苏科版九年级数学下册 第六章 图形的相似（知识归纳+题型突破）（解析版）

第六章图形的相似（知识归纳+题型突破）

课标要求

1、掌握相似图形的概念、会判断相似图形，熟练掌握相似的判定与性质。

2、能应用相似的判定方法解决简单问题。

基础知识归纳

一、相似三角形的判定方法

（1）基本事实法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三

角形相似；

（2）两角对应相等，两三角形相似；

（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（4）三边对应成比例，两三角形相似.

二、相似三角形的性质

相似三角形的周长比等于相似比

相似三角形的面积比等于相似比的平方

相似三角形对应高（中线、角平分线）的比等于相似比

在小ABCCDE中,

AABC^ACDE

B、C、D三点共线，

AB_BCAC

CD~ED~CE

ZB=ZD=ZACE=60°

在小ABC和小CDE中,

AABC^ACDE

、、三点共线，

BCDABBCAC

ZB=ZD=ZACE

四、位似图形

（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位

似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

注意:

①位似是一■种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一■定是位

似图形；

②两个位似图形的位似中心只有一个；

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；

④位似比就是相似比.

（2）位似图形的主要特征是：①每对位似对应点与位似中心共线②不经过位似中心的对应线段平行.

题型一比例的性质

【例1】如果6加=7rl（林丰0）,那么下列比例式成立的是（）

m7mn„m6

A.—=-B.—=-C.—=-

6n76n7

【答案】B

【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断，即可.

m7

【详解】A、?=变形为：42=加，不符合题意；

6n

TTJrj

B、变形为：6m=7n,符合题意；

C、"=!，变形为：7m=617,不符合题意；

n7

D、?=变形为：7m=6n,不符合题意；

故选：B.

ce.1,34一2c+e,­,

【例2】右7=：=7=w，则a八y-7的值为()

baf33b-2d+f

A.-B.1C.1.5D.3

3

【答案】A

【分析】先用b、d、/分别表示出a、c、e,再代入要求的式子即可.

【详解】解：由：=5=9=4，

baj3

b=3a,d=3c,f=3e,

3q—2c+e3〃-2c+e3〃—2c+e1

3b-2d+f3x3〃-2x3c-3e3x(3〃-2c+e)3'

故选：A.

【例3】已知四条线段a、b、c、d满足/=则下列各式一定成立的是（）

ba

cbcda+dc+bc+dc

【答案】D

【分析】根据比例的性质进行判断即可.

【详解】解：A、由已知：=二，可得故本选项不符合题意；

baca

B、由已知£=:，可得ad=bc,故本选项不符合题意；

ba

C、由已知f=可得上7=—J,故本选项不符合题意；

baa+bc+d

一,―.,cic_Qcfl,a+ba>,▼上“左人口=.

D、由已知丁=:，可RZ得T=1----=----,那么----,故本选项付合题息.

baa+bc+ac+ac

故选：D.

巩固训练

1.若。:。=3:2,且62=℃,贝!|6:c等于（）

A.4:3B.3:2C.2:3D.3:4

【答案】B

【分析】根据比例的基本性质，若b2=ac,则b：c可求.

【详解】•；a：b=3：2,且b2=ac,

.*.b：c=a：b=3：2.

故选B.

2.若4x=3y,则土=.

y

3

【答案】4

【分析】根据比例的性质，即可.

【详解】•Uy,

.x_3

,•y一"

3

故答案为：—.

4

题型二比例尺

【例4】在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm.那么上海到杭州的实际

距离是（）

A.17kmB.34kmC.170kmD.340km

【答案】C

【分析】要求3.4厘米表示的实际距离是多少千米，根据“图上距离一比例尺=实际距离”，代入数值计算即

可求解.

【详解】解:3.4+行焉而=3.4x5000000=17000000（厘米），

17000000厘米=170千米，

答：上海到杭州的实际距离是170千米，

故选：C.

【例5】A、8两地的实际距离=250米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比

是.

【答案】1:5000

【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离，直接求出即可.

【详解】解：250米=25000厘米，

.••比例尺=5:25000=1:5000；

故答案为：1:5000.

