双角平分线模型与角n等分线模型解读与提分训练（解析版）-2024-2025学年七年级数学上册

双角平分线模型与角n等分线

模型解读与提分精练

对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有

一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然

后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增

加了思考的难度。

如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可

以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。

模型1.双角平分线模型与角n等分线模型

模型解读

双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分

线夹角。

下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着

推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。

模型证明

图4

1）双角平分线模型（两个角无公共部分）

条件：如图1,已知：OD、0E分别平分//。2、NBOC；

结论：ZDOE=-ZAOC-

2

证明：，：OD、。£分另lj平分ZBOC,：.ZDOB=-ZAOB>NBOE’NBOC，

22

.1111

••ZDOB+ZBOE=-ZAOB+-ZBOC=-ZAOC，•,NDOE=-ZAOC。

2222

2）双角平分线模型（两个角有公共部分）

条件：如图1,已知：OD、0E分别平分//。2、NBOC；

结论：ZDOE=-ZAOC°

2

证明：：0D、分另I」平分ZBOC,ZDOB=-ZAOB>ZBOE=-ZBOC>

22

.1111

••ZBOE-ZDOB=-ZBOC——ZAOB=-ZAOC>­-ZDOE=一N/OC。

2222

3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）

条件：如图3,已知NNO8+N3OC+/NOC=360。，O/平分//OC、OP］平分乙BOC；

结论：ZI^OP,=180°-^ZAOB°

证明：•.•。/平分N/OC、O尸2平分/30C，；•NqOC=；NNOC，NP10c=；NBOC，

,/ZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,/.ZBOC+ZAOC=360°-ZAOB,

ZP,OP2=APflC-AP2OC=^ZAOC+^ZBOC=^(ZAOC+ZBOC)=180°-^ZAOB■>

4）角〃等分线模型

条件：如图，NAOBuaQA、。4分别是和NMO3的平分线，O&06分别是和NMO4

9

的平分线，OA3.。骂分别是乙你"和的平分线，…，。4，。4分别是』4-。河和的平

分线;结论：ZAQB"哮.

证明：•••N/O8=a,。4、0g分别是/40M和/MOB的平分线，

AAflM=-ZAOM,NBQM=-ZBOM,//。瓦=-(ZAOM+/BOM)=-ZAOB=-a,

22222

■,­0A2、0B2分另Ij是ZA.OM和ZMOBt的平分线,NA20M=；ZAtOM,ZB2OM=；4BQM,

AA2OB2=g(N4(W+/3](W)=g/403]==共，

・••。4、。名分另I]是和/苗。台2的平分线，:.N&OM=；N&OM,NB3OM=gNBzOM,

:.ZAOB=-(ZAOM+ZBOM)=-ZAOB=-x-ZAOB,=-x-x-ZAOB=,...,

332222222222l22

(y

由此规律得：NAQB"=(。

模型运用

例1.（2023秋・重庆•七年级校联考期末）如图，ZAOB=90°,NEOF=60°,OE平分/AOB,。尸平分

ZBOC.则//OC的度数为.

【答案】120°

【详解】(1)解：OE平分/AOB,ZAOB=9Q°,:./AOE=NBOE=45°,

,：ZEOF=60°,/.Z50F=60°-45°=15°；VZBOF=15°,OF平分/BOC,

：.ZBOC=2x15°=30°,/.ZAOC=NBOC+403=30°+90°=120°；

【点睛】本题考查有关角平分线的角度计算，解题的关键是根据角平分线得到相应角度.

例2.（2023秋•河北唐山•七年级统考期末）如图，。。是的平分线，。。是Z4OC的平分线，且

ZCOD=25°.（1）求/403的度数；（2）若/COD=〃。，直接写出/Z03的度数.

【答案】（1）100°（2）4”。

【分析】（1）利用角平分线的的定义依次求出//oc、//03即可；

（2）利用角平分线的的定义依次用”表示N4OC、24。8即可；

【详解】（1）解：•••/C8=25。，OD是/ZOC的平分线，，44OC=2/000=2x25。=50。，

VOC^ZAOB的平分线，AAOB=2ZAOC=2x50°=100°.

