苏科版八年级数学下册压轴题专练：中点四边形模型（原卷版+解析）

专题01中点四边形模型

中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。

结论1：点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形

结论2:对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形

结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形

结论4:对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形

「Si典例精讲

【典例1】（2023•铜川一模）如图，AC,8。是四边形ABC。的两条对角线，顺次连接四边

形A8C。各边中点得到四边形EFGH,要使四边形Ef'GH为矩形，应添加的条件是（

)

B.AB=CDC.AB//CDD.AC=BD

【典例2】（2023春•和平区校级期末）已知在四边形ABC。中，对角线AC与8。相等，E、

F、G、〃分别是AB、BC、CD、D4的中点，则四边形EEG”是（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

【典例3]（2023春•庐江县期末）若顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么

原来四边形一定是（）

A.矩形

B.菱形

C.对角线相等的四边形

D.对角线互相垂直的四边形

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1.（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定

是（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

2.（2022秋•辽阳期末）顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（）

A.正方形B.矩形

C.菱形D.平行四边形

3.（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、X分别是边A3、BC、CD、D

A的中点.若四边形斯GH为菱形，则对角线AC、3。应满足条件是（）

C.AC±BDS.AC=BDD.不确定

4.（2023春•涟水县期中）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（

）

A.一定是矩形B.一定是菱形

C.对角线一定互相垂直D.对角线一定相等

5.（2023春•锡山区校级期中）顺次连接对角线长为6的矩形ABC。四边中点所得的四边形

的周长为（）

A.12B.18C.9D.无法确定

6.（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCZ）中，E、F、G、X分别是线段AD、BD、BC、

AC的中点，要使四边形EFG”是菱形，需添加的条件是（)

B.AC±BDC.AB=CDD.ABLCD

7.（2023春•东莞市校级期中）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、〃分别为边AB、BC、

CD、D4的中点，若AB=5,AD=8,则图中阴影部分四边形EPG8的面积为（）

C.20D.13

8.（2022•南召县模拟）如图，在四边形ABC。中，E,F,G,〃分别为边AB,BC,CD,

D4的中点，则下列说法正确的是（）

A.在四边形ABCD中，若对角线AC=BD,则四边形EFG”为矩形

B.在四边形ABCD中,若对角线ACLBD,则四边形E既汨为菱形

C.在四边形EFGH中，若对角线EGL7/E则四边形EFGH为矩形

D.在四边形EFG/f中，若对角线£G=//R且EG_LHR则四边形EFG8为正方形

9.（2022春•凤凰县期末）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（）

A.任意四边形B.平行四边形

C.菱形D.矩形

10.（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABC。中，对角线ACLBD,垂足为O,

点及F、G、〃分别为边AD、AB,BC、CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EP

G4的面积为（）

A.48B.24C.32D.12

11.（2022春•芜湖期中）如图，顺次连接边长为1的正方形ABC。四边的中点，得到四边

形AIBICLDI，然后顺次连接四边形AiBCiDi四边的中点，得到四边形A282c2。2，再顺

次连接四边形A232c2。2四边的中点，得到四边形A333c3。3，…，按此方法得到的四边

16842

12.（2022•旌阳区模拟）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=5,点E,F,G,H分别为

边AB,BC,CD,D4的中点，连接EG,HF,相交于点O,则永^+斤炉的值为（）

13.（2023春•浦东新区校级期末）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线

为。、b,则等腰梯形的面积为一.

14.（2023春•南川区期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为18c机,顺次连结各

边中点E、F、G、〃得四边形EPG”,则四边形EEGH的周长为cm.

15.（2022春•临海市期末）如图，E,F,G,X分别是四边形ABC。边AB,BC,CD,DA

的中点，若AC=6,BD=4.则四边形EPG8的周长为

16.（2022春•克东县期中）如图，E、F、G、”分别是AB、BC、CD、D4的中点，BD=A

C.要使四边形所G8是正方形，BD、AC应满足的条件是.

17.（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边

形叫中点四边形，如图1,在四边形ABCQ中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,D

A的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFG//.

