特殊三角形的常考题型（8大热考题型）解析版-2025年中考数学一轮复习知识清单

难点04特殊三角形的常考题型

（8大热考题型）

麴型盘点N

题型一：等腰三角形的性质

题型二：等腰三角形的判定

题型三：等腰三角形的构造与个数问题

题型四：等腰三角形的性质与判定的综合问题

题型五：等边三角形的性质与判定的综合

题型六：含有30。锐角的直角三角形

题型七：斜边上的中线

题型八：勾股定理及其应用

.睛淮堤分

题型一：等腰三角形的性质

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•江苏苏州・中考真题）如图，VABC中，AB=AC,分别以8,C为圆心，大于;长为

半径画弧，两弧交于点。，连接CD,AD,AD与交于点E.

（1）求证：△ABD9△AGO；

⑵若8£>=2,ZBDC=120°,求BC的长.

【答案】（1）见解析

(2)BC=2A/3

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是:

（1）直接利用SSS证明9△ACD即可；

（2）利用全等三角形的性质可求出NB/M=NCZM=60。，利用三线合一性质得出ZM_L3C,BE=CE,在

Rt△血组中，利用正弦定义求出8E,即可求解.

【详解】（1）证明：由作图知：BD=CD.

在和，ACE>中，

AB=AC,

<BD=CD,

AD=AD.

.•△ABD当"CD.

（2）解：ABDgACD,ZBDC=120°,

:.ZBDA=ZCDA=60°.

又•，BD=CD,

:.DA1.BC,BE=CE.

BD=2,

:.BE=BDsinZBDA=2x—=y/3,

2

BC=2BE=2A/3.

【变式1-1］（2024•福建・中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其

中△OA3与。。DC都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点E,尸分别是底边AB,C。的中点，

OEVOF.下列推断错误的是（）

A.OBVODB./BOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

【答案】B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

A.由对称的性质得NAO3=NOOC,由等腰三角形的性质得ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,即可

22

判断;

B./BOC不一定等于NAO3,即可判断；

C.由对称的性质得OAB丝ODC,由全等三角形的性质即可判断；

D.过。作GM_LO”，可得NGOD=NBOH,由对称性质得=同理可证NAOM=/3。”,

即可判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【详解】解：A/OEYOF,

ZBOE+ZBOF=90°,

由对称得ZAOB=ZDOC,

1•点E,厂分别是底边AB,C。的中点，△OAB与ODC都是等腰三角形，

ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,

22

:.ZBOF+ZDOF=90°,

:.OB1OD,结论正确，故不符合题意；

B.NBOC不一定等于3AO3,结论错误，故符合题意；

C.由对称得OAB^ODC,

•.•点E,尸分别是底边AB,CD的中点，

:.OE=OF,结论正确，故不符合题意；

过。作GN_LO”,

:./GOD+ZDOH=90°,

NBOH+NDOH=90°,

ZGOD=ZBOH,由对称得/BOH=NCOH,

:.Z.GOD=Z.COH,

同理可证ZAOM=ZBOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,结论正确，故不符合题意;

故选：B.

【变式1-2]（2024.江苏镇江.中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为.

【答案】6

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键.分两种

情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能

构成三角形，即可得出答案.

【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6,底边长为2,

6+6>2,

,能构成三角形，

■­•第三边长为6；

当2为一腰长时，则另一腰长为2,底边长为6,

2+2v6,

二不能构成三角形，舍去；

综上，第三边长为6,

故答案为：6.

【变式1-3]（2024•山东济南・中考真题）如图，已知VABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,顶点

4,8分别在44上，当N1=7O。时，Z2=.

【答案】65。/65度

【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到N3=/l,等边对等角，得

到ZABC=45°,再根据角的和差关系求出Z2的度数即可.

【详解】解：是等腰直角三角形，N54c=90。，

ZABC=ZACB=45°,

,/lt//l2,

：.Z3=Z1=7O°,

Z2=180°-Z3-ZABC=65°；

故答案为：65°.

【变式1-4］（2024.四川雅安・中考真题）如图，在VABC和VAZ汨中，AB=AC,ABAC=ZDAE=40°,将

VAZ组绕点A顺时针旋转一定角度，当AD上3C时，一的度数是.

