特殊三角形的常考题型(8大热考题型)解析版-2025年中考数学一轮复习知识清单_第1页
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文档简介

难点04特殊三角形的常考题型

(8大热考题型)

麴型盘点N

题型一:等腰三角形的性质

题型二:等腰三角形的判定

题型三:等腰三角形的构造与个数问题

题型四:等腰三角形的性质与判定的综合问题

题型五:等边三角形的性质与判定的综合

题型六:含有30。锐角的直角三角形

题型七:斜边上的中线

题型八:勾股定理及其应用

.睛淮堤分

题型一:等腰三角形的性质

【中考母题学方法】

【典例1】(2024•江苏苏州・中考真题)如图,VABC中,AB=AC,分别以8,C为圆心,大于;长为

半径画弧,两弧交于点。,连接CD,AD,AD与交于点E.

(1)求证:△ABD9△AGO;

⑵若8£>=2,ZBDC=120°,求BC的长.

【答案】(1)见解析

(2)BC=2A/3

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是:

(1)直接利用SSS证明9△ACD即可;

(2)利用全等三角形的性质可求出NB/M=NCZM=60。,利用三线合一性质得出ZM_L3C,BE=CE,在

Rt△血组中,利用正弦定义求出8E,即可求解.

【详解】(1)证明:由作图知:BD=CD.

在和,ACE>中,

AB=AC,

<BD=CD,

AD=AD.

.•△ABD当"CD.

(2)解:ABDgACD,ZBDC=120°,

:.ZBDA=ZCDA=60°.

又•,BD=CD,

:.DA1.BC,BE=CE.

BD=2,

:.BE=BDsinZBDA=2x—=y/3,

2

BC=2BE=2A/3.

【变式1-1](2024•福建・中考真题)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图,其

中△OA3与。。DC都是等腰三角形,且它们关于直线/对称,点E,尸分别是底边AB,C。的中点,

OEVOF.下列推断错误的是()

A.OBVODB./BOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

【答案】B

【分析】本题考查了对称的性质,等腰三角形的性质等;

A.由对称的性质得NAO3=NOOC,由等腰三角形的性质得ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,即可

22

判断;

B./BOC不一定等于NAO3,即可判断;

C.由对称的性质得OAB丝ODC,由全等三角形的性质即可判断;

D.过。作GM_LO”,可得NGOD=NBOH,由对称性质得=同理可证NAOM=/3。”,

即可判断;

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【详解】解:A/OEYOF,

ZBOE+ZBOF=90°,

由对称得ZAOB=ZDOC,

1•点E,厂分别是底边AB,C。的中点,△OAB与ODC都是等腰三角形,

ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,

22

:.ZBOF+ZDOF=90°,

:.OB1OD,结论正确,故不符合题意;

B.NBOC不一定等于3AO3,结论错误,故符合题意;

C.由对称得OAB^ODC,

•.•点E,尸分别是底边AB,CD的中点,

:.OE=OF,结论正确,故不符合题意;

过。作GN_LO”,

:./GOD+ZDOH=90°,

NBOH+NDOH=90°,

ZGOD=ZBOH,由对称得/BOH=NCOH,

:.Z.GOD=Z.COH,

同理可证ZAOM=ZBOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,结论正确,故不符合题意;

故选:B.

【变式1-2](2024.江苏镇江.中考真题)等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为.

【答案】6

【分析】本题考查了等腰三角形的性质,三角形三边关系,熟练掌握分类讨论思想是解题的关键.分两种

情况讨论:当6为一腰长时;当2为一腰长时;分别求出第三条边长,并根据三角形三边关系判断是否能

构成三角形,即可得出答案.

【详解】解:当6为一腰长时,则另一腰长为6,底边长为2,

6+6>2,

,能构成三角形,

■­•第三边长为6;

当2为一腰长时,则另一腰长为2,底边长为6,

2+2v6,

二不能构成三角形,舍去;

综上,第三边长为6,

故答案为:6.

【变式1-3](2024•山东济南・中考真题)如图,已知VABC是等腰直角三角形,ZBAC=90°,顶点

4,8分别在44上,当N1=7O。时,Z2=.

【答案】65。/65度

【分析】本题考查等腰三角形的性质,平行线的性质,根据平行线的性质,得到N3=/l,等边对等角,得

到ZABC=45°,再根据角的和差关系求出Z2的度数即可.

【详解】解:是等腰直角三角形,N54c=90。,

ZABC=ZACB=45°,

,/lt//l2,

:.Z3=Z1=7O°,

Z2=180°-Z3-ZABC=65°;

故答案为:65°.