（1）这个中点四边形£打汨的形状是；

（2）如图2,在四边形ABCD中，点〃在AB上且△4MD和为等边三角形，E、

F、G、X分别为A3、BC、CD、AD的中点，试判断四边形£既汨的形状并证明.

18.（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形ABCD中，点、E、F、G、X分别是A3、BC、C

D、AD的中点，连接AC、BD.

（1）求证：四边形跖G”是平行四边形；

（2）当对角线AC与8。满足什么关系时，四边形所GH是菱形，并说明理由.

19.（2022秋•薛城区校级月考）如图，四边形A8CD中，E、F、G、X分别是A3、BC、C

D、D4的中点.

(1)判断四边形EFG”的形状.并说明理由.

(2)当四边形ABC。的对角线添加条件时，四边形EFGH是矩形.

(3)在(2)的条件下，说明四边形EPG8是矩形.

&

F

20.(2022春•工业园区校级期末)如图，四边形中，点E、F、G、X分别为AB、B

C、CD、D4的中点，

(1)求证：中点四边形EFG”是平行四边形；

(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点，且满足必=尸8,PC=PD,ZAPB=ZCPD,

点E、F、G、X分别为A3、BC、CD、D4的中点，猜想中点四边形£打汨的形状，并

21.(2022春•咸安区期末)如图，点、D,£分别是△A2C的边AB,AC的中点，点。是△

ABC内一点，连接。4,OB,OC,点尸，G分别是OB,OC的中点，顺次连接点DF,

G,E.

(1)求证：四边形。尸GE是平行四边形；

(2)当OA_LOE时，求证：四边形。尸GE是矩形；

(3)若四边形OFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OALBC且。4=BC

八

22.（2022春•龙口市月考）已知四边形ABCD是矩形.

（1）如图1,E,F,G,X分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：四边形EPG8是

菱形;

（2）如图2,若菱形EFG”的三个顶点E,F,”分别在边AB,BC,上，连接CG.已

图2

23.（2022春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，E、尸分别是A。、BC的中点,

G、”分别是8。、AC的中点，当48、CZ）满足什么条件时，有E尸，GH?请说明你的

理由.

BFC

专题01中点四边形模型

中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。

结论1：点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形

结论2:对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形

结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形

结论4:对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形

「Si典例精讲

【典例1】（2023•铜川一模）如图，AC、8。是四边形ABC。的两条对角线，顺次连接四边

形ABCD各边中点得到四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（

A.AC±BDB.AB=CDC.AB//CDD.AC=BD

【答案】A

【解答】解：：E、F、G、H分别为AB、BC、CD、A。的中点，

：.EF=^AC,EF//AC,GH=^AC,GH//AC,EH//BD,

22

：.EF=GH,EF//GH,

，四边形EFGH为平行四边形，

当ACJ_B。时，EFLEH,则四边形EFGH为矩形，

故选：A.

【典例2】（2023春•和平区校级期末）已知在四边形4BCD中，对角线AC与8。相等，E、

F、G、X分别是A3、BC、CD、的中点，则四边形EFGH是（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

【答案】C

【解答】解：如图，E、F、G、H分别是A3、BC、CD、ZM的中点，AC=BD,

,:E、尸分别是AB、BC的中点,

/是△ABC的中位线，

.•衣=Lc,

2

同理：FG=—BD,GH^—AC,EH=—BD,

222

'：AC=BD,

：.EF=HG=EH=FG,

四边形EFG”是菱形.

故选：C.

【典例3）（2023春•庐江县期末）若顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么

原来四边形一定是（）

A.矩形

B.菱形

C.对角线相等的四边形

D.对角线互相垂直的四边形

【答案】D

【解答】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AO的中点，

根据三角形中位线定理得：EH//FG//BD,EF//AC//HG,

...四边形EFGH是平行四边形，

四边形EFGH是矩形，即EF±FG,

：.AC±BD,

故选：D.

