苏科版七年级数学下册压轴题：因式分解压轴四大类型（原卷版）

专题07因式分解压轴四大类型

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题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解

题型二：十字相乘法因式分解

题型三：分组分解法

题型四：因式分解的应用

典例精讲

题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解

【典例1】(2023秋•西城区期末)分解因式：

(1)孙^-xy.

(2)2/-20x+50.

【变式1-1](2023春•鼓楼区校级期中)因式分解:

(1)2mx2-4tnx+2m；

(2)25(m+zi)2-9(m-n)2.

【变式1-2](2023春•皇姑区校级期中)因式分解:

(1)x2(a-b)+4(b-a)；

(2)2?-12xy+18y2.

【变式1-3](2022秋•淹池县期末)因式分解:

(1)18a-12。庐+2/73；

(2)x2(%-3)+9(3-x).

题型二：十字相乘法因式分解

【典例2】(2023秋•普陀区校级期末)因式分解：/-13。+36=.

【变式2-1](2023秋•璧山区期末)因式分解-6的结果是.

【变式2-2](2023秋•浦东新区期末)因式分解：/-8x+12=.

【变式2-3](2023秋•河北区校级期末)把多项式2%-35因式分解为.

题型三：分组分解法

【典例3】(2023秋•临潼区期末)阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提

取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：72rM+2机-

2〃”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前

后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的

因式分解了，过程为m2-mn+2m-2n=(m2-nwi)+(2m-2〃)=m(m-n)+2(m-〃)

=(m-w)(机+2).此种因式分解的方法叫做“分组分解法”.请在这种方法的启发下，

解决以下问题：

(1)因式分解：a3-3cr+6a-18；

(2)因式分解：ax+cT-2ab-bx+b2.

【变式3-1](2023秋•青浦区校级期中)因式分解：4/-2/-9盯2-3孙.

【变式3-2](2023秋•沙坪坝区校级期末)把下列各式因式分解：

(1)-3a/+6a2b2-3a%；

(2)x1-y2-ax+ay.

【变式3-3](2023秋•武都区期末)常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有

的多项式用上述方法无法分解，例如x2-4j2-2x+4y,我们细心观察就会发现，前两项

可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整分解了，具体分

解过程如下：

x2~4y2-2x+4y

=(x2-4y2)-(2x-4y)

=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)

=(尤-2y)(x+2y-2)

这种方法叫分组分解法，请利用这种方法对下列多项式进行因式分解：

(1)mn2-2mn+2n-4；

(2)x2-2xy+y2-16；

(3)4/-4x-y2+4y-3.

题型四：因式分解的应用

【典例41(2023秋•钢城区期末)阅读材料：教科书中提到/+2"+序和/,2"+序这样

的式子叫做完全平方式.”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全

平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并

解决一些最值问题.

例如：(1)分解因式:x2-2x-3.

7-2尤-3

=7-2x+l-1-3

=(x-1)2-4

=(x-1)2-22

=(x-1+2)(x-1-2)

=(尤+1)(%-3).

(2)求代数式?-2x-3的最小值.

x2-2%-3=/-2x+l-4=(尤-1)2-4

(x-1)2»0,

...当x=l时，代数式x2-2x-3有最小值-4.

结合以上材料解决下面的问题：

(1)若二次三项式/-kx+9恰好是完全平方式，k的值是；

(2)分解因式：/-8x+15；

(3)当x为何值时，/-8尤+15有最小值？最小值是多少？

【变式4-1](2022春•金东区期末)通常情况下，不一定等于演，观察下列几个式子:

第1个：2+2=2X2；

第2个:3+S=3X3；

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第3个：4+A=4XA…

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我们把符合“+6=裙的两个数叫做“和积数对”.

(1)写出第4个式子.

(2)写出第"个式子，并检验.

(3)若m,〃是一对“和积数对”，求代数式♦(m+n);4#!?的值.

4m2+4n2+8mn

【变式4-2](2023秋•哈密市期末)阅读材料：若m2-2mn+2r?-8〃+16=0,求m、n的值.