巩固训练

3.某地图上Icn?面积表示实际面积900m2,则该地图的比例尺是（）

A.1:30B.1:3000C.1:900D.1:90000000

【答案】B

【分析】先设该地图的比例尺是1：/根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得x的值即可.

【详解】解：设该地图的比例尺是1：x,根据题意得：

1：N=l：9000000,

解得尤/=3000,X2=-3000（舍去）.

则该地图的比例尺是1：3000；

故选：B.

4.若在比例尺为1:1000000的地图上，测得两地的距离为1.5厘米，则这两地的实际距离是千

米

【答案】15

【分析】设两地间的实际距离是xcm,由在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为1.5厘米，

即可得方程“，“八=空,解方程即可求得x的值，然后换算单位即可求得答案.

1000000x

【详解】解：设两地间的实际距离是尤cm,

•.•比例尺为1：1000000,量得两地间的距离为1.5cm,

.1一1$

■"1000000-V

解得：x=1500000,

1500000cm=15km,

两地间的实际距离是15千米，

故答案为：15.

5.在比例尺为1：800000的盐城市地图上，大丰实验初中与滨海第一初级中学的图上距离为16c〃z,则实际

距离为km.

【答案】128

【分析】根据比例尺直角计算即可.

【详解】解：设实际距离为xcm,

二•比例尺为1：800000,

.*.16：x=l：800000

x=12800000

12800000cm=128km；

故答案为：128.

题型三比例线段

【例6】下列各组的四条线段a,b,c,d是成比例线段的是（）

A.a=4,6=3,c=5,d=岔B.a=l,b=2,c=3,d=4

C.a=y/2,b=3,c=2,d=A/3D.a=2,b=y/5,c=2-\/3,d=-\/15

【答案】D

【分析】根据比例线段的定义，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，对选项一

一分析，即可得出答案.

【详解】解：A、3x店片4x3,故此选项不符合题意；

B、1X4N2X3,故此选项不符合题意；

C、应X3H2X6，故此选项不符合题意；

D、2x^/1?=75x2^,故此选项符合题意，

故选：D.

【例7】已知线段。是线段b,c的比例中项，6=4cm,c=9cm,贝!Ja为（）cm.

A.36B.-36C.6D.-6

【答案】C

【详解】根据题意可得4=6c,代入数值，解答出即可，注意线段为正值.

【解答】解：由题意得，a2=bc

b=4cm,c=9cm

a2=be

/.O]=6,a2=-6（舍）

••a=6.

故选：C.

巩固训练

6.下列各组线段中，不成比例的是（）

A.30cm,20cm,90cm,60cmB.4cm,6cm,8cm,10cm

C.11cm,22cm,33cm,66cmD.2cm,4cm,4cm,8cm

【答案】B

【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的

积，相等即成比例；不相等即不成比例.

【详解】A、从小到大排列，由于20x90=30x60,所以成比例，不符合题意；

B、从小到大排列，由于4x10力6x8,所以不成比例，符合题意；

C、从小到大排列，由于22x33=11x66,所以成比例，不符合题意;

D、从小到大排列，由于4x4=2x8,所以成比例，不符合题意.

故选B.

7.线段c是线段a,b的比例中项，其中a=4,b=5,则c=

【答案】2A/5

【分析】根据比例中项的定义可得c2=ab,从而易求c.

【详解】•••线段c是线段a,b的比例中项，

c2-ab,

\'a=4,b=5,

c2=20,

；.c=2君（负数舍去），

故答案是2否.

一x2,x-y

8.（1）若一=可，则一=;

>3y

（2）若.=贝4答=___________;

45a-b

（3）若2x—5y=0,贝lj（3x+y）:（4x-3y）=.

【答案】（1）-1;（2）-13；（3）17:14.

【分析】（1）对土二上化简得再把土=:代入，即可；

yyy3

ab49/7+h

（2）根据£=得a=/,把。的值代入丝?，即可；

455a-b

⑶对2x-5y=0化简，得x=|y,把彳的值代入（3x+y）:（4x—3y）,即可

X2

【详解】（1）

y3

.尤-y」i_2]_1

,.-----------1-----1-----•

yy33,

故答案为：

(2)・・g=2

・4-5

：.a=-b

5

。4，

2x—b+bz

2a+b

a-b

-b-b

5

故答案为：-13.