【变式1-4](2024.四川雅安・中考真题)如图,在VABC和VAZ汨中,AB=AC,ABAC=ZDAE=40°,将

VAZ组绕点A顺时针旋转一定角度,当AD上3C时,一的度数是.

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质,旋转的性质,分两种情况分别画出图形,再结合等腰三角形的

性质与角的和差运算可得答案;

【详解】解:如图,当时,延长AD交BC于J,

VAB=AC,ABAC=ZDAE=40°,

:.ZBAI=ZCAJ=2.0°,

:.ZBAE=20°+40°=60°;

如图,当4。23c时,延长ZM交BC于J,

D

VAB=AC,ABAC=ZDAE=40°,

,ZBAJ=ZCAJ=20°,

:.ZBAE=180°-20°-40°=120°,

故答案为:60。或120。

【中考模拟即学即练】

1.(2025•山东临沂・一模)如图,在同一平面内,将VABC绕点A旋转得到△AB'C',使得CC'〃AB,已

知NACC=75。,则()

【分析】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质,等腰三角形的性质,由AC=AC',先证

ZACC^ZAC'C,然后由CC'〃AB,得到/4CC'=NC4B=75°,再进一步即可解决问题.

【详解】解:由题意得:AC^AC,

:.ZACC'=ZAC'C=15°;

•:CC'//AB,

ZACC'=ZAC'C=ZBAC=75°,

ZCAC=180°-2x75°=30°;

NBAC=NC'AB',

ZBAB'=ZCAC=30°,

:.ZCAB'=75°-30°=45°,

故选:D.

2.(2023•辽宁营口•三模)已知NAOB为一锐角,如图,按下列步骤作图:

①在Q4边上取一点Q,以。为圆心,OD长为半径画弧,交08于点C,连接CO.

②以点。为圆心,长为半径画弧,交02于点E,连接DE.若NCDE=30。,则-403的度数为()

KB

■一,

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】c

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点,掌握等

边对等角,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解答本题的关键.

根据画图过程,得到OD=OC=OE,由等边对等角可得ZAOB=ZDEO,根据三角形内角和

定理与三角形外角的性质可得,ZOCD=1(180°-ZAOB),NOCD=NCDE+/CED=30°+/4O8,贝!]

;(180。-4408)=30。+4403然后求解即可解答.

【详解】解::以。为圆心,OD长为半径画弧,交于点C;以。为圆心,。。长为半径画弧,交OB于

点、E,连接DE,

/.OD=OC=DE,

:.ZODC=ZOCD,ZAOB=NDEO,

■:NOCD=1(180°-ZAOB),ZOCD=Z.CDE+NCED=30°+ZAOB,

1(180°-ZAOB)=30°+ZAOB,

解得:ZAOB^40°.

故选:C.

3.(2024.湖南长沙.模拟预测)如图是一张三角形纸片,其中AB=AC=10,BC=12,按如下步骤折纸:

第一步:将该纸片对折,点B与点C重合,折痕为AD;

第二步:展开后,再将该纸片折叠;折痕为BE,点A的对称点4恰好落在AC上

根据以上折纸过程,可以求出折痕班的长度为()

A.10B.9.8C.9.7D.9.6

【答案】D

【分析】本题主要考查了折叠的性质,三线合一定理,勾股定理,先由折叠的性质得到

ZADB=ZADC=ZAEB=ZAEB=90°,再由三线合一定理得到8D=Cr>=;BC=6,则由勾股定理得到

22

AD=y/AB-BD=8,再根据S^c=^AD-BC=AC-BE进行求解即可.

【详解】解:由折叠的性质可得NADB=NAr>C=NAEB=NA£B=90。,

VAB=AC=10,BC=12,

:.BD=CD=-BC=6,

2

AD=^AB2-BD2=8,

V5AABC=|AD-JBC=|AC-B£,

AC10

故选:D.

4.(2025・湖南•模拟预测)如图,在VABCAB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC右侧作BF//AC,

且=连接CP.若AC=13,3c=10,则四边形的面积为.

【答案】60

【分析】本题考查等边对等角,平行线的性质,角平分线的性质,勾股定理:过点C作四±AB,CNLBF,

根据等边对等角结合平行线的性质,推出=进而得到CM=C7V,得到S耽=S小,进而得

到四边形£»?心的面积等于SABC,设AM=x,勾股定理求出CM的长,再利用面积公式求出VABC的面积

即可.

