苏科版七年级数学下册压轴题：平行线的四大模型（原卷版）

专题01平行线的四大模型

Q模型解密

模型一“铅笔”模型

结论1：^AB//CD,贝！|NP+NAEP+NEFC=360°；

结论2：^ZP+ZAEP+ZPFC=360°,贝!]AB〃CD

「Si典例精讲

【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线尸G分别交射线AB、0c于点足G,点、

E为射线尸G上一点.

(1)如图1,^ZA+ZD=ZAED,求证：AB//CD.

(2)如图2,若AB〃CZ),求证：ZA-ZD=ZAED.

(3)如图3,在(2)的条件下，£>/交A/于点I,交AE于点K,ZEDI=1ZCDE,Z

4

BAI=^-ZEAI,ZZ=ZAED=25°,求/EKD的度数.

4

图1图2图3

【变式1-1］（2022秋•古县期末）如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使/1=1

50°,ABLBC,则/2的度数为（

C.120°D.130°

【变式1-2］（2023•金安区一模）如图，已知Zl=45°,Z2=125°,则NABC的

C.115°D.125

【变式1-3］（2023秋•北倍区期末）如图，AB〃CD点E是直线AB,C。之间一点.

(1)如图1,求证：ZB+ZD+ZE=360°；

（2）如图2,若/B=120°,ABED,/CDE的平分线相交于点足求/。尸E的度数;

(3)如图3,若/D=a,ZEBF=4ZABF,ZBEF=4ZDEF.请直接写出/BFE的度

数（用含a的代数式表示）.

图1图2图3

【变式1-4](2023秋•重庆期末)已知，MN//PQ,直线AB交MN于点A,交PQ于点B,

点C在线段AB上，过C作射线CE、CF分别交直线MN、P。于点E、F.

图1图2图3

(1)如图1,当CE_LCF时，求/AEC+/BFC的度数；

(2)如图2,若NMEC和NPPT的角平分线交于点G,求NECF和NG的数量关系；

(3)如图3,在(2)的基础上，3CE±CF,且/ABP=60°,ZACE=20°时，射线

FT绕点、F以5°每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为f秒，当射线PG与的一

边互相平行时，请直接写出f的值.

干漉型解密

结论2：^ZP=ZAEP+ZCFP,贝!|A5〃CD.

典例精讲

【典例2】（2023春•邵阳县期末）如图，直线AB〃CD,连接ER直线AB,C。及线段

EF把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点G落在某个

部分时，连接GE,GF,构成/EGFZGEB,/GF7）三个角.

①①

图一图二

（1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：ZEGF,ZGEB,/GFD三者的关

系;

（2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立,

说明理由.

【变式2-1］（2023•盘锦）如图，直线A8〃CD,将一个含60°角的直角三角尺EG/按图

中方式放置，点E在A3上，边GF,所分别交CD于点〃，K,若N3E尸=64°,则N

A.44°B.34°C.24°D.14°

【变式2-2］（2023•大石桥市校级三模）如图，直线a//b,等边AABC的顶点C在直线b

上，Zl=28°,则/2的度数为（）

A.36°B.24°C.28°D.32°

【变式2-3］（2023春•浏阳市期末）（1）感知与探究：如图①，直线过点E作E

F//AB.请直接写出/B,/D,/BE。之间的数量关系：；

（2）应用与拓展：如图②，直线AB〃CD.若/8=23°,ZG=35°,ZD=25°,借

助第（1）问中的结论，求NBEG+NGFD的度数；

（3）方法与实践：如图③，直线AB//CD.若/E=/B=60°,ZF=85°,则

度

图①图②图③

【变式2-4］（2023春•霸州市期中）如图1,AB//CD,ZE4B=135°,ZPCD=125°,求

/APC度数.

小明的思路是：过P作尸如图2,通过平行线性质来求NAPC.

（1）按小明的思路，易求得/APC的度数为—；请说明理由；

（2）如图3,AD〃BC,点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，ZA

DP=Za,ZBCP=Z^,则NCPD、Na、之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在A、2两点外侧运动时（点P与点A、B、。三点不

重合），请你直接写出/CP。、/a、间的数量关系.

【变式2-5］（2023春•南漳县期中）如图1,点A是直线”。上一点，C是直线GE上一点,

8是直线H。、GE之间的一点.ZHAB+ZBCG=ZABC.

