四川省广安市邻水县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）

2024年秋义务教育阶段质量监测样卷

八年级数学

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题意，请

将所选选项填涂在答题卡上）

1.下列关于天气预报的图标中是轴对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，确定四个选项中每个图形对称轴的数量，进而可得答案.

【详解】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.是轴对称图形，故此选项符合题意；

C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.不是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念.

2.如图，在VA5C中，ZA=60°,NACD=105°,则々的度数是（）

A.25°B.30°C.45°D.55°

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查三角形的外角的性质.根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，由此即可求

解.

【详解】解：,••在VABC中，ZA=60°,NACD=105°,

ZB=ZACD-ZA=45°.

故选：C.

3.清代诗人袁枚的《苔》中描写了微小却盛开得灿烂的苔花：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小,

也学牡丹开.”苔花的花粉直径约为0.0000084m,数据0.0000084用科学记数法表示为（）

A.0.84xlO-5B.8.4x10-5C.8.4x10-6D.8.4xio7

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为axlO"的形式，其中1＜忖＜10,〃为

整数，确定”的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同，

当原数绝对值大于等于10时，”是正数，当原数绝对值小于1时"是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：0.0000084=8,4x10^.

故选：C.

4.下列运算正确的是（）

A.（1）="2B.a94-«3=«3C.a3-a4=«12D.（x+yj=x?+y?

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了事的运算和整式的乘法公式，正确运用法则进行计算是解决此题的关键.用幕的乘方法

则，同底数幕的乘除法法则，整式乘法的完全平方公式逐一排除即可求解.

【详解】解：根据嘉的乘方，底数不变，指数相乘.因此（〃）6="2,故A正确；

根据同底数幕相除，底数不变，指数相减./-。3=/一3=。6,故B错误；

根据同底数鼎相乘，底数不变，指数相加.〃.。4=。3+4=苏，故C错误；

根据乘法的完全平方公式：（。+冲2="+2a〃+/.（x+yf=x2+2xy+y2,故D错误.

故选：A.

5.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌

于一个画框之中.如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角的度数是（）

A105°B.120°C.135°D.150°

【答案】c

【解析】

【分析】本题主要考查了正多边形的内角与外角问题，掌握多边形内角与外角的关系成为解题的关键.

由正八边形的外角和为360°,再根据正八边形的每一个外角都相等求出一个外角，然后根据同一个顶点上

的内角和外角互补列式计算即可.

【详解】解:•••正八边形的外角和为360°,

/.正八边形的每一个外角为子=45°,

正八边形的每一个内角为180。-45。=135°.

故选：C.

6.数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径.如图，用螺丝钉将两根木棒

AD，的中点固定，利用全等三角形知识，测得。的长就是锥形瓶内径A3的长.其中，判定

VA03和△OOC全等的方法是（）

A.SSSB.ASAC.SASD.AAS

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定.根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解.

【详解】解：在VA03和△OOC中，

AO=DO

V<NAOB=ZDOC,

BO=CO

；.AAOB^A£>OC（SAS）,

判定VA03和△OOC全等的方法是是SAS,

故选：C.

7.小梅和小丽在因式分解关于X的多项式V—依+》时，小梅获取的其中一个正确的因式为(x+3),小

b

丽获取的另一个正确的因式为(x-2),则——的值为()

2a

A.--B.—C.-3D.3

55

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查因式分解,熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得依+3=(%+3)(%-2),

然后可得a、6的值，进而问题可求解.

【详解】解：由题意得：X2—ax+b=2),

,,x2—ax+b=x~+x—6,

a=—1,b=-6,

•—b=--—-6--=jc

,,2a2x(-1)，

故选D.

8.如图，在VA5C中，AO是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是()

A.BE=CFB.ZC+ZCAD=90°

C.ZJBAE=NCAED.^^ABC=^AABF

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知

识.根据上述知识逐项进行判断即可.