【详解】解:=

Z.ZABC^ZACB,

,?BF//AC,

:.ZACB=ZCBF,

:.ZABC=NCBF,

8c平分NABP,

过点C作CN工BF,

,:sACE=^AE-CM,SCBF=;BF.CN,S.BF=AE,

••0CBF-2ACE,

四边形£BFC的面积=SCBF+S.CBE=SACE+SCBE=SCBA

,/AC=13,

AB=13,

设贝!]:BM=13-x,

由勾股定理,得:CM2=AC2-AM2=BC2-BM~,

:.132-X2=102-(13-X)2,

SCBA=gAB-CM=60,

二四边形£»吠的面积为60.

故答案为:60.

5.(2025・湖南•模拟预测)如图,在等腰三角形ABC中,NA=4O。,分别以点A,点B为圆心,大于为

2

半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则/D5。的度数为

A

【答案】30。/30度

【分析】本题考查了等边对等角,垂直平分线的性质,三角形内角和定理,掌握等腰等腰三角形的判定和

性质是解题的关键.

根据等腰三角形的性质,三角形内角和定理可得ZABC=/C=70。,由作图可得垂直平分线,则有4。=班>,

所以NDAB=/DB4=40。,再根据=-/054=70。-40。=30。,即可求解.

【详解】解::ABC是等腰三角形,NA=40。,

NABC=ZC=1x(180o-ZA)=1x(180°-40o)=70°,

根据作图可得,是线段48的垂直平分线,

,AD=BD,

:.ADAB=ADBA=^°,

ZDBC=ZABC-Z.DBA=70°-40°=30°,

故答案为:30。.

6.(2024•安徽合肥・三模)如图,在VA5c和VA£»E中,AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,分别

连接80,CE,延长EC交8。于尸.

(1)若NCBD=66。,则ZACE=°;

(2)连接AF,若A尸=3,DF=4,则E尸的长为.

【答案】ill4+3®

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质,作出合理的辅助线构建全

等三角形并熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键.

(1)利用SAS证明四△ACE,根据全等三角形的性质求出/ABD=NACE,根据等腰直角三角形的

性质求出NABC=45。,再根据角的和差求解即可;

(2)过点A作AHLAF,交石厂于“,利用ASA证明Z^AHE^AFD,根据全等三角形的性质求出EH=DF,

AH=AF,根据等腰直角三角形的性质求出=尸,再根据线段的和差求解即可.

【详解】解:(1)ZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

在△板)和△ACE中,

AB=AC

</BAD=ZCAE,

AD=AE

ABD^ACE(SAS),

:.ZABD=ZACEf

ABAC=90°,AB=ACf

:.ZABC=ZACB=45°f

NCBD=66。,

.\ZABD=ZABC+ZCBD=m°f

.-.ZACE=111O,

故答案为:111;

(2)如图,过点A作交EF于H,

ABD冬ACE,

:.ZAEH=ZADF,

在,AHE和△AFD中,

ZEAH=ZDAF

<AE=AD,

ZAEH=ZADF

.\.AHE^AFD(ASA),

:.EH=DF,AH=AF,

FH=6AF,

EF=EH+FH,

:.DF+亚AF=EF,

AF=3,DF=4,

EF=4+3人,

故答案为:4+372.

题型二:等腰三角形的判定

【中考母题学方法】

【典例1】(2024•辽宁・中考真题)如图,四边形A2CZ)中,AD//BC,AD>AB,AD=a,AB=10.以

点A为圆心,以A3长为半径作图,与3c相交于点E,连接AE.以点E为圆心,适当长为半径作弧,分

别与胡,EC相交于点N,再分别以点V,N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在NAEC的

内部相交于点尸,作射线£?,与AQ相交于点尸,则FD的长为(用含。的代数式表示).

【答案】G-10

【分析】本题考查了作图-作角平分线,平行线的性质,等腰三角形的判定,熟练掌握知识点是解题的关

键.

利用基本作图得到AE=AB=1O,EF平分NAEC,,接着证明=得到W=9=10,然后

利用£D=AD-AF求解.

【详解】解:由作法得AE=AB=1。,EF平分NAEC,

:.ZAEF=/CEF,

•:AD//BC,

:.ZAFE=/CEF,

;•ZAEF=ZAFE,

肝=小=10,

FD=AD-AF=a-10.

故答案为:a-10.

【变式2-1](2024.浙江・中考真题)如图,D,E分别是VABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.若

ZAED=/BEC,DE=2,则BE的长为

【答案】4

【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定,由三角形中位线定理得

DE//BC,BC=2DE=4,得出NC=NAED=NBEC,得出BE=BC=4

【详解】解::。,E分别是VA3C边A3,AC的中点,

/.DE是VABC的中位线,

DE//BC,BC=2DE=4,

/.NAED=NC,

•:ZAED=NBEC,

:.NC=NBEC,

BE=BC=4,

故答案为:4

【变式2-2](2024・四川自贡・中考真题)如图,在VABC中,DE//BC,/EDF=NC.