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的

性质与角的和差运算可得答案;

【详解】解：如图，当时，延长AD交BC于J,

VAB=AC,ABAC=ZDAE=40°,

：.ZBAI=ZCAJ=2.0°,

：.ZBAE=20°+40°=60°；

如图，当4。23c时，延长ZM交BC于J,

D

VAB=AC,ABAC=ZDAE=40°,

，ZBAJ=ZCAJ=20°,

：.ZBAE=180°-20°-40°=120°,

故答案为：60。或120。

【中考模拟即学即练】

1.（2025•山东临沂・一模）如图，在同一平面内，将VABC绕点A旋转得到△AB'C',使得CC'〃AB,已

知NACC=75。，则（）

【分析】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，等腰三角形的性质，由AC=AC',先证

ZACC^ZAC'C,然后由CC'〃AB,得到/4CC'=NC4B=75°,再进一步即可解决问题.

【详解】解：由题意得：AC^AC,

:.ZACC'=ZAC'C=15°；

•：CC'//AB,

ZACC'=ZAC'C=ZBAC=75°,

ZCAC=180°-2x75°=30°；

NBAC=NC'AB',

ZBAB'=ZCAC=30°,

：.ZCAB'=75°-30°=45°,

故选：D.

2.（2023•辽宁营口•三模）已知NAOB为一锐角，如图，按下列步骤作图：

①在Q4边上取一点Q,以。为圆心，OD长为半径画弧，交08于点C,连接CO.

②以点。为圆心，长为半径画弧，交02于点E,连接DE.若NCDE=30。，则-403的度数为（）

KB

■一,

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】c

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，掌握等

边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解答本题的关键.

根据画图过程，得到OD=OC=OE,由等边对等角可得ZAOB=ZDEO,根据三角形内角和

定理与三角形外角的性质可得，ZOCD=1(180°-ZAOB),NOCD=NCDE+/CED=30°+/4O8,贝！］

；(180。-4408)=30。+4403然后求解即可解答.

【详解】解：：以。为圆心，OD长为半径画弧，交于点C；以。为圆心，。。长为半径画弧，交OB于

点、E,连接DE,

/.OD=OC=DE,

：.ZODC=ZOCD,ZAOB=NDEO,

■：NOCD=1(180°-ZAOB),ZOCD=Z.CDE+NCED=30°+ZAOB,

1(180°-ZAOB)=30°+ZAOB,

解得：ZAOB^40°.

故选：C.

3.(2024.湖南长沙.模拟预测)如图是一张三角形纸片，其中AB=AC=10,BC=12,按如下步骤折纸:

第一步：将该纸片对折，点B与点C重合，折痕为AD；

第二步：展开后，再将该纸片折叠；折痕为BE,点A的对称点4恰好落在AC上

根据以上折纸过程，可以求出折痕班的长度为()

A.10B.9.8C.9.7D.9.6

【答案】D

【分析】本题主要考查了折叠的性质，三线合一定理，勾股定理，先由折叠的性质得到

ZADB=ZADC=ZAEB=ZAEB=90°,再由三线合一定理得到8D=Cr>=；BC=6,则由勾股定理得到

22

AD=y/AB-BD=8，再根据S^c=^AD-BC=AC-BE进行求解即可.

【详解】解：由折叠的性质可得NADB=NAr>C=NAEB=NA£B=90。，

VAB=AC=10,BC=12,

：.BD=CD=-BC=6,

2

AD=^AB2-BD2=8，

V5AABC=|AD-JBC=|AC-B£,

AC10

故选：D.

4.（2025・湖南•模拟预测）如图，在VABCAB=AC,E是边AB上一点，连接CE,在BC右侧作BF//AC,

且=连接CP.若AC=13,3c=10,则四边形的面积为.

【答案】60

【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点C作四±AB,CNLBF,

根据等边对等角结合平行线的性质，推出=进而得到CM=C7V,得到S耽=S小，进而得

到四边形£»?心的面积等于SABC，设AM=x，勾股定理求出CM的长，再利用面积公式求出VABC的面积

即可.

【详解】解：=

Z.ZABC^ZACB,

,?BF//AC,

：.ZACB=ZCBF,

：.ZABC=NCBF,

8c平分NABP,

过点C作CN工BF,

,:sACE=^AE-CM,SCBF=；BF.CN,S.BF=AE,

••0CBF-2ACE，

四边形£BFC的面积=SCBF+S.CBE=SACE+SCBE=SCBA

,/AC=13,

AB=13,

设贝!］：BM=13-x,

由勾股定理，得：CM2=AC2-AM2=BC2-BM~,

：.132-X2=102-(13-X)2,

SCBA=gAB-CM=60,

二四边形£»吠的面积为60.