【详解】解：是VABC的中线，

:.BF=CF,而仍与CF不一定相等，A说法错误，符合题意；

AO是高，

.-.ZADC=90°,

.­.ZC+ZC4r>=90°,B说法正确，不符合题意;

AE是角平分线,

:.ZBAE^ZCAE,C说法正确，不符合题意；

BF=CF=-BC,

2

S&15c=25AA*，D说法正确，不符合题意；

故选：C.

9.樱桃西红柿，也被称为圣女果，是番茄的一个品种，因其口感清甜，营养价值高而受到人们的喜爱.某

超市用200元购进樱桃西红柿，面市后供不应求，该超市又用300元购进第二批这种西红柿，所购质量是

第一批质量的2倍，但每千克的进货价降了0.8元.设第一批樱桃西红柿每千克的进货价为x元，根据题

意可列方程为（）

300200300.200300200300200

A.——=2x----------B.=2义——C.=2x——D..——=2x----------

xx-0.8x+0.8x%-0.8xx%+0.8

【答案】C

【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设第一批西红柿的进货单价为x元，则西红柿的进货单价

是（x-0.8）元，根据第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，列出方程即可.

【详解】解：设第一批樱桃西红柿每千克的进货价为了元，根据题意可列方程为t=2义迎,

x—0.8x

故选C.

10.如图，VA3C的面积是20cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点加、

N,再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线过点C作

2

CDLAP于点，连接BD，则ZMB的面积是（

C.11cm2D.12cm2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了基本作图方法，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积的关

系，熟知基本作图，角平分线、中线定义，熟练掌握全等三角形判定、性质定理是解题的关键.

延长交于E,依据△ACD之△AED,即可得到8=田，进可得到

==

S\IBCDSVBED，SVACDS^ABD,据此可得S^ABD=S'AED+SBED=QSABC.

【详解】解：如图所示，延长C£＞交于E,

由作图可得，好平分NB4C,

:.ZCAD=ZEAD,

又，CDLAP,

ZADC=ZADE=90°,

又AD=AD，

[ACD空AED(ASA),

CD=ED，

$7BCD=S~BED，^VACD='vAED，

=1x20=10(cm2),

一-uCABD~_uCAEDT°cBED~_J_VABC

故选：B.

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分，共18分.请将最简答案填写在答题卡相应位

置)

11.如图，在VABC和△DEE中,ZA=ZD=90°,AC^DE,若要用“斜边、直角边(HL)”直接证明

【解析】

【分析】由AC=DE,BC=FE,即可推出RtZkABC之RtZXOEE,于是得到答案.本题考查直角三角形

全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法.

【详解】证明：在RtZVLBC和RtADEE中，

AC=DE

BC=FE'

Z.RtABC^RtDFE(HL).

故答案为：BC=FE.

12.计算：2024°+2-1—(―3)-2=.

25

【答案】—

18

【解析】

【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幕、负整数次事等知识点，掌握零次塞、负整数次幕成为解

题的关键.

先用实数的混合运算、零次塞、负整数次暴化简，然后再计算即可.

【详解】解：2024°+2-1-(-3)-2

—1,H1-------1

29

=-18-1--9---2

181818

25

=18,

25

故答案为：—.

18

13.分解因式：ax2-2axy+ay2=.

【答案】a(x-y)2

【解析】

【分析】先提公因式a,然后再利用完全平方公式进行分解即可得.

【详解】ax2-2axy+ay2,

=a(x2-2xy+y2),

=a(x-y)2.

故答案为a(x-y)2.

【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.分解因式的步

骤一般为：一提（公因式），二套（公式），三彻底.

14.如图，在VA3C中，ZACB=9Q°,ZB=30%CDJLAB于点。，若AD=2，则3D的长为

【答案】6

【解析】

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握30。所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

先根据直角三角形两锐角互余可得NA=60。，进而得到NACD=30。，根据30。所对的直角边等于斜边的

一半可得AC=2AD=4；同理可得AB=2AC=8,最后根据=A5—AD即可解答.

【详解】解：：NACB=90°,ZB=30°,

：.ZA=60°,

'：CDLAB,

：.ZACD=30°,

VAD=2，

AAC=2AD=4,

VZACB=90°,ZB=30°,

；•AB=2AC=8,

•**BD=AB—AD=8—2=6.