(3)*.*2x—5y=0,

•,•x=~5y

/.(3x+y):(4x-3y)

=13xgy+y］：［4xgy_3y

=17:14.

故答案为：17:14.

题型四由平行判断成比例的线段

?

【例8】如图，在口&8。中，AE^-AD,连接BE,交AC于点P,AC=12,则AF为（

A.3B.4C.4.2D.4.8

【答案】D

【分析】根据平行四边形的对边相等可得AD=3C,然后求出==再根据平行线分线段成比

例定理求出AF、FC的比，然后求解即可.

【详解】解：在YABCD中，AD=BC,ADHBC,

AE^-AD,

3

22

\AE=-AD=-BC

33

AD//BC,

•AE_2

~~FC~~BC~^

AC=12,

A/=^-xl2=4.8.

2+3

故选：D.

【例9】如图，在YABCD中，E,F,G依次是对角线8。上的四等分点，连结CG并延长交AD于点M,连

结并延长交8C于点H.若MF=MC,MG=1,MH的长为（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】根据AD〃BC,得到黑=哄=?，根据四等分点和MG得到CG,可得MC=MF=4,再证明

ZJCCCJDQJ

r)pMF

隹=弁=1可得H凡可得MH.

Drrri

【详解】解：・・•四边形ABC。是平行四边形，

J.AD//BC,

.MDMGDG

**BC-CG-?

•:E,F,G依次是对角线5。上的四等分点，MG=1,

-1_DGJ

，9CG~BG~3'

・・・CG=3,

JMF=MC=MG+CG=49

9：AD//BC,

.DFMF1

••赤=而j

:・HF=4,

:・MH=MF+HF=8,

故选D.

【例10］如图，li//l2//l3,AB=3,DE=2,EF=4,贝iJAC=.

【答案】9

【分析】由平行线得出比例式，求出BC的长，即可得出求AC的长.

【详解】解：'：ll//l2//l3,

.AB_DE

’•正一百

BP—=-

BC4

解得：BC=6,

：.AC=AB+BC=9,

故答案为：9.

巩固训练

9.已知M,N分别为AB,AC上的两点，且MN/ABC,AN:AC=4:5,若钻=10,则4〃的长为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根据平行线分线段成比例列方程即可得答案.

【详解】解：MNHBC,

:.AN:AC=AM:AB,

4V:AC=4:5,AB=10,

:.4:5=AM:10,

：.AM=8,

故选：c.

10.如图，。、E分别是AC和AB上的点，AD=DC=4,DE=3,DE//BC,ZC=90°,将AAOE沿着AB

边向右平移，当点。落在2c上时，平移的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根据勾股定理得到AE=+江=5,由平行线等分线段定理得到AE=BE=5,根据平移的性

质即可得到结论.

【详解】：/C=90°,DEIIBC,

：.ZADE=ZC=90°,

.••VADE是直角三角形，

・•・AE=JAD2+DE2="2+32=5'

•:DE〃BC,AD=DC=4,

：・AE=BE=5,

当点。落在BC上时，平移的距离为8E=5,

故选：C.

11.如图，已知一组平行线。〃b〃c,被直线机、〃所截，交点分别为A、B、C和。、E、F,且A8=3,BC

=4,斯=4.8,则。E的长为

【答案】3.6

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案.

【详解】解：

.DEAB

EFBC

即匹=3,

4.84

：.DE=3.6,

故答案为：3.6.

题型五黄金分割

【例11】某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离

为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（）

A.4.14米B.2.56米C.6.70米D.3.82米

【答案】A

【分析】设整个车身长为A3,点C表示倒车镜位置，根据黄金分割确定的长，继而确定车身长，对照

选项判断即可.

【详解】解：如图，设整个车身长为A3,点C表示倒车镜位置，

I_____I_______________I

ACB

根据题意，AC=1.58米，

30=1.58+0.618=2.56米，

车长AB=AC+8C=L58+2.56=4.14米，

故选A.