故答案为：60.

5.（2025・湖南•模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，NA=4O。，分别以点A,点B为圆心，大于为

2

半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则/D5。的度数为

A

【答案】30。/30度

【分析】本题考查了等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握等腰等腰三角形的判定和

性质是解题的关键.

根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得ZABC=/C=70。，由作图可得垂直平分线，则有4。=班＞,

所以NDAB=/DB4=40。，再根据=-/054=70。-40。=30。，即可求解.

【详解】解：：ABC是等腰三角形，NA=40。，

NABC=ZC=1x(180o-ZA)=1x(180°-40o)=70°,

根据作图可得，是线段48的垂直平分线，

,AD=BD,

：.ADAB=ADBA=^°,

ZDBC=ZABC-Z.DBA=70°-40°=30°,

故答案为：30。.

6.(2024•安徽合肥・三模)如图，在VA5c和VA£»E中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,分别

连接80,CE,延长EC交8。于尸.

(1)若NCBD=66。，则ZACE=°；

(2)连接AF,若A尸=3,DF=4,则E尸的长为.

【答案】ill4+3®

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全

等三角形并熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键.

(1)利用SAS证明四△ACE,根据全等三角形的性质求出/ABD=NACE,根据等腰直角三角形的

性质求出NABC=45。，再根据角的和差求解即可；

（2）过点A作AHLAF,交石厂于“，利用ASA证明Z^AHE^AFD,根据全等三角形的性质求出EH=DF,

AH=AF,根据等腰直角三角形的性质求出=尸，再根据线段的和差求解即可.

【详解】解：（1）ZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

在△板）和△ACE中，

AB=AC

</BAD=ZCAE,

AD=AE

ABD^ACE（SAS）,

:.ZABD=ZACEf

ABAC=90°,AB=ACf

:.ZABC=ZACB=45°f

NCBD=66。,

.\ZABD=ZABC+ZCBD=m°f

.-.ZACE=111O,

故答案为：111;

（2）如图，过点A作交EF于H,

ABD冬ACE,

:.ZAEH=ZADF,

在，AHE和△AFD中,

ZEAH=ZDAF

<AE=AD,

ZAEH=ZADF

.\.AHE^AFD（ASA）,

:.EH=DF,AH=AF,

FH=6AF，

EF=EH+FH,

:.DF+亚AF=EF,

AF=3,DF=4,

EF=4+3人，

故答案为：4+372.

题型二：等腰三角形的判定

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•辽宁・中考真题）如图，四边形A2CZ）中，AD//BC,AD>AB,AD=a,AB=10.以

点A为圆心，以A3长为半径作图，与3c相交于点E,连接AE.以点E为圆心，适当长为半径作弧，分

别与胡，EC相交于点N,再分别以点V,N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在NAEC的

内部相交于点尸，作射线£?，与AQ相交于点尸，则FD的长为（用含。的代数式表示）.

【答案】G-10

【分析】本题考查了作图-作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关

键.

利用基本作图得到AE=AB=1O，EF平分NAEC,,接着证明=得到W=9=10,然后

利用£D=AD-AF求解.

【详解】解：由作法得AE=AB=1。，EF平分NAEC,

：.ZAEF=/CEF,

•：AD//BC,

：.ZAFE=/CEF,

；•ZAEF=ZAFE,

肝=小=10,

FD=AD-AF=a-10.

故答案为：a-10.

【变式2-1］（2024.浙江・中考真题）如图，D,E分别是VABC边AB,AC的中点，连接BE,DE.若

ZAED=/BEC,DE=2,则BE的长为

【答案】4

【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得

DE//BC,BC=2DE=4,得出NC=NAED=NBEC,得出BE=BC=4

【详解】解：：。，E分别是VA3C边A3,AC的中点，

/.DE是VABC的中位线，

DE//BC,BC=2DE=4,

/.NAED=NC,

•：ZAED=NBEC,

：.NC=NBEC,

BE=BC=4,

故答案为：4

【变式2-2］（2024・四川自贡・中考真题）如图，在VABC中，DE//BC,/EDF=NC.