⑴求证:ZBDF=ZA;

⑵若Z4=45。,DF平济NBDE,请直接写出VABC的形状.

【答案】(1)见解析

(2)VABC是等腰直角三角形.

【分析】本题考查了平行线的判定和性质,等腰直角三角形的判定.

(1)由平行证明/4£D=/C,由等量代换得到ZEDF=N4£D,利用平行线的判定“内错角相等,两直线平

行''证明D尸〃AC,即可证明/BDF=NA;

(2)利用平行线的性质结合角平分线的定义求得N9加=90。,1B90?,据此即可得到VABC是等腰直角

三角形.

【详解】(1)证明::£>E〃3C,

ZAED=ZC,

•:/EDF=ZC,

ZEDF^ZAED,

:.DF//AC,

;•ZBDF^ZA;

(2)解:VABC是等腰直角三角形.

ZBDF^ZA,

:.ZBDF=ZA=45°,

":DF平分NBDE,

:.ZBDE=2ZBDF=9cp,

':DE//BC,

:.ZB=l80°-ZBDE=90°,

ZC=180°-ZA-ZB=45°=ZA,

VABC是等腰直角三角形.

【中考模拟即学即练】

1.(2024・辽宁・模拟预测)如图,在平行四边形ABC。中,BE平分ZABC交AD于点E,CF平分NBCD交

AD于点孔若BC=7,EF=1,则A3为()

A.4B.3.5C.3D.2.5

【答案】A

【分析】本题考查平行四边形的性质,等腰三角形的判定,平行线的性质,平行线与角平分线相结合可得

AE=AB,DF=CD,再结合平行四边形的性质即可求解.

【详解】解::四边形ABCD是平行四边形,

AB=CD,AD//BC,AD=BC=1

:.ZAEB=ZCBE,ZCFD=ZBCF,

:BE平分/ABC,C尸平分/BCD,

ZABE=NCBE,ZDCF=ZBCF,

:.ZABE=ZAEB,ZDCF=ZCFD,

AE=AB,DF=CD,

:.AB=AE=AD-DE=AD-(DF-EF)=AD-AB+EF=J~AB+1,

:.AB=4.

故选:A

2.(2024•海南三亚.二模)如图,跖是VABC的中位线,BD平分/ABC交EF于点、D,若AE=2,DF=1,

则边8c的长为()

【答案】B

【分析】本题考查了三角形中位线定理、角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边,由三角形中位线

定理得出3E=AE=2,EF//BC,BC=2EF,由平行线的性质结合角平分线的定义得出=,

由等角对等边得出DE=3E=2,求出跖的长即可得解.

【详解】解:跖是VA3C的中位线,

:.BE=AE=2,EF//BC,BC=2EF,

ZEDB=ZCBD,

3D平分/ABC,

:.ZEBD=ZCBD,

:.ZEBD=ZEDB,

:.DE=BE=2,

:.EF=DE+DF=2+1=3,

:.BC=2EF=6,

故选:B.

3.(22-23八年级上•江苏扬州•期末)小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在-AO3上,两把直尺的

接触点为尸,边04与其中一把直尺边缘的交点为C,则OC的长度是

【答案】3

【分析】本题考查角平分线的判定,平行线性质及等角对等边.根据图形可得。尸是的角平分线,

再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案;

【详解】解:作尸PF±OB,

由题意可得,如图所示,

,:PE=PF,PE±OC,PFVOB,

:.ZPOE=ZPOF,

,/CP//OB,

ZCPO^ZPOF,

:.ZCPO=ZPOE,

:.OC=PC,

•.•点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5,

OC=PC=5-2=3,

故答案为:3.

4.(2024.陕西咸阳・模拟预测)如图,在VABC中,AD平分NBAC,庞〃47交AB于点E,若。E=应,

BE=2DE,则AB的长为.

【答案】3拒

【分析】此题考查了平行线的性质,角平分线的概念和等边对等角,解题的关键是掌握以上知识点.

首先根据平行线的性质和角平分线的概念得到NEW=N£ZM,进而得到OE=AE=应,然后结合

8E=2£>E求解即可.

【详解】:4£)平分2区4。,

NEAD=NCAD

DE//AC

:.ZEDA=ZCAD

:.ZEAD=ZEDA

DE=AE=y[i

BE=2DE=272

;•AB=BE+AE=3s/2.

故答案为:3叵.

5.(2024・湖南长沙•二模)如图,在VABC中,/ABC和—ACB的平分线交于点E,过点E作肱V〃3C交

于M,交AC于N,若BM+CN=8,则线段MN的长为.

