB,得到/4CC'=NC4B=75°,再进一步即可解决问题.
【详解】解:由题意得:AC^AC,
:.ZACC'=ZAC'C=15°;
•:CC'//AB,
ZACC'=ZAC'C=ZBAC=75°,
ZCAC=180°-2x75°=30°;
NBAC=NC'AB',
ZBAB'=ZCAC=30°,
:.ZCAB'=75°-30°=45°,
故选:D.
2.(2023•辽宁营口•三模)已知NAOB为一锐角,如图,按下列步骤作图:
①在Q4边上取一点Q,以。为圆心,OD长为半径画弧,交08于点C,连接CO.
②以点。为圆心,长为半径画弧,交02于点E,连接DE.若NCDE=30。,则-403的度数为()
KB
■一,
A.20°B.30°C.40°D.50°
【答案】c
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点,掌握等
边对等角,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解答本题的关键.
根据画图过程,得到OD=OC=OE,由等边对等角可得ZAOB=ZDEO,根据三角形内角和
定理与三角形外角的性质可得,ZOCD=1(180°-ZAOB),NOCD=NCDE+/CED=30°+/4O8,贝!]
;(180。-4408)=30。+4403然后求解即可解答.
【详解】解::以。为圆心,OD长为半径画弧,交于点C;以。为圆心,。。长为半径画弧,交OB于
点、E,连接DE,
/.OD=OC=DE,
:.ZODC=ZOCD,ZAOB=NDEO,
■:NOCD=1(180°-ZAOB),ZOCD=Z.CDE+NCED=30°+ZAOB,
1(180°-ZAOB)=30°+ZAOB,
解得:ZAOB^40°.
故选:C.
3.(2024.湖南长沙.模拟预测)如图是一张三角形纸片,其中AB=AC=10,BC=12,按如下步骤折纸:
第一步:将该纸片对折,点B与点C重合,折痕为AD;
第二步:展开后,再将该纸片折叠;折痕为BE,点A的对称点4恰好落在AC上
根据以上折纸过程,可以求出折痕班的长度为()
A.10B.9.8C.9.7D.9.6
【答案】D
【分析】本题主要考查了折叠的性质,三线合一定理,勾股定理,先由折叠的性质得到
ZADB=ZADC=ZAEB=ZAEB=90°,再由三线合一定理得到8D=Cr>=;BC=6,则由勾股定理得到
22
AD=y/AB-BD=8,再根据S^c=^AD-BC=AC-BE进行求解即可.
【详解】解:由折叠的性质可得NADB=NAr>C=NAEB=NA£B=90。,
VAB=AC=10,BC=12,
:.BD=CD=-BC=6,
2
AD=^AB2-BD2=8,
V5AABC=|AD-JBC=|AC-B£,
AC10
故选:D.
4.(2025・湖南•模拟预测)如图,在VABCAB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC右侧作BF//AC,
且=连接CP.若AC=13,3c=10,则四边形的面积为.
【答案】60
【分析】本题考查等边对等角,平行线的性质,角平分线的性质,勾股定理:过点C作四±AB,CNLBF,
根据等边对等角结合平行线的性质,推出=进而得到CM=C7V,得到S耽=S小,进而得
到四边形£»?心的面积等于SABC,设AM=x,勾股定理求出CM的长,再利用面积公式求出VABC的面积
即可.
【详解】解:=
Z.ZABC^ZACB,
,?BF//AC,
:.ZACB=ZCBF,
:.ZABC=NCBF,
8c平分NABP,
过点C作CN工BF,
,:sACE=^AE-CM,SCBF=;BF.CN,S.BF=AE,
••0CBF-2ACE,
四边形£BFC的面积=SCBF+S.CBE=SACE+SCBE=SCBA
,/AC=13,
AB=13,
设贝!]:BM=13-x,
由勾股定理,得:CM2=AC2-AM2=BC2-BM~,
:.132-X2=102-(13-X)2,
SCBA=gAB-CM=60,
二四边形£»吠的面积为60.
