山东省临沂市2024-2025学年上学期九年级12月学情诊断数学试卷（含答案）

九年级12月份数学阶段试题

1.01365=37,8积陛步以至千里1.02365=1377.4多一份努

力

0.99365=0,03积怠惰以至深渊1.01365=37,8得千分收

成

一、单选题（共12道题，每题3分，共36分）

1.已知点（-3,2）在反比例函数〉='（4力（））的图象上，则下列也在该函数图象上的点是

X

（）

A.（3,2）B.（3,-2）C.（-3,-2）D.（-2,-3）

2.如图，在中，DE//BC,4D=5,AB=12,AE=3,则EC的长是（）

55

3.若点/（匹,2）,8（马,-1）,C（%,4）都在反比例函数>=£（左>0）的图像上，则为,超,退的大小

关系是（）

<x<x

A.xx<x2<x3B.x23iC.为<%3<%2D.x2<x1<x3

4.如图，点/,B,C在OO上，点。是AB延长线上一点，若//OC=nO。，则NCAD的

5.一次函数>=G+1与反比例函数夕=-3在同一坐标系中的大致图象是（）

试卷第1页，共8页

6.如图，正六边形/8CDM内接于。。，点”在前上，则NCME的度数为（）

A.30°B.36°C.45°D.60°

7.用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），

则圆锥的母线长为（）

A.4cmB.8cmC.12cmD.16cm

8.如图，在口48c。中，48=3,AD=5,4E平分NB4D,交BC于F,交。C延长线于

试卷第2页，共8页

A-iB-1D.2

9.如图，己知。。上三点/,B,C,//3C=15。，切线P/交OC延长线于点P,

)

C.V3D.3

32

10.如图，点。是A4BC外接圆的圆心，点/是“8C的内心，连接08,IA.若

/。/=35。，则NO8C的度数为（）

C.20°D.25°

H.在平面直角坐标系中，点力在歹轴的正半轴上，/C平行于x轴，点5,。的横坐标都

是3,2c=2,点。在/C上，且其横坐标为1,若反比例函数了="（x>0）的图像经过

12.如图，4B为。。的直径，8C为。。的切线，弦AD〃OC,直线CD交A4的延长线于点

E,连接下列结论：①CD是。。的切线；@CO1DB,③AEDAS^EBD；（4）

EDBC=BOBE.其中正确的结论有（）

试卷第3页，共8页

c

A.①②B.①③④C.①②③④D.②③④

二、填空题（共8道题，每题4分，共32分）

13.已知函数y=（"+l）x/f是关于x的反比例函数，则加的值是

14.如图，48=9,AC=6,点〃■在42上，且NM=3,点N在NC上运动，连接血W,

若A/MV与A/2C相似，则/N=.

15.若点（加-1,乂）和（加+1,%）在夕=：（左>0）的图象上，若%>为，则根的取值范围

是.

16.如图，过反比例函数y=，（x>0）的图象上一点N作轴交反比例函数y=£（x<0）

的图象于点8,连接。4,0B,若凡”B=4,则左的值为

17.如图’皿是△血的中线'E是的上一点，AE^AD,班的延长线交/C于R

则要的值为.

试卷第4页，共8页

18.如图，P4尸8分别与。。相切于4台两点，且乙4尸2=56。.若点C是。。上异于点43

19.如图，AB为。0的直径，AB=4,C为半圆AB的中点，P为就上一动点，延长BP

至点Q,使BP-BQ=AB2.若点P由A运动到C,则点Q运动的路径长为.

20.已知NC是。。的直径,AB,2C是。。的弦，点。在"BC内运动且满足/DAB=/DBC,

当48=6,8C=4,连接CD,则线段CD长度的最小值为.

三、解答题（共5道题，共52分）

21.在平面直角坐标系中，AABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度

的正方形）.

（1）若AABC和△AiBiG关于原点。成中心对称图形，画出△AiBCi；

（2）将AABC绕着点A顺时针旋转90。，画出旋转后得到的aAB2c2；

（3）在x轴上存在一点P,满足点P到点Bi与点Ci距离之和最小，请直接写出PBi+PCi

的最小值为.

