苏科版八年级数学上册解题技巧：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线（解析版）

专题09解题技巧专题：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助

线

聚焦考点

考点一利用“三线合一”作辅助线解决线段的有关问题

考点二利用“三线合一”作辅助线解决角的有关问题

考点三利用“三线合一”作辅助线证垂直

:典型例题：

考点一利用“三线合一”作辅助线解决线段的有关问题

例题：（2022•山东•薛城区北临城中学八年级阶段练习）如图，已知NAQB=60。，点P在边Q4上，OP=12,

A.7B.6C.5D.4

【答案】A

【分析】过尸作PQLMN,利用三线合一得到。为MN中点，求出的长，在直角三角形。尸。中，利用

直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半求出。。的长，即可求解.

,:PM=PN,MN=2,

：.MQ=NQ=lf

在母△OPQ中，OP=12,ZAOB=60°,

：.ZOPQ=3QQ,

：.OQ=-OP=-xl2=6

22f

：.ON=OQ+QN=6-^\=1,

故选A.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30

度所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键.

【变式训练】

1.（2022•浙江绍兴•八年级期末）如图，在AABC中，CA=CB,ZACB=110°,延长BC到。，在/AC。内作

射线CE,使得/ECD=15。.过点A作AnLCE,垂足为足若AF=下,则AB的长为（）

A.V10B.275C.4D.6

【答案】B

【分析】过点C作于X,根据等腰三角形的性质以及角的和差求出ZACH=ZACF=

55°,则C4平分/8CF,根据角平分线的性质可得AH=A/，即可得A3的长.

【详解】解：过点C作于H,

'：CA=CB,ZACB=110°,

AZACH=-ZACB=55°,ZACD=10°,

2

'：ZECD=15°.

：.ZACF=ZACD-ZECD=55°,

，ZACH=ZACF=55°,

.•.。4平分/”（3/，

"：AF_LCE,CH^AB,

:.AH=AFi,

:.AB=2AH=2卮

故选：B.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解决问题的关键

是得出CA平分/HCH

2.（2022•江苏•八年级）如图，在AABC中，/8=60。，点。在边BC上，S.AD=AC,若AB=6,CD=4,

则BD的长为（）

A.3B.2.5C.2D.1

【答案】D

【分析】过点A作AEL2C于E,根据等腰三角形的性质可得DE=EC=；CD=2,根据含30度角的直角三

角形的性质可得BE=3,根据BD=BE-DE即可求解.

【详解】解：如图，过点A作AELBC于E,

又CD=4,

：.DE=EC=-CD=2.

2

在直角中，VZAEB=90°,ZB=60°,

・・・ZBAE=900-N3=30。，

：.BE=-AB=-x6=3,

22

：.BD=BE-DE=3-2=1.

故选：D.

A

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出BE与OE

是解题的关键.

3.（2022•山西吕梁•八年级期中）如图，A4BC中，AB=AC,点。在BC的延长线上，连接AD点E,F

分别是2C,AD的中点.若EF=3,则AD的长为（）

【答案】C

【分析】连接AE,根据等腰三角形三线合一得到AELBC,再根据直角三角形的性质得到AD=2EE故可

求解.

【详解】连接AE,

'：AB=AC,E是BC中点，

：.AE±BC,

.•.△AOE是直角三角形，

•.•"是中点,

：.EF=-AD,

2

：.AD=2EF=6,

故选C.

A

BED

【点睛】此题主要考查三角形内线段长度，解题的关键是熟知等腰三角形与直角三角形的性质.

4.（2022•福建龙岩•八年级期末）课堂上，王老师将一副标准三角板如图放置，若DB=2,那么点A到的

距离为.

【答案】出

【分析】过点A作勾股定理求得BC,根据等腰直角三角形的性质可得班=EC,根据直角三角

形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.

【详解】如图，过点A作

DB=2,ZDBC=90°,ZDCB=30°,

;。=4,

BC=-JCEP-DB2=2下＞，

AB=AC,AE±BC,

BE=EC,

:.AE=；BC=6.

故答案为：\/3.

【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,

等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键.

5.（2022.陕西・西北大学附中八年级期中）如图，等边ABC边长为。，点。在AC的延长线上，点E在5。的

延长线上，且满足。5石.已知BE=4,则。的值为.