故答案为:60.
5.(2025・湖南•模拟预测)如图,在等腰三角形ABC中,NA=4O。,分别以点A,点B为圆心,大于为
2
半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则/D5。的度数为
A
【答案】30。/30度
【分析】本题考查了等边对等角,垂直平分线的性质,三角形内角和定理,掌握等腰等腰三角形的判定和
性质是解题的关键.
根据等腰三角形的性质,三角形内角和定理可得ZABC=/C=70。,由作图可得垂直平分线,则有4。=班>,
所以NDAB=/DB4=40。,再根据=-/054=70。-40。=30。,即可求解.
【详解】解::ABC是等腰三角形,NA=40。,
NABC=ZC=1x(180o-ZA)=1x(180°-40o)=70°,
根据作图可得,是线段48的垂直平分线,
,AD=BD,
:.ADAB=ADBA=^°,
ZDBC=ZABC-Z.DBA=70°-40°=30°,
故答案为:30。.
6.(2024•安徽合肥・三模)如图,在VA5c和VA£»E中,AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,分别
连接80,CE,延长EC交8。于尸.
(1)若NCBD=66。,则ZACE=°;
(2)连接AF,若A尸=3,DF=4,则E尸的长为.
【答案】ill4+3®
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质,作出合理的辅助线构建全
等三角形并熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键.
(1)利用SAS证明四△ACE,根据全等三角形的性质求出/ABD=NACE,根据等腰直角三角形的
性质求出NABC=45。,再根据角的和差求解即可;
(2)过点A作AHLAF,交石厂于“,利用ASA证明Z^AHE^AFD,根据全等三角形的性质求出EH=DF,
AH=AF,根据等腰直角三角形的性质求出=尸,再根据线段的和差求解即可.
【详解】解:(1)ZBAC=ZDAE=90°,
:.ZBAD=ZCAE,
在△板)和△ACE中,
AB=AC
</BAD=ZCAE,
AD=AE
ABD^ACE(SAS),
:.ZABD=ZACEf
ABAC=90°,AB=ACf
:.ZABC=ZACB=45°f
NCBD=66。,
.\ZABD=ZABC+ZCBD=m°f
.-.ZACE=111O,
故答案为:111;
(2)如图,过点A作交EF于H,
ABD冬ACE,
:.ZAEH=ZADF,
在,AHE和△AFD中,
ZEAH=ZDAF
<AE=AD,
ZAEH=ZADF
.\.AHE^AFD(ASA),
:.EH=DF,AH=AF,
FH=6AF,
EF=EH+FH,
:.DF+亚AF=EF,
AF=3,DF=4,
EF=4+3人,
故答案为:4+372.
题型二:等腰三角形的判定
【中考母题学方法】
【典例1】(2024•辽宁・中考真题)如图,四边形A2CZ)中,AD//BC,AD>AB,AD=a,AB=10.以
点A为圆心,以A3长为半径作图,与3c相交于点E,连接AE.以点E为圆心,适当长为半径作弧,分
别与胡,EC相交于点N,再分别以点V,N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在NAEC的
内部相交于点尸,作射线£?,与AQ相交于点尸,则FD的长为(用含。的代数式表示).
【答案】G-10
【分析】本题考查了作图-作角平分线,平行线的性质,等腰三角形的判定,熟练掌握知识点是解题的关
键.
利用基本作图得到AE=AB=1O,EF平分NAEC,,接着证明=得到W=9=10,然后
利用£D=AD-AF求解.
【详解】解:由作法得AE=AB=1。,EF平分NAEC,
:.ZAEF=/CEF,
•:AD//BC,
:.ZAFE=/CEF,
;•ZAEF=ZAFE,
肝=小=10,
FD=AD-AF=a-10.
故答案为:a-10.