（1）求证：AD//CE；

（2）如图2,作NBCF=N3CG,CP与的角平分线交于点R若a邛=50°,求

ZB+ZF的度数;

(3)如图3,CR平分NBCG,BN平分'/ABC,BM//CR,已知NA4H=40°,试探究

图1图2图3

y模型解密

结论2：若NP=NAEP-NCb或NP=NCfT-NAEP,则A3〃C0.

「Si典例精讲

【典例3】(2023春•中山区期末)如图，ZABE+ZBED=ZCDE.

(1)如图1,求证AB〃CD；

(2)如图2,点尸在AB上，ZCDP=ZEDP,BF平分/ABE,交PD于点、F,探究/

BFP,NBED的数量关系，并证明你的结论；

(3)在(2)的条件下，如图3,PQ交ED延长线于点。，ZDPQ=2ZAPQ,ZPQD

【变式3-1](2023春•伊通县期末)如图1,线段C。是由线段AB平移得到的.分别连接8

D,AC.直线3ELAC于点£,延长DC与BE相交于点冗点尸是射线ED上的一个动

点，点尸不与点尺点C、点。重合.连接BP,EP.

(1)线段AC,8。的关系是

(2)如图1,当点尸在线段PC上运动时，ZDBP,ZCEP,NBPE之间的数量关系是

(3)如图2,当点尸在线段CO上运动时，ZDBP,ZCEP,/BPE之间的数量关系是

否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由；

(4)如图3,当点P在点D上方运动时，请直接写出尸，ZCEP,/2PE之间的数

量关系：.

【变式3-2](2023春•大足区期末)已知直线AB〃CD,E为平面内一点，连接EB、EC.

(1)如图1,已知NB=32°,ZC=120°,求/BEC的度数；

(2)如图2,判断NABE、NBEC、NDCE之间的数量关系为；

(3)如图3,BELCE,BF平分/ABE,若/ECF+4/ECD=90°，求々FC的度

数.

图1图2图3

【变式3-3］（2023春•吴兴区期中）已知：AB//CD,E、G是AB上的点，F、H是CD上

的点，Z1=Z2.

（1）如图1,求证：EF//GH；

（2）如图2,过尸点作FM±GH交GH延长线于点M,作/BEF、ZDFM的角平分线

交于点N,EN交GH于点、P,求证：ZN=45°；

（3）如图3,在（2）的条件下，作/AG”的角平分线交C。于点Q,若3/FEN=4/

HFM,直接写出/GQH的值.

ZMPN

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1.（2023•五华区校级模拟）如图，点B在ACDE的边EC的延长线上，AB//CD,若NB

=50°,NE=30；则NO的度数为（）

A.15°B.20°C.30°D.50°

2.（2023•西峡县三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB//CD,Zl=30°,Z2

3.（2023春•西塞山区期中）如图，AB与HN交于点、E,点G在直线CD上，GF交A2于

点M,ZFMA=ZFGC,NFEN=2/NEB,ZFGH=2ZHGC,下列四个结论：①AB〃

CD；®ZEHG=2ZEFM；③/EHG+/EFM=90°；®3>ZEHG-ZEFM=180°.其

中正确的结论是（）

A.①②③B.②④C.①②④D.①④

4.（2023春•德城区期末）已知M,N分别是长方形纸条ABCD边AB,C。上两点（AM>

DN）,如图1所示，沿M,N所在直线进行第一次折叠，点A,。的对应点分别为点E,

F,EM交CD于点、P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B,C的对应点分

图1图2

A.74°B.72°C.70°D.68°

5.（2023•西城区二模）如图，MAB//CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,ZBEF

的平分线交CD点G,若NBEF=116°,则/EGC的大小是（）

AEB

CF/G\D

A.116°B.74°C.64°D.58°

6.（2023•佛山二模）如图，把正方形ABC。沿EF折叠，点A的对应点为点A',点B的

对应点为点V,若Nl=40°,则NAEF的度数是（）

A.100°B.110°C.115°D.120°

7.（2023秋•长春期末）如图，AB//CD,点E、歹分别在直线A3、上，点P是AB、C

D之间的一个动点.

【感知】如图①，当点尸在线段EP左侧时，若NAEP=50°,ZPFC=10°,求NEPF

的度数.