是（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

【答案】D

【解答】解：：E、尸、G、H分别是A3、BC、CD、的中点,

C.EH//FG//BD,EF//AC//HG,EF=—AC,FG=—BD,

22

...四边形EFGH是平行四边形，

'：AC±BD,AC=BD,

J.EFLFG,FE=FG,

四边形EFGH是正方形，

故选：D.

B

2.（2022秋•辽阳期末）顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（）

A.正方形B.矩形

C.菱形D.平行四边形

【答案】C

【解答】解：如图，连接AC、BD.

在△ABO中，

'：AH=HD,AE=EB,

:.EH=、BD,

2

同理尸HG=」AC,EF=^AC,

222

又；在矩形中，AC=BD,

：.EH=HG=GF=FE,

四边形EBGH为菱形.

故选：C.

3.（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中,点E、F、G、”分别是边AB、BC、CD、D

A的中点.若四边形向G8为菱形，则对角线AC、3。应满足条件是（）

B.AC=BD

C.AC±BDS.AC=BDD.不确定

【答案】B

【解答】解：满足的条件应为：AC=BD.

理由如下：,:E,F,G,a分别是边A3、BC、CD、D4的中点,

...在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG〃AC且HG=』AC；同理E尸〃AC且

2

EF=AC,同理可得即=工2£>,

2

则HG//EF旦HG=EF,

.,•四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD,所以EF=EH,

，四边形EFGH为菱形.

故选：B.

4.（2023春•涟水县期中）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（

）

A.一定是矩形B.一定是菱形

C.对角线一定互相垂直D.对角线一定相等

【答案】D

【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E,F,G,H分别是边AD,

AB,BC,CD的中点，

：.EF=FG=CH=EH,BD=2EF,AC=2FG,

：.BD=AC.

原四边形一定是对角线相等的四边形.

故选：D.

5.（2023春•锡山区校级期中）顺次连接对角线长为6的矩形ABC。四边中点所得的四边形

的周长为（）

A.12B.18C.9D.无法确定

【答案】A

【解答】解：因为矩形的对角线相等，所以AC=BO=10c〃z,

，：E、尸、G、X分别是A3、BC、CD、AD.的中点，

：.EH=GF=—BD=—X6=3,EF=GH=—AC=—X6=3,

2222

故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH=n.

故选：A.

6.（2023春•南京期中）如图，在四边形A8C0中，E、F、G、”分别是线段A。、BD、BC、

AC的中点，要使四边形所GH是菱形，需添加的条件是（)

B.ACLBDC.AB=CDD.ABLCD

【答案】C

【解答】解：•••点E、F、G、〃分别是任意四边形ABC。中AD、BD、BC、CA的中点,

：.EF=GH=^AB,EH=FG=LCD,

22

当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，

...当C。时，四边形EFGH是菱形.

故选：C.

7.（2023春•东莞市校级期中）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、”分别为边AB、BC、

CD、D4的中点，若AB=5,AD=8,则图中阴影部分四边形EFGH的面积为（）

H

0FC

A.40B.26C.20D.13

【答案】C

【解答】解：连接EG、FH,

•四边形ABC。为矩形，

：.AB=CD,AD=BC,ZA=90°,

■:E、尸、G、〃分别为边AB、BC、CD、ZM的中点,

：.EG=AD=8,HF=AB=5,EG上HF,

s四边形EFGH=—X5X8—20j

故选：C,

H

AD

二C

8.（2022•南召县模拟）如图，在四边形ABC。中，E,F,G,，分别为边AB,BC,CD,

DA的中点，则下列说法正确的是（）

A.在四边形ABCD中，若对角线AC=BZ）,则四边形向G8为矩形

B.在四边形ABCD中,若对角线AC,3D,则四边形EPG8为菱形

C.在四边形EFG”中，若对角线EG,HE,则四边形EFGH为矩形

D.在四边形EPG//中,若对角线且EGLHR则四边形EFG//为正方形

【答案】D

【解答】解：连接AC、BD,

,:E,尸分别为边AB,BC的中分,

/为△ABC的中位线，

：.EF=^AC,EF//AC,

2

同理，HG=^AC,HG//AC,EH=LBD,EH//BD,

22

：.EF=HG,EF//HG,

.••四边形EFGH为平行四边形，

当AC=B£>时，EF=EH,

平行四边形EFGH为菱形，故选项A错误；

当ACJ_B。时，EFLEH,

：.平行四边形EFGH为矩形，故选项2错误；

在平行四边形EFGH中，若对角线EG,“凡则四边形EFGH为菱形，故选项C错误;

在平行四边形EFGH中，若对角线EG=HR且EGLHR则平行四边形E尸GH为正方

形，故选项。正确.