【变式2-1](2024.浙江・中考真题)如图,D,E分别是VABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.若
ZAED=/BEC,DE=2,则BE的长为
【答案】4
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定,由三角形中位线定理得
DE//BC,BC=2DE=4,得出NC=NAED=NBEC,得出BE=BC=4
【详解】解::。,E分别是VA3C边A3,AC的中点,
/.DE是VABC的中位线,
DE//BC,BC=2DE=4,
/.NAED=NC,
•:ZAED=NBEC,
:.NC=NBEC,
BE=BC=4,
故答案为:4
【变式2-2](2024・四川自贡・中考真题)如图,在VABC中,DE//BC,/EDF=NC.
⑴求证:ZBDF=ZA;
⑵若Z4=45。,DF平济NBDE,请直接写出VABC的形状.
【答案】(1)见解析
(2)VABC是等腰直角三角形.
【分析】本题考查了平行线的判定和性质,等腰直角三角形的判定.
(1)由平行证明/4£D=/C,由等量代换得到ZEDF=N4£D,利用平行线的判定“内错角相等,两直线平
行''证明D尸〃AC,即可证明/BDF=NA;
(2)利用平行线的性质结合角平分线的定义求得N9加=90。,1B90?,据此即可得到VABC是等腰直角
三角形.
【详解】(1)证明::£>E〃3C,
ZAED=ZC,
•:/EDF=ZC,
ZEDF^ZAED,
:.DF//AC,
;•ZBDF^ZA;
(2)解:VABC是等腰直角三角形.
ZBDF^ZA,
:.ZBDF=ZA=45°,
":DF平分NBDE,
:.ZBDE=2ZBDF=9cp,
':DE//BC,
:.ZB=l80°-ZBDE=90°,
ZC=180°-ZA-ZB=45°=ZA,
VABC是等腰直角三角形.
【中考模拟即学即练】
1.(2024・辽宁・模拟预测)如图,在平行四边形ABC。中,BE平分ZABC交AD于点E,CF平分NBCD交
AD于点孔若BC=7,EF=1,则A3为()
A.4B.3.5C.3D.2.5
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质,等腰三角形的判定,平行线的性质,平行线与角平分线相结合可得
AE=AB,DF=CD,再结合平行四边形的性质即可求解.
【详解】解::四边形ABCD是平行四边形,
AB=CD,AD//BC,AD=BC=1
:.ZAEB=ZCBE,ZCFD=ZBCF,
:BE平分/ABC,C尸平分/BCD,
ZABE=NCBE,ZDCF=ZBCF,
:.ZABE=ZAEB,ZDCF=ZCFD,
AE=AB,DF=CD,
:.AB=AE=AD-DE=AD-(DF-EF)=AD-AB+EF=J~AB+1,
:.AB=4.
故选:A
2.(2024•海南三亚.二模)如图,跖是VABC的中位线,BD平分/ABC交EF于点、D,若AE=2,DF=1,
则边8c的长为()
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中位线定理、角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边,由三角形中位线
定理得出3E=AE=2,EF//BC,BC=2EF,由平行线的性质结合角平分线的定义得出=,
由等角对等边得出DE=3E=2,求出跖的长即可得解.
【详解】解:跖是VA3C的中位线,
:.BE=AE=2,EF//BC,BC=2EF,
ZEDB=ZCBD,
3D平分/ABC,
:.ZEBD=ZCBD,
:.ZEBD=ZEDB,
:.DE=BE=2,
:.EF=DE+DF=2+1=3,
:.BC=2EF=6,
故选:B.
3.(22-23八年级上•江苏扬州•期末)小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在-AO3上,两把直尺的
接触点为尸,边04与其中一把直尺边缘的交点为C,则OC的长度是
【答案】3
【分析】本题考查角平分线的判定,平行线性质及等角对等边.根据图形可得。尸是的角平分线,
再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案;
【详解】解:作尸PF±OB,
由题意可得,如图所示,
,:PE=PF,PE±OC,PFVOB,
:.ZPOE=ZPOF,
,/CP//OB,
ZCPO^ZPOF,
:.ZCPO=ZPOE,
:.OC=PC,
•.•点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5,
OC=PC=5-2=3,
故答案为:3.