【答案】8

【分析】本题考查学生对等腰三角形的判定和平行线性质.由角平分线的定义得NMBE=NE3C,

/ECN=NECB,利用两直线平行,内错角相等,利用等量代换可得=ZNEC=/ECN,

然后即可求得结论.解题的关键是证明目以=也,EN=CN.

【详解】解::/ABC和—ACS的平分线交于点E,BM+CN^S,

:.ZMBE=ZEBC,NECN=NECB,

MN//BC,

:.NEBC=NMEB,ZNEC=NECB,

:.NMBE=/MEB,ZNEC=/ECN,

:.BM=ME,EN=CN,

:.MN=ME+EN=BM+CN=8,

二线段MN的长为8.

故答案为:8.

6.(2024.山西太原•二模)如图,在,ABCD中,按照如下尺规作图的步骤进行操作:①以点8为圆心,以

适当长为半径画弧,分别与AB,3c交于点E,F;②分别以E,歹为圆心,以适当长为半径画弧,两弧

交于点G,作射线2G,与边AD交于点H;③以8为圆心,54长为半径画弧,交于边3c于点M.若AB=5,

BH=8,则点A,M之间的距离为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】本题考查了作图-基本作图,菱形的判定与性质,勾股定理,证明四边形是菱形是解题的

关键.连接40、MH,设AM交初于点。,根据题意证明四边形是菱形,从而得出03的长,

再根据勾股定理即可得出结果.

【详解】解:如图,连接AM、MH,设A"交3”于点0,

由题意可知,5"是/ABC的角平分线,

ZABH=NCBH,

又「四边形ASCZ)是平行四边形,

:.AD//BC,

ZAHB=ZCBH,

:.ZABH=ZAHB,

:.AB=AH,

,以8为圆心,54长为半径画弧,交于边BC于点

:.AB=BM,

:.AH=BM,

又AH〃BM,

二四边形是平行四边形,

又AB=AH,

四边形是菱形,

,OB=OH=;BH=4,OA^OM,

.-.ZAOB=90°,

OA=^AB2-OB2=452—4?=3,

.-.AM=2OA=6,

故选:B

7.(23-24九年级下•宁夏中卫•期中)如图是由边长为1的小正方形组成的9义6网格,点A,B,C,D,E,

尸均在格点上.下列结论:

①连接BD,点A与点F关于BD成轴对称;

②连接BC,BF,CF,则V3C尸是等腰三角形;

③连接反,点B,E到线段AF的距离相等.

其中,正确结论的序号是.

【答案】①②③

【分析】本题考查轴对称,勾股定理,三角形全等的判定与性质,等腰三角形性质及应用等,根据轴对称

概念,全等三角形判定与性质,点到直线的距离等逐个判断.解题的关键是根据描述,正确的画图,熟练

掌握相关知识点.

由图可知,AD=DF=5,AB=BF=Vl2+42=>/Y7,

•/BD=BD,

.•…ABD^FBD(SSS),

点A与点/关于RD成轴对称,故①正确;

FC=30,

...VBC尸是等腰三角形,故②正确;

如图,连接AF,AE,AB,BF,

设点B,E到线段"的距离分别为小,h2.

由图可知,^AABF=~X5x5—1x1——xlx4——xlx4=—=—AF-4,

乙乙乙乙乙

£FA£)=x3x5==

SAAEF=11yA,

S&iBFS/XAEF,则=色,

.•.点8,E到线段AF的距离相等,故③正确;

综上,正确的有①②③;

故答案为:①②③.

8.(2024•海南海口•一模)如图,在RfABC中,ZC=90°,AC=4,8c=3,点。是AC边上的一点,过

点。作DRAB,交BC于点、F,作4c的平分线交O尸于点E,连接8E.若ABE的面积是2,则点E

r)p

到力B的距离为当的值是

【分析】本题考查的知识点是勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等角对等边,解题关

键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.

先根据勾股定理求出48,即可分别用三角形面积公式推得点C至!MB的距离和点E到48的距离,再根据

DFA8判定AQ/S即可推得相似比,从而由相似三角形的性质得到挈=勺=],由AE平分

CAAB3

4

ZBAC和。尸48可得NO4£=Z4£D,根据等角对等边推得DE=A。=§后即可得解.

