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文档简介

专题01平行线的四大模型

Q模型解密

模型一“铅笔”模型

结论1:^AB//CD,贝!|NP+NAEP+NEFC=360°;

结论2:^ZP+ZAEP+ZPFC=360°,贝!]AB〃CD

「Si典例精讲

【典例1】(2023秋•南岗区校级期中)已知,射线尸G分别交射线AB、0c于点足G,点、

E为射线尸G上一点.

(1)如图1,^ZA+ZD=ZAED,求证:AB//CD.

(2)如图2,若AB〃CZ),求证:ZA-ZD=ZAED.

(3)如图3,在(2)的条件下,£>/交A/于点I,交AE于点K,ZEDI=1ZCDE,Z

4

BAI=^-ZEAI,ZZ=ZAED=25°,求/EKD的度数.

4

图1图2图3

【变式1-1](2022秋•古县期末)如图:按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角,并使/1=1

50°,ABLBC,则/2的度数为(

C.120°D.130°

【变式1-2](2023•金安区一模)如图,已知Zl=45°,Z2=125°,则NABC的

C.115°D.125

【变式1-3](2023秋•北倍区期末)如图,AB〃CD点E是直线AB,C。之间一点.

(1)如图1,求证:ZB+ZD+ZE=360°;

(2)如图2,若/B=120°,ABED,/CDE的平分线相交于点足求/。尸E的度数;

(3)如图3,若/D=a,ZEBF=4ZABF,ZBEF=4ZDEF.请直接写出/BFE的度

数(用含a的代数式表示).

图1图2图3

【变式1-4](2023秋•重庆期末)已知,MN//PQ,直线AB交MN于点A,交PQ于点B,

点C在线段AB上,过C作射线CE、CF分别交直线MN、P。于点E、F.

图1图2图3

(1)如图1,当CE_LCF时,求/AEC+/BFC的度数;

(2)如图2,若NMEC和NPPT的角平分线交于点G,求NECF和NG的数量关系;

(3)如图3,在(2)的基础上,3CE±CF,且/ABP=60°,ZACE=20°时,射线

FT绕点、F以5°每秒的速度顺时针旋转,设运动时间为f秒,当射线PG与的一

边互相平行时,请直接写出f的值.

干漉型解密

结论2:^ZP=ZAEP+ZCFP,贝!|A5〃CD.

典例精讲

【典例2】(2023春•邵阳县期末)如图,直线AB〃CD,连接ER直线AB,C。及线段

EF把平面分成①②③④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点G落在某个

部分时,连接GE,GF,构成/EGFZGEB,/GF7)三个角.

①①

图一图二

(1)当动点G落在第③部分时,如图一,试说明:ZEGF,ZGEB,/GFD三者的关

系;

(2)当动点G落在第②部分时,如图二,思考(1)中三者关系是否仍然成立若不成立,

说明理由.

【变式2-1](2023•盘锦)如图,直线A8〃CD,将一个含60°角的直角三角尺EG/按图

中方式放置,点E在A3上,边GF,所分别交CD于点〃,K,若N3E尸=64°,则N

A.44°B.34°C.24°D.14°

【变式2-2](2023•大石桥市校级三模)如图,直线a//b,等边AABC的顶点C在直线b

上,Zl=28°,则/2的度数为()

A.36°B.24°C.28°D.32°

【变式2-3](2023春•浏阳市期末)(1)感知与探究:如图①,直线过点E作E

F//AB.请直接写出/B,/D,/BE。之间的数量关系:;

(2)应用与拓展:如图②,直线AB〃CD.若/8=23°,ZG=35°,ZD=25°,借

助第(1)问中的结论,求NBEG+NGFD的度数;

(3)方法与实践:如图③,直线AB//CD.若/E=/B=60°,ZF=85°,则

图①图②图③

【变式2-4](2023春•霸州市期中)如图1,AB//CD,ZE4B=135°,ZPCD=125°,求

/APC度数.

小明的思路是:过P作尸如图2,通过平行线性质来求NAPC.

(1)按小明的思路,易求得/APC的度数为—;请说明理由;

(2)如图3,AD〃BC,点P在射线上运动,当点P在A、B两点之间运动时,ZA

DP=Za,ZBCP=Z^,则NCPD、Na、之间有何数量关系?请说明理由;

(3)在(2)的条件下,如果点P在A、2两点外侧运动时(点P与点A、B、。三点不

重合),请你直接写出/CP。、/a、间的数量关系.