故选：D.

9.（2022春•凤凰县期末）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（）

A.任意四边形B.平行四边形

C.菱形D.矩形

【答案】B

【解答】解：如图根据中位线定理可得：且EH=^BD且EH〃B

22

D,

：.EH=FG,EH//FG,

四边形EFGH是平行四边形.

故选：B.

10.（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABC。中，对角线ACLBD,垂足为O,

点E、F、G、〃分别为边A。、AB、BC、C。的中点.若4c=8,BD=6,则四边形EF

G8的面积为（）

A.48B.24C.32D.12

【答案】D

【解答】解：•••点E、尸分别为四边形ABCD的边AD、的中点，

J.EF//BD,且£■尸=」B£）=3.

2

同理求得E7/〃AC〃GF,且即=GP=』AC=4,

2

又：ACLBD,

：.EF//GH,FG//HEJIEFLFG.

四边形EFG”是矩形.

，四边形EFGH的面积=EF・EH=3X4=12,即四边形EFGH的面积是12.

故选：D.

11.（2022春•芜湖期中）如图，顺次连接边长为1的正方形ABC。四边的中点，得到四边

形AIBICLDI，然后顺次连接四边形AiBCiDi四边的中点，得到四边形A282c2。2，再顺

次连接四边形A232c2。2四边的中点，得到四边形A323c3。3，…，按此方法得到的四边

形A888c8。8的周长为（）

A.工B.2C.工D.工

16842

【答案】c

【解答】解：顺次连接正方形ABCO四边的中点得正方形则得正方形A1B1C

15的面积为正方形ABCD面积的一半，即』，则周长是正方形A2CD的亚；

22

顺次连接正方形421C1D1中点得正方形A222c2。2,则正方形4222c2。2的面积为正方形

AIBICLDI面积的一半，即正方形ABC。的』，则周长是正方形ABC。的工；

42

顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A323c3。3,则正方形A383c3。3的面积为正方形A2B

2c202面积的一半，即正方形ABCD的工，则周长是正方形ABC。的迎；

84

顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A484c4。4,则正方形4484c4。4的面积为正方形

A383c3。3面积的一半，即正方形ABCD的」一，则周长是正方形4BCQ的工；

164

故第W个正方形周长是原来的」j

2n

以此类推：正方形A888c8。8周长是原来的J一

16

•.•正方形A2C。的边长为1,周长为4,

.•.按此方法得到的四边形4838c8。8的周长为工,

4

故选：c.

12.（2022•旌阳区模拟）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=5,点、E,F,G,H分别为

边AB,BC,CD,D4的中点，连接EG,HF,相交于点O,则£32+五序的值为（）

【答案】A

【解答】解：连接ERFG、GH、HE,

:点E,F,G,”分别为边AB,BC,CD,D4的中点，

：.EF=^AC=^~,FG=^BD=^~,GH=^AC=^-,HE=^BD=^~,

22222222

：.EF=FG=GH=HE,

四边形EFG”为菱形，

C.EGLFH,OE=OG,OF=OH,

：.OE^+OH2=即2=空，

4

ECp+Ftf=4OE2+4OH2=25,

故选：A.

13.（2023春•浦东新区校级期末）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线

为a、b,则等腰梯形的面积为ab.

【答案】ab.