试卷第5页，共8页

22.参照学习反比例函数歹=—2的过程与方法，探究函数歹=三2口二2)的图象与性质.

xx-2

357

X-20123456

~2222

_242j_

y-1m-24421

一彳3133

⑴加=_；

2

(2)请画出函数>=—^(x*2)的图象;

x—2

(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当x<2时，y随x的增大而」(填“增大,或“减小”)

②了二一^的图象是由y=*的图象向一平移一个单位长度而得到的；

③图象关于点一中心对称.(填点的坐标)

23.如图，在RtZX/BC中，44c8=90。，以直角边2C为直径的。。交斜边4B于点。.点

E为边/C的中点，连接。E并延长交的延长线于点F.

试卷第6页，共8页

IN

F

(1)求证：直线DE是。。的切线；

(2)若48=30°,AC=4,求阴影部分的面积.

24.已知：如图，48是。。的直径，点E为。。上一点，点。是靛上一点，连接力£并延

长至点C,使NCBE=ZBDE,BD与AE交于点F.

(1)求证：8C是。。的切线；

(2)若BD平分NABE,求证：AD2=DFDB.

25.如图，一次函数〉=幻+6的图像与反比例函数＞=与的图像交于/(-4,1),8(加,4)两

X

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)根据图像直接写出不等式的解集；

X

(3)将一次函数了=瓦》+b向下平移m个单位后与反比例函数〉=卜的图像有且只有一个公

试卷第7页，共8页

共点，求m的值；

(4)尸为了轴上一点，若△尸48的面积为3,求P点的坐标.

试卷第8页，共8页

1.B

【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，将点代入反比例函数可求出值，再

逐项检验即可.

【详解】解:把点（T2）代入得无=-3x2=-6,

,"'3x2=6,-3x（-2）=6,3x（-2）=-6,-2x（-3）=6,

二符合此条件的只有点（3,-2）,

故选：B.

2.B

AJ7AF）

【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到下二年,

ACAB

求出/C长，然后利用线段的和差即可解题.

【详解】I?：-DE//BC,

AEAD35

——=——，即nn——=——，

ACABAC12

解得/c=m，

/L36,21

CE—AC-AE=-----3——

55f

故选：B.

3.B

【分析】本题考查了，反比例函数所在象限，反比例函数的增减性，解题的关键是：熟练掌

握反比例函数的增减性.反比例函数夕=、（左>0）经过一、三象限，由三点纵坐标的符号，

得到龙2<0,%>0,%3>0,由反比例函数在第一象限，了随X的增大而减小，得至算3<占，

即可求解.

【详解】解：•••点/（再,2）、8仁,-1）、C«,4）都在反比例函数了=：（左>0）的图像上，

k

・•・反比例函数歹=嚏（左>0）经过一、三象限，

V-1<0,2>0,4>0,

x2<0,玉>0,x3>0,

k

•••反比例函数y=J左>0）在第一象限，y随X的增大而减小，4>2,

答案第1页，共18页

X3<X],

***X?<X3<X],

故选：B.

4.C

【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半.也考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解决本

题的关键.设点E是优弧NC（不与/,C重合）上的一点，则//EC=55。，根据圆内接四

边形的对角互补即可求得.

【详解】解：设点E是优弧NC（不与4C重合）上的一点，连接/£、CE,

ZAOC=110°,

.­.ZE^-ZAOC=55°,

2

•.•四边形A8CE内接于。O,

...ZABC=180°-NE=125°,

NCBD=1800-ZABC=55°.

故选：C.

5.B

【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断。的符号，看一

次函数和反比例函数判断出。的符号是否一致；

【详解】一次函数与y轴交点为（0,1）,A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；

B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断公0,反比例函数过一、三象限，贝人心0,

即。<0,两者一致，故B选项正确；

C选项中，根据一次函数夕随x增大而增大可判断心0,反比例函数过一、三象限，贝人。>0,

即时0,两者矛盾，故C选项错误；

答案第2页，共18页

D选项中，根据一次函数夕随x增大而减小可判断心0,反比例函数过二、四象限，则

-a<0,即a>0,两者矛盾，故D选项错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函

数、反比例函数图象与系数的关系.

6.D

【分析】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，先求出正六边形的中心角，再利用圆周

角定理求解即可.

【详解】解：连接。C、OD、OE,如图所示：

则NCOE=120°,

ACME=-ZCOE=60°,

2

故选：D.

7.B

【分析】设圆锥的母线长为/,根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）

列式求解即可.

【详解】解：设圆锥的母线长为/,

180x^--Z

由题意得:2x4%

180

二/=8cm,

故选B.

【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不

包括直径）是解题的关键.

