苏科版八年级数学上册易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解得问题（解析版）

专题07易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解得问题

聚焦考点

易错点一求长度时忽略三边关系

易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论

易错点三三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论

:典型例题:

A易错点一求长度时忽略三边关系

例题：已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7cm,则它的周长为（）

A.\3cmB.17cmC.13或17cmD.IQcm

【答案】B

【解析】

【详解】

由题意得：三角形的三边可能为3、3、7或3、7、7,然后根据三角形的三边关系可知只能是3、7、7,

；・周长为3+7+7=17cm.

故选B.

【变式训练】

1.等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为（）

A.22厘米B.17厘米C.13厘米D.17厘米或22厘米

【答案】A

【解析】

【详解】

解：若4厘米为腰长，9厘米为底边长，由于4+4<9,则三角形不存在；

若9厘米为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为9+9+4=22（厘米）.

故选A.

2.已知实数x,y满足|x-5|+（y-10）2=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）

A.20B.25C.20或25D.以上答案均不对

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据非负数的性质列式求出无、y的值，再分5是腰长与底边两种情况讨论求解即可.

【详解】

解:•.•|x-5|+(y-10)2=0,|x-5|>0,(y-10)2>0

--.x-5=0,y-10=0,

解得x=5,y-10,

当5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10,

V5+5=10,

.♦•不能组成三角形；

当5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10,

能组成三角形，周长=5+10+10=25,

所以，三角形的周长为25,

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数

的和等于0,则每一个算式都等于0,求出无、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形

的三边关系进行判断.

3.(2022・河北•石家庄石门实验学校八年级期末)已知等腰三角形的两边长分别为4和8,则它的周长等于

【答案】20

【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论.当腰长为4或是腰长为8两种情况.

【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和8,

当腰长是4时，则三角形的三边是4,4,8,4+4=8不满足三角形的三边关系；

当腰长是8时，三角形的三边是8,8,4,三角形的周长是20.

故答案为：20.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两

种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

4.（2021•云南・富源县第七中学八年级期中）若等腰三角形的周长为26c7",一边为8aw,则腰长为—.

【答案】8cm或9cm##9cm或8cm

【分析】分8cm的边是腰长与底边长两种情况讨论求解即可.

【详解】解：①8刖是腰长时，底边为：26-8x2=10cm,

三角形的三边长分别为8cm、8cm、IOC/M,

V8+8=16>10,

.•.能组成三角形，

②8cm是底边长时，腰长为：gx（26-8）=9c%,

三角形的三边长分别8。〃、9cm、9cm,

能组成三角形，

综上所述，该等腰三角形的腰长是8c机或者9cm.

故答案为：8c机或者9a”.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成

三角形.

5.（2022•河南.驻马店市第十中学八年级阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为6和5,则这个等腰三

角形的周长为.

【答案】16或17

【分析】分边长6是等腰三角形的腰和底两种情况讨论，即可求解.

【详解】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5,

能组成三角形，

周长=6+6+5=17,

②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5,

能组成三角形，

周长=6+5+5=16,

综上所述，三角形的周长为16或17.

故答案为：16或17.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解答本题时注意分情况讨论，避免出现错漏.

6.（2022•黑龙江•肇东市第十中学八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为5°相，2cm,则该等腰三角

形的周长是.

【答案】12tv〃##12厘米

【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论.当腰长为2cm或是腰长为5c机两种情况.

【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和5。/

当腰长是5c;w时，则三角形的三边是5c〃z,5cm,2cm,5cm+2cm>5cm,满足三角形的三边关系，

三角形的周长是5+5+2=12（,附；

当腰长是2cro时，三角形的三边是2cto,2cm,5cm,2cm+2cm<5cm,不满足三角形的三边关系.

故答案为：12a”.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两

种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

7.（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长.

（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为2x-l,x+l,3x-2,求这个等腰三角形的周长.

【答案】⑴8,8,11或者10,10,7；（2）周长为7或者10

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质，列出方程求解，注意分类讨论.

（2）分三种情况，进行讨论，结合三角形三边关系得出答案.

【详解】

⑴设腰长为2x,底为y,根据题意得：

尤

①…[fx2+x+y==1125

解得：x=5,y=7

三边为10,10,7

…f2x+尤=12

②达

[无+y=15

解得：x=4,y=ll

•••三边为8,8,11

故本题答案为：8,8,11或者10,10,7

（2）①当2x—l=x+l时，解尤=2,此时3,3,4,能构成三角形.