（2）解：ZAOB=4«°；ZCOD=n°,0。是N/OC的平分线，ZAOC=2ZCOD=2x«°=2n°,

OC^ZAOB的平分线，:.ZAOB=2N4OC=2x2n°=4n°.

【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫

做这个角的平分线是解答此题的关键.

例3.（2023春•黑龙江大庆•七年级校考期末）如图，O"是/408的平分线，射线OC在N8OM内部，ON

是230C的平分线，已知N/OC=80。，那么乙WON的大小等于一°.

【分析】设/MOC=£,ZCON=a,据角平分线的定义得到N20M=尸+2。，据角的和差即可得到结论.

【详解】解：设NMOC=B,NCON=cc,

：ON是,80C的平分线，/.ZBON=ZCON=a,：.ABOM=AMOC+ABOC=/3+2a,

OM是ZAOB的平分线,：.ZAOM=ZBOM=/3+2a,

,/AAOC=80°,；.AAOM+ZMOC=+2a+J3=ZAOC,

/.2（a+^）=80°,：.a+/3=AO°=ZMON,即NMON的大小等于40。，故答案为：40.

【点睛】本题考查角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，解题关键是找出图中各角之间的和差关系.

例4.（2023秋•湖北武汉•七年级统考期末）如图，08是/4OC内部一条射线，是的平分线,

ON是//OC的平分线，O尸是NNCM的平分线，。。是的平分线，则NPOQ:N8OC=.

o

\\/

OC

【答案】1：4

【分析】依据。河是平分线，。。是/MCM平分线，可得NZOQ=1/4W=!N/O5,依据。N是

/40C平分线，。尸是NNO4平分线，ZAOP=-ZAON=-ZAOC=~(ZAOB+ZBOC),进而得出

244

ZPOQ:ZBOC=\:4.

【详解】解：：o拉是/Z05平分线，。。是/M。/平分线，:.N4OQ=gN4OM=；N4OB,

：ON是//0C平分线，。尸是NNGM平分线，/.ZAOP=-ZAON=-ZAOC=-(ZAOB+ZBOC),

244

ZPOQ=ZAOP-ZAOQ=-(ZAOB+ZBOC)--ZAOB=-ZBOC,

444

:.NPOQ：ZBOC=V.4,故答案为：1:4.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角的和差关系进行推算.

例5.(2023•河南•七年级校联考期末)如图，ZAOB=aQ4、分别是和/"。8的平分线，

网、理分别是和NM。4的平分线，04、磔分别是/4。河和NMOBz的平分线，…，OAn,OBn

1(y(y

【分析】由角平分线性质推理得ZA2OB2=—,ZA3OB3=—,据此规律可解答.

【详解】解：•.•44。3=£，。4、。片分别是和NMO3的平分线，

NAQM=-ZAOM,NBQM=-NBOM,ZAOB=-(NAOM+4BOM)=-ZAOB=-a,

22tt222

0叫分另U是NNQM和的平分线，ZA2OM=^ZAtOM,ZB2OM=|ZBtOM,

ZA2OB2=-(Z40M+Z5jOM)=-ZAlOBl=-x-ZAOB=-a=-^,

22222

•.•。4、。鸟分别是N4(W和NMOB2的平分线，ZA3OM=|ZA.OM,ZB3OM=|ZB2OM,

:.NA3OB3=-(ZAOM+ZBOM)=-ZAOB=-x-ZAOB=-x-x-ZAOB=~a=,...,

22222222ll22282

由此规律得：ZAnOB=^.故答案为：

【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

例6.(2024•山西太原•七年级统考期末)图，ZAOC=ZBOD=90°,在N/OC的内部，0c在/8OD的

内部，OE是//08的一条三等分线.请从48两题中任选一题作答.

A.当48。。=30。时，/E0D的度数为.

B.当N8OC=a。时，的度数为（用含a的代数式表示）.

【分析】/、根据角的和差得到/403=90。-30。=60。，根据0£是/4加的一条三等分线，分类讨论，当/

AOE=；/4OB=20°,②当/2。£=!//。8=20。，根据角的和差即可得到结论；

2、根据角的和差得到根据OE是的一条三等分线，分类讨论，当NAOE=g/AOB,②当

/BOE=gZAOB,根据角的和差即可得到结论.