4.(2024.陕西咸阳・模拟预测)如图,在VABC中,AD平分NBAC,庞〃47交AB于点E,若。E=应,
BE=2DE,则AB的长为.
【答案】3拒
【分析】此题考查了平行线的性质,角平分线的概念和等边对等角,解题的关键是掌握以上知识点.
首先根据平行线的性质和角平分线的概念得到NEW=N£ZM,进而得到OE=AE=应,然后结合
8E=2£>E求解即可.
【详解】:4£)平分2区4。,
NEAD=NCAD
DE//AC
:.ZEDA=ZCAD
:.ZEAD=ZEDA
DE=AE=y[i
BE=2DE=272
;•AB=BE+AE=3s/2.
故答案为:3叵.
5.(2024・湖南长沙•二模)如图,在VABC中,/ABC和—ACB的平分线交于点E,过点E作肱V〃3C交
于M,交AC于N,若BM+CN=8,则线段MN的长为.
【答案】8
【分析】本题考查学生对等腰三角形的判定和平行线性质.由角平分线的定义得NMBE=NE3C,
/ECN=NECB,利用两直线平行,内错角相等,利用等量代换可得=ZNEC=/ECN,
然后即可求得结论.解题的关键是证明目以=也,EN=CN.
【详解】解::/ABC和—ACS的平分线交于点E,BM+CN^S,
:.ZMBE=ZEBC,NECN=NECB,
MN//BC,
:.NEBC=NMEB,ZNEC=NECB,
:.NMBE=/MEB,ZNEC=/ECN,
:.BM=ME,EN=CN,
:.MN=ME+EN=BM+CN=8,
二线段MN的长为8.
故答案为:8.
6.(2024.山西太原•二模)如图,在,ABCD中,按照如下尺规作图的步骤进行操作:①以点8为圆心,以
适当长为半径画弧,分别与AB,3c交于点E,F;②分别以E,歹为圆心,以适当长为半径画弧,两弧
交于点G,作射线2G,与边AD交于点H;③以8为圆心,54长为半径画弧,交于边3c于点M.若AB=5,
BH=8,则点A,M之间的距离为()
A.5B.6C.7D.8
【答案】B
【分析】本题考查了作图-基本作图,菱形的判定与性质,勾股定理,证明四边形是菱形是解题的
关键.连接40、MH,设AM交初于点。,根据题意证明四边形是菱形,从而得出03的长,
再根据勾股定理即可得出结果.
【详解】解:如图,连接AM、MH,设A"交3”于点0,
由题意可知,5"是/ABC的角平分线,
ZABH=NCBH,
又「四边形ASCZ)是平行四边形,
:.AD//BC,
ZAHB=ZCBH,
:.ZABH=ZAHB,
:.AB=AH,
,以8为圆心,54长为半径画弧,交于边BC于点
:.AB=BM,
:.AH=BM,
又AH〃BM,
二四边形是平行四边形,
又AB=AH,
四边形是菱形,
,OB=OH=;BH=4,OA^OM,
.-.ZAOB=90°,
OA=^AB2-OB2=452—4?=3,
.-.AM=2OA=6,
故选:B
7.(23-24九年级下•宁夏中卫•期中)如图是由边长为1的小正方形组成的9义6网格,点A,B,C,D,E,
尸均在格点上.下列结论:
①连接BD,点A与点F关于BD成轴对称;
②连接BC,BF,CF,则V3C尸是等腰三角形;
③连接反,点B,E到线段AF的距离相等.
其中,正确结论的序号是.