【变式2-5](2023春•南漳县期中)如图1,点A是直线”。上一点,C是直线GE上一点,

8是直线H。、GE之间的一点.ZHAB+ZBCG=ZABC.

(1)求证:AD//CE;

(2)如图2,作NBCF=N3CG,CP与的角平分线交于点R若a邛=50°,求

ZB+ZF的度数;

(3)如图3,CR平分NBCG,BN平分'/ABC,BM//CR,已知NA4H=40°,试探究

图1图2图3

y模型解密

结论2:若NP=NAEP-NCb或NP=NCfT-NAEP,则A3〃C0.

「Si典例精讲

【典例3】(2023春•中山区期末)如图,ZABE+ZBED=ZCDE.

(1)如图1,求证AB〃CD;

(2)如图2,点尸在AB上,ZCDP=ZEDP,BF平分/ABE,交PD于点、F,探究/

BFP,NBED的数量关系,并证明你的结论;

(3)在(2)的条件下,如图3,PQ交ED延长线于点。,ZDPQ=2ZAPQ,ZPQD

【变式3-1](2023春•伊通县期末)如图1,线段C。是由线段AB平移得到的.分别连接8

D,AC.直线3ELAC于点£,延长DC与BE相交于点冗点尸是射线ED上的一个动

点,点尸不与点尺点C、点。重合.连接BP,EP.

(1)线段AC,8。的关系是

(2)如图1,当点尸在线段PC上运动时,ZDBP,ZCEP,NBPE之间的数量关系是

(3)如图2,当点尸在线段CO上运动时,ZDBP,ZCEP,/BPE之间的数量关系是

否发生变化?若发生变化请写出它们的关系,并证明;若没有发生变化,请说明理由;

(4)如图3,当点P在点D上方运动时,请直接写出尸,ZCEP,/2PE之间的数

量关系:.

【变式3-2](2023春•大足区期末)已知直线AB〃CD,E为平面内一点,连接EB、EC.

(1)如图1,已知NB=32°,ZC=120°,求/BEC的度数;

(2)如图2,判断NABE、NBEC、NDCE之间的数量关系为;

(3)如图3,BELCE,BF平分/ABE,若/ECF+4/ECD=90°,求々FC的度

数.

图1图2图3

【变式3-3](2023春•吴兴区期中)已知:AB//CD,E、G是AB上的点,F、H是CD上

的点,Z1=Z2.

(1)如图1,求证:EF//GH;

(2)如图2,过尸点作FM±GH交GH延长线于点M,作/BEF、ZDFM的角平分线

交于点N,EN交GH于点、P,求证:ZN=45°;

(3)如图3,在(2)的条件下,作/AG”的角平分线交C。于点Q,若3/FEN=4/

HFM,直接写出/GQH的值.

ZMPN

猫专题训练

1.(2023•五华区校级模拟)如图,点B在ACDE的边EC的延长线上,AB//CD,若NB

=50°,NE=30;则NO的度数为()

A.15°B.20°C.30°D.50°

2.(2023•西峡县三模)如图是一款手推车的平面示意图,其中AB//CD,Zl=30°,Z2

3.(2023春•西塞山区期中)如图,AB与HN交于点、E,点G在直线CD上,GF交A2于

点M,ZFMA=ZFGC,NFEN=2/NEB,ZFGH=2ZHGC,下列四个结论:①AB〃

CD;®ZEHG=2ZEFM;③/EHG+/EFM=90°;®3>ZEHG-ZEFM=180°.其

中正确的结论是()

A.①②③B.②④C.①②④D.①④

4.(2023春•德城区期末)已知M,N分别是长方形纸条ABCD边AB,C。上两点(AM>

DN),如图1所示,沿M,N所在直线进行第一次折叠,点A,。的对应点分别为点E,

F,EM交CD于点、P;如图2所示,继续沿进行第二次折叠,点B,C的对应点分

图1图2

A.74°B.72°C.70°D.68°

5.(2023•西城区二模)如图,MAB//CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,ZBEF

的平分线交CD点G,若NBEF=116°,则/EGC的大小是()

AEB

CF/G\D

A.116°B.74°C.64°D.58°

6.(2023•佛山二模)如图,把正方形ABC。沿EF折叠,点A的对应点为点A',点B的

对应点为点V,若Nl=40°,则NAEF的度数是()

A.100°B.110°C.115°D.120°

7.(2023秋•长春期末)如图,AB//CD,点E、歹分别在直线A3、上,点P是AB、C

D之间的一个动点.