【详解】解：/、如图，VZAOC=90°,ZBOC=30°,：.ZAOB=90°-30°=60°,

•：OE是AAOB的一条三等分线，①当/AOE=|ZAOB=20°,/.ZBOE=40°,

,//BOD=90°,：.ZEOD=ZBOD+ZBOE=130°,

②当N2OE'=；ZAOB=20°,：.NDO£'=90°+20°=110°,

综上所述，NE。。的度数为130。或110。，故答案为：130。或110。；

B、VZAOC=90°f/BOC=a。,：.ZAOB=90°-a°,;OE是N/O5的一条三等分线，

111?

，①当N4OE=/4OB=30ya。,：.ZBOE=90°-a-(30--a)°=60°--a°,

3333

ZBOD=90°：.ZEOD=ZBOD+ZBOE=150°--cc°,

f3

②当NBOE，=LZAOB=30°--a°f：.ZDO^=90°+30°--(z°=120°--a°,

3333

2121

综上所述，/EOD的度数为150。-§相或120。-§废，故答案为：150。-§相或120。-§废；

【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键.

例7.(2023秋•重庆万州•七年级统考期末)平面内，ZAOB=140°,C为内部一点，射线OM平分

ZAOC,射找ON平分/30C,射线QD平分NMON,当|N/OC-22c|=30。时，求//OC的度数？

【答案】//OC=50°或20°

【分析】根据角平分线得出/M0N=70。，NMOD=35。,然后分两种情况分析：若射线OD在//OC外部

时，若射线OD在//OC内部时，结合图形求解即可.

【详解】解：：射线(W平分//OC,射找ON平分/30C,：.ZMOC=^ZAOC,ZNOC=^ZBOC,

：./MON=ZMOC+NNOC=-ZAOC+-^BOC=-^AOB=-x140°=10°,

2222

,/射线OD平分AMON,：./MOD=[/MON=1x70°=35°,

若射线在//OC外部时，如图1,

图2

则ZCOD=/MOD-ZMOC=35°-;//OC,即2/COD=70°-ZAOC,

■：\^AOC-2ZCOD\=30°,：.|2^0C-70°|=30°,解得：4OC=50。或20。；

若射线在449C内部时，如图2,则/COr»=/MOC-/MOD=；//OC-35。,

：.2NCOD=NAOC-7。。,即24OC-2/COD=70。，不满足|//。。-2/。。。|=30。，

综上，440C=50°或20。.

【点睛】题目考查角平分线的计算，理解题意，分类讨论作出图形求解是解题关键.

例8.(2024•河南商丘•七年级统考期末)综合与探究:如图1,在//OS的内部画射线。C,射线。C把//05

分成两个角，分别为/ZOC和ZBOC,若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍,则称射线OC为ZAOB

的“3等分线”.⑴若乙402=90。，射线。。为N/08的“3等分线”，则//OC的度数为.

(2)如图2,已知405=60。，过点。在外部作射线OP.若。4。尸,三条射线中，一条射线恰好

是以另外两条射线为角的“3等分线”，求NNOP的度数(//。尸4180。).

【答案］(1)30。或60。(2)30。或90°或120。或180°

17

【分析】(1)根据“3等分线”的定义分乙40c=§乙408和两种情况求解即可;

(2)分。/为/POB的“3等分线”和OB为乙40P的“3等分线”两种情况求解即可.

【详解】(1)根据“3等分线”的定义可得，Z^OC=|ZAOBZ^OC=IZAOB

•：ZAOB=90°；.N2OC=30。或60。故答案为：30。或60。

(2)①当CU在48。尸的内部时，如图，

根据“3等分线”的定义可得，ZAOP=^ZAOB=30°^ZAOP^2ZAOB=2x60°=120°

②当08在N/OP的内部时，如图，

根据“3等分线”的定义可得，NBOP=^ZAOB=30°或ZBOP=2ZAOB=2x60°=120°

此时，ZAOP=30°+60°=90°或40尸=60°+120°=180°

综上，N/OP的度数为30。或90。或120。或180。.

【点睛】本题主要考查了角的和差倍分，熟练掌握“3等分线”的定义是解答本题的关键.

习题练模型

1.(2023春・山东荷泽•七年级统考期末)如图，OE平分/ZOC,OD平分/BOC,ZAOB=80°,

Zl=15°,Z2=()

A.25°B.30°C.40°D.50°

【答案】A

【分析】根据角平分线的定义和角的运算求解即可.