⑴求证：ZBDF=ZA；

⑵若Z4=45。，DF平济NBDE,请直接写出VABC的形状.

【答案】（1）见解析

（2）VABC是等腰直角三角形.

【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定.

(1)由平行证明/4£D=/C,由等量代换得到ZEDF=N4£D,利用平行线的判定“内错角相等，两直线平

行''证明D尸〃AC,即可证明/BDF=NA；

(2)利用平行线的性质结合角平分线的定义求得N9加=90。，1B90?,据此即可得到VABC是等腰直角

三角形.

【详解】(1)证明：：£>E〃3C,

ZAED=ZC,

•：/EDF=ZC,

ZEDF^ZAED,

：.DF//AC,

；•ZBDF^ZA；

(2)解：VABC是等腰直角三角形.

ZBDF^ZA,

：.ZBDF=ZA=45°,

"：DF平分NBDE,

：.ZBDE=2ZBDF=9cp,

'：DE//BC,

：.ZB=l80°-ZBDE=90°,

ZC=180°-ZA-ZB=45°=ZA,

VABC是等腰直角三角形.

【中考模拟即学即练】

1.(2024・辽宁・模拟预测)如图，在平行四边形ABC。中，BE平分ZABC交AD于点E,CF平分NBCD交

AD于点孔若BC=7,EF=1,则A3为()

A.4B.3.5C.3D.2.5

【答案】A

【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，平行线与角平分线相结合可得

AE=AB,DF=CD,再结合平行四边形的性质即可求解.

【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形，

AB=CD,AD//BC,AD=BC=1

：.ZAEB=ZCBE,ZCFD=ZBCF,

：BE平分/ABC,C尸平分/BCD,

ZABE=NCBE,ZDCF=ZBCF,

：.ZABE=ZAEB,ZDCF=ZCFD,

AE=AB,DF=CD,

：.AB=AE=AD-DE=AD-（DF-EF）=AD-AB+EF=J~AB+1,

：.AB=4.

故选：A

2.（2024•海南三亚.二模）如图，跖是VABC的中位线，BD平分/ABC交EF于点、D,若AE=2,DF=1,

则边8c的长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了三角形中位线定理、角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由三角形中位线

定理得出3E=AE=2,EF//BC,BC=2EF,由平行线的性质结合角平分线的定义得出=,

由等角对等边得出DE=3E=2,求出跖的长即可得解.

【详解】解：跖是VA3C的中位线，

:.BE=AE=2,EF//BC,BC=2EF,

ZEDB=ZCBD,

3D平分/ABC,

:.ZEBD=ZCBD,

:.ZEBD=ZEDB,

:.DE=BE=2,

:.EF=DE+DF=2+1=3,

:.BC=2EF=6,

故选：B.

3.（22-23八年级上•江苏扬州•期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在-AO3上，两把直尺的

接触点为尸，边04与其中一把直尺边缘的交点为C,则OC的长度是

【答案】3

【分析】本题考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边.根据图形可得。尸是的角平分线,

再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案；

【详解】解：作尸PF±OB,

由题意可得，如图所示，

,:PE=PF,PE±OC,PFVOB,

：.ZPOE=ZPOF,

,/CP//OB,

ZCPO^ZPOF,

：.ZCPO=ZPOE,

：.OC=PC,

•.•点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5,

OC=PC=5-2=3,

故答案为：3.

4.（2024.陕西咸阳・模拟预测）如图，在VABC中，AD平分NBAC,庞〃47交AB于点E,若。E=应,

BE=2DE,则AB的长为.

【答案】3拒

【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念和等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点.

首先根据平行线的性质和角平分线的概念得到NEW=N£ZM,进而得到OE=AE=应，然后结合

8E=2£>E求解即可.

【详解】：4£）平分2区4。，

NEAD=NCAD

DE//AC

：.ZEDA=ZCAD

：.ZEAD=ZEDA

DE=AE=y[i

BE=2DE=272

；•AB=BE+AE=3s/2.

故答案为：3叵.

5.（2024・湖南长沙•二模）如图，在VABC中，/ABC和—ACB的平分线交于点E,过点E作肱V〃3C交

于M,交AC于N,若BM+CN=8,则线段MN的长为.