【分析】过。作于尸，利用等腰三角形三线合一的性质可得3尸的长，利用含30度角的直角三角

形的性质可得的长，进而可得答案.

【详解】解：过。作。尸，3石于尸,

・：DB=DE,

・・・AD5石是等腰三角形,

VBE=4,

：.BF=EF=2,

・・,及43。是等边三角形,

ZACB=60°,

ZDCF=60°f

：.ZCDF=30°,

.・・CF=-CD=-x-=-

2236

57

...BC=2——=-

66

7

.・4=—

6

7

故答案为：-

6

【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形

三线合一的性质，掌握在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半.

6.（2022•全国•八年级课时练习）如图，AABC中，AB=AC,BC=后，AB的垂直平分线交BC于点D且

BD<CD,过点B作射线的垂线，垂足为E,KOCD-DE=.

【答案】g

2

【分析】作于尸，证明△8DE丝△A0F根据全等三角形的性质得。尸二。区可得CD-DE=CF,由

等腰三角形的性质即可求解.

【详解】解：作A3c于居

VAB的垂直平分线交3c于点D.

：.AD=BD,

9

：AF_LBCfBE_LDE,

：.ZE=ZAFD=90°,

在△8DE和△AO尸中，

NE=/AFD

<ZBDE=ZADF,

AD=BD

：.(AAS),

:・DF=DE,

:.CD-DE=CD-DF=CF,

•：AB=AC,AF_LBC,BC=6

:.CF/BC二昱.

22

故答案为：旦

2

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等

腰三角形的性质是解题的关键.

7.（2021・湖北・襄阳市樊城区青泥湾中学八年级期中）如图，等腰三角形ABC的底边2C长为4,面积是12,

腰AB的垂直平分线EF分别交AB,AC于点及F,若点。为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点,

则的周长的最小值为一.

【答案】8

【分析】连接AO,AM,根据等腰三角形的性质可知AO垂直BC,则根据的面积即可求出AO,由题

意点8关于直线所的对称点为点A,即有跖即有即当A,M,。三点共线时,

的值最小，最小为AO的长，进而即可求解.

【详解】解：如图，连接AD,AM,

•••△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点,

：.AD±BC,

-：BC=4,"BC的面积为12,

=

*^VABC=5,BC.AD—x4xAD—12,

.,.AD=6,

,/EF是线段AB的垂直平分线，

点B关于直线EF的对称点为点A,

：.AM=BM,

：.BM+MD=AM+MD,

即当A,M,。三点共线时，BM+A®的值最小，

：.AD的长为BM+MD的最小值，

ABDM的周长最短为BM+MD+BD=AD+BD=AD+BC=6+2=S,

故答案为：8.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

考点二利用“三线合一”作辅助线解决角的有关问题

例题：（2022•全国•八年级专题练习）如图，AASC中，AB=AC,ADL8D于点ZBAD=20°,若BC=2BD,

则Zfl4c的度数为.

【答案】40°

【分析】如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作AELBC于点区可证

RTAABE^RTAABD，即可求出NBAC的度数.

【详解】解：如图，过点A作于点E,

D

•：AB=AC,

是BC的中点，且AE平分Zfi4c.

,/BC=2BD,

：.BD=BE.

在RTAABE和RT^ABD中，

[AB=AB

j8£>BEnRTAA^E出RTAAABD（HL）,

：.ABAD=NBAE=ZCAE=20°.

ZBAC=4Q°.

故答案为：40°.

【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是

解题的关键.

【变式训练】

1.（2022•福建泉州•八年级期末）如图，在“IBC中，AB=AC,AO为8C边上的中线，々=20。，则NC4。

的度数为（）

【答案】C

【分析】根据题意可得AABC是等腰三角形，根据三线合一可知/CAD=；/CAB=；（180。-2/3）,据此即

可求得.

【详解】解：：AB=AC,为BC边上的中线，

ZCAD=-ZCAB,ZB=/C,

2

•；ZB=20°,

ZCAD=|ACAB=1(180°-2ZB)=1x(180°-40°)=70°.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

2.（2021・湖北恩施・八年级期末）如图，在AABC中，AB=AC,AO是BC边上的中线，且ZADE

=20°,则NBAC的度数为（）

A.120°B.110°C.100°D.90°

【答案】C

【分析】根据垂直的定义以及等腰三角形的性质得到/BOE=N8EO=70。，利用三角形的外角性质得到N

BAD=50°,再根据等腰三角形的性质即可求解.