故答案为：6.

39

15.若关于x的分式方程-----=——的解为1=2,则根的值为

x+mx+2

【答案】4

【解析】

31

【分析】本题考查分式方程的解及其解法，先将2代入分式方程中得到一然后解分式方程即

2+m2

可求解.

32

【详解】解：・・,分式方程-----二一的解为％=2,

x+mx+2

3_2

—，解得切=4,

2+m2+22

经检验，机=4是分式方程的解,

故m的值为4,

故答案为:4.

16.如图，在等腰三角形ABC中，底边的长为5cm,VA3C的面积是14cm?，腰A3的垂直平分线

Eb分别交AB，AC于点E,F,若。为的中点，M为线段所上一动点，则5/次周长的最小值

为cm.

10

【解析】

【分析】本题考查将军饮马模型、等腰三角形性质、垂直平分线性质、利用三角形面积求高.解题的关键在

于灵活运用将军饮马模型找出动点在什么位置得到最小值.

连接AO，由于VA3C是等腰三角形，点。为边的中点，故再根据三角形的面积公式求

出AD的长，再根据所是A3线段的垂直平分线可知，点B关于直线所的对称点为点4故AD的长为

5N+MD的最小值，由此即可解题.

【详解】解：连接AD，AM，如图所示.

：VABC是等腰三角形，AB=AC,点。为边3C的中点,

AD1BC.

SAABC=^BCAD=14,BC=5,

OQ15

AD=—,BD=-BC=-.

522

1/ER是AB的垂直平分线，

点B关于直线EF的对称点为A.

；・MA=MB.

,:MB-^MD=MA-^-MD>AD^

，AD的长为5N+MD的最小值.

725QI

，的周长的最小值为：AD+BD=—+-=—.

5210

O1

故答案为：—.

10

三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）

17.计算：（一3孙2）•g十（9―力

1》7

【答案】-3x9y3

【解析】

/\—2

【分析】本题考查了整数指数塞的运算，首先根据幕的乘方和积的乘方运算法则，对（-3盯2）3和冬进

行计算，然后根据单项式乘单项式和单项式除单项式的运算法则，进行计算即可解答.

4

=_27%3产1+（9户）

=-27X7/4-（9X-2J）

=-3x9/.

18.先化简：I^--lk,,再从-1，0,2中选择一个合适的数作为。的值代入求值.

["2）a-4«+4

【答案】伫2,3

a

【解析】

【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号，再算除法，最后根据分式分母不为0选取a=-1代入求值

即可.

【详解】解：占一12a

a?—4〃+4

（〃-2）

〃一22a

a—2

a

〃w2,且〃w0,

-1-2

，当a=-l时，原式=------=3.

-1

19.如图，在平面直角坐标系中，VA3C的三个顶点的坐标分别为A（—5,1）,

（1）画出NABC关于y轴对称的图形.AB'C，并写出A的坐标为

（2）已知点。（2,3）,请在龙轴上找到一点P,使得PB+PD的值最小.（不写作图方法，保留作图痕

迹）

【答案】（1）见解析，（5,1）；

（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查了作轴对称图形、坐标与图形、轴对称最短线段问题等知识点，掌握轴对称的性质是解题

的关键.

（1）根据轴对称的性质分别确定AB、。关于轴对称的点ABC',然后顺次连接即可完成作图，最后直

接写出A的坐标即可；

（2）作点。关于无轴的对称点以，连接5。'与x轴的交点即为所求点P.

【小问1详解】

解：如图：A'3'C'即为所求，4（5,1）.

yjk

yjk

IIIIIIIIII

*----'---'---4—^5—,—上—'—,—」

20.如图AA8C中，AB,AC的垂直平分线分别交BC于。，E,垂足分别是M,N

(1)若BC=10,求AAOE的周长.

(2)若NBAC=100。，求NZME的度数.

【答案】(1)△AOE的周长=10；(2)ZDAE=20°.