【答案】8

【分析】本题考查学生对等腰三角形的判定和平行线性质.由角平分线的定义得NMBE=NE3C,

/ECN=NECB,利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可得=ZNEC=/ECN,

然后即可求得结论.解题的关键是证明目以=也，EN=CN.

【详解】解：：/ABC和—ACS的平分线交于点E,BM+CN^S,

：.ZMBE=ZEBC,NECN=NECB,

MN//BC,

:.NEBC=NMEB,ZNEC=NECB,

:.NMBE=/MEB,ZNEC=/ECN,

：.BM=ME,EN=CN,

：.MN=ME+EN=BM+CN=8,

二线段MN的长为8.

故答案为：8.

6.（2024.山西太原•二模）如图，在，ABCD中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点8为圆心，以

适当长为半径画弧，分别与AB,3c交于点E,F；②分别以E,歹为圆心，以适当长为半径画弧，两弧

交于点G,作射线2G,与边AD交于点H；③以8为圆心，54长为半径画弧，交于边3c于点M.若AB=5,

BH=8,则点A,M之间的距离为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】本题考查了作图-基本作图，菱形的判定与性质，勾股定理，证明四边形是菱形是解题的

关键.连接40、MH,设AM交初于点。，根据题意证明四边形是菱形，从而得出03的长，

再根据勾股定理即可得出结果.

【详解】解：如图，连接AM、MH,设A"交3”于点0,

由题意可知，5"是/ABC的角平分线，

ZABH=NCBH,

又「四边形ASCZ）是平行四边形，

:.AD//BC,

ZAHB=ZCBH,

:.ZABH=ZAHB,

:.AB=AH,

,以8为圆心，54长为半径画弧，交于边BC于点

:.AB=BM,

:.AH=BM,

又AH〃BM,

二四边形是平行四边形，

又AB=AH,

四边形是菱形，

,OB=OH=；BH=4,OA^OM,

.-.ZAOB=90°,

OA=^AB2-OB2=452—4?=3，

.-.AM=2OA=6,

故选：B

7.（23-24九年级下•宁夏中卫•期中）如图是由边长为1的小正方形组成的9义6网格，点A,B,C,D,E,

尸均在格点上.下列结论：

①连接BD,点A与点F关于BD成轴对称；

②连接BC,BF,CF,则V3C尸是等腰三角形;

③连接反，点B,E到线段AF的距离相等.

其中，正确结论的序号是.

【答案】①②③

【分析】本题考查轴对称，勾股定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形性质及应用等，根据轴对称

概念，全等三角形判定与性质，点到直线的距离等逐个判断.解题的关键是根据描述，正确的画图，熟练

掌握相关知识点.

由图可知，AD=DF=5,AB=BF=Vl2+42=>/Y7，

•/BD=BD,

.•…ABD^FBD(SSS),

点A与点/关于RD成轴对称，故①正确;

FC=30，

...VBC尸是等腰三角形，故②正确;

如图，连接AF,AE,AB,BF,

设点B,E到线段"的距离分别为小，h2.

由图可知，^AABF=~X5x5—1x1——xlx4——xlx4=—=—AF-4,

乙乙乙乙乙

£FA£)=x3x5==

SAAEF=11yA，

S&iBFS/XAEF，则=色,

.•.点8,E到线段AF的距离相等，故③正确;

综上，正确的有①②③；

故答案为：①②③.

8.（2024•海南海口•一模）如图，在RfABC中，ZC=90°,AC=4,8c=3,点。是AC边上的一点，过

点。作DRAB,交BC于点、F,作4c的平分线交O尸于点E,连接8E.若ABE的面积是2,则点E

r）p

到力B的距离为当的值是

【分析】本题考查的知识点是勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等角对等边，解题关

键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.

先根据勾股定理求出48,即可分别用三角形面积公式推得点C至！MB的距离和点E到48的距离，再根据

DFA8判定AQ/S即可推得相似比，从而由相似三角形的性质得到挈=勺=],由AE平分

CAAB3

4

ZBAC和。尸48可得NO4£=Z4£D,根据等角对等边推得DE=A。=§后即可得解.

