山西省三晋卓越联盟2024-2025学年高二年级上册12月质量检测数学试题（A卷）

山西省三晋卓越联盟2024-2025学年高二上学期12月质量检

测数学试题（A卷）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.抛物线*=_4y的焦点到准线的距离为（）

11

A.4B.2C.2D.-

2.若倾斜角为45。的直线/经过两点/（2,机），双机,4），则加的值为（）

A.-2B.1C.2D.3

3.下列四个椭圆中，形状与圆更接近的一个是（）

A.^+£=iB.目+小=1

4398

C工2/D歹2

16152516

4.若厩，力，？’构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

a+b'a+b+c'B-a-c-a,a+c

C.b+c>b>c-bD-a+b'b+c<3+a

5.在等差数列｛叫中，若存在正整数机，",s,t,当加+"s+t时，金+为=4+生成

立，则该数列的公差.=（）

A.2B.1C.0D.-1

6.如图，在棱长为6的正四面体/5C。中，E'歹分别为棱的中点，则异面直

试卷第11页，共33页

线BE，C尸所成角的余弦值为（

7.已知/，鸟为双曲线0：4_/=1（“>0,6>0）的上、下焦点，尸为0的上支上一点，

过“作/甲”的平分线的垂线，垂足为生若［0目=：闺可（。为坐标原点），则C的渐

近线方程为（）

B.y=±y/3x

=±2x

c.y=±—xDy

2

8.已知实数"'b，c，d满足/十/二］,c2+d2=\9ad—be=0,且则

〃+2c+2b+d的取值范围为（）

A.[T』

D.『2,2]

试卷第21页，共33页

二、多选题

9.已知直线/Jax+y-1=Q,l2-2x+（a-l）j-a-l=0>点尸在（上，点0在4上，则

（）

A.的最小值为石

B.原点到4的距离的最大值为近

C的充要条件为

3

D.的充要条件为。=2或。=-1

10.已知凡为正项等比数列｛氏｝的前〃项积，若02。24<1，n2025>i.则（）

A.｛与｝的公比的取值范围为（0,1）

B.数列｛%｝为递增数列

c.当"=ioi2时，n最小

n

D.当”=1013时，n“最大

2

11.已知片，鸟是双曲线C：/_2_=1（6>0）的左、右焦点，过工的直线交C的右支于A,

8两点，若|/|=2|/匐，NAFF?=NF\BFz，贝1（）

A.c的离心率为2B.|/同=8

C.耳鸟的面积为4D./\BFXF2的周长为18

三、填空题

试卷第31页，共33页

12.己知1,°,b，c,4成等比数列，则6=—.

13.如图，在平行四边形/8CZ)中，/C=8C=1，/C_L2C，将A/CD沿/C折起到

14.已知尸为抛物线c：y2=2px(°>o)的焦点，43为C上在第一象限内的两点，且满

足|“m=60，|"|-|尸可=6，线段N5的中点的纵坐标为6,则C的方程为一.

四、解答题

15.如图，在直三棱柱/BC-44。中，AB1AC，AB=AC=a，AA、=b，有、E,尸满

(1)当平面4EF_L平面4E尸时，求；I的值;

试卷第41页，共33页

(2)当2时，求直线与平面4即所成角的大小.

16.己知s“为数列｛%｝的前"项和，且s“=/+].

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)若以喙,求低｝的前”项和勺

17.在平面直角坐标系中，点£(-2,0)、/(1,0)，动点尸满足陷|=阳明，记动点

P的轨迹为曲线「.

⑴求「的方程；

(2)过尸的两条互相垂直的直线与曲线「分别相交于A、8两点和C、〃两点，求四边形

/C8D面积的最大值.

18.已知圆C：(X+1)2+_/=16，点0(1,0)，点尸是圆C上任意一点•线段。尸的垂直平分线

/与半径C尸相交于点0,当点尸在圆C上运动时，点。的轨迹为曲线「.

⑴求「的方程；

(2)证明：直线/是曲线「的切线.

19.在数列｛%｝中，记若也叫为等差数列，则称｛%｝为二阶等差数列.

⑴若4=2“2_”+3,判断｛4｝是否为二阶等差数列？并说明理由；

(2)已知二阶等差数列｛%｝满足卬=1，%=2,%=小

试卷第51页，共33页

①求数列｛(｝的通项公式;

②若6“=J+2记也｝的前“项和为月，证明：3Vs”<1.

+1

2"(«„+1-1)4

试卷第61页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案BDCDCAABBCDBC

题号11

答案ABD

1.B

【分析】由抛物线方程求出焦点、准线方程得解.

【详解】由题意知该抛物线的焦点为伍,一1）,准线方程为了=1,

故焦点到准线的距离为2,

故选：B.