8.B

【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质,

答案第3页，共18页

由平行四边形的性质可得AB||DE,N0|BC,进而得到=NE，再结合ZEAD=NBAE

得到=即/。=。£=5；再由线段的和差可得CE=2；然后根据5C||/D得到

FFFC

瓦=而,解答即可.

【详解】解：.•••四边形/3C。是平行四边形,

.-.AB\\DE,AD\\BC,

・•・/BAE=ZE,

•••AE平分/BAD,

・•・ZEAD=/BAE,

・•・ZE=ZEAD,

AD=DE=5,

：,CE=DE-CD=5—3=2,

•・•BC\\ADf

EFECJI

••方一瓦一不，

AE_5

••一.

EF2

故选：B.

9.D

【分析】此题主要考查了圆的有关性质、切线的性质以及勾股定理，连接。区,根据圆周角

定理求出//0P,根据切线的性质求出尸=90。，由直角三角形中30。角的性质可得答案.

ZAOC=2NABC=30°,

•.•过点A作。。的切线交OC的延长线于点P,

ZOAP=90°,

在RtA0/P中，

答案第4页，共18页

•••OP=2AP=2V3，

•••OA=^OP2-AP2=3

故选：D.

10.C

【分析】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，根据三角形内心的定义可得

/历1C的度数，然后由圆周角定理求出/80C的度数，再根据三角形内角和定理以及等腰

三角形的性质得出答案.

【详解】解：连接OC,

•.•点/是的内心,

•••AI平分Z.BAC,

•・・NC4/=35。，

・•.NBAC=2NCAI=7。。,

•・•点。是一BC外接圆的圆心，

ZBOC=2ZBAC=140°f

-OB=OC,

NOBC=ZOCB=|x(180°-ZBOC)=1x(180°-140°)=20°,

故选：C.

11.C

【分析】设8(3,"),则C(3,机+2)0(1,机+2)根据反比例函数的性质，列出等式计算即可.

【详解】设8(3,〃?)，

•・•点、B,C的横坐标都是3,BC=2,4C平行于x轴，点。在NC上，且其横坐标为1,

C(3,m+2),Z)(l,m+2),

・••3m=加+2,

解得加=1,

答案第5页，共18页

・•・8(3,1),

左=3x1=3,

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握人的意义，反比例函数的性质是解

题的关键.

12.C

【分析】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，

作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

由切线的性质得/O8C=90。，首先连接。。，易证得ACOD取ACOB,然后由全等三角形的

对应角相等，求得NODC=/O8C,即可证得CD是。。的切线判断①，根据三角形的内角

和是180。判断②；根据余角的性质得到/功％=40切，即可得至为0,判断③;

根据相似三角形的性质得到2=若，判断④.

EBCB

【详解】解：连接。。，

・・•AD\\OC,

ZDAO=/COB,ZADO=/DOC,

OA=OD,

AOAD=NODA,

,•"COB=/COD,

ACOD^COB,

：.AODC=AOBC,

■:BC为OO的切线，

.­.ZOBC=90°,

ZODC=90°,

••.CD是。。的切线，故①正确;

答案第6页，共18页

•・•OB=OD,/COB=ZCOD,

:・CO1DB,故②正确；

・・•ZEDA+ZADO=90°,/DBA+ZDAO=90°,

•••ZEDA=/DBA,

MEDAS^EBD,故③正确；

,/EDASEBD,

,ED_DA

,•商—访’

•・•/DAO=/COB,ZADB=ZOBC=90°,

ACOBS八BAD,

.OB_CB

,•茄—访’

.DA_OB

:里=»~,即ED-BC=BO-BE,故④正确.

EBCB

故选：C.

13.±2

k

【分析】根据反比例函数的定义：形如y=—(左为常数，后H。)的函数称为反比例函数,

即可求出加的值.

【详解】••・函数y=(m+1)--5是关于X的反比例函数，

---m+1*0,m2-5=-1,

m=±2,

故答案为：±2

【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键.

14.422或4.5.

【详解】解：当48c时，缥=段，即］=竺，解得/N=2；1

ABAC96

、“qAMAN3AN左…

当△/7W〜A48C时，——=—,即nn一二——,解得/24.5.

ACAB69

所以当MV=2或4.5时，A47W与A45C相似.

故答案为：2或4.5

15."2>1或拉<-1

答案第7页，共18页

【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当左＞0,

在每一象限内y随X的增大而减小；当后＜0,在每一象限内y随x的增大而增大，据此求

解即可.