【例12】鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，点尸

是A3的黄金分割点（AP>3P）,若线段AB的长为6cm,则AP的长为（）

A.(3>/5-3jcmB.(3-6卜mC.(9-3\^cmD.(Gfcm

【答案】A

【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答.

【详解】解：P是的黄金分割点（AP>3P）,线段AB的长为6cm,

.APA

•.---=--/-5---1，

AB2

AP=布21x6=（3^5-3）cm,

故选：A.

巩固训练

12.主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处是最自然得体的，现在班级元旦晚会开始了，主持人

从讲台黄金分割点C走到另一个黄金分割点。，若讲台A3的长为（6+1）米，则CD的长为（）米

A.（3-石）B.2C.（A/5-1）D.（75-2）

【答案】A

【分析】不妨设点C靠近点A,根据黄金分割点的定义求出AC,AD的长即可得到答案.

【详解】解:不妨设点C靠近点A,

•••讲台的长为（君+1）米，C、。都是讲台AB的黄金分割点，

/.AD=BC=^=^AB=^^-x（V5+l）=27|t,

：.AC=AB-BC=y/5+1-2=^5-1,

：.8=AO-AC=2-6+1=（3-6）米，

故选A.

13.若线段45长为2cm,尸是AB的黄金分割点且R4>PB,则线段3P=cm.

【答案】（3-遥）/（一石+3）

【分析】根据黄金分割的概念及上4>尸3得到9=必工48,从而求出24的长，再根据=丛进

2

行计算即可得到答案.

【详解】解：尸是A3的黄金分割点且B4>PB,

:.PA=^^-AB,

2

线段长为2cm,

PA=---x2cm=（有-1）cm,

..PB=AB-PA=2-（75-l）=（3-75）cm,

故答案为：（3-君）.

14.已知点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC,若AB=1,则AC的长为.

【答案】叵口

2

【分析】根据黄金分割点的定义解答，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的

比例中项.

【详解】解：•点C是线段A3的黄金分割点，AOBC,

设AC=x,BC=l—x,

/.X2=1（1-X）,

/+%—1=0,

A=l+4=5>0,

-1.6

X=----------,

2

玉=勺，%=土@（舍去），

222

,AC=星，

2

故答案为：苴二1.

2

15.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即

车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618）,若车头与倒车镜的水平距离为L91m,则该车车身总长为m.

【分析】设该车车身总长为仙，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为Q618x,则根

据题意列方程x-0.618x=1.91,然后解方程即可.

【详解】解：设该车车身总长为处】，

•.•汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置,

.••汽车倒车镜到车尾的水平距离为Q618x,

/.x-0.618x=1.91,

解得尤=5,

即该车车身总长为5米.

故答案为：5.

16.（1）点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP,AB=6厘米，求3P的长;

（2）己知点尸是线段AB的黄金分割点，AB=y/5+l,求”的值.

【答案】（1）8尸=（9-3百）厘米；（2）AP=2^AP=y/5-l.

【分析】（1）根据条件建立等式AP=叵2AB,求解即可；

2

（2）利用分类讨论的思想讨论出黄金分割点，得出与原线段比例分别为止二1和三匹，然后建立等式求

22

解.

【详解】解：（1）根据黄金分割点定义，且

可知4尸=好匚48,止匕时

2

BP=$B=^^x6=(9_3灼厘米;

（2）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为苴二1和三至

22

故AP=避=^8=2或42=三38=正-1.

22

题型六相似图形性质

【例13］如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开后得到.矩形ABCD沿所对开后，再把矩形跖CO

AD

沿“N对开,依此类推.若各种开本的矩形都相似,那么而等于（）

A.81R舱D.—

D.--------C.a

222

【答案】B

【分析】根据矩形ABC。的面积是矩形4??话面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得

畸的值

【详解】解：：矩形ABCQ的面积是矩形AB/芯面积的2倍,

・，矩尸E=I

S矩^ABCD2

・・,各种开本的矩形都相似，

・S矩形48在_（ABA_1

S矩形ABCD2

•.•-A-B-=_-4-2-•

AD2

故选：B.