【详解】解：••,AB=AC,是8c边上的中线，

ZADB=90°,ZBAD=ZCAD,

,/ZADE=20°,BD=BE,

：./BDE=NBED=/ADB-/ADE=7。。,

*/ZBED=ZBAD+ZADE,

：.ZBAD=70°-20°=50°,

ZBAC=2ZBAZ）=100°,

故选：C.

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角

和定理是解题的关键.

3.（2021•山东济南•七年级期末）如图，AC平分〃CB,CB=CD,ZM的延长线交8C于点E,若

NZMC=125。，则N54E的度数为.

【答案】70°

【分析】如图，连接3。，延长C4与5。交于点片利用等腰三角形的三线合一证明C尸是3。的垂直平分

线，从而得至IJA5=A0,再次利用等腰三角形的性质得到：ZDAF=ZBAF=ZEAC,从而可得答案.

【详解】解：如图，连接8。，延长C4与5D交于点月

•「AC平分NDC3,CB=CD,

：.CF_LBD,DF=BF,

・・・b是瓦）的垂直平分线，

.\AB=AD,

：.ZDAF=ZBAFf

丁ZZMC=125°

：.ZEAC=55°,

：.ZDAF=ZBAF=ZEAC=55°,

：.ZBAE=180o-55°-55o=70°.

故答案为：70°.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键.

4.（2022・北京・人大附中八年级期中）如图，在RhASC中，ZACS=90°,AC=BC=2,AACD为等边三

角形，连接BO,则/4汨=°,△BCD的面积为.

A

D

BC

【答案】1352

【分析】如图，过。作DELAC于E,第一个空：根据"8为等边三角形，可得NADC=NACD=60。,

AC=DC,然后再根据/ACB=90。，AC=BC,利用等腰三角形的性质可求出NC£>3,然后由

NADB=NADC+NCD3即可得到答案；第二个空：根据OELAC和/ACB=90。可确定的边边

11

上的高等于CE,再根据等腰三角形的三线合一的性质可得EC=万47,则=580EC，代入数据计

算即可得到答案.

【详解】如图，过。作。E_LAC于E,

"/小⑺为等边三角形，

ZADC=ZACD=60。，ACDC,

•：ZACB=90°,AC=BC,

：.Z.DCB=ZACB-ZACD=90°-60°=30°,DC=BC,

：.ZCDB=ZCBD=；x(180。一ZDCB)=1x(180°-30°)=75°,

ZADB=ZADC+NCDB=60°+75°=135°；

"?DEVAC,

：.ZAED=90。

'：ZACB=90°,

：.DEHBC,

△BCD的边BC边上的高等于CE,

"/小⑺为等边三角形，

AD=CD,

又：£>匹_14?,AC=BC=2,

：.EC」AC」x2=l,

22

^△BCD=-,BC«EC=—x2x2=2.

【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质及三角形面积计算等知识.发现△38的边BC上的高

等于AC的一半是解题的关键.

5.（2022・浙江丽水•八年级期末）如图，在AABC中，AB=AC,为BC边上的中线，E为AC上一点，

且=/BAD=50。，求/CDE的度数.

【答案】25°

【分析】由题意知ACAD=ZBAD=50°,根据等边对等角，三角形内角和定理求出NADE的值,

进而可求出NCDE的值.

【详解】解：；AB=AC,是中线，ZBAD^50°

Z.AD^BC,ZCAD=ZBAD=50°

"：AE=AD

…小”65。

：.NCDE=ZADC-ZADE=25°

NCDE的值为25°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理.解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性

质.

考点三利用“三线合一”作辅助线证垂直

例题：(2022•江苏•八年级)如图，已知点。、E在AABC的边上，AB^AC,AD^AE.

(1)求证：BD=CE；

(2)若AO=BO=OE=CE,求NBAE的度数.

【答案】(1)见解析；

(2)90°.

【分析】(1)作AFLBC于点R利用等腰三角形三线合一的性质得到跳三CRDF=EF,相减后即可得到

正确的结论.

(2)根据等边三角形的判定得到AADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角

的和差关系即可求解.

(1)

证明：如图，过点4作AFL8c于尸.

"：AB=AC,AD=AE.