【解析】

【分析】(1)由AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,垂足分别是M、N,根据线段垂直平分线的

性质，可得AD=BD,AE=EC,继而可得4ADE的周长等于BC的长；

(2)由NBAC=100。，可求得NB+NC的度数，又由AD=BD,AE=EC,即可求得NBAD+NCAE的度

数，继而求得答案.

【详解】(1)---AB,AC的垂直平分线分别交BC于。、E,垂足分别是M、N,

：.AD=BD,AE=CE,

：.AADE的周长=AO+£)E+AE=Br)+r)E+CE=BC=10.

(2)VZBAC=100°,

AZB+ZC=180°-ZBAC=80°,

"：AD=BD,AE=CE,

:./BAD=NB,ZCAE=ZC,

：.ZBAD+ZCAE=?,QO,

：.ZDAE=ZBAC-(ZBAD+ZCAE)=100°-80°=20°.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.线段垂直平分线上任意一点，到线段

两端点的距离相等.

四、实践应用题(本大题共4小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分)

21.货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东40。的方向航行，已知货轮在8处时，测得灯塔A在其北

偏东80。的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测到灯塔A在其北偏东20。的方向上，求货轮到达

C处时与灯塔A的距离.

【答案】20海里

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形判定和性质，方向角，根据题意得出N3G4=NABC=60°,进而根据等

边三角形的性质，即可求解.

详解】解：如图，

北

根据题意得：CD//BE,

:.Z1=ZEBC=4Q0,

，ZBG4=N1+ZACD=40。+20。=60。，

又•.ZABC=180°-80°-40°=60°,

:.ZBCA^ZABC=60°,

ABC是等边三角形，

AC=5C=40x0.5=20(海里)，

答：货轮到达。处时与灯塔A的距离是20海里.

22.如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为(3a+2b)m,宽为(2a+b)m；另一块长为

(a+b)m,宽为(a-b)m.现将两块空地进行改造，计划在中间边长为(a-b)m的正方形(阴影部

分)中种花，其余部分种植草坪.

(1)求计划种植草坪的面积；

(2)已知a=30,人=10,若种植草坪的价格为30元/„?，求种植草坪应投入的资金是多少元？

【答案】(1)计划种植草坪的面积为(64+9a。)m?

(2)种植草坪应投入的资金是243000元

【解析】

【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题

的关键.

(1)计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差

公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可；

(2)将。与b的值代入(1)中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价x数量计算即可求解.

【小问1详解】

解：(1)两块空地总面积：(3a+2Z?)x(2a+Z?)+(a+Z?)x(a-b),

=6472+7«ZT+2ZJ2+«2—b2

=1a~~\~7ab~\~b~>

栽花面积：(a—2ab+/,

草坪面积：7/+7aZ?+/-(/-2ab+/?2)=6a2~\~9ab.

【小问2详解】

a=30,b=10,草坪价格为30元/租2,

应投入的资金=(64+9a〃)x30=(6x30?+9x30x10^x30=243000元.

23.某危险品化工厂采用甲、乙两种机器人代替人工搬运产品.甲机器人比乙机器人每小时少搬运20kg

产品，甲机器人搬运400kg产品所用的时间与乙机器人搬运600kg产品所用的时间相同，乙机器人每小

时搬运多少千克产品？

(1)下面是孙丽和王宁两位同学根据所设的未知数而列出的方程，其中有一个是错误的，错误的是：

同学的，改为正确的方程是；

孙丽同学：设乙机器人每小时搬运xkg产品.根据题意，得型叫_=幽_.

x-20x+20

王宁同学：设乙机器人搬运600kg产品所用的时间为X小时.根据题意，得史2=幽—20.

xx

(2)在(1)的条件下，请从孙丽和王宁两位同学所列的方程中选择一个进行求解，并写出完整的解答过

程.

【答案】⑴孙丽，聋=?