【例14】下列各组四边形中是相似多边形的是（）

A.一组邻边为2厘米和5厘米与一组邻边为3厘米和6厘米的矩形

B.有一个内角为30。的两个菱形

C.边长分别为3厘米和4厘米的两个菱形

D.两个高相等的等腰梯形

【答案】B

【分析】根据相似多边形的定义，即可求解.

【详解】解：B菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，是相

似多边形，则B选项符合题意；

A选项边不对应成比例，不是相似多边形，则A选项不符合题意；

C选项菱形有不稳定性，形状不固定，不是相似多边形，则C选项不符合题意；

D选项等腰梯形形状不固定，不是相似多边形，则D选项不符合题意.

故选：B

【例15】两个相似多边形的面积之比为1:2,则它们的对应高之比为（）

A.1：5/2B.1:2C.1:4D.1:8

【答案】A

【分析】利用相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求得相似多边形的相似比，再由相似多边形对

应高的比等于相似比即可求得结果.

【详解】解：：两个相似多边形的面积之比为1:2,

相似比是1:^2,

又：相似多角形对应高的比等于相似比,

.••对应边上高的比为i：VL

故选：A.

巩固训练

17.若一个多边形的各边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边长为24,则另一个

多边形的最短边长为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【分析】根据相似多边形的性质进行解答即可.

【详解】解：设另一个多边形的最短边长为x,根据题意得：

x_24

2~~6,

解得：x=8,

故选：B.

18.如图，将一张两边长分别为24cm和xcm的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩

形和原矩形相似，则x的值为（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】B

【分析】求出折叠后小矩形的一条边长，然后根据相似图形的性质列式计算即可.

【详解】解：：大矩形的一条边长为24cm,

.•・折叠后小矩形的一条边长为?24=6cm,

4

•••小矩形和原矩形相似，

,6_x

••一=，

x24

解得x=12（负值已舍去）,

故选：B.

19.下列各命题中，是真命题的是（）

A5Be

A.在RtZ\ABC与RtADEF中，——=——，RtZvlBC^RtAOEF

DEEF

B.底角都为45。的两个等腰梯形相似

C.一组邻边之比为5的两个平行四边形相似

D.有一个内角为100。的两个等腰三角形相似

【答案】D

【分析】根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理、等腰梯形、平行四边形的性质判断即可.

【详解】解：A、在Rt^ABC与RtADEF中，—,ZABC=ADEF,则RtAABCsRtZXDEF,原说法

DEEF

错误；

B、底角都为45。的两个等腰梯形对应边的比不一定相等，则不一定相似，原说法错误；

C、一组邻边之比为g的两个平行四边形，对应角不一定相等，不一定相似，原说法错误；

D、有一个内角为100。的两个等腰三角形相似，原说法正确；

故选：D.

题型七证明三角形相似（小题）

【例16］如图，在RtABC中，ZBAC^90°,AD±BC,垂足为。，则图中相似三角形共有（）对.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】可证得=ZADB=ZCDA=ZCAB=90°,所以相似三角形有3对.

【详解】解：：ZB+NDAB=90°,ABAD+ADAC=90°,

:.ZB=ZDAC.

・.•ZADB=ZCDA=90°f

：.ZXADB^^CDA.

NB=ZB,ZADB=NCAB,

二AADBs八CAB.

•：ZC=ZC,ZCDA=NCAB=90°,

ACDA^ACAB.

共有3对相似三角形.

故选:D

A.（1）和（2）B.（2）和（3）C.（1）和（3）D.(1)和(2)和(3)

【答案】B

【分析】由两角对应相等的两个三角形相似.即可判断.

【详解】第（1）个三角形的第三角是180。-53。-45。=82。，

第（2）个三角形的第三角是180。-53。-85。=42。，

第（3）个三角形的第三角是180。-53。-42。=85。，

•••（2）和（3）两个三角形的两角对应相等，

（2）和（3）两个三角形相似.

故选：B.

【例18］如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（）

/

C.D.

【答案】B

【分析】根据题意可得：4q=1,4G=EF=夜，40=彳”=如，然后根据三组对应边的比相

等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可.

