山东省聊城市某校2024-2025学年高二年级上册12月月考数学试卷（含解析）

2024-2025学年第一学期聊城市水城慧德学校十二月月考高二

数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.已知直线/:氐—3y+l=0,则直线/的倾斜角为（）

A.-B.-C.-D.—

6323

2.已知直线/:x+y-2=0与圆河：/+丁2_4》-4丁+。=0交于4,5两点,且1朋=4四,

则a=()

A.4B.-4C.2D.-2

22

3.已知椭圆c•工+）=l（a〉6〉0）上存在两点M、N关于直线X—y—1=0对称.若椭

~21.

圆离心率为立，则的中点坐标为（）

3

A.（5,4）B.（4,3）C.（3,2）D.（2,l）

4.设O—ABC是正三棱锥,G］是△ABC的重心,G是OG】上的一点，且OG=3G。，若

OG^xOA+yOB+zOCMx+y+z=｛）

A.1BCD.1

41|

5.已知抛物线C:y2=2”x（p>0）的焦点为£准线为/,且/过点（-3,2），〃在抛物线C上,

若点N（2,4）,则|MF|+|汝V|的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

程为（）

2222

A.L_2L=lg2)B.土—乙=1(g2)

416''4161)

2222

c.土」=1(x24)D.。匕=1($4)

1641)164V)

22n—\

7.曲线土+2L=i与曲线)=（左<7）的（）

167"

A.短轴长相等B.长轴长相等C.焦距相等D.离心率相等

2222

8.如图，已知半椭圆0:二+斗二耳》之。）与半椭圆02：4++=1（%<0）组成的曲线称

ac?i）c

为“果圆”淇中/=从+02,。〉6〉0〉0.“果圆”与X轴的交点分别为4,4,与y轴的交点

分别为用,不，点P为半椭圆。2上一点（不与4重合），若存在「4.%=。，则半椭圆G

的离心率的取值范围为（）

二、多项选择题

9.向量a=（2x,l,3）2=（L-2y⑼，若。//"则（）

A.X=iB.y=——

52

C.a=—bD-a=­b

32

10.已知直线/经过点尸（3,1）,且被两条平行直线4：x+y+l=0和4：x+y+6=0截得的

线段长为5,则直线/的方程为（）

A.%=2B.光=3C.y=lD.y=2

22

11.已知R为椭圆C:'+'=l的左焦点，直线/:y=Ax,（ZwO）与椭圆C交于A、3

两点，AEJ_x轴，垂足为E,BE与椭圆C的另一个交点为P,则（）

14

A•西+画的最小值为2

B.△ABE的面积的最大值为近

C.直线BE的斜率为8

2

D.NR4B为直角

三、填空题

12.已知圆°：必+了2=1,过圆C外一点尸作C的两条切线，切点分别为A,8若

ZAPB=120。,则|AB|=.

13.已知点A(a,4)在抛物线产=4x上，R为抛物线的焦点，直线AR与准线相交于点

B,则线段|/喏|的长度为..

四、双空题

14.已知直线4的一个方向向量为(-7,3,4),直线6的一个方向向量为(匹％8)，且

(〃4，则x=y=.

五、解答题

15.(1)已知空间向量a=(2,—1,—2)/=(1,1,—41求囚-3小

(2)已知a=(一2,1,3)2=(-1,2,0,若aJ_(a-m),求实数2的值

16.如图所示，C,。分别为半圆锥的底面半圆弧上的两个三等分点，。为A3中

点，E为母线PB的中点.

(1)证明：DE//平面PAC；

(2)若△PA5为等边三角形，求平面与平面上4。的夹角的余弦值.

17.如图，在四棱锥尸—ABCD中,平面

ABC。,AD£>C,AB〃£)C,AB=AD=工CD=2,0£)=2，"为棱PC的中点

⑴证明：平面B4D；

⑵求平面PDM和平面DMB夹角的余弦值；

18.如图，在五棱锥尸-ABCDE

中,AB工AE,BC//AE,DE//AB,AB=AE=2DE=2BC=2,PA=2也，PB=PE=26.

(1)证明:B4JL平面ABCDE.

(2)求平面与平面PC£>的夹角的余弦值.

19.如图，直四棱柱ABCD-A4GA中底面ABCD为平行四边

形,AB=AC=2，AE>=A4[=2后/是棱的中点.

(1)证明:W平面AC5]；

(2)求二面角P-4与-C的余弦值.

参考答案

1.答案：A

2.答案：D

3.答案：C

4.答案：C

5.答案：D

6.答案：A

7.答案：C

8.答案：D

9.答案：BC

10.答案：BC

11.答案：BCD

12.答案：1

13.答案：—

3

14.答案：一14;6

15.答案：(1)3.710

(2)2.