【详解】解:及ABC中,AB^\lAC2+BC2-732+42=5-

点C至!MB的距离h=40产=号,

AB5

SA6E=]XA3x4=2,

4

二点七到48的距离4=g,

1o4R

•••点C到。产的距离饱=打一y=

DFAB,

2

:.CDFs_CAB,且相似比为他:力=§,

CDDF2

"CA~AB~3"

.•.CD=-x4=-,DF=-x5=—

3333f

4

AD=AC-CD=~,

3

AE平分/B4C,

:.ZBAE=ZDAE,

DFAB,

:.ZBAE=ZAED,

即NZME=NAED,

4

:.DE=AD=-,

3

104

:.EF=DF-DE=-------=2,

33

4

•竺=3=2.

'EF23

47

故答案为:■—;--

53

9.(2024・湖南长沙•模拟预测)如图,在VA3C中,。是A5边的中点,。是CO上一点,AE〃BD交CO的

(1)求证:AE=BD-,

(2)若NACB=90。,ZBDO=ACAO,AC=6,求BD的长.

【答案】(1)见解析;

⑵6.

【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般,平行线的性

质,等角对等边以及中点定义,熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键.

(1)由。是43边的中点,得=,由AE〃BD,得/E=/BDO,NOAE=NOBD,可得

一。1E—O3D(AAS),即可证明结论成立;

(2)由。是A3边的中点,ZACB=90°,^AO=BO=OC,进而NACO=NC4O,由(1)BD=AE,

NBDO=NE,由N5DO=NC4O,得—>=/C4O=ZE*,从而AC=AE=6,进而即可得解.

【详解】(1)证明:・・・0是A3边的中点,

AAO=BO.

又「AE//BD,

;.NE=/BDO,/OAE=NOBD,

在△OAE1与06。中,

ZE=NBDO

<ZOAE=ZOBD,

OA=OB

.・・_。4£丝O5D(AAS)

:.AE=BD;

(2)解:TO是AB边的中点,ZACB=9Q°f

:.AO=BO=OC=-AB.

2

:.ZACO=ZCAO.

_OAE^OBO(AAS),

:・BD=AE,NBDO=/E,

•「ZBDO=ZCAO,

:.^ACO=^CAO=^E,

:.AC=AE=6,

BD-AE=6.

10.(2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测)已知:ACLBC,AD±BD,AC=BD.

(1)如图1,求证:AD=BC;

⑵如图2,AC交BD于点E,连接C。,若/DEC=135。,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图

中所有的等腰三角形.

【答案】(1)见解析

⑵YADE,CDE,ABE,BCE

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,等角对等边等等:

(1)只需要证明RtABC丝Rta4D(HL),即可证明AO=3C;

(2)由平角的定义得到NA£D=N3EC=45。,则可证明△&£>£,△3EC都是等腰直角三角形,由全等三角

形的性质得到=则E4=EB,进而可得ED=EC,则可证明八4£5,AECD都是等腰三角形.

【详解】(1)证明:VACLBC,ADLBD,

ZD=ZC=90°,

XVAC^BD,AB^BA,

:.Rt.ABC丝RtBAD(HL),

AD=BC;

(2)解:;ZDEC=135。,

:.ZAED=NBEC=180°-ZDEC=45°,

"="=90。,

AADE,△BEC都是等腰直角三角形,

,?RtAABC^RtABAD,

ZEAB=ZEBA,

EA=EB,

又•:AC=BD,

:.ED=EC,

:.AAEB,△ECD都是等腰三角形.

综上所述,NADE,二CDE,.ABE,3CE都是等腰三角形.

题型三:等腰三角形的构造与个数问题

【中考母题学方法】

【典例1】(2023・吉林•中考真题)图①、图②、图③均是5x5的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,

线段4B的端点均在格点上.在图①、图②、图③中以4B为边各画一个等腰三角形,使其依次为锐角三角形、

直角三角形、钝角三角形,且所画三角形的顶点均在格点上.

【答案】见解析

【分析】根据勾股定理可得AB=«,结合题意与网格的特点分别作图即可求解.

【详解】解:如图所示,

如图①,47=他=々+22=6,则VA3C是等腰三角形,且VABC是锐角三角形,

如图②,AD=AB=Vl2+22=75-BD=A/12+32=710>则⑷垢+^^^二皮八则△ABD是等腰直角三角

形,

如图③,AE=AB=VI2+22=75>贝!LABE是等腰三角形,且一钻“是钝角三角形,

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题,等腰三角形的定义,熟练掌握勾股定理是解题的关键.

【典例2X2023•浙江宁波・中考真题)在4X4的方格纸中,请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).

(1)在图1中先画出一个以格点尸为顶点的等腰三角形上4B,再画出该三角形向右平移2个单位后的.PA3'.

(2)将图2中的格点VABC绕点C按顺时针方向旋转90。,画出经旋转后的△A?C.