【解答】解：连接AC、BD,

,:E、尸分别为AB、BC的中点，

是△ABC的中位线，

：.EF=^AC,

2

同理可得：GH=^AC,EH=LBD,GF=』BD,

222

•.•四边形ABC。为等腰梯形，

：.AC=BD,

：.EF=FG=GH=EH,

四边形EFGH为菱形，

,/菱形EFGH为对角线分别为°、b,

...等腰梯形ABCD的中位线和高分别为a、b,

等腰梯形=a6,

14.（2023春•南川区期中）如图，已知矩形ABC。的对角线AC的长为18c%,顺次连结各

边中点£、F、G、X得四边形所G8,则四边形向G8的周长为36cm.

【答案】36.

【解答】解：；E、B分别是A3、2C的中点,

，即是△ABC的中位线，

：.EF=^AC=—X18=9cm,

22

同理FG=28£>,HG=LAC,EH=LBD,

222

:四边形ABC。是矩形，

：.AC=BD,

：.EF=FG=GH=HE,

四边形EFGH是菱形,

，四边形EFGH的周长为9X4=36（cm）.

15.（2022春•临海市期末）如图，E,F,G,”分别是四边形ABC。边AB,BC,CD,DA

的中点，若AC=6,BD=4.则四边形EPG8的周长为10.

【答案】10.

【解答】解：F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,D4的中点，AC=6,

BD=4,

/是△ABC的中位线，EH是△A2L）的中位线，GB是△2DC的中位线，GH是AAD

C的中位线,

.\£F=AAC=AX6=3,G//=AAC=AX6=3,即=工8。=」X4=2,FG=、BD=

2222222

AX4=2,

2

四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+E〃=3+2+3+2=10,

故答案为：10.

16.（2022春•克东县期中）如图，E、F、G、X分别是A3、BC、CD、D4的中点，BD=A

C.要使四边形EFG"是正方形，BD、AC应满足的条件是AC=8D且ACL8D.

【答案】AC=B。且AC_LBO.

【解答】解：满足的条件应为：且ACL8D.

理由：•;E,F,G,H分别是边AB、BC、CD、D4的中点,

.•.在△ADC中，HG为△ADC的中位线，

HG//AC且HG=X1C；

2

\s\^EF//ACS.EF=^AC,同理可得

22

贝1|HG〃EF且HG=EF,

二四边形EFGH为平行四边形，

5L'：AC=BD,

：.EF=EH,

四边形EFGH为菱形，

'：AC±BD,EF//AC,

：.EF±BD,

'：EH//BD,

：.EF±EH,

：.ZFEH=9Q°,

菱形EFGH是正方形.

故答案为：AC=B£＞且ACLLBD.

17.（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边

形叫中点四边形，如图1,在四边形ABCD中，E,F,G,〃分别是边AB,BC,CD,D

A的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFG”.

（1）这个中点四边形EFGH的形状是平行四边形；

（2）如图2,在四边形中，点〃在A8上且△AMD和△MC8为等边三角形，E、

F、G、”分别为AB、BC、CD、的中点，试判断四边形EFG”的形状并证明.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）中点四边形EFGH是平行四边形;

理由如下：连接AC,如图1所示：

,:E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,D4的中点，

EF是AABC的中位线，GH是△AC。的中位线，

C.EF//AC,EF=^AC,GH//AC,GH=^-AC,

22

J.EF//GH,EF=GH,

，四边形EFGH是平行四边形；

故答案为：平行四边形；

(2)四边形EFG/I为菱形.理由如下：

连接4c与BD,如图2所示：

,//\AMD和△MCB为等边三角形，

：.AM=DM,ZAMD=ZCMB=60°,CM=BM,

：.ZAMC=ZDMB,

在△AMC和△QMB中，

fAM=DM

<ZAMC=ZDMB，

CM=BM

；.AAMC出ADMB(SAS),

：.AC=DB,

,:E,F,G,X分别是边AB,BC,CD,D4的中点，

/.EF是△ABC的中位线，GH是△4CD的中位线,HE是△AB。的中位线,

J.EF//AC,EF=^AC,GH//AC,GH=^AC,HE=±DB,

222

J.EF//GH,EF=GH,

，四边形EFGH是平行四边形；

"：AC=DB,

：.EF=HE,

四边形EFGH为菱形.