分析：从图形上看，由于没有一条直线截与CD所以无法直接运用平行线的性质，

这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点P作PG〃AB,根据

两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知PG//CD,进而求出

/EP尸的度数.

【探究】如图②，当点尸在线段所右侧时，NAEP、NEPF、NPPC之间的数量关系为

图①图②

8.(2023春•天元区校级期末)如图，AQ//BP,AB±BP,E、C、。分别是线段AQ、AB,

8尸上的点，且满足EC，C£>.斯是/GEC的角平分线与8尸交于点R在上截一点G,

连接GF,令GF=FE.

(1)如图1,若NAEC=40°,求/CD2的度数.

(2)如图1,连接GP,若GP〃EF,X是线段EP上的一点(FHCHP),连接G8,使

得2/GHP=3/AEC,求/FGH和/CDB的数量关系.

(3)如图2,在(2)的条件下，过点。作QWLGP,垂足为N是线段GP上的一

点，且满足/QNM=_|/GM.求/GQN和/CEF的数量关系.

9.（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图,

直线CD,点N在直线CD上，点P在直线上,点M为平面上任意一点，连接

MP,MN,PN.

（1）如图1,点M在直线O）上，PM平分NAPN,试说明

（2）如图2,点M在直线AB,CD之间，NPMN=10°,ZMNC=30°,求/APM的

度数；

（3）如图3,和NMNC的平分线交于点Q,NPQN与NPMN有何数量关系？并

说明理由.

10.（2023春•海阳市期末）如图，AM//BN,ZA=40°,点P是射线AM上一动点（不与

点A重合），BC,8。分别平分/ABP和交射线AM于C,。两点.

（1）求的度数；

（2）当点尸运动到使44cB时，求/ABC的度数；

（3）当点尸运动时，NAPB与NADB的度数之比是否随之发生变化？若不变，求出NA

尸8与/ADB的度数之比；若变化，请说明变化规律.

ACPDM

11.（2023春•大同期末）综合与探究

已知直线A2〃CD,直线所分别与AB,C。交于点G,H（0°<ZEHD<90°）.将一

把含30°角的直角三角尺尸MN按如图1所示的方式放置，使点N,M分别在直线AB,

CD上，且在直线跖的右侧.

（1）填空：ZPNB+ZPMD=ZMPN.（填“>”或“=”）

（2）若/MNG的平分线NO交直线CD于点O.

①如图2,当NO〃PM〃EF时，求/£7/。的度数；

②如图3,若将三角尺PMN沿直线54向左移动，保持〃所（点N不与点G重合），

点N,M分别在直线AB、C。上，请直接写出/MON和/E/TO之间的数量关系.

12.（2023春•安阳期末）【学习新知】

射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等.如

图1,AB是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为/I,反射光线与水平镜面的夹角为

Z2,则N1=N2.

（1）【初步应用】

生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距.如图2当一束“激光”DO

1射到平面镜AB上，被平面镜AB反射到平面镜3c上，又被平面镜BC反射后得到反射

光线O2E,回答下列问题：

①当。。1〃石。2/4。1。=30°（即Nl=30°）时，求/。1。2石的度数；

②当NB=90°时，任何射到平面镜上的光线。01经过平面镜4B和8C的两次反射

后，入射光线与反射光线总是平行的.请你根据所学知识及新知说明理由.

（提示：三角形的内角和等于180°）

(2)【拓展探究】

如图3,有三块平面镜AB,BC,CD,入射光线£。1经过三次反射，得到反射光线。3尸

已知N1=N6=35°,若要使£01〃。3尸，请直接写出的度数

13.(2023春•宜都市期中)已知，直线AB〃C。，点E、尸分别在直线AB、上，点尸

是直线与C。外一点，连接尸E、PF.

(1)如图1,若/AEP=45°,ZDFP=}05°,求/EP尸的度数；

(2)如图2,过点E作/AEP的角平分线交EP的延长线于点M,ND"的角平分

线FN交.EM的反向延长线交于点N,若与3/N互补，试探索直线EP与直线FN

的位置关系，并说明理由；

(3)若点尸在直线的上方且不在直线EP上，作/。"的角平分线FW交NAEP的

角平分线所在直线于点N,请直接写出NEP尸与/环下的数量关系.