【详解】解：：每个小正方形的边长均为1,

44=1,BG=J12+『=\/2，=,s/l2+22=\[5,

Vl2+12=应，V12+22=非,3,但乎丰

A.该三角形的三边分别为:则这个三角形与△ABC1不

相似，故此选项不符合题意;

Vi2+i2=忘’2,7i2+32=Vio,且乎=1=0

B.该三角形的三边分别为:则这个三角形与

△4月G相似，故此选项符合题意;

1'#+2)=5722+22=2A/5>但*W

c.该三角形的三边分别为:则这个三角形与△AAG不相

似，故此选项不符合题意;

__________9尺

D.该三角形的三边分别为:2，Vl2+22=A/5-+32=回,但，飞，则这个三角形与耳G不相

似，故此选项不符合题意.

故选：B.

巩固训练

20.下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的是（）

A.都含有60。角B.都含有45。的角

C.都含有90。的角D.都含有120。的角

【答案】B

【分析】根据相似三角形的判定及等腰三角形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案.

【详解】解：A、有一个角是60。的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符

合题意；

B、当一个等腰三角形的底角为45。，而另一个等腰三角形的顶角是45。时，这两个等腰三角形不相似，符

合题意；

C、有一个角是90。的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；

D、有一个角是120。的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意;

故选:B.

21.如图，四边形ABCZ）也四边形AB'C'D,则NA的度数是°.

【分析】利用相似多边形对应角相等即可求解.

【详解】解：：四边形ABCD^四边形AB'C'D',

：.ND=/£>'=130。，

ZA=360°一130°-60°-75°=95°,

故答案为：95.

22.在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为Zcnr2图案的一条边由原来的1cm变成4cm,则

这次复印出来的图案的面积是cm2

【答案】32

【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它们是相似图形，按照相似图形的面积比等于相似比

的平方求解即可.

【详解】解：；在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变

成4cm,

...相似比=5，

面积比=仕1=x,

,这次复印出来的图案的面积=2xl6=32（cn?）.

故答案是：32.

23.一个多边形的边长分别为2,4,5,6,另一个与它相似的多边形的最长边长为24,则该多边形的最短

边长为.

【答案】8

【分析】该多边形的最短边长为X.利用相似多边形的性质构建方程求解即可.

【详解】解：该多边形的最短边长为无.

T24

由相似多边形的性质可知：

26

x=8,

故答案为：8.

24.若ZXABCSADEF,它们的面积比为9:4,则与.QEF的周长之比为.

【答案】3:2

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，可得与1郎的相似比；即可得

ABC与t.DEF的周长之比.

【详解】已知，ABC与』）EF相似且面积之比为9:4,

得一ABC与。斯的相似比为3:2；

得，ABC与」）EF的周长之比为3:2.

故答案为3:2.

题型八证明三角形相似（解答题）

【例19］如图，四边形ABCDs四边形GFE",且ZA=/G=70°,NB=60°,NE=120。，DC=24,HE=18,

HG=21.求ND,N尸的大小和AD的长.

ABGF

【答案】ZD=110°,ZF=60°,AD=28.

【分析】由四边形ABCDs四边形GEE",根据相似四边形的对应角相等，即可求得NC=NE=120。，

ZF=ZB=60°,又由四边形的内角和等于360。，即可求得/■。的度数；根据相似四边形的对应边成比例,

即可求得/⑦的长.

【详解】解：：四边形ABCDS四边形GFE"，23=60。，ZE=120°,

ZC=ZE=120°,ZF=ZB=60°,

,ZZA=ZG=70°,

ZD=360°-ZA—N3-NC=360°-70°-60°-120°=110°,

四边形ABCDs四边形GFEH,

.DCAD

••一~,

HEHG

VDC=24,HE=18,HG=21,

74

Af=MAD，解得：AD=28.

Io21

/.ZD=110°,ZF=60°,AD=28.

【例20］如图，点C、。在线段A3上，,PCD是等腰三角形，PC=PD,且.ACPs.Apg.求证:

【答案】见解析

【分析】由相似三角形的性质可得NAPC=NB,由等腰三角形的性质可得NPCD=NPDC,由外角的性质

可得ZA=NBPD,可得结论.