2.D

【分析】分别用两点式及倾斜角求斜率相等即可计算求参.

【详解】经过/⑵机），*加，4）的直线/的斜率左=1,又直线’的倾斜角为45°,

2—m

所以I=tan450=l,解得机=乙

2-m

故选：D.

3.C

【分析】求出所有选项的椭圆离心率，根据离心率越小，椭圆越接近圆，离心率越大，椭

圆越扁，选出离心率最小的即可.

【详解】由椭圆的性质知，离心率越小，椭圆越接近圆，离心率越大，椭圆越扁，

四个椭圆的离心率分别为3，其中离心率最小的为:，

23454

22

所以椭圆土+2=1的形状与圆更接近.

1615

故选：C.

4.D

【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合向量共面逐项分析判断.

答案第11页，共22页

【详解】对于A,因为，+彼+1=("可+仁所以a+B+仁a+b'共面，故A错误；

对于B,因为2=；伍-可+；伍+可，所以"一0,1,"+I共面，故B错误；

对于c,因为B=-;9-孙所以""b,5M共面，故C错误；

对于D,假设三个向量共面，则存在实数x,乃使得口+不=》(己+彼)+了伍+菊成立，

X=1,a+bb+cc+a

则b=1,显然方程组无解，所以，，不共面，故D正确.

x+y=0.

故选：D.

5.C

【分析】将%、%、〃，q分别用4和d来表示，化简即可得出小

【详斛】由。团+。〃=4+q,得2%+(加+〃-2)d=26+(s+/_2)d'

所以［加+〃—(s+川d=(P因为加+〃ws+/,

所以加+〃-(s+f)w0，所以。=(),

故选：C.

6.A

【分析】作月O_L平面8c£>‘垂足为0,连接°C,以°为坐标原点，直线0C，0/分别

为y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解而，方，再利用向量的

夹角余弦值的坐标运算得所求.

【详解】作/OJ_平面BCZ)，垂足为°，连接°C,则0为△8CD的中心，

答案第21页，共22页

以O为坐标原点，直线oc，04分别为y轴，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则/（0,0,2痴），20，一6,0）,C（0,273,0）,。卜3「6,0）,

"3-乎，逐、

所以£（一2,一",八｝F[-BE=

122J（2与#

一7277

CFe

BEcos0=|cos<S£,CF>|=i——i?

设，所成的角为，所以।1”“L2J

质11国3月x3g6

故选：A.

7.A

【分析】根据双曲线的定义，结合角平分线的性质列式得q1关系，从而可得所求•

【详解】延长片£交尸与于点0，

因为PE为/耳2鸟的平分线,所以|尸团=|尸5,寓同=以|,

又因HM=2a,所以四=2〃,所以|。同=;|凿|=*

答案第31页，共22页

因为|。£|=；内外I，所以c=2。

又/=/+/,所以/=3二,即4=立

~b3

所以0的渐近线方程为v=±^-x-

3

故选：A.

8.B

【分析】设E（a,6）,F（c,d），由ad-6c=0，确定E,尸关于原点对称，从而得到

a+2c+2b+d=c-d，再由直线与圆的位置关系求解即可.

【详解】设E（a,6）,F（c,d），由题意知点E，厂为圆0：/+/=1上的不同两点，

设坐标原点为。，则赤=（d6），砺=（c,d），由〃-加=0,得丽//砺，

又E,尸为圆/+/=1上两个不同的动点，所以点E,尸关于原点对称，

=-c,b=—d,所以a+2c+26+"=（?-"•

设＜?_[=/,故尸在直线x-y-f=O上，又尸在圆x2+j?=i上，

所以直线x-y-f=0与圆=1有公共点,

所以&41，所以一也行，

V2

故a+2c+2b+d的取值范围为「_、万、/7]•

故选：B.

9.BCD

【分析】利用直线过定点的求法判断B,利用直线一般方程下垂直与平行的条件判断CD,

答案第41页，共22页

利用直线可能相交直接排除A,从而得解.

【详解】对于B,仆2x+(a-l)y-a-l=0可化为2x-y-l+a(y-l)=0,

令-1=0,得「=1,则4过定点(U),

[y-i=o1^=1

当4垂直于定点与原点的连线时，原点到4的距离最大，

最大距离为炉手=正，故B正确；

对于C,的充要条件为2。+(。-1)=°,即q=_L,故c正确；

3

对于D,/J4的充要条件为a(a-l)-2=0且a(-,即a=2或a=-l，故

D正确.

对于A,因为直线/J办+卜-1=0,4：2x+(a-l)y-a-l=0不一定平行，

当4与相交时，两条直线上的点之间的最小距离为0,故A错误；

故选：BCD.