【详解】解：平分N/OC,OD平分/BOC,Zl=15°,

/.Z2=^ZAOC,Zl=1z5OC,/.ZBOC=2Z1=30°,

VZAOB^80°,：.ZAOC=ZAOB-ZBOC=50°,Z2=-ZAOC=25°.故选：A.

2

【点睛】本题考查角平分线的定义和角度的运算，熟练掌握与角平分线的有关的角度运算是解答的关键.

2.(2023秋・广东七年级月考)如图，射线。。平分/尸。及，OR平分4QOS,有以下结论：①

APOQ=AQOR=ZROS；®ZPOR=ZQOS-③NPOR=2NROS；④NROS=2NPOQ.其中正确的有

()

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】根据角平分线的定义得出/月。。=/尺。。，ZROQ=ZROS,即可得出/尸。。=/。。尺=/尺。5,

依次进行判断即可.

【详解】解：：射线。。平分/尸。及，O及平分N0OS,

；.ZPOQ=ZROQ,ZROQ=ZROS,：.ZPOQ=ZQOR=ZROS,故①正确；

；NPOR=NPOQ+NQOR,ZQOS=ZQOR+ZROS,：.ZPOR=ZQOS,故②正确;

•/ZPOQ=ZQOR=ZROS,：.ZPOR=ZPOQ+ZQOR=2ZROS,故③正确；

ZROS=ZPOQ丰2ZPOQ,故④错误；

综上分析可知，正确的是①②③，故A正确.故选：A.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义,解题的关键是根据角平分线的定义，得出NPOQ=NQOR=NROS.

3.（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、。。把平角三等分，。£平分N/OC,

OF平分/BOD,下列说法正确的是（

A.图中只有两个120。的角B.图中只有NOOE是直角

C.图中N/OC的补角有3个D.图中//OE的余角有2个

【答案】C

【详解】解：：射线OC、把平角N/03三等分，ZAOC=ZCOD=ZBOD=60°,

平分N/OC,OF平分/BOD,:.ZAOE=NCOE=/DOF=NBOF=3Q°,

：.ZAOD=ZFOE=ZBOC=120°,故A选项不符合题意；

ZDOE=ZFOC=90°,故B选项不符合题意；

/AOC与/AOD、NFOE、NBOC都是互为补角，故C选项符合题意；

NAOE与NAOC、ACOD.N8。。都是互为余角，故D选项不符合题意；故选：C

【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解

题的关键.

4.（2023秋广东梅州•七年级校考阶段练习）已知403=50。，由定点。引一条射线，使得4OC=30。，

OM、ON分别是4403和48OC的平分线，贝1」/砍加=度.

【答案】10或40

【分析】分两种情况讨论，当射线。C在/的内部时，当射线在/力。8的外部时，根据角平分线

的定义得出/BOM=；NAOB=25°,ZCON=|NBOC=15°,结合图形即可求解.

【详解】解：分两种情况讨论，当射线。。在/Z08的内部时，如图所示,

BC

N

B

M

M

o

AOA

-：ZAOB=50°,Z50C=30°,OM、QV分别是//OB和/8OC的平分线，

ABOM=-ZAOB=25°,ZCON=-ZBOC=15°/.NMON=NBOM—NBON=25°-15°=10°；

22

当射线OC在4405的外部时，如图所示，

,/ZAOB=50°,ZSOC=30°,OM、6W分别是和/8OC的平分线，

/.ZBOM=-ZAOB=25°,ZCON=-ZBOC=15°AAMON=ZBOM+ZBON=25。+15。=40°

22:

综上所述，/MON=10。或40。，故答案为：10或40.

【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合，分类讨论是解题的关键.

5.（2023秋•安徽六安•七年级校考期末）如图，已知03、OC是40。内部的两条射线，OM平分/AOB,

ON平分NCOD,①若/8OC=40。，/MON=80。，则44OD的度数为度；②若//OD=x。，

ZMON=80°,则/BOC的度数为度（用含x的代数式表示）.