【答案】①②③
【分析】本题考查轴对称,勾股定理,三角形全等的判定与性质,等腰三角形性质及应用等,根据轴对称
概念,全等三角形判定与性质,点到直线的距离等逐个判断.解题的关键是根据描述,正确的画图,熟练
掌握相关知识点.
由图可知,AD=DF=5,AB=BF=Vl2+42=>/Y7,
•/BD=BD,
.•…ABD^FBD(SSS),
点A与点/关于RD成轴对称,故①正确;
FC=30,
...VBC尸是等腰三角形,故②正确;
如图,连接AF,AE,AB,BF,
设点B,E到线段"的距离分别为小,h2.
由图可知,^AABF=~X5x5—1x1——xlx4——xlx4=—=—AF-4,
乙乙乙乙乙
£FA£)=x3x5==
SAAEF=11yA,
S&iBFS/XAEF,则=色,
.•.点8,E到线段AF的距离相等,故③正确;
综上,正确的有①②③;
故答案为:①②③.
8.(2024•海南海口•一模)如图,在RfABC中,ZC=90°,AC=4,8c=3,点。是AC边上的一点,过
点。作DRAB,交BC于点、F,作4c的平分线交O尸于点E,连接8E.若ABE的面积是2,则点E
r)p
到力B的距离为当的值是
【分析】本题考查的知识点是勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等角对等边,解题关
键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.
先根据勾股定理求出48,即可分别用三角形面积公式推得点C至!MB的距离和点E到48的距离,再根据
DFA8判定AQ/S即可推得相似比,从而由相似三角形的性质得到挈=勺=],由AE平分
CAAB3
4
ZBAC和。尸48可得NO4£=Z4£D,根据等角对等边推得DE=A。=§后即可得解.
【详解】解:及ABC中,AB^\lAC2+BC2-732+42=5-
点C至!MB的距离h=40产=号,
AB5
SA6E=]XA3x4=2,
4
二点七到48的距离4=g,
1o4R
•••点C到。产的距离饱=打一y=
DFAB,
2
:.CDFs_CAB,且相似比为他:力=§,
CDDF2
"CA~AB~3"
.•.CD=-x4=-,DF=-x5=—
3333f
4
AD=AC-CD=~,
3
AE平分/B4C,
:.ZBAE=ZDAE,
DFAB,
:.ZBAE=ZAED,
即NZME=NAED,
4
:.DE=AD=-,
3
104
:.EF=DF-DE=-------=2,
33
4
•竺=3=2.
'EF23
47
故答案为:■—;--
53
9.(2024・湖南长沙•模拟预测)如图,在VA3C中,。是A5边的中点,。是CO上一点,AE〃BD交CO的
(1)求证:AE=BD-,
(2)若NACB=90。,ZBDO=ACAO,AC=6,求BD的长.
【答案】(1)见解析;
⑵6.
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般,平行线的性
质,等角对等边以及中点定义,熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键.
(1)由。是43边的中点,得=,由AE〃BD,得/E=/BDO,NOAE=NOBD,可得
一。1E—O3D(AAS),即可证明结论成立;
(2)由。是A3边的中点,ZACB=90°,^AO=BO=OC,进而NACO=NC4O,由(1)BD=AE,
NBDO=NE,由N5DO=NC4O,得—>=/C4O=ZE*,从而AC=AE=6,进而即可得解.
【详解】(1)证明:・・・0是A3边的中点,
AAO=BO.
又「AE//BD,
;.NE=/BDO,/OAE=NOBD,
在△OAE1与06。中,
ZE=NBDO
<ZOAE=ZOBD,
OA=OB
.・・_。4£丝O5D(AAS)
:.AE=BD;
(2)解:TO是AB边的中点,ZACB=9Q°f
:.AO=BO=OC=-AB.
2
:.ZACO=ZCAO.
_OAE^OBO(AAS),
:・BD=AE,NBDO=/E,
•「ZBDO=ZCAO,
:.^ACO=^CAO=^E,
:.AC=AE=6,
BD-AE=6.