：.BF=CF,DF=EF,

：.BD=CE.

⑵

解：•：AD^DE=AE,

/.△ADE是等边三角形,

：.ZDAE=ZADE=60°.

'：AD=BD,

：.ZDAB=ZDBA.

：.ZDAB=-ZADE=30°.

2

，ZBAE=ZBAD+ZDAE=90°.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，

等腰三角形的性质是本题的关键.

【变式训练】

1.（2022•陕西•交大附中分校八年级阶段练习）如图，在等腰AABC中，AB=AC,点O是底边BC的中点,

ODLAB,OELAC,垂足分别为。、E.试说明：AD=AE.

【答案】见解析

【分析】连接A。，由A4s可得△AOD@ZVIOE即可得出结论.

【详解】证明：连接A。，

•：OD_LAB,OE±AC,

：.ZADO=ZAEO=9Q°,

'：AB=AC,。是BC中点，

平分/A4C,即/ZMO=/E4O,

XAO=AO,ZADO=ZAEO=90°,

.".AD=AE.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握这些性质定理是解题

关键.

2.（2021•浙江杭州•八年级期末）如图，在AABC中，AB^AC，。为的中点，点F在AC上，延长出至

点E,使71E=AF,求A£＞与EF之间的位置关系.

【答案】AD//EF

【分析】根据等腰三角形的性质可得ADL2C,AD平分/54C,再根据角平分线的定义和外角的定义，可

^ZAEF=ZBAD,进而可证明AO〃EF.

【详解】解："AB=AC,

：.ZABC=ZC,

•.,。为BC中点，

：.AD_LBC,AD平分/BAC,

ZBAD=ZCAD=^ZBAC,

"AE=AF,

：.NE=NAFE,

•：ZBAC=ZBAD+ZCAD=ZE+ZAFE,

：.ZAEF=ZBAD,

：.AD//EF.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握等腰

三角形的性质.

3.（2022•河南郑州•七年级期末）如图，在AABC中，ZA=90°,AB^AC,D为BC的中点，过。作直线

DE交直线AB与E,过D作直线。尸，DE,并交直线AC与F.

（1）若E点在线段上（非端点），则线段。E与。尸的数量关系是;

F

E

(2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图(用黑色水笔)，此时线段DE与DF的数量关系是

请说明理由.

(2)图见解析，DE=DF,理由见解析

【分析】(1)连接AD，先根据等腰直角三角形的性质可得AA=BO=C2ZB=ND4F=45。，AD±BC,

再根据垂直的定义、等量代换可得=然后根据三角形全等的判定证出根据

全等三角形的性质即可得出结论；

(2)分①当点E在线段45的延长线上，且在BC的下方时，②当点E在线段A3的延长线上，且在2C的

上方时两种情况，参考(1)的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论.

(1)

解：如图，连接AD,

・•,在AABC中，ZA=90°,AB=AC,。为8C的中点,

AD=BD=CD,NB=ZDAF=45°,AD^BC,

ZBDE+ZADE=90°,

.DFLDE,

:.ZADF+ZADE=90。,

.，ZBDE=ZADF,

ZB=ZDAF

在△血＞石和△"＞尸中，\BD=AD,

ZBDE=ZADF

.•.△BDE=AADF(ASA),

：.DE=DF,

故答案为：DE=DF.

(2)

解：DE=DF,理由如下：

①如图，当点E在线段A3的延长线上，且在BC的下方时,

如图，连接AD,

•・•在中，ZA=90°fAB=AC,。为的中点,

/.AD=BD,ZABD=ZDAC=45°,AD±BC,

NDBE=ZDAF=135°,ZADF+NBDF=90°,

•,DF工DE,

，/BDE+/BDF=90。,

..ZBDE=ZADF,

ZDBE=ZDAF

在△5。石和尸中，\BD=AD,

/BDE=NADF

:ABDE=AADF(ASA),

：.DE=DF；

②如图，当点E在线段AB的延长线上，且在3C的上方时,

如图，连接AD,

•在AABC中，ZA=90°,AB=AC,。为BC的中点，

AD=CD,AACD=NDAB=45°,AD±BC,

ZDCF=ZDAE=135°,ZADE+ZCDE=90°,

•;DF1.DE,

.-.ZCDF+ZCDE=90°,

\?ADE?CDF,