16.(1)设K4的中点为R连接EF,FC,OC,CD,BD,

在中，所为三角形的中位线，所以E77/AB,EF=-AB,

2

因为C,。分别为半圆弧上的两个三等分点，

△OCD为等边三角形，ZODC=NDOB=

3

所以CD//AB,CD=-AB,

2

易得四边形CDEF为平行四边形，所以DE//CF,

CFu平面P4C,OEU平面P4C,

所以。E//平面PAC；

p

(2)解法一:

过。作AB的垂线，则垂足般为08的中点，过M作Q4的垂线，设垂足为N,连接

MN,

因为平面上钻，平面ABCD,

平面PAB平面ABCD=AB,DM±AB,所以。以，平面MB,DMLPA,

又因为PA_LMN,DMMN=M,所以平面QMN,PA±DN,

则ZDNM为平面上钻与平面PAD的夹角，

设底面半径为凡则。/=迫尺，

2

BF=瓜,MN=^BF,

44

在RL^DAGV中，DN~=DM~+MN2=—R2,即DN=^R,

164

所以cosNOV"=出=3叵，即平面R4B与平面的夹角的余弦值为当叵.

DN1313

解法二：

作。的中点Q,连接OQ,以。为坐标原点，OQ,OB,0P所在的直线分别为x,

y,z轴建立空间直角坐标系，设底面半圆的半径为2,

则0(0,0,0),尸(0,0,2⑹,4(0,—2,0),。(百,1,0),PA=(0,-2,-273),

AD=(6,3,0),

由图形可知平面B钻的法向量为〃=(1,0,0),

设平面PAD的法向量为加=(x,y,z),

.PA-in=~~2,y—2,y/3z=0.r—.

则1，令y=6,则nz=—1,x=—3,

ADm=v3x+3^=0

所以m=卜3,也,-1)是平面的一个法向量，

I/\i\m-n\33V13

।\Z|\m\-\n\lx岳13

即平面与平面24。的夹角的余弦值为白叵.

13

17.(1)取尸。中点N,连接A/V，MN.

在ZXPCD中,M,N分别为PC,P£)的中点，则MN//DC，MN=-DC,

2

因为AB//OC,AB=工DC,则AB〃AGV，AB=的，

2

可知四边形ABMN为平行四边形，则BM//AN,

且瓦以公平面PAD，4Vu平面PAO,所以〃平面PAZh

(2)因为尸口,平面ABC。，AD，DCu平面ABCD，

以。为坐标原点,1)A，£)C，£)尸所在直线分别为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系£>-孙z,如图所示，

取CD的中点E,连接BE，

因为AB//DC，AB=-DC,^\AB//DE，AB=DE-

2

又因为A。，£>C,所以四边形ABED为矩形，

且=AD=2,可知四边形ABED是以边长为2的正方形，

则D（0,0,0）,A（2,0,0）,B（2,2,0）,C（0,4,0）,P（0,0,2）,M（0,2,1）,

可得ZM=（2,0,0）,DM=（0,2,1）,OB=（2,2,0）,

n-DM=2y+z=Q

设平面BDM的法向量为〃=（羽y*）,所以<

n-DB=2x+2y=0

令y=-1,则x=1,z=2，所以平面BDM的一个法向量为n=（1,-1,2）,

易知£%为平面PDA/的一个法向量，

n-DA2指

所以cos”,DA=

|H||DA|-V6x2-6，

所以平面POM和平面DMB夹角的余弦值为逅.

6

18.(1)证明:因为PA=20,P3=2g",PE=2S",AB=AE=2,

^\^P^+AB2=PB2,P^+AE2=PE2,

因为AB4石=4,4^匚平面48。石,隹（=平面4800石,所以上4_1平面48。。£

（2）根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系.

P(0,0,2V2),C(2,1,0),£>(1,2,0),

则PC=(2,1,-2A/2),CD=(-1,1,0).

易得平面PAB的一个法向量为〃=(0,1,0),

设平面PCD的法向量为加=(x,y,z),

则《一，

mCD=-x+y=0

可取根=(2后,2a,3).

设平面与平面PCD的夹角为e,

m-n1412A/2

贝(Jcos。=cos(m,n)=-

8+8+9"I

即平面与平面PC。的夹角的余弦值为芈.

19.(1)连接G。,因为eq=A4,=2VLeD=2，DP=VL

所以M=0,又ZC,CD=ZCDP=90°,

CDDP

所以△GCDs^CDP，

所以NPCD+NCDC]=ZPCD+ZCPD=90°,

所以CQ，CP,又ABJ/DG，所以AB,1CP,