10.(2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测)已知:ACLBC,AD±BD,AC=BD.
(1)如图1,求证:AD=BC;
⑵如图2,AC交BD于点E,连接C。,若/DEC=135。,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图
中所有的等腰三角形.
【答案】(1)见解析
⑵YADE,CDE,ABE,BCE
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,等角对等边等等:
(1)只需要证明RtABC丝Rta4D(HL),即可证明AO=3C;
(2)由平角的定义得到NA£D=N3EC=45。,则可证明△&£>£,△3EC都是等腰直角三角形,由全等三角
形的性质得到=则E4=EB,进而可得ED=EC,则可证明八4£5,AECD都是等腰三角形.
【详解】(1)证明:VACLBC,ADLBD,
ZD=ZC=90°,
XVAC^BD,AB^BA,
:.Rt.ABC丝RtBAD(HL),
AD=BC;
(2)解:;ZDEC=135。,
:.ZAED=NBEC=180°-ZDEC=45°,
"="=90。,
AADE,△BEC都是等腰直角三角形,
,?RtAABC^RtABAD,
ZEAB=ZEBA,
EA=EB,
又•:AC=BD,
:.ED=EC,
:.AAEB,△ECD都是等腰三角形.
综上所述,NADE,二CDE,.ABE,3CE都是等腰三角形.
题型三:等腰三角形的构造与个数问题
【中考母题学方法】
【典例1】(2023・吉林•中考真题)图①、图②、图③均是5x5的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,
线段4B的端点均在格点上.在图①、图②、图③中以4B为边各画一个等腰三角形,使其依次为锐角三角形、
直角三角形、钝角三角形,且所画三角形的顶点均在格点上.
【答案】见解析
【分析】根据勾股定理可得AB=«,结合题意与网格的特点分别作图即可求解.
【详解】解:如图所示,
如图①,47=他=々+22=6,则VA3C是等腰三角形,且VABC是锐角三角形,
如图②,AD=AB=Vl2+22=75-BD=A/12+32=710>则⑷垢+^^^二皮八则△ABD是等腰直角三角
形,
如图③,AE=AB=VI2+22=75>贝!LABE是等腰三角形,且一钻“是钝角三角形,
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题,等腰三角形的定义,熟练掌握勾股定理是解题的关键.
【典例2X2023•浙江宁波・中考真题)在4X4的方格纸中,请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).
(1)在图1中先画出一个以格点尸为顶点的等腰三角形上4B,再画出该三角形向右平移2个单位后的.PA3'.
(2)将图2中的格点VABC绕点C按顺时针方向旋转90。,画出经旋转后的△A?C.
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】(1)先画等腰三角形/R,PA=PB,再确定平移后的对应点,再顺次连接即可;
(2)确定A,2旋转后的对应点,而C的对应点是其本身,再顺次连接即可.
【详解】(1)解:如图,_PAB,_P'A3'即为所求作的三角形;
图1
(2)如图,△A'2'C即为所求作的三角形,
【点睛】本题考查的是平移,旋转的作图,作等腰三角形,熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行
作图是解本题的关键.
【典例3】如图,在平面直角坐标系中,直线与反比例函数y=X(x>0)的图象交于点A(a,l),将直线Q4
6x
Q
向上平移]个单位,与y轴交于点c,与双曲线交于点B.
⑴求反比例函数和直线3c的表达式;
(2)求点8的坐标;
(3)在x轴上是否存在一点尸,使..R4B是以为腰的等腰三角形,若存在,求出点尸坐标;若不存在,请
说明理由.
【答案】⑴反比例函数的表达式为y4,直线5c的表达式为尸*|
⑵8(2,3)
(3)存在,点P坐标为(3,0)或(6±晒,0)
1k
【分析】(1)把点A的坐标代入y=中,求得〃的值,再代入y=*中,求得左的值,即得反比例函数的
6X
Q
表达式,再根据直线。4向上平移三个单位,即可求得直线BC的表达式;
(2)因2是直线BC与双曲线的交点,故得方程!苫+当=自,求解方程,即得答案;
63元
(3)设PQ,0),分上4=PB和B4=BA两种情况,分别列方程求解,即得答案.