【详解】解：•:k＞0,

・••反比例函数y='(左＞0)的图象在第一，三象限，且在每个象限y随X的增大而减小，

两点均在同一象限，当两点都在第一象限时，机-1＞0,当两点都在第三象限时，

机+1＜0,

■■m的取值范围是加＞1或机＜-1.

故答案为：心＞1或加＜-1.

16.—6

【分析】本题考查反比例函数系数上的几何意义，理解反比例函数系数上的几何意义是解题

的关键.利用反比例函数系数上的几何意义，先求出国/",再求出S.BOC，进而求出发的值

即可.

【详解】解：记48与X轴的交点为C,

2

・・・点A在反比例函数y=、(x＞0)的图象上，且轴，

S“oc=；x|2|=l,

,S^AOB=4,

「•S"=4-1=3,

《阳=3，

根据图象可知：k＜0,

k=-6,

故答案为：-6.

答案第8页，共18页

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，取5尸的中点〃，

连接则。〃是ABC尸的中位线，可得=DH//CF,再证明△4EFs

JZ7AJ7111

得到-===彳，则”/=彳。7/=工0/，据此可得答案•

DHDE336

【详解】解：如图所示，取3厂的中点H,连接

4

_1

,・而一］，

••・40是△/吕。的中线，即点。是5C的中点，

・•・。以是ABC尸的中位线，

・・.DH==CF,DH//CF9

2

:・NEAF=/EDH,ZEFA=ZEHD,

SAEFs^DEH,

AFAE

DE一§，

・•・AF=-DH=-CF,

36

-CF

.AF-AF-6_1

：'^C~AF+CF~1'

6

故答案为：—■

18.62。或118。

【分析】根据切线的性质得到NP4O=ZPBO=90°，根据四边形内角和为360。,得出ZAOB,

然后根据圆周角定理即可求解.

【详解】解：如图所示，连接NC,8C,当点C在优弧蕊上时，

答案第9页，共18页

PA,PB分别与QO相切于48两点

APAO=NPBO=90°,

v/APB=56°.

ZAOB=360°-90°-90°-56°=124°

♦:凝=彘'

ZACB=-ZAOB=62°,

2

当点C'在令上时，

••・四边形/czc是圆内接四边形，

.-.ZC,=180°-ZC=118°,

故答案为：62。或118。.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周

角定理是解题的关键.

19.4

Bp4B

【分析】连接4。，由可证不="，从而可证由相似三角形

AD

的性质知乙4尸8=4048=90。，即Q4始终与AB垂直.根据三角形中位线定理即可求出Q运动

的路径长.

【详解】如图所示：连接

■：BP-BQ=AB2,

,BP_AB

,'AFBQ-

又；BPMQBA,

:.AABPFQBA,

答案第10页，共18页

；.UPB=^QAB=90°,

.■.QA始终与48垂直.

当点尸在N点时，。与N重合，

当点P在C点时，0C是中位线，则NQ=2OC=4,此时，。运动到最远处，

•••点0运动路径长为4.

故答案为4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理的应用，证明

乙4P2=NQ48=90。是解答本题的关键.

20.2

【分析】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，取力B的中

点、P,连接尸。，根据直径所对的圆周角是直角可得=90。，然后得到乙4。8=90。，

然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边得一半可得尸。=3,即可得到当点P,2C在同

一条直线上时，线段CD的值最小，然后利用勾股定理解题即可.

【详解】解：如图，取4B的中点尸，连接尸D,

・・•/c是。。的直径，

ZABC=90°,

•••ZDAB=ZDBC,ZABD+ZDBC=ZABC=90°,

ZABD+ZDAB=90°,

:./ADB=9。°,

•・•点尸为4B的中点，

:.PD=-AB=PB=3,

2

当点P,O,C在同一条直线上时，线段CD的值最小，

在RLP8c中，由勾股定理，得PC7PB2+BC?=J32+42=5，

:.CD=PC-PD=5-3=2,

答案第11页，共18页

21.(1)画图见解析；(2)画图见解析；(3)V26

【分析】(1)根据关于原点中心对称的点的坐标特征，分别描出点/、8、C的对应点出、

Bi、C1,即可得到A4//G；

(2)利用网格特点，根据旋转的性质画出点/、8旋转后的对应点小、B,,即可得到

AA2B2C；

(3)作G(或5)点关于x轴的对称点，根据勾股定理即可求解.