【答案】120(160-x)

【分析】①利用角平分线的定义可得乙4。"=/8。"，/DON=NCON,易得

ABOM+ZCON=ZAOM+ADON,利用AMON-ZBOC=NBOM+ZCON,可得结果；

②由角的力口减可得NN(W+NOON,可得NBOM+NCON,^BOC=AMON-(ZBOM+ZCON)p}

得结果

【详解】解：®ZMON-ZBOC=Z.BOM+ZCON,ZBOC=40°,AMON=80°,

ABOM+ZCON=80°-40°=40°,CM平分4/03,ON平分NCOD,

AAOM=ABOM,ADON=ZCON,ZAOM+ZDON=40°,

ZAOD=AMON+AAOM+ADON=800+40°=120°,故答案为120；

@-.-ZAOD=x°,/MON=80°,ZAOM+ADON=AAOD-AMON=(x-80)0,

ABOM+ZCON=ZAOM+ADON=(x-80)0,

ABOC=AMON-(ZBOM+ACON)=80°-(x-80)0=(160-x)0,故答案为：(160-x)

【点睛】本题考查的是角平分线的定义有关知识，利用角平分线的定义找出角的数量关系是解决本题关键.

6.(2023•北京西城•七年级校考开学考试)如图，OB,OC分别是N/OC,的三等分线，若

NAOB=17°15',则NCOD的度数为.

【答案】17。15'

【分析】由角的三等分线的含义先求解/8。。=34。30',再结合角的三等分线可得

NCOD=g/BOC=17。15',从而可得答案.

【详解】解：：ZAOB=17°15r,是/40C的三等分线，

NAOC=3/AOB=51°45,,z5OC=2zAOB=34°30',

0c分别是的三等分线，故答案为：17°15,

【点睛】本题考查的是角的三等分线的应用，结合角的和差关系理解图形中的三等分线是解本题的关键.

7.（2023春•天津滨海新•七年级校考期中）如图，。为直线N3上一点，/COD=9。。,OE平分/AOC,

0G平分/30C,OF斗分/BOD,下列结论：①NEOG=90。；②/DOE与/BO尸互补；

③NAOC-/BOD=90°；④/DOG=g//OC.请你把所有正确结论的序号填写在横线上____.

【答案】①③④

【分析】设48。。=2&,则/8OC=9(r-2a,ZAOC=90°+2a,由角平分线的定义得出

NBOF=ZDOF=-ZBOD=a,ZAOE=ZCOE=-ZAOC=45°+a,

22

NCOG=ZBOG=^ZBOC=45°-a,然后再逐项分析即可得到答案.

【详解】解：设/BOD=2ci,

•••NCOD=90°,NBOC=ZCOD-NBOD=90°-2a,

ZAOC+ZBOC=180°,ZAOC=180°-ZBOC=180°-（90°-2a）=90°+2a,

：OF平分/BOD,OE平分/NOC,OG平分/50C,

NBOF=乙DOF=-ZBOD=a,NAOE=ZCOE=-ZAOC=45°+a,ZCOG=NBOG=-ZBOC=45°-a,

222

ZEOG=ZEOC+ZCOG=45°+a+45°-«=90°,故①正确，符合题意；

ZDOE+NBOF=NCOD+ZCOE+ZBOF=90°+45°+a+a=135°+2a,

；a度数未知，/DOE与/BO厂不一定互补，故②错误，不符合题意；

ZAOC-ZBOD=90°+2a-2a=90°,故③正确，符合题意；

ZDOG=ZBOD+ZBOG=2a+45。-a=45°+a,ZAOC=900+2a,

ZDOG=^-ZAOC,故④正确，符合题意：

2

综上所述，正确的有：①③④，故答案为：①③④.

【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键.

8.（2023•天津•七年级统考期末）如图，已知O为直线AB上的点，OC在NBOD内，ZDOC：ZCOB=2：

3,OE平分NAOD,ZEOC=78°,求/BOD的度数.

【答案】120°

【分析】设/DOC=2x,ZCOB=3x,则/BOD=5x,求得/EOD=78O-2x,根据角平分线的定义得到/AOD=2

ZEOD=2(78°-2x),列方程即可得到结论.