【详解】解：证明：PC=PD,

:.NPCD=NPDC,

/XACPs/xAPB,

:.ZAPC=Z.B,

ZAPC+ZA=ZPCD=ZPDC=ZB+ZDPB,

：.ZA=ZBPD,

又〔ZAPC=ZB,

:./\ACP^/\PDB.

【例21］己知：在4ABe和_A'B'C中，—；―二=*~=.求证：△ABCS/\A'B'C'.

【答案】见解析

【分析】直接在线段A3(或它的延长线)上截取AT>=A8',得出△M(ESA4BC,再证明

ADE四A'B'C'(SSS),进而得出答案.

【详解】证明：在线段AB（或它的延长线）上截取AD=AB',过点。作£>E〃3C,交AC于点£,

,?DE//BC,

：.AADE^AABC,

.ABBCAC

ADDEAE

ABBCCA

又,AD=AB',

A'B'BCC'A1

.BCBCACAC

五一B'C、'~AE~A^C1

：.DE=B'C,AE=AC,

在VADE和A8C中

AD^A'B'

DE=BC,

AE=A'C,

：..ADE^AB'C'CSSS),

：.AABC^AA'B'C.

【例22］如图，AD和跖都是二ABC的高，相交于F点，连接DE.

⑴求证：CAB-CDE；

⑵若点D是BC的中点，CE=6cm,BE=8cm,则AB的长为.

【答案】（1）见解析

【分析】(1)根据相似三角形的判定'ACDsBCE,即三=£；，再根据NC=/C即可证明结论；

ACnC

ArjDE1

(2)根据垂直平分线的性质可得AB=AC,由⑴ACDsBCE,可得柒=等，再根据勾股定理即可

CDCE

求出A5的长；

【详解】(1)证明：・・•AZX班是，ABC的高,

・•・ZADC=ZBEC=90°,

:・_AC*BCE,

・8-，即生=CE

CEBBCAC~BC

又•・,zc=zc,

.CAB-CDE；

(2),・,点。是3c的中点,

:.AB=AC,

在Rt5EC中,

・.,CE=6,BE=S,

:.BC=>JCE2+BE2=A/62+82=10^

,\CD=-BC=5

2f

:ACD^BCE,

.ADBE

••五一菽'

AC=y/AD2+CD2=Jig)+5?=y,

25

/.AB=AC=—.

3

25

故答案为：y.

巩固训练

25.如图，。是AC上一点，DE〃AB,ZB=ZDAE.求证：NABC^NDAE.

【答案】见解析

【分析】先根据平行线的性质得到？ED42CAB,再由=即可证明VABCsv/ME.

【详解】证明：A3,

?EDA?CAB,

又：ZB=ZDAE,

：.NABC^NDAE.

26.如图，在一ABC和ADCB中，BA_LC4于A,CDJ_8£>于。，30相交于点。，OB=OC,求证:

BC

【答案】见解析

【分析】先根据直角三角形的性质，得ZABO=NDCO,再根据相似三角形的判定即可.

【详解】证明：：A4LC4于A,8，&）于。，

ZA=ZD,

又•/ZAOB=NDOC,NABO=90°-NAOB,ZDCO=90°-ZCOD

：.ZABO=ZDCO,

又：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

ZABC=NABO+ZOBC,ZDCB=ZDCO+ZOCB,

ZABC=ZDCB,

:.Z\ABCs乙DCB.

27.如图，D、石分别是，ABC的边AB、AC上的点，AB=8,BD=5,AC=6,CE=2,求证：ADE^ACB.

A

【答案】见解析

AD

【分析】首先求出AD、AE的长，再求出三=不，根据/4=NA即可证明，ADES'AC反

ACAB

【详解】解：AB=8,BD=5,AC=6,CE=2,

:.AD=AB-BD=8-5=3,AE=AC-CE=6-2=4,

AD31AE_4_1

^C~6~2fAB~8~2f

ADAE

"AC-

又•.Z4=ZA,

/.ADEsACB.