此时周长为10

②当2x-l=3x-2时，解x=l,此时1,2,1不能构成三角形.

3

③当1+1=3%-2,解得了=于

此时2a提，能构成三角形，周长为=7

22

综上，三角形的周长为7或者10.

【点睛】

本题考查等腰三角形性质，以及三角形三边关系，属于基础提高题.

A易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论

例题：若等腰三角形的一个角等于80。，则其顶角的度数为（）

A.80°B.20°C.100°D.80°或20°

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的一个角是80。，分两种情况考虑这个角为顶角与底角解答即可.

【详解】

解：..♦等腰三角形的一个角是80。，分两种情况考虑，

当80。的角为底角时，顶角为180。-160。=20。，

当80。的角为顶角时，顶角为80。，

,该等腰三角形的顶角是80。或20°.

故答案选：D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质.

【变式训练】

1.已知等腰三角形的一个内角是72。，那么这个等腰三角形的顶角是______度.

【答案】72或36

【解析】

【分析】

本题应分底角为72。、顶角为72。这两种情况，分别计算每种情况下等腰三角形是否存在.

【详解】

解：①当72。角是顶角时，顶角为72。，

②当72。角是底角时，顶角=180。―72+2=36。，

综上顶角为72。或36°.

故答案为：72或36.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养，在计算等腰三角

形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论是解题的关键.

2.有一张二角形纸片ABC,/A=80。，点。是AC边上一点，沿8。方向剪开二角形纸片后，发现所得两

张纸片均为等腰三角形，则/C的度数可以是.

【答案】25。或40。或10°

【解析】

【详解】

【分析】分A8=A。或或三种情况根据等腰三角形的性质求出NAD2,再求出然后

根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解.

【详解】由题意知△42。与均为等腰三角形，

对于AABZ)可能有

①AB=BD,此时NAO8=NA=80。，

NBDC=180°-ZADB=180°-80°=l00°,

ZC=1(180°-100°)=40°,

@AB=AD,此时(180°-NA)二(180°-80°)=50°,

ZBDC=180°-ZADB=180°-50°=130°,

ZC=y(180°-130°)=25°,

@AD=BD,此时，ZAZ)B=180°-2x80°=20°,

ZBDC=180°-NADB=180°-20°=l60°,

ZC=1(180°-160°)=10°,

综上所述，ZC度数可以为25。或40。或10°

故答案为25。或40。或10°

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论.

3.如图，直线a,b交于点。，/a=40。，点A是直线。上的一个定点，点8在直线b上运动，且始终位于

直线a的上方，若以点。，A,B为顶点的三角形是等腰三角形，则/。42=°.

h

【答案】40或70或100

【解析】

【分析】

根据AOAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当08=48时，②当。4=AB时，③当OA=OB时，分别求得

符合的点8,即可得解.

【详解】

解：要使△048为等腰三角形分三种情况讨论：

①当081=481时，ZOAB=Za=40°；

②当OA=AB2时,ZOAB=180°-2x40°=l00°；

③当0A=0玲时，ZOAB=ZOBA=^(180°-40°)=70°；

故答案为：40或70或100.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键.

4.(2022•山东烟台・七年级期末)若等腰三角形中有一个角等于35。，则这个等腰三角形的顶角的度数为

【答案】35°或110°

【分析】根据等腰三角形两底角相等，分别讨论当35。为顶角，和当35。为底角两种情况即可得出答案.

【详解】解：当35。为顶角时，这个等腰三角形顶角的度数为35。；

当35。为底角时，顶角度数为：180o-35°x2=110°；

故答案为：35。或110。.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是本题解题关键.

5.(2022•江西吉安•七年级期末)在AABC中，48=36°,点尸是射线8A上的任意一点，当APBC为等腰三

角形时，/5PC的度数为.

【答案】108。或72。或36°

【分析】分三种情况讨论：当月B=《C时，推出/々CB=N3=36°,推出ZBRC=180°-(ZB+N《CB)=108°；

当81=友;时，推出ZB6C=g(180°-ZB)=72°；当CB=CA时，推出=36°.

【详解】解：当片B=<C时，NP\CB=NB=36,

：.NBRC=180°-(ZB+Z^CB)=108",

当3鸟=BC时，ZBP,C=1(180°-ZB)=72°,

当CB=CA时，ABP3C=ZB=36°.

综上，NBPC的度数为108。或72。或36°.

故答案为：108。或72。或36。.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的存在性，解决问题的关键是熟练掌握等边对等角的性质，三角形的

三个角都有可能是顶角，分类讨论.