【详解】VZDOC：ZCOB=2：3,.,.设NDOC=2x,NCOB=3x,则NBOD=5x,

VZEOC=78°,ZEOC=ZEOD+DOC,?.ZEOD=78°-2x,

：OE平分NAOD,AZAOD=2ZEOD=2(78°-2x),

,.,ZAOD+ZDOB=180°,/.2x(78°-2x)+5x=180°,解得：x=24°,/.ZBOD=120°.

【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键.

9.(2023秋・陕西咸阳•七年级统考期末)已知：如图，OD平分/4OC,OE平分NCOB.若

ZDOB=80°,ZDOE=60°,求的度数.

【答案】40°

【分析】根据题意求出/8OE,依据角平分线定义得到/50C度数，从而可求ZDOC度数，最后运用OD

是角平分线这个已知，得到度数；

【详解】•••。。平分//。。，OE平分NCOB,:.ZDOC=-ZAOC,NCOE=—BOC,

22

ZDOE=ZDOC+ZCOE=-ZAOC+-ZBOC=-xll0°=55°.

222

(2),?ZDOB=80°,NDOE=60°,：.ZBOE=ZDOB-ZDOE=80°-60°=20°,

OE平分NCOB,NBOC=2NBOE=2x20°=40°,

：0。平分ZAOC,ZDOA=ZDOC=ZDOB-ZBOC=80°-40°=40°.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，掌握角之间的和差倍分关系是解题的关键.

10.(2023秋•山东临沂•七年级统考期末)⑴如图1,为直角，ZAOC=60°,且(W平分/BOC,

ON平分/40C,求的度数.(2)如图2,ZAOB=40°,440c=56。，且(W平分/50C,ON

因为44OC=60。，（W平分/80C,所以/=|ZSOC=1

因为N/OC=60。，ON平分/40C,所以/=^ZAOC=°；

所以AMON=。；

（2）AMON=°.

【答案】（1）150°,ZMOC,75°,ZCON,30°,45°；（2）20°

【分析】（1）根据角平分线定义和各个角的度数求出NCO",NCON即可求出/MON的度数；

（2）根据角平分线定义和各个角的度数求出NCCW,NCON即可求出/MON的度数.

【详解】解（1）因为NNO2=90。，ZAOC=60°,所以/2。。=150。；

因为（W平分N80C,所以NMOC=；NBOC=75。；

因为4OC=60。，ON平分/40C,所以NCON=；N/OC=30。；所以NMCW=NCOM-NCON=45。；

故答案为：150°,ZMOC,75°,ZCON,30°,45°

（2）如图，VZAOB=40°,ZAOC=56°,ABOC=ZAOB+ZAOC=40°+56°=96°,

■■■OM^ZBOC,ON平分//OC...NCOA/=；N3OC=gx96°=48°,

ZCON=-ZAOC=-x56°=2S°,

22

AMON=ZCOM-ZCON=48°-28°=20°,故答案为：20。.

【点睛】本题考查的是角的有关计算和角平分线的定义，正确理解并灵活运用角平分线的定义是解题关键.

12.（2023•广东江门•七年级期末）如图，08是Z4OD的角平分线，是Z8OE的角平分线，OC是/BOD

的角平分线，N4OE=60。，求/30C.

【答案】10°

【分析】根据角平分线的定义可得4=然后由角的和差倍分关系可得问题的答案.

【详解】解：:OB是4OD的角平分线，，4408=48。。，

:OD是ZBOE的角平分线，ZBOD=ZDOE,

ZAOB=ZBOD=ZDOE,/.ZAOE=NAOB+ZBOD+ZDOE=34BOD,

VZAOE=60°,ZBOD=60°+3=20°,

•♦•0C是/50D的角平分线，NBOC=；NBOD=1Q°.

【点睛】此题考查的是角平分线的定义，角的和差倍分关系，能够根据定义正确表达出关系式是解决此题

的关键.

13.（2023秋•河南平顶山•七年级统考期末）如图，是//OC的平分线，ON是/BOC的平分线.

（1）如图1,当/Z03是直角.N8OC=60°时，的度数是多少？（2）如图2,当//03=a,ZBOC=60°

时，猜想NMON与a的数量关系，并说明理由；（3）如图3,当//08=a,4OC=;?时，猜想：AMON

与a、夕有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由.

【答案】（1）45。；（2）/MON=；a,理由见解析；@NMON=；a,与夕的大小无关，理由见解析.