【详解】解：及ABC中，AB^\lAC2+BC2-732+42=5-

点C至！MB的距离h=40产=号，

AB5

SA6E=]XA3x4=2,

4

二点七到48的距离4=g,

1o4R

•••点C到。产的距离饱=打一y=

DFAB,

2

:.CDFs_CAB,且相似比为他：力=§,

CDDF2

"CA~AB~3"

.•.CD=-x4=-,DF=-x5=—

3333f

4

AD=AC-CD=~,

3

AE平分/B4C,

:.ZBAE=ZDAE,

DFAB,

:.ZBAE=ZAED,

即NZME=NAED,

4

:.DE=AD=-,

3

104

:.EF=DF-DE=-------=2,

33

4

•竺=3=2.

'EF23

47

故答案为：■—;--

53

9.（2024・湖南长沙•模拟预测）如图，在VA3C中，。是A5边的中点，。是CO上一点，AE〃BD交CO的

(1)求证：AE=BD-,

(2)若NACB=90。，ZBDO=ACAO,AC=6,求BD的长.

【答案】(1)见解析；

⑵6.

【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，平行线的性

质，等角对等边以及中点定义，熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键.

(1)由。是43边的中点，得=,由AE〃BD,得/E=/BDO,NOAE=NOBD,可得

一。1E—O3D(AAS),即可证明结论成立；

（2）由。是A3边的中点，ZACB=90°,^AO=BO=OC,进而NACO=NC4O,由（1）BD=AE,

NBDO=NE,由N5DO=NC4O,得—>=/C4O=ZE*,从而AC=AE=6,进而即可得解.

【详解】（1）证明：・・・0是A3边的中点，

AAO=BO.

又「AE//BD,

；.NE=/BDO,/OAE=NOBD,

在△OAE1与06。中，

ZE=NBDO

<ZOAE=ZOBD,

OA=OB

.・・_。4£丝O5D（AAS）

:.AE=BD；

（2）解：TO是AB边的中点，ZACB=9Q°f

：.AO=BO=OC=-AB.

2

:.ZACO=ZCAO.

_OAE^OBO（AAS）,

：・BD=AE,NBDO=/E,

•「ZBDO=ZCAO,

：.^ACO=^CAO=^E,

：.AC=AE=6,

BD-AE=6.

10.（2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测）已知：ACLBC,AD±BD,AC=BD.

(1)如图1,求证：AD=BC；

⑵如图2,AC交BD于点E,连接C。，若/DEC=135。，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图

中所有的等腰三角形.

【答案】(1)见解析

⑵YADE,CDE,ABE,BCE

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边等等：

(1)只需要证明RtABC丝Rta4D(HL),即可证明AO=3C；

(2)由平角的定义得到NA£D=N3EC=45。，则可证明△&£>£,△3EC都是等腰直角三角形，由全等三角

形的性质得到=则E4=EB,进而可得ED=EC,则可证明八4£5,AECD都是等腰三角形.

【详解】(1)证明：VACLBC,ADLBD,

ZD=ZC=90°,

XVAC^BD,AB^BA,

：.Rt.ABC丝RtBAD(HL),

AD=BC；

(2)解：；ZDEC=135。,

：.ZAED=NBEC=180°-ZDEC=45°,

"="=90。，

AADE,△BEC都是等腰直角三角形，

,?RtAABC^RtABAD,

ZEAB=ZEBA,

EA=EB,

又•:AC=BD,

：.ED=EC,

：.AAEB,△ECD都是等腰三角形.

综上所述，NADE,二CDE,.ABE,3CE都是等腰三角形.

题型三：等腰三角形的构造与个数问题

【中考母题学方法】

【典例1】(2023・吉林•中考真题)图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，

线段4B的端点均在格点上.在图①、图②、图③中以4B为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、

直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上.

【答案】见解析

【分析】根据勾股定理可得AB=«,结合题意与网格的特点分别作图即可求解.

【详解】解：如图所示,

如图①，47=他=々+22=6,则VA3C是等腰三角形，且VABC是锐角三角形,

如图②，AD=AB=Vl2+22=75-BD=A/12+32=710＞则⑷垢+^^^二皮八则△ABD是等腰直角三角

形，

如图③，AE=AB=VI2+22=75＞贝!LABE是等腰三角形，且一钻“是钝角三角形，

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

【典例2X2023•浙江宁波・中考真题）在4X4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）.

（1）在图1中先画出一个以格点尸为顶点的等腰三角形上4B,再画出该三角形向右平移2个单位后的.PA3'.