【答案】(1)画图见解析

(2)画图见解析

【分析】(1)先画等腰三角形/R,PA=PB,再确定平移后的对应点,再顺次连接即可;

(2)确定A,2旋转后的对应点,而C的对应点是其本身,再顺次连接即可.

【详解】(1)解:如图,_PAB,_P'A3'即为所求作的三角形;

图1

(2)如图,△A'2'C即为所求作的三角形,

【点睛】本题考查的是平移,旋转的作图,作等腰三角形,熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行

作图是解本题的关键.

【典例3】如图,在平面直角坐标系中,直线与反比例函数y=X(x>0)的图象交于点A(a,l),将直线Q4

6x

Q

向上平移]个单位,与y轴交于点c,与双曲线交于点B.

⑴求反比例函数和直线3c的表达式;

(2)求点8的坐标;

(3)在x轴上是否存在一点尸,使..R4B是以为腰的等腰三角形,若存在,求出点尸坐标;若不存在,请

说明理由.

【答案】⑴反比例函数的表达式为y4,直线5c的表达式为尸*|

⑵8(2,3)

(3)存在,点P坐标为(3,0)或(6±晒,0)

1k

【分析】(1)把点A的坐标代入y=中,求得〃的值,再代入y=*中,求得左的值,即得反比例函数的

6X

Q

表达式,再根据直线。4向上平移三个单位,即可求得直线BC的表达式;

(2)因2是直线BC与双曲线的交点,故得方程!苫+当=自,求解方程,即得答案;

63元

(3)设PQ,0),分上4=PB和B4=BA两种情况,分别列方程求解,即得答案.

【详解】(1)把A3D代入中,得1=卜,

解得。=6,

/.A(6,l),

.,.k=1x6=6,

6

•••)=一,

x

Q

BC//OA,且直线Q4向上平移]个单位,

1Q

・・・直线3C表达式为丁=1+~

63

(2)由题意得:—x+—=—,

63x

x2+16x—36=0,

,%=2,々=—18(舍去),

>=3,

/.3(2,3);

(3)设尸。,0),

当a=依时,(6—£)2+(1—0)2=«一2)2+(0—3门,

解得,=3,

/.P(3,0);

当PA=B4时,(6—21+(1—3>=(6-)2+”0)2,

解得t=6±y/19,

P(6±719,0);

综上所述,点。坐标为(3,。)或(6土M,0).

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题,求一次函数与反比例函数的解析式,一次函

数的平移,直线上与已知两点组成等腰三角形的点的探求等知识,熟练掌握相关知识是解答本题的关键.

【变式3-1](2024•贵州毕节•一模)点A,B在直线/同侧,若点C是直线/上的点,且VABC是等腰三角

形,则这样的点C最多有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】A

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质,先以A点为圆心,为半径作弧交直线/于点C|、C2,再

先以8点为圆心,胡为半径作弧交直线/于点C,C4,最后作A3的垂直平分线交直线/于点C5.

【变式3-2](2023•贵州遵义•三模)四边形A3CD是平行四边形,下列尺规作图不能得到等腰三角形板的

是()

【分析】分析每个选项的尺规作图,进一步判断是否又等腰三角形即可.

【详解】A.根据作图痕迹可知,破为NABC的角平分线,故ZABE=NEBC,根据平行线的性质可得,

ZEBC=ZAEB,即=4比B,故。母为等腰三角形,A不符合题意;

B.根据作图痕迹可知,点8,E在以A为圆心,A3的长为半径的圆上,故=即二ME为等腰三

角形,B不符合题意;

C.根据作图痕迹可知,令—540的角平分线与3C交于点如图,则=根据平行线的

性质可得,ZEAM=ZAMB,即NS4M=故为等腰三角形;根据作图痕迹可知,以点8为

圆心,画弧,与AM边交于两点,分别以该两点为圆心,画弧交于一点,连接该点与点8,延长交于点

E,故BE为—ABC的角平分线,故ZABE=NEBC,根据平行线的性质可得,/EBC=ZAEB,即

ZABE^ZAEB,故ABE为等腰三角形,C不符合题意;

D.作图痕迹没有依据,D符合题意.

故选:D.

【点睛】本题考查尺规作图——角平分线,等腰三角形的性质等,解题的关键是根据做图痕迹进行判断.

【变式3-3](2024•河北邯郸・三模)如图中的点都在格点上,使△AB"("为1~4的整数)不是轴对称图形

的点是()

P:B

A

A.AB.P2C.P3D.舄

【答案】B

【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别,等腰三角形的定义,勾股定理,根据网格的特点和勾股定理

可得△AB%ZXAB舄都是等腰三角形,而△42鸟不是等腰三角形,再根据轴对称图形的定义即可

得到答案.