【感知】如图①,当点尸在线段EP左侧时,若NAEP=50°,ZPFC=10°,求NEPF

的度数.

分析:从图形上看,由于没有一条直线截与CD所以无法直接运用平行线的性质,

这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形,过点P作PG〃AB,根据

两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行,可知PG//CD,进而求出

/EP尸的度数.

【探究】如图②,当点尸在线段所右侧时,NAEP、NEPF、NPPC之间的数量关系为

图①图②

8.(2023春•天元区校级期末)如图,AQ//BP,AB±BP,E、C、。分别是线段AQ、AB,

8尸上的点,且满足EC,C£>.斯是/GEC的角平分线与8尸交于点R在上截一点G,

连接GF,令GF=FE.

(1)如图1,若NAEC=40°,求/CD2的度数.

(2)如图1,连接GP,若GP〃EF,X是线段EP上的一点(FHCHP),连接G8,使

得2/GHP=3/AEC,求/FGH和/CDB的数量关系.

(3)如图2,在(2)的条件下,过点。作QWLGP,垂足为N是线段GP上的一

点,且满足/QNM=_|/GM.求/GQN和/CEF的数量关系.

9.(2023春•安化县期末)在课后学习中,小红探究平行线中的线段与角的数量关系,如图,

直线CD,点N在直线CD上,点P在直线上,点M为平面上任意一点,连接

MP,MN,PN.

(1)如图1,点M在直线O)上,PM平分NAPN,试说明

(2)如图2,点M在直线AB,CD之间,NPMN=10°,ZMNC=30°,求/APM的

度数;

(3)如图3,和NMNC的平分线交于点Q,NPQN与NPMN有何数量关系?并

说明理由.

10.(2023春•海阳市期末)如图,AM//BN,ZA=40°,点P是射线AM上一动点(不与

点A重合),BC,8。分别平分/ABP和交射线AM于C,。两点.

(1)求的度数;

(2)当点尸运动到使44cB时,求/ABC的度数;

(3)当点尸运动时,NAPB与NADB的度数之比是否随之发生变化?若不变,求出NA

尸8与/ADB的度数之比;若变化,请说明变化规律.

ACPDM

11.(2023春•大同期末)综合与探究

已知直线A2〃CD,直线所分别与AB,C。交于点G,H(0°<ZEHD<90°).将一

把含30°角的直角三角尺尸MN按如图1所示的方式放置,使点N,M分别在直线AB,

CD上,且在直线跖的右侧.

(1)填空:ZPNB+ZPMD=ZMPN.(填“>”或“=”)

(2)若/MNG的平分线NO交直线CD于点O.

①如图2,当NO〃PM〃EF时,求/£7/。的度数;

②如图3,若将三角尺PMN沿直线54向左移动,保持〃所(点N不与点G重合),

点N,M分别在直线AB、C。上,请直接写出/MON和/E/TO之间的数量关系.

12.(2023春•安阳期末)【学习新知】

射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如

图1,AB是平面镜,若入射光线与水平镜面的夹角为/I,反射光线与水平镜面的夹角为

Z2,则N1=N2.

(1)【初步应用】

生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距.如图2当一束“激光”DO

1射到平面镜AB上,被平面镜AB反射到平面镜3c上,又被平面镜BC反射后得到反射

光线O2E,回答下列问题:

①当。。1〃石。2/4。1。=30°(即Nl=30°)时,求/。1。2石的度数;

②当NB=90°时,任何射到平面镜上的光线。01经过平面镜4B和8C的两次反射

后,入射光线与反射光线总是平行的.请你根据所学知识及新知说明理由.

(提示:三角形的内角和等于180°)

(2)【拓展探究】

如图3,有三块平面镜AB,BC,CD,入射光线£。1经过三次反射,得到反射光线。3尸

已知N1=N6=35°,若要使£01〃。3尸,请直接写出的度数

13.(2023春•宜都市期中)已知,直线AB〃C。,点E、尸分别在直线AB、上,点尸

是直线与C。外一点,连接尸E、PF.

(1)如图1,若/AEP=45°,ZDFP=}05°,求/EP尸的度数;

(2)如图2,过点E作/AEP的角平分线交EP的延长线于点M,ND"的角平分

线FN交.EM的反向延长线交于点N,若与3/N互补,试探索直线EP与直线FN

的位置关系,并说明理由;

(3)若点尸在直线的上方且不在直线EP上,作/。"的角平分线FW交NAEP的

角平分线所在直线于点N,请直接写出NEP尸与/环下的数量关系.

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