【详解】(1)把A3D代入中,得1=卜,
解得。=6,
/.A(6,l),
.,.k=1x6=6,
6
•••)=一,
x
Q
BC//OA,且直线Q4向上平移]个单位,
1Q
・・・直线3C表达式为丁=1+~
63
(2)由题意得:—x+—=—,
63x
x2+16x—36=0,
,%=2,々=—18(舍去),
>=3,
/.3(2,3);
(3)设尸。,0),
当a=依时,(6—£)2+(1—0)2=«一2)2+(0—3门,
解得,=3,
/.P(3,0);
当PA=B4时,(6—21+(1—3>=(6-)2+”0)2,
解得t=6±y/19,
P(6±719,0);
综上所述,点。坐标为(3,。)或(6土M,0).
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题,求一次函数与反比例函数的解析式,一次函
数的平移,直线上与已知两点组成等腰三角形的点的探求等知识,熟练掌握相关知识是解答本题的关键.
【变式3-1](2024•贵州毕节•一模)点A,B在直线/同侧,若点C是直线/上的点,且VABC是等腰三角
形,则这样的点C最多有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质,先以A点为圆心,为半径作弧交直线/于点C|、C2,再
先以8点为圆心,胡为半径作弧交直线/于点C,C4,最后作A3的垂直平分线交直线/于点C5.
【变式3-2](2023•贵州遵义•三模)四边形A3CD是平行四边形,下列尺规作图不能得到等腰三角形板的
是()
【分析】分析每个选项的尺规作图,进一步判断是否又等腰三角形即可.
【详解】A.根据作图痕迹可知,破为NABC的角平分线,故ZABE=NEBC,根据平行线的性质可得,
ZEBC=ZAEB,即=4比B,故。母为等腰三角形,A不符合题意;
B.根据作图痕迹可知,点8,E在以A为圆心,A3的长为半径的圆上,故=即二ME为等腰三
角形,B不符合题意;
C.根据作图痕迹可知,令—540的角平分线与3C交于点如图,则=根据平行线的
性质可得,ZEAM=ZAMB,即NS4M=故为等腰三角形;根据作图痕迹可知,以点8为
圆心,画弧,与AM边交于两点,分别以该两点为圆心,画弧交于一点,连接该点与点8,延长交于点
E,故BE为—ABC的角平分线,故ZABE=NEBC,根据平行线的性质可得,/EBC=ZAEB,即
ZABE^ZAEB,故ABE为等腰三角形,C不符合题意;
D.作图痕迹没有依据,D符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查尺规作图——角平分线,等腰三角形的性质等,解题的关键是根据做图痕迹进行判断.
【变式3-3](2024•河北邯郸・三模)如图中的点都在格点上,使△AB"("为1~4的整数)不是轴对称图形
的点是()
P:B
A
A.AB.P2C.P3D.舄
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别,等腰三角形的定义,勾股定理,根据网格的特点和勾股定理
可得△AB%ZXAB舄都是等腰三角形,而△42鸟不是等腰三角形,再根据轴对称图形的定义即可
得到答案.
【详解】解:根据网格的特点和勾股定理可得△ABG△ABB,△A2A都是等腰三角形,即这三个三角形
都是轴对称图形,
鸟不是轴对称图形,
故选:B.
【中考模拟即学即练】
32.(2023•浙江台州•一模)观察下列尺规作图的痕迹,不能判断VABC是等腰三角形的是().
AAA
A.B,B
c,瓦
【答案】D
【分析】根据基本的作图方法,结合等腰三角形的判定,逐一进行判断,即可得到答案.