(2)解答过程见解析

【解析】

【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意;

(1)根据孙丽同学所设未知数及结合题意可进行求解；

(2)根据题意结合孙丽与王宁两位同学的解答过程可进行求解

小问1详解】

解：由题意可知：错误的是孙丽同学，正确的方程是网-=眄

%-20x

―400600

故答案为孙丽，------=

x-20x

【小问2详解】

解：若选择孙丽，解答过程如下:

设乙机器人每小时搬运xkg产品.根据题意，得：

400600

%-20x

解得：x=60,

经检验：x=60是原方程的解；

答：乙机器人每小时搬运60kg产品.

若选择王宁，解答过程如下：

设乙机器人搬运600kg产品所用的时间为x小时.根据题意，得:

蛆=晅-2。,

xX

解得：x=10,

经检验：x=10是原方程的解；

600-10=60kg/h；

答：乙机器人每小时搬运60kg产品.

24.小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点8、F、C.石在直

线/上(点尸、C之间的距离为池塘的长度)，点。在直线/的异侧，且AB〃。石，ZA=ZD，测得

AB=DE.

(1)求证：△ABC四△OEF；

（2）若BE=120m,BF=38m,求池塘林的长度.

【答案】（1）证明详见解析；

（2）44m.

【解析】

【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线的性质等.

（1）根据题意利用平行线的性质，全等三角形判定即可得到本题答案；

（2）根据题意利用第（1）问结论由全等三角形性质即可得到本题答案.

【小问1详解】

解：,/AB//DE,

/.ZABC=ZFED,

.在VABC和1郎中，

ZABC=NFED

<AB=DE,

NA=ZD

/.AABC%ADEF；

【小问2详解】

解：由（1）可知：△ABC之△OEF,

：.BC=EF,

：.BC-FC=EF-FC,

：.BF=CE,

又BF=38m,

：.BF=CE=38m,

又BE=120m,

FC=BE-BF-CE=44m,

池塘产C的长为44m.

五、推理论证题（9分）

25.如果两个分式M与N的和为常数上且左为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数左称为“和

Y1X+]

整值”.如：分式"=——，N=——，M+N=--=1,则M与N互为“和整分式”，且“和整

x+lx+lX+1

值”为1.

3r-4C

(1)已知分式A==一,B=~一，A与2互为“和整分式”，且“和整值”为3,若X为正整数，

x-2X2-4

分式B的值为正整数.

①C所代表的代数式为；

②求x的值.

3Y—Srnjc—3

(2)已知分式P=——,Q=------互为“和整分式”，且P+Q=2,若该关于x的方程无解，求实

x—33—x

数m的值.

【答案】(1)①一2%-4；②x=l；

7

(2)m的值为1或一

3

【解析】

【分析】本题考查了异分母分式加减法、根据分式方程解的情况求值等知识点，注意计算的准确性即可.

C-2(x+2)2

(1)①计算A+5即可求解；②关键8=〒二=；一\<\二——结合题意可得x—2=—1或

x-4+x-2

%-2=-2,即可求解；

(2)由题意，得尸+。=也*+"心=2,推出'I-"-+3=2,(3-m)x-2=2x-6,即可求

解；

【小问1详解】

,八(3x-4)(x+2)C3X2+2X-8+C

*A+B=--------------------------1------------------=--------------------

(x-2)(x+2)(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)(x+2),

A与B互为“和整分式”,且“和整值”为3,

.\3X2+2X-8+C=3(X-2)(X+2)=3X2-12,

/.C—-12-—2%+8——2%—4.

C—2(x+2)2

②，B=^-=-—；7=——且x为正整数，分式3的值为正整数,

x-4(%+2)(x-2)x-2

x—2=—1或%—2=—2,

:.x=l(x=0舍去).

【小问2详解】

解：由题意，得P+Q=33_x」—5+竺TYIJC匚—上3=2,

x~33—x

3%-5-mx+3

••=2,

x—3

（3-m）x-2=2x—6,

整理，得（1一加）x=T.

'方程无解，

;.1一加=0或x=3，

当1—加=0时，解得m=l；

-4

当1一加#0,无=3时，----=3，

1-m

7

解得m=-.

3

7

综上，机的值为1或

3

六、拓展探究题（10分）

26.在等腰AABC中，AB=AC,点。是