解：*.*m2-Imn+lr?-8〃+16=0,

(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0

；・(m-n)2+(n-4)2=0,...(m-n)2=0,(〃-4)2=0,.*.n=4,m=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知X2-2町+2y2+6y+9=0,求xy的值；

(2)已知△ABC的三边长〃、b、c都是正整数，且满足次+房一10〃一120+61=0,求4

A5C的最大边c的值.

【变式4-3］（2023春•罗湖区校级期中）阅读材料：要把多项式劭z+即+加计加因式分解，

可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）—a（m+m）

+b（m+n）=（m+n）（a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法.

（1）请用上述方法因式分解：/-y2+2x-2y；

（2）知a、b、c是△ABC三边的长，且满足a2+c2-2b（a-b+c）=0,试判断△ABC

的形状，并说明理由；

（3）若："、n、p为非零实数，且工（机-〃）2=（p-n）（m-p）,求证：2p—m+n.

4

di专题训练

一.选择题（共8小题）

1.（2022秋・内江期末）已知d=/-2X3+X2-12x-5,贝!J当%2-2%-5=0时,d的值为（）

A.25B.20C.15D.10

2.（2022春•兰西县校级期末）已知长方形的周长为16CM,它两邻边长分别为xon,ycm,

且满足（x-y）2-2x+2y+l=0,则该长方形的面积为（）cm2.

A.毁B.HC.15D.16

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3.（2023秋•洪山区期末）已知实数〃满足〃2-2〃-1=0,则代数式2浸-/一8〃+4的值为

（）

A.9B.7C.0D.-9

4.（2023秋•商水县期末）已知根2+川=25,mn=12,则加3〃-加的值为（）

A.±300B.±84C.±48D.±12

5.（2023秋•海安市期末）已知孙=4,则％2-2x+y-2y的最小值是（）

A.-9B.-2C.0D.2

6.（2023秋•宣化区期末）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一

个因式分解的等式，此等式是（）

abb

bba

A.c^+2ab-^b2=（〃+b）（〃+/?）

B.c?+3ab+2b1=（Q+28）（Q+Z?）

C.a2-b2=（〃+b）（a-Z?）

D.2a2+3ab+b2=Q2a+b）（a+b）

7.（2023秋•鳏鱼圈区期末）已知〃-Z?=5,ab=-6,贝!j-2/.的值为（）

A.57B.120C.-39D.-150

8.（2023秋•东兴区校级期中）已知a=1不020,b-1+2021,「1+2022,

2202120212021

则代数式。2+廿+。2-ab-be-ac的值是（）

A.0B.AC.2D.3

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填空题（共5小题）

9.（2023秋•乌兰察布期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足/-必二农-儿，则△ABC

的形状是.

10.（2023秋•通山县期末）已知：贝！1/-苫3-2/+X+1的值是.

11.（2023秋•沙坪坝区校级期末）若将多项式2f-7+机进行因式分解后，有一个因式是

x+1,则m的值为.

12.（2022秋•东莞市校级期末）已知a=」-x+20,6=工+19,c=A-x+21,则代数式

202020

a2+/72+c2-ab-be-ca的值是.

13.（2022秋•芝景区期末）计算：20232-2023X2022=.

三.解答题（共3小题）

14.（2023秋•梨树县期末）已知a-6=7,ab=-12.

⑴求a2l>-ab2的值;

（2）求/+后的值；

（3）求a+b的值.

15.(2023秋•东辽县期末)先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法

有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘

法等等.

(1)分组分解法:将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法.如:

©ax+by+bx+ay

=(.ax+bx)+(ay+by)

=x(〃+b)+y(Q+Z?)

=(〃+/?)(x+y)

②2xy+y-1+x2

=W+2盯+F-1

=(x+y)2-1

=(x+y+1)(x+y-1)

(2)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方

法.如：

x^+2x-3

=/+2%+1-4

=(x+1)2-22

—(x+1+2)(x+1-2