【分析】⑴根据角的和差，得到乙!OC=150。，再根据角平分线的性质得到乙4。祯=75。，NBON=30°,

进而得到480"=15。，即可求出/MON的度数；

（2）根据角的和差，得到N/OC=a+60。，再根据角平分线的性质得到/4。用=1+30。，NBON=30°,

进而得至ljN3OAf=；a-30°,求出NMCW的度数，Ike得到结论；

（3）根据角的和差，得到乙4OC=a+£,再根据角平分线的性质得到440Mq（a+夕），NBON=》,进

而得至=求出NMON的度数，即可得到结论；

【详解】（1）解：：AAOB^90°,ZBOC=60°,/.ZAOC=ZAOB+ZBOC=90°+60°=150°,

•.•0m是24。。的平分线，ON是/8OC的平分线，.•.44CW=gN4OC=75。，NBON=；NBOC=30。，

/BOM=ZAOB-ZAOM=90°-75°=15°,AMON=ZBOM+/BON=150+30°=45°；

（2）解：4MON=；a,理由如下：：AAOB=a,ABOC=60°,/.AAOC=AAOB+ZBOC=cr+60°,

•;0河是//。。的平分线，ON是220C的平分线，

ZAOM=-ZAOC=-<z+30°,ZBON=-ZBOC=30°,

222

NBOM=ZAOB-ZAOM=a-f1a+30。］=1a-30°,

AMON=NBOM+ZBON=|-a-30°|+30°=-<z.

12J21

(3)解：NMON=；a,理由如下：

ZAOB=a,NBOC=。,ZAOC=ZAOB+ZBOC=a+/3,

•.•。0是//。。的平分线，CW是250。的平分线，

ZAOM=^ZAOC=^(a+,ZBON=^ZBOC=^/3,

ZBOM=ZAOB-ZAOM=a-^a+jff)=，

:.ZMON=ZBOM+ABON=^a-^/3^+^/3=^a.

【点睛】本题考查了角的有关计算，角平分线的定义，利用数形结合思想解决问题是解题关键.

14.(2023•河北保定•七年级统考期末)问题情境：OC是一条射线，OM、ON分别是//OC和/5。。的

角平分线.①当/力。3是直角，NBOC=40°,射线。C在N/O8的内部时，我们可以发现NMCW的度数

是—；②当是直角，^OC=a(0°<«<90°),射线OC在/力。3的内部时，NMON的度数是

O

探索发现：OM、ON分别是44OC和230C的角平分线，当射线。C在/405的外面时.

①若N/08是直角，ZBOC=20°,求出NMCW的大小；

②若4405是直角，=a(00<a<90j,写出NMON的度数;

数学思考：OM、ON分别是440C和ZBOC的角平分线，若/N05的度数是尸，/BOC=a(0°<a<90。

直接写出NMON的度数.(用含外力的代数式表示)

【答案】问题情境：①45。；②45。；探索发现：①45。；②45。；数学思考：NMON=g

【分析】问题情境：①根据408=90。，。河、ON分别是//0C和/30C的角平分线，

NMON=NMOC+NNOC计算即可得至U答案；②根据N/O8=90。，OM、ON分别是/4OC和/80C的

角平分线，AMON=ZMOC+ZNOC计算即可得到答案；

探索发现：①根据408=90。，ZBOC=20°,OM、ON分别是-4OC和/50C的角平分线，

/MON=/MOC—/NOC计算即可得到答案；②根据44。8=90。，=a(00<a<90°),OM、ON

分别是//OC和/BOC的角平分线，AMON=ZMOC-ZNOC计算即可得到答案；

数学思考：分两种情况讨论：当OC在/内部时；当OC在/Z08外部时，计算得出答案即可.