（2）将图2中的格点VABC绕点C按顺时针方向旋转90。，画出经旋转后的△A?C.

【答案】（1）画图见解析

（2）画图见解析

【分析】（1）先画等腰三角形/R,PA=PB,再确定平移后的对应点，再顺次连接即可；

(2)确定A,2旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可.

【详解】(1)解：如图，_PAB,_P'A3'即为所求作的三角形；

图1

(2)如图，△A'2'C即为所求作的三角形,

【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行

作图是解本题的关键.

【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数y=X(x>0)的图象交于点A(a,l),将直线Q4

6x

Q

向上平移］个单位，与y轴交于点c,与双曲线交于点B.

⑴求反比例函数和直线3c的表达式；

(2)求点8的坐标；

(3)在x轴上是否存在一点尸，使..R4B是以为腰的等腰三角形，若存在，求出点尸坐标；若不存在，请

说明理由.

【答案】⑴反比例函数的表达式为y4，直线5c的表达式为尸*|

⑵8(2,3)

(3)存在，点P坐标为(3,0)或(6±晒,0)

1k

【分析】(1)把点A的坐标代入y=中，求得〃的值，再代入y=*中，求得左的值，即得反比例函数的

6X

Q

表达式，再根据直线。4向上平移三个单位，即可求得直线BC的表达式；

(2)因2是直线BC与双曲线的交点，故得方程!苫+当=自，求解方程，即得答案；

63元

(3)设PQ，0),分上4=PB和B4=BA两种情况，分别列方程求解，即得答案.

【详解】(1)把A3D代入中，得1=卜，

解得。=6,

/.A(6,l),

.,.k=1x6=6,

6

•••)=一，

x

Q

BC//OA,且直线Q4向上平移］个单位，

1Q

・・・直线3C表达式为丁=1+~

63

(2)由题意得：—x+—=—,

63x

x2+16x—36=0,

，%=2,々=—18(舍去)，

>=3,

/.3(2,3)；

(3)设尸。,0),

当a=依时，(6—£)2+(1—0)2=«一2)2+(0—3门,

解得，=3,

/.P(3,0)；

当PA=B4时，(6—21+(1—3>=(6-)2+”0)2,

解得t=6±y/19,

P(6±719,0)；

综上所述，点。坐标为(3，。)或(6土M，0).

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与反比例函数的解析式，一次函

数的平移，直线上与已知两点组成等腰三角形的点的探求等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键.

【变式3-1］（2024•贵州毕节•一模）点A,B在直线/同侧，若点C是直线/上的点，且VABC是等腰三角

形，则这样的点C最多有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】A

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线/于点C|、C2,再

先以8点为圆心，胡为半径作弧交直线/于点C,C4,最后作A3的垂直平分线交直线/于点C5.

【变式3-2］（2023•贵州遵义•三模）四边形A3CD是平行四边形,下列尺规作图不能得到等腰三角形板的

是（）

【分析】分析每个选项的尺规作图，进一步判断是否又等腰三角形即可.

【详解】A.根据作图痕迹可知，破为NABC的角平分线，故ZABE=NEBC,根据平行线的性质可得，

ZEBC=ZAEB,即=4比B,故。母为等腰三角形，A不符合题意；

B.根据作图痕迹可知，点8,E在以A为圆心，A3的长为半径的圆上，故=即二ME为等腰三

角形，B不符合题意;

C.根据作图痕迹可知，令—540的角平分线与3C交于点如图，则=根据平行线的

性质可得，ZEAM=ZAMB,即NS4M=故为等腰三角形；根据作图痕迹可知，以点8为

圆心，画弧，与AM边交于两点，分别以该两点为圆心，画弧交于一点，连接该点与点8,延长交于点

E,故BE为—ABC的角平分线，故ZABE=NEBC,根据平行线的性质可得，/EBC=ZAEB,即

ZABE^ZAEB,故ABE为等腰三角形，C不符合题意；

D.作图痕迹没有依据，D符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质等，解题的关键是根据做图痕迹进行判断.

【变式3-3］（2024•河北邯郸・三模）如图中的点都在格点上，使△AB"（"为1~4的整数）不是轴对称图形

的点是（）

P：B

A

A.AB.P2C.P3D.舄

【答案】B

【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，等腰三角形的定义，勾股定理，根据网格的特点和勾股定理

可得△AB%ZXAB舄都是等腰三角形，而△42鸟不是等腰三角形，再根据轴对称图形的定义即可

得到答案.