6.（2022•江西赣州•八年级期末）如图，AABC中，AB=AC,NABC=4O。，点D在线段上运动（点。

不与点8,C重合），连接AD,作ZADE=4O。，OE交线段AC于点E.当是等腰三角形时，Za4D的

度数为.

A

【分析】根据三角形内角和定理可得NBAC的度数，△&£）£是等腰三角形，分情况讨论：①AD=AE时，②

EA=E。时，®DA=DEBi,分别求解即可.

【详解】解：'：AB=AC,ZABC=40°,

NAC2=/ABC=40°,

二ZBAC=100°,

,/ZADE=40°,

△ADE是等腰三角形，分情况讨论：

①AO=AE时，ZAED=ZADE^4Q0,

：.ZDAE=100°,

此时。点与3点重合，不符合题意；

②EA=E。时，/E4O=NAOE=40°,

二/BAD=100°-40°=60°；

@DA=DE^,ZDAE=ZDEA=10°,

：.NBAD=100°-70°=30°,

综上，/BAD的度数为60。或30。，

故答案为：60。或30。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，

注意分情况讨论.

A易错点三三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论

例题：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50。，则这个等腰三角形的底角的度数为()

A.20°B.50°或70°C.70°D.20。或70°

【答案】D

【解析】

【分析】

首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况,

所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况.

【详解】

(1)当这个三角形是锐角三角形时，如图所示：

:高与另一腰的夹角为50。，即NABD=50。,

二顶角ZA=90°-50°=40°,

•:ZABC=ZACB,

ZABC=ZACB=g(l80°-40°)=70°；

(2)当这个三角形是钝角三角形时，如图所示:

ZBA£)=90o-50°=40°,

VZABC=ZC,ZABC+ZC=40°,

Z.ZABC=ZC=-x40°=20°；

2

综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为70。或20°.

故选：D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的高线，可能在三角

形的内部，边上、外部几种不同情况，因此遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论.

【变式训练】

1.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56。，则这个等腰三角形底角度数是.

【答案】73。或17°

【解析】

【分析】

在等腰AABC中，AB^AC,8。为腰AC上的高，ZABD=56°,讨论：当8D在AABC内部时，如图1,

先计算出ZR4D=34。，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出ZACB；当8。在AABC外部时，如

图2,先计算出440=34。，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出ZACB.

【详解】

解：在等腰AABC中，AB=AC,80为腰AC上的高，ZABD=56。,

当8。在AABC内部时，如图1,

QBD为高,

:.ZADB=90°,

,-.ZBAD=90°-56°=34°,

•：AB=AC,

ZABC=ZACB=1(180°-34°)=73°；

当在AABC外部时，如图2,

QBD为高,

ZADB=90°,

.­.Za4D=90°-56o=34°,

-.-AB^AC,

:.ZABC^ZACB,

而ZBAD=ZABC+ZACB,

ZACB=-ZBAD=17°,

2

综上所述，这个等腰三角形底角的度数为73。或17。.

故答案为：73。或17。.

图1

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键.

2.（2022•陕西・交大附中分校七年级期末）已知AABC中，ZB=20°,在42边上有一点D,若CD将AABC

分为两个等腰三角形，则ZA=.

【答案】1。0°,70°,40。或者10°

【分析】分BD=CD、BC=CD、8c三种情况讨论即可求解.

【详解】第一种请况：80=0时，如图，

•：BD=CD,ZB=20°,

ZB=ZDCB=20°,

：.ZADC^ZB+ZDCB=40°,

(1)当ZM=£)C时，ZA=ZACD,

VZA+ZACD+ZADC=180°,ZADC=40°,

：.ZA=ZACD=1Q°；

(2)当。A=AC时，即有/AOC=/ACD=40。,

/A=1800-NAZ)C-NACO=100°；

(3)当CZ)=CA时，ZA=ZADC=40°；

第二种请况：BC=CD^,如图,

A

D

B夕

C

VZB=20°,BC=CD,

：.ZB=ZBDC=20°,

：.ZADC=lS0°-ZBDC=160°,

•••△ADC是等腰三角形，

：.^ZA=ZACD,

,/ZA+ZACD+ZADC=180°,

ZA=10°；

第三种情况：8c=8。时，如图，

DA

B

C

"：BC=BD,

：.NBDC=NBCD,

•：ZB=20°,ZB+ZBCD+ZBDC=180°,

ZBCD=ZBDC=S0°,

：.ZADC=180°-ZBDC=100°,

•••