10.BC

【分析】运用前〃项积的概念分析得到等比数列的单调性得解.

【详解】由II]o24=%。2…a2023a2024=(。1012。1013)1"2V'得4012al013<1'同理由II2025>1,得

%013>1'

1

所以0<总<1,«1013>)所以4=驷>1,

^1012

故0<ax<a2<--<Qi。“<1<。1。13<•••'所以｛%｝为递增数列，

当”=1012时，n最小，n无最大值，故A,D错误，B,C正确•

nn

答案第51页，共22页

故选：BC.

11.ABD

【分析】根据相似三角形的判定定理和性质，结合双曲线的定义、离心率的公式、三角形

面积公式逐一判断即可.

【详解】如图所示，不妨设A在第一象限，

A

2n—1

由双曲线U/一方=1仅＞0）可得，

则H4q=2°=2，由于H周=2|/阊，得M=4，叫=2,

由于//片工=/片3丹,所以

故国=回=生」，可得阿=2|泪=8,故忸用=6,

的阴忸12

而忸耳卜|陷|=2,故防=8,

由但四=j_,得田阊=4=2cnc=2,

M2

CC

所以的离心率e=.=2；

a

由以上分析可知H同=8，

在AN月《中，|/闻=4，用=2，区丹|=4，

故邑，尸内=：＞＜2'"平=店,

△BFF］的周长为忸耳|+|典|+寓阊=18・

故选：ABD

答案第61页，共22页

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用相似三角形的判定定理和性质定理得到比例式.

12.2

【分析】因为1,a,b,c,4成等比数列，根据等比数列的性质，可得〃=4，再利用

/=3>0>确定取值，

【详解】因为1,a，b，c，4成等比数列，

所以"=4，

所以6=2或6=2

又因为=3>0，

所以6=2，

故答案为：2

【点睛】本题主要考查等比数列的性质，还考查运算求解的能力，属于基础题.

【分析】利用空间向量，将二面角尸-4C-3的大小用〈万，区〉表示，将条件和目标都用

万，就，而表示，再运用向量数量积求模长即可・

【详解】因为二面角0一/°一'的大小为?，所以〈方,Q〉=全，

答案第71页，共22页

又〈耳而=〈记函=9且丽=莎+%+赤,

---、2/►►>\2»2»2-2►»►..►

所以必=(P4+4C+CB)=PA+AC+CB+2PA,AC+2AC•CB+2CB•PA

3+2。•刀=3+2xlxlx2,

所以=

故答案为：^2

14.y2=l2x

Ax5X

【分析】设"的方程为x=⑵+“（加＞0），l^y^,82^2®，直线与抛

物线联立后得到乂+%=2〃〃，根据焦半径公式得到%-马=6,进而得到必-%=@,再

m

由弦长公式求解出加=1，再由线段N8的中点的纵坐标为6,求出。的值，即可求得°的

方程.

由题意可设的方程为x=w+〃（机＞0），，BfX1,y^

答案第81页，共22页

将x=wy+〃代入r=2px（p>0），^y2-2pmy-2pn=0>

所以△=4p2"『+8p〃>o，且%+%=2pm，

由抛物线定义及白卜尸理=6,得叫再上+4=6,即现一"6,

所以制必一外）=6,即乂_%=色，

m

2

又|4B|=J+m|^1~y2\=6A/2,

所以J1+赤x9=6行,解得'”=1,

m

又〃±匹=如=6,即2H\所以0的方程为V=12x.

22

故答案为：/=12x-

2

15.（1）-

3

喏

【分析】（1）建系，求得两平面法向量，由垂直关系即可求解；

（2）由线面角公式代入求解即可；

【详解】（1）在直三棱柱NBC-48c中，AA,±AB-AA{1AC>又AB_LAC，

故以A为坐标原点，直线48，AC.441分别为x轴，了轴，z轴建立空间直角坐标系

（如图所示），

则4（0,0,0）,4（。，。，6）,小见。,”尸伍应当，

答案第91页，共22页

所以方=[a,0，WJ，~AF=A^E=卜,0,一§)乖十.力.