【详解】解：根据网格的特点和勾股定理可得△ABG△ABB，△A2A都是等腰三角形，即这三个三角形

都是轴对称图形，

鸟不是轴对称图形，

故选：B.

【中考模拟即学即练】

32.（2023•浙江台州•一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断VABC是等腰三角形的是（）.

AAA

A.B，B

c，瓦

【答案】D

【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案.

【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知NB=NC,VABC是等腰三角形，不符合题意，选项错

误；

B、根据垂直平分线的作法可知钻=AC,VABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；

C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，AC//BD,ZACB=ZCBD,

根据角平分线的作法可知，ZABC=ZCBD,

:.ZABC^ZACB,VA3C是等腰三角形，不符合题意，选项错误；

D、不能判断VABC是等腰三角形，符合题意，选项正确，

故选D.

【点睛】本题考查了作图一复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键.

4.（2023•内蒙古呼伦贝尔•一模）如图，抛物线y=-£+4x-3与x轴交于A,8两点（点A在点8左侧）,

与y轴交于点C,连接BC.

(1)直接写出抛物线与无轴的交点坐标及直线BC的解析式；

(2)点尸是3C上方抛物线上一点，当以PBC=S3c时，求出点P的坐标(不与点A重合)；

(3)在抛物线的对称轴上存在点使4M4c是等腰三角形，请直接写出此时点M的坐标.

【答案】(1)A(1,O),8(3,0),直线3c的解析式y=x-3,

(2)(2,1)

(3)(2,-3)或(2,-2)或(2,-3+#)或(2,-3-指)，

【分析】(1)分别令>=0和尤=0,即可求点A、B、C的坐标，进而利用待定系数法求出直线3C的解析

式；

(2)先求出VABC的面积，可求△P3C的面积为3,从而可以求出尸的纵坐标，代入抛物线解析式即可求

出P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上点M坐标为(2,y),根据坐标系中两点距离公式结合等腰三角形的定义列方程求

解即可.

【详解】(1)解：令尸0,得：

—X2+4%—3=0，

解得：玉=1,%=3,

••.A(l,0),5(3,0),

令％=0,得：

k-3,

AC(0,-3),

.•.点A、B、。的坐标分别为：41,0)、5(3,0)、C(0,-3).

设直线5C的解析式为>二丘+6,可得：

3左+6=0k=l

b-,解得:

b=—3’

...直线BC的解析式为y=x-3,

(2)SAABC=|AB-OC=1X(3-1)X3=3,

△

‘PBC=245c=3,

过点P作轴，交BC于点H,设点尸的横坐标为〃，则有尸(。,-/+4〃-3),H(a,a-3),

PH=(_〃2+4〃_3)—(Q—3)=一片+3a

*'SPBC=SPHC+SPHB=-PHXP+—PH\XB-XP)=—PHXB

19、

—x3(-ci+3Q)=3,

••Q]—1,a2=2,

当a=l时，y=0,此时与点A重合，

当。=2时，y=-22+4x2-3=l,

二点尸的坐标为：(2,1).

(3);抛物线，=-/+4工-3=-。-2)2+1,

.••抛物线对称轴为直线x=2,

设在抛物线的对称轴上点M坐标为(2,y),

VA(l,0),C(0,-3).

/.AC2=12+32=10,

AM2=(1-2)2+/=1+/,

CM2=22+(y+3)2=y2+6^+13,

当AC=AW时，1+/=10,解得：y=±3,即点Af坐标为(2,3)或(2,-3),

当点M坐标为(2,3)时，AM=710,CM=2A/10,AC=V10,不能构成三角形，故M(2,3)舍去；

当AC=CM时，/+6y+i3=10,解得：y^-3+46,即点M坐标为(2,-3+«)或(2,-3-痛)，

当4W=C0时，/+6y+i3=l+y2,解得：y=_2,即点/坐标为(2,-2),

综上所述：点M坐标为(2,-3)或(2,-2)或⑵一3+")或(2,-3-76),

【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求

函数解析式、勾股定理、三角形的面积等知识，解题(3)的关键是根据点距离公式结合等腰三角形的定义

列方程求解.