【详解】解：问题情境：①•.•//。5=90。，(W、ON分别是/4。。和/50C的角平分线，

AMON=ZMOC+ZNOC=-ZAOC+-ZCOB=-(ZAOC+BOC)=-ZAOB=-x90°=45°,故答案：45°；

22222

②•.•/ZOB=90。，OM、ON分别是//OC和/BOC的角平分线，

AMON=ZMOC+ZNOC=-ZAOC+-ZCOB=-(ZAOC+BOC)=-ZAOB=-x90°=45°,故答案：45°；

22222

探索发现：①・.・N4OB=90。，/BOC=20。,OM、ON分别是/49C和/BOC的角平分线，

AMON=AMOC-ZNOC=-ZAOC--ZCOB=-ZAOB=-x90°=45°,/MON为45。；

2222

②•：ZAOB=90。,^BOC=a(00<a<90°),OM、ON分别是/40C和480C的角平分线，

AMON=ZMOC-ZNOC=-ZAOC--ZCOB=-ZAOB=-x90°=45°,；./MON为45。；

2222

数学思考：分两种情况

当OC在内部时，如图所示，

ZAOB的度数是P,NBOC=a(0"<«<90。

AMON=AMOC+ZNOC=-ZAOC+-ZCOB=-ZAOB=-S,

2222

当OC在外部时，如图所示，

AMON=AMOC-ZNOC=-NAOC--ZCOB=-AAOB=-B,：.AMON=2

22222

【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的角度的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，分清所

求角的构成.

15.(23-24七年级上•河南郑州•期末)我们学习了“角平分线”的定义，知道角平分线在角的计算中有着非常

重要的作用，请根据所学知识进行下列探究：

已知，ZAOC=120°,ZBOD=60°,OM,ON分别平分440。和—BOC.

(1)如图①，0C,OD在同一直线上，则N〃CW=；

(2)如图②，。。在N4OC内部，且/。。。=10。，则NMCW=；

⑶若将(2)中/COD=10。改为/COD=a,其他条件不变，请求出/MON的度数.

【答案】(1)90°(2)90°(3)90°

【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，正确找出的不同位置是解答本题的关键.

(1)根据角平分线的定义，求得/DOM=60。，ZCON=30°,即可得到答案；

(2)根据角的和差得到乙4。。=110。，/8。。=50°,因此=ga4OD=55。，

ZCON=-ZBOC=25°,从而可的答案；

(3)分02在。C右侧和左侧两种情况，根据角的和差分别列方程求解，可分别得到答案.

【详解】（1）,ON分别平分乙4。）和/2OC,

ZDOM=-ZAOD=-ZAOC=-xl20°=60°,

222

ZCON=-ZBOC=-ABOD=L60。=30°,

222

AMON=ZCOM+/DON=60°+30°=90°；

故答案为：90°.

(2)当。。在N/OC内部,

N/OD=120°-10°=110°,Z5OC=60°-10°=50°,

由(1)知NQ<W=LN/C®=55。，ZCON=-ZBOC=25°,

22

/.AMON=/DOM+/CON+ZCOD=55。+25。+10。=90。；

故答案为：90°.

(3)^ZAOM=ZDOM=x,ZCON=ZBON=y,

当08在。。右侧时，如图②，

j2x+a=120。

'[2y+a=60°'

解得％+y+a=90。，

ZMON=x+y+a=90°.

当08在。。左侧时，如图③，

2x+2j/+60°=120°,

解得x+y=30。，

AMON=x+y+60。=30。+60。=90。；

图③

16.(23-24七年级上•山东枣庄•期末)数学课上，老师给出了如下问题:

图1图2

如图1,N4O2=120。,。。平分，/。2,若NCOD=2。。,请你补全图形，并求出乙BOD的度数.

(1)以下是小刚的解答过程，请你将解答过程补充完整：

解:如图2,因为乙4。2=120。。。平分//。8,

所以4BOC=ZAOB=(角平分线的定义).

因为/COD=20。，

所以ZBOD=.

(2)小戴说：“我觉得小刚的解法不完整，这道题应该有两种情况.”根据小戴的想法，请你在图1中画出另

一种情况对应的图形，并求出这种情况下N8OD的度数.

【答案】⑴；；60°；40°

(2)图见解析；80°

【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握定义.

(1)依据角平分线的定义，即可得到N2OC=g/NO8=60。，再根据角的和差关系，即可得出N3OD的度

数；

(2)根据题意画出图形，利用角平分线的定义，求出结果即可.

【详解】(1)解：因为-。8=120。,。。平分

所以48。。=；//。8=60。(角平分线的定义).

因为/CO。=20。，

所以ZBOD=60°-20°=40°,

故答案为：60°；40°.

⑵解：如图