【详解】解:根据网格的特点和勾股定理可得△ABG△ABB,△A2A都是等腰三角形,即这三个三角形

都是轴对称图形,

鸟不是轴对称图形,

故选:B.

【中考模拟即学即练】

32.(2023•浙江台州•一模)观察下列尺规作图的痕迹,不能判断VABC是等腰三角形的是().

AAA

A.B,B

c,瓦

【答案】D

【分析】根据基本的作图方法,结合等腰三角形的判定,逐一进行判断,即可得到答案.

【详解】解:A、根据一个角等于已知角的作法可知NB=NC,VABC是等腰三角形,不符合题意,选项错

误;

B、根据垂直平分线的作法可知钻=AC,VABC是等腰三角形,不符合题意,选项错误;

C、根据过直线外一点作平行线的作法可知,AC//BD,ZACB=ZCBD,

根据角平分线的作法可知,ZABC=ZCBD,

:.ZABC^ZACB,VA3C是等腰三角形,不符合题意,选项错误;

D、不能判断VABC是等腰三角形,符合题意,选项正确,

故选D.

【点睛】本题考查了作图一复杂作图,等腰三角形的判定等知识,掌握基本作图方法是解题关键.

4.(2023•内蒙古呼伦贝尔•一模)如图,抛物线y=-£+4x-3与x轴交于A,8两点(点A在点8左侧),

与y轴交于点C,连接BC.

(1)直接写出抛物线与无轴的交点坐标及直线BC的解析式;

(2)点尸是3C上方抛物线上一点,当以PBC=S3c时,求出点P的坐标(不与点A重合);

(3)在抛物线的对称轴上存在点使4M4c是等腰三角形,请直接写出此时点M的坐标.

【答案】(1)A(1,O),8(3,0),直线3c的解析式y=x-3,

(2)(2,1)

(3)(2,-3)或(2,-2)或(2,-3+#)或(2,-3-指),

【分析】(1)分别令>=0和尤=0,即可求点A、B、C的坐标,进而利用待定系数法求出直线3C的解析

式;

(2)先求出VABC的面积,可求△P3C的面积为3,从而可以求出尸的纵坐标,代入抛物线解析式即可求

出P的坐标;

(3)在抛物线的对称轴上点M坐标为(2,y),根据坐标系中两点距离公式结合等腰三角形的定义列方程求

解即可.

【详解】(1)解:令尸0,得:

—X2+4%—3=0,

解得:玉=1,%=3,

••.A(l,0),5(3,0),

令%=0,得:

k-3,

AC(0,-3),

.•.点A、B、。的坐标分别为:41,0)、5(3,0)、C(0,-3).

设直线5C的解析式为>二丘+6,可得:

3左+6=0k=l

b-,解得:

b=—3’

...直线BC的解析式为y=x-3,

(2)SAABC=|AB-OC=1X(3-1)X3=3,

‘PBC=245c=3,

过点P作轴,交BC于点H,设点尸的横坐标为〃,则有尸(。,-/+4〃-3),H(a,a-3),

PH=(_〃2+4〃_3)—(Q—3)=一片+3a

*'SPBC=SPHC+SPHB=-PHXP+—PH\XB-XP)=—PHXB

19、

—x3(-ci+3Q)=3,

••Q]—1,a2=2,

当a=l时,y=0,此时与点A重合,

当。=2时,y=-22+4x2-3=l,

二点尸的坐标为:(2,1).

(3);抛物线,=-/+4工-3=-。-2)2+1,

.••抛物线对称轴为直线x=2,

设在抛物线的对称轴上点M坐标为(2,y),

VA(l,0),C(0,-3).

/.AC2=12+32=10,

AM2=(1-2)2+/=1+/,

CM2=22+(y+3)2=y2+6^+13,

当AC=AW时,1+/=10,解得:y=±3,即点Af坐标为(2,3)或(2,-3),

当点M坐标为(2,3)时,AM=710,CM=2A/10,AC=V10,不能构成三角形,故M(2,3)舍去;

当AC=CM时,/+6y+i3=10,解得:y^-3+46,即点M坐标为(2,-3+«)或(2,-3-痛),

当4W=C0时,/+6y+i3=l+y2,解得:y=_2,即点/坐标为(2,-2),

综上所述:点M坐标为(2,-3)或(2,-2)或⑵一3+")或(2,-3-76),

【点睛】本题是二次函数综合题,考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求

函数解析式、勾股定理、三角形的面积等知识,解题(3)的关键是根据点距离公式结合等腰三角形的定义

列方程求解.

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