【详解】解:A、根据一个角等于已知角的作法可知NB=NC,VABC是等腰三角形,不符合题意,选项错
误;
B、根据垂直平分线的作法可知钻=AC,VABC是等腰三角形,不符合题意,选项错误;
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知,AC//BD,ZACB=ZCBD,
根据角平分线的作法可知,ZABC=ZCBD,
:.ZABC^ZACB,VA3C是等腰三角形,不符合题意,选项错误;
D、不能判断VABC是等腰三角形,符合题意,选项正确,
故选D.
【点睛】本题考查了作图一复杂作图,等腰三角形的判定等知识,掌握基本作图方法是解题关键.
4.(2023•内蒙古呼伦贝尔•一模)如图,抛物线y=-£+4x-3与x轴交于A,8两点(点A在点8左侧),
与y轴交于点C,连接BC.
(1)直接写出抛物线与无轴的交点坐标及直线BC的解析式;
(2)点尸是3C上方抛物线上一点,当以PBC=S3c时,求出点P的坐标(不与点A重合);
(3)在抛物线的对称轴上存在点使4M4c是等腰三角形,请直接写出此时点M的坐标.
【答案】(1)A(1,O),8(3,0),直线3c的解析式y=x-3,
(2)(2,1)
(3)(2,-3)或(2,-2)或(2,-3+#)或(2,-3-指),
【分析】(1)分别令>=0和尤=0,即可求点A、B、C的坐标,进而利用待定系数法求出直线3C的解析
式;
(2)先求出VABC的面积,可求△P3C的面积为3,从而可以求出尸的纵坐标,代入抛物线解析式即可求
出P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上点M坐标为(2,y),根据坐标系中两点距离公式结合等腰三角形的定义列方程求
解即可.
【详解】(1)解:令尸0,得:
—X2+4%—3=0,
解得:玉=1,%=3,
••.A(l,0),5(3,0),
令%=0,得:
k-3,
AC(0,-3),
.•.点A、B、。的坐标分别为:41,0)、5(3,0)、C(0,-3).
设直线5C的解析式为>二丘+6,可得:
3左+6=0k=l
b-,解得:
b=—3’
...直线BC的解析式为y=x-3,
(2)SAABC=|AB-OC=1X(3-1)X3=3,
△
‘PBC=245c=3,
过点P作轴,交BC于点H,设点尸的横坐标为〃,则有尸(。,-/+4〃-3),H(a,a-3),
PH=(_〃2+4〃_3)—(Q—3)=一片+3a
*'SPBC=SPHC+SPHB=-PHXP+—PH\XB-XP)=—PHXB
19、
—x3(-ci+3Q)=3,
••Q]—1,a2=2,
当a=l时,y=0,此时与点A重合,
当。=2时,y=-22+4x2-3=l,
二点尸的坐标为:(2,1).
(3);抛物线,=-/+4工-3=-。-2)2+1,
.••抛物线对称轴为直线x=2,
设在抛物线的对称轴上点M坐标为(2,y),
VA(l,0),C(0,-3).
/.AC2=12+32=10,
AM2=(1-2)2+/=1+/,
CM2=22+(y+3)2=y2+6^+13,
当AC=AW时,1+/=10,解得:y=±3,即点Af坐标为(2,3)或(2,-3),
当点M坐标为(2,3)时,AM=710,CM=2A/10,AC=V10,不能构成三角形,故M(2,3)舍去;
当AC=CM时,/+6y+i3=10,解得:y^-3+46,即点M坐标为(2,-3+«)或(2,-3-痛),
当4W=C0时,/+6y+i3=l+y2,解得:y=_2,即点/坐标为(2,-2),
综上所述:点M坐标为(2,-3)或(2,-2)或⑵一3+")或(2,-3-76),
【点睛】本题是二次函数综合题,考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求
函数解析式、勾股定理、三角形的面积等知识,解题(3)的关键是根据点距离公式结合等腰三角形的定义
列方程求解.
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