图2

18.(2023春•姜堰区期中)如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是48、BC、C

D、AO的中点，连接AC、BD.

(1)求证：四边形EEG”是平行四边形；

(2)当对角线AC与8。满足什么关系时，四边形所G8是菱形，并说明理由.

【答案】(1)证明见解答过程；

(2)当AC=2r)时，四边形E尸G8是菱形，理由见解答.

【解答】(1)证明：：点E、F、G、〃分别是AB、BC、CD、A。的中点，

S.EF//AC,EF=^AC,HG//AC,HG=^AC,

22

：.EF//HG,EF=HG,

...四边形EFGH为平行四边形；

(2)当AC=2。时，四边形E尸G8是菱形，理由如下：

由(1)知：四边形EFG”是平行四边形.

YE、”分别是AB、AO的中点，

2

XVEF=AAC,

2

.,.当时，EF=EH,

平行四边形所G8是菱形.

19.(2022秋•薛城区校级月考)如图，四边形4BC。中，E、F、G、H分别是AB、BC、C

D、DA的中点.

(1)判断四边形EFG8的形状.并说明理由.

(2)当四边形ABCD的对角线添加条件时,四边形EFG”是矩形.

(3)在(2)的条件下，说明四边形EFGH是矩形.

H

A

【答案】(1)四边形EPGH为平行四边形，理由见解析;

(2)ACLBD-,

(3)证明见解答过程.

【解答】(1)解：四边形EFGH为平行四边形，

理由如下：连接AC、BD,

；E、F、G、X分别是A3、BC、CD、ZM的中点，

/.£F=AAC,EF//AC,GH=1-AC,GH//AC,

22

：.EF=GH,EF//GH,

，四边形EFGH为平行四边形；

(2)解：当ACLBO时，四边形EFGH是矩形，

故答案为：ACLBD-,

(3)证明：：E、”分别是A3、D4的中点，

：.EH//BD,

J.EF//AC,EH//BD,AC±BD,

：.EF±EH,

，平行四边形EFGH为矩形.

20.(2022春•工业园区校级期末)如图，四边形ABC。中，点E、F、G、H分别为AB、B

C、CD、D4的中点，

(1)求证：中点四边形EFG”是平行四边形；

(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点，且满足出=尸8,PC=PD,ZAPB=ZCPD,

点、E、F、G、H分别为A3、BC、CD、D4的中点，猜想中点四边形所GH的形状，并

证明你的猜想.

【答案】(1)见解析过程;

(2)四边形斯GH是菱形，理由见解析过程.

【解答】(1)证明：如图1中，连接BD.

（图1）

•.•点E,H分别为边AB,D4的中点,

J.EH//BD,EH=—BD,

2

•..点尸，G分别为边3C,CO的中点,

J.FG//BD,FG=LBD,

2

J.EH//FG,EH=GF,

：.中点四边形EFGH是平行四边形；

(2)解：四边形EFG8是菱形，理由如下:

如图2,连接AC、BD,

HD

图2

ZAPB=ZCPD,

：.ZAPB+ZAPD=ZCPD+ZAPD,即ZAPC=ZBPD,

在△APC和△BPO中，

'AP=PB

,NAPC=/BPD，

PC=PD

:.LAPC24BPD(SAS),

：.AC=BD,

;点、E,F,G分别为边A3,BC,CD的中点，

：.EF^—AC,FG=—BD,

22

"/四边形EFGH是平行四边形，

四边形EFGH是菱形.

21.(2022春•咸安区期末)如图，点。，E分别是AABC的边AB,AC的中点，点。是△

ABC内一点，连接。4,OB,OC,点、F,G分别是。8,OC的中点，顺次连接点O,F,

G,E.

(1)求证：四边形DFGE是平行四边形；

(2)当OA_LDE时，求证：四边形DFGE是矩形；

(3)若四边形DFGE是正方形，0A与BC之间满足的条件是：ftOBC且0A=3C