【详解】解：(1)(2)如图所示

(3)如图,

作C1点关于x轴的对称点C4

在小ACQ)为中，C石尸炉再=回

故答案为：^26.

答案第12页，共18页

4

22.(l)-j

⑵见解析

(3)减小;右，2；(2,0)

【分析】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图

及数形结合得到函数性质.

12

(1)把、=彳代入函数》=一^即可解答；

2x-2

(2)用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可；

(3)数形结合，观察函数图象即可得到答案.

1?

【详解】(1)解：把、=彳代入＞=―

2x-2

2

4

m=——,

3

4

故答案为：-§；

(2)解：函数图象如图所示:

(3)解：①当工＜2时，y随工的增大而减小;

②y二一2^的图象是由V=2*的图象向右平移2个单位长度而得到的；

x-2x

答案第13页，共18页

③图象关于点（2,0）中心对称.

故答案为：减小；右，2；（2,0）.

23.（1）证明见解析

⑵66-2兀

【分析】（1）连接根据三角形中位线定理可得〃加，从而得到

ZS=ACOE,ZBDO=ZDOE,进而得到/COE=NDOE,可证得ACOE之△£）（?£,从而得

到/OOE=/OCE=90。，即可求证；

（2）根据直角三角形的性质可得到比=4\/§，进而得到400=2/8=60。，

OC=OD=；8c=26再由S阴影=邑。国一S扇形8c，即可求解.

【详解】（1）证明：如图，连接。2。£.

有

,：OC=OB,E为ZC边的中点，

：,0E//AB,

/B=/COE,ZBDO=/DOE,

OD=OB,

/B=ZBDO,

；"COE=/DOE,

VOC=OD,ZCOE=ADOE.OE是公共边，

.•.△COE0AZ）OE（SAS）,

ZODE=ZOCE=90°,

•••0。为。。的半径，

••・直线DE是。。的切线；

（2）解：ZACB=90°,ZS=30°,AC^4,

答案第14页，共18页

.•.tan30°=—,

BC3

・•.BC=g，

NDOF=2NB=60°,OC=ODBC=2^3,

2

•••NODF=90°,

：.ZF=30°,DF=拒DO=6,

,I广60兀.(26丫「

"S阴影=S^ODF—S扇形00c=5*2括*6=6m-2n-

【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，切线的判定，直角三角形的性质，正确的作出辅助

线构造直角三角形是解题的关键.

24.(1)见解析；(2)见解析.

【分析】(1)利用43为直径，得出N8及4=90。，利用/3。£=/3/区/。8£=/8。£得出

NBAE=NCBE,从而得出NEA4+NEBC=90。，进而得出结论；

(2)证出AFD/SA/DB即可得出结论.

【详解】证明：(1)•.YB为直径，

NBEA=90°,

在Rt^BEA中，NEBA+ZBAE=90°,

又•:NBDE=NBAE/CBE=ZBDE,

ZBAE=ZCBE,

:.ZEBA+ZCBE=90°,即//8C=90°,

BC1AB,

又；4B为。。的直径，

8c是。。的切线；

(2)•；BD平分NABE,

ZEBD=ZDBA,

又：ZEBD=ZEAD,

"DBA=ZEAD,

又•:ZFDA=ZADB,

:.AFDASAADB,

答案第15页，共18页

.ADFD

一访一方'

AD2=DFDB.

【点睛】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定和性质；证明

切线有两种情况（1）有交点，作半径，证垂直；（2）无交点，作垂直，证半径.

4

25.（1）一次函数解析式为＞=x+5,反比例函数解析式为＞=——

X

（2）-4＜x＜-l或%＞0

（3）1或9

（4）（0,3）或（0,7）

【分析】（1）利用待定系数法可直接求出反比例函数的解析式，从而可求出再次

利用待定系数法即可求出一次函数解析式；

（2）根据函数图象得出两函数的交点坐标，再得出不等式的解集即可；

（3）求出平移后的一次函数解析式为＞=x+5-机，再联立平移后的一次函数解析式和反比

例函数解析式，整理出关于x的一元二次方程，结合图像有且只有一个公共点，可知该一元

二次方程有两个相等的实数根，最后根据其根的判别式求出m的值即可；

（4）过点N作轴于点D,过点8作轴于点C,可求出%设

尸（0J）.分类讨论：①当点尸位于DC上时，如图点4,可得出潢=4-，DPx=t-\,从

=

而可求出国屈耳=