28.如图，D,E分别为AB,AC边上两点，且AD=5,BD=3,AE=4,CE=6.求证：公ADEs^ACB.

【答案】见解析

【分析】根据两边对应成比例，且夹角行gA即可证明相似.

【详解】证明：QAD=5,BD=3,AE=4,CE=6,

\AB=AD+BD=8,AC=AE+CE=1Q,

A£_4_1AD_5_1

'血丁5,就=5=5'

.AEAD

,AB-ACJ

又彳巨=A,

ADE^,ACB.

29.如图，在YABCD中，E为A3边上一点，连接CE,尸为CE上一点，连接£）尸，且ZDFE=ZA.求证:

△DCFsMEB.

【答案】见解析

【分析】由平行四边形的性质可得OC〃A5,Z4+ZB=180°,得到ZDCF=NBEC,然后由/。庄=44,

ZDFE+ZDFC=180°得至UNDFC=NB,然后根据相似三角形的判定可得结论.

【详解】解：•••四边形ABCD是平行四边形

DC//AB,ZA+ZB=180°

ZDCF=Z.BEC

VZDFE=ZA,ZDFE+ZDFC=1SO°

：.ZDFC^ZB

：.ADCF^ACEB.

题型九相似三角形的判定与性质综合

【答案】C

【分析】证明,.ABOS_DCO,求得|g=；,再根据三角形的面积关系求得结果.

【详解】解：,；CD〃AB,

•LABOsDCO,

.BOAB_2_1

*'CO-CD-4-2?

.c2C21-16

••S阴影=1S^DBC=］乂5乂4*4=§.

故选：C.

【例24］如图，Rt.ABC的直角边AC=5,斜边至=13,则3C=；它的内接正方形C7汨尸的边长

【分析】由勾股定理可求出3c的长度，由正方形的性质证明「ADEs,AC5,利用相似三角形的性质即可

求出正方形的边长.

【详解】解：・.・RtABC的直角边AC=5,斜边钻=13,

・•・BC7AB2-AC?=1132-52=12,

设正方形CD所的边长为元,则4)=5-%,

・・•四边形C。斯是正方形，

:.DE〃BC,

:./AED=/R,ZADE=NC,

:..ADEsJCB,

.DEAD口x5—x

..——=——,即n——=----,

BCAC125

解得:x瑶,

故答案为：12;yy.

【例25］如图，在qABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足为点。，石是AC的中点，。石的延长线与3。的

延长线交于点

E

B

⑴求证：FD°=FC-FB；

efDF2AD

⑵求证：济=应？

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半得出£D=EC,可得N£»C=NECD进而证

明/FDB=/FCD,即可证明AEDCSEBD,根据相似三角形的性质，即可得证；

(2)证明△ADCS^SB可得ccPuBLbA。，由(1)可得型=匹，进而即可得证.

FBBD

【详解】(1)证明：・・・CD，Afi,£是AC的中点，

AZCDB=90°,ED=EC,

:・/EDC=/ECD,

又ZAC3=90。，

ZFDB=90°+ZEDC,NFCD=900+NECD,

：.ZFDB=ZFCD,

又丁ZDFB=ZCFD,

；・.FDCSAFBD,

.FDFC

••诟一而‘

:.FD2=FCFB；

(2)证明：・・・NACB=90。，CDLAB

：.ZADC=ZCDB

又「NA+N5=NA+NACD=90。，

:.ZB^ZADB

Z\ADCs/^CDB

.CDAD

''BD~~CD

:.CD1=BDAD,

■:工FDCs/BD,

.FDDC

••诟—茄’

DF2CD2BDADAD

即nn____=____=________=____

BF2BD2BD2BD

•DF2AD

"BF2BD'

巩固训练

30.有一块锐角三角形余料一ABC,边3C为15cm,3C边上的高为12cm,现要把它分割成若干个邻边长

分别为5cm和2cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为5cm

的边在8C上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有几个（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】C

【分析】根据题意，可得底层可以放置2个小长方形，根据顶层与的边AB,AC交于点区尸，可得

.AEFsABC,由此可求出的