AEF1=(xQi，zJ——*b

nx-AE=ax1+—z{=0,

一一

设平面的一个法向量，贝L32b-

n-AF-ayH----4=0,

、xx3

令4=3。，解得X]=-6，yt=-2b>所以]=(-b,-2b,3ay

AEF'--------2b

\n2=(x2,y2,z2)

n2•AXE=ax2-----z2=0,

设平面的一个法向量，则:

—>—b

n2-AXF=ay2-—z2=0,

令z?=3a，解得x?=2b,y2=b,所以元=(2b,b,3aY

因为平面/£7F平面产，所以),a，

所以雇0=0'即-2〃-2〃+9〃=0，

所以2=q=z.

b3

⑵当力]时‘〜“‘结合⑴‘得“E二(Q,0,Q)n2=(6Q,3Q,3Q),

设直线AE与平面A.EF所成角为6，

答案第101页，共22页

2

AE-n29a_V3

/可卜241ax3aa2

又。e呜'所以°g

⑹⑴%K一12

72〃+3

(2)7；=--

2n

【分析】（1）直接由S"与“”的关系，q=1%〃=1，代入计算即可；

"[Sn-Sn_x,n>2

（2）写出6通项公式，利用错位相减法求和，注意分类讨论.

n

222

【详解】⑴因为S"=〃+l,所以当心2时，a„=Sn-S„_}=M+1-[（«-1）+1]=2w-1,

当〃二1时，a1=S[=2，不满足上式,

所以“；工

_J2,H=1,=

(2)由⑴知％=121,心2,所以或=祟=2"-1

12〃，

而I、J乂〃22注352/1-1

所以当时，Tn=\+-+—+---+^~

11352〃一1

所以＞+¥+…+

2"+1

答案第111页，共22页

113?72〃一1

两式相减'得/=]+中+齐+…+落

2”+1

1M-l

1-

3、2n-1

=—+2x——1

42同

2n-l72〃+3

3412".2”+142"+i

所以2〃+3

2"

当〃=1时,7]=1，满足上式.

2〃+3

所以＜

2n

17-(1)(x-4)2+y2=18

(2)27

【分析】（1）设尸（xj），由忸囿=及户划结合平面内两点间的距离公式化简可得出曲线

r的方程;

（2）易知曲线「是以点0（4,0）为圆心，半径为3人的圆，分别取/C、的中点M、

N，连接0M、QN，则Q0_L/C，QN1BD,由勾股定理可得出|°加『+|郃「=9，利

用基本不等式可求得四边形NSC。面积的最大值.

【详解】（1）设尸GM,由归同=及户周，得小X+2『++y2,

答案第121页，共22页

化简，得（尤_盯+/=18，

所以，曲线「的方程为@_4）2+），2=18.

（2）由（1）可知，曲线「是以点0（4,0）为圆心，半径为的圆，

分别取/C、的中点M、N，连接0M、QN，则0M_L/C，QN1BD,

因为NC/BZ），则四边形为矩形，所以，=百，

由勾股定理可得以/f+|0叫2=\QMf+\ME（=\QEf=9,

由勾股定理可得|NC|=2jl8-@肝,忸0=2/商7,

所以，$四边形物C°=；MC|♦忸必=2•18-|。叫2）（18-|”「）

<18-|0叫2+18-|QN「=36-9=27,

}QM\=\QN\时，即当1。叫=1。用=平时,

当且仅当'=9等号成立,

因此，四边形N8CD面积的最大值为27,

答案第131页，共22页

18.⑴《+Ji

43

（2）证明见解析

【分析】（1）因为|℃|+|8上|。|结合椭圆的定义求得曲线「的方程.

（2）设直线”的方程为（X。_1）1-怨1+外,-会1=0再结合判别式得出，是「的切线.

【详解】（1）由线段的垂直平分线的性质，得|0可=|。必，

所以|0C|+\QD\=\QC\+\QP\=\CP\=4>2=\CD\^

所以点。的轨迹，即曲线「是以点G。为焦点的椭圆，设「的方程为

贝12a=4，焦距=即a=2,

221C0丫

所以什=2-----—=3,

\27

答案第141页，共22页

(2)设尸h/o。，则加的中点为(铝,又赤=(X°T，K),

所以直线/的方程为(x°_l)[x—怨]+%(>—会)=0，

因为点p在圆C上，所以®+iy+y；=i6，

所以直线/的方程可化为伉_1卜+%尸7+X。=0，

所以%y=7-x°-(x0-l)x，

由《+片=1，得34，+4//_12/=0,

43一

将为了=7-%-(尤0-1)》代入上式，得

2

国+4(%-I)?>2+8(X0-1)(X0-7)X+4(X0-7)-12^=0,

由(0+曰+需=16,得心=15-%-2%，

22

所以-7)2x+8(xo-l)(xo-7)x+16(xo-l)=O'

2

所以A64⑷一)(x07-J4(x07-)1区(xj-了0=>

所以/是「的切线.

19.(1)是，理由见解析

(2)①.=〃〜+2；②证明见解析

"2

【分析】(1)根据二阶等差数列的概念计算Aa“，从而判断；

(2)①根据二阶等差数列的概念结合累加法求解通项公式；②根据裂项相消法求｛4｝的前