山东省大联考2024-2025学年高二年级上册12月月考数学试题（含答案解析）

山东省大联考2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知直线％+>+加一1=0与直线3%+（加+2）》+3=0平行，则加=（）

A.1B.3C.-3D.-1

2.已知｛瓦瓦可是空间的一个基底，则可以与向量比=。-2己，万=/+2?构成空间另一个基

底的向量是（）

A.aB.bC.cD.a-c

3.直线/：y=x与圆W：/+（k1『=4交于/,8两点，则|/同=（）

A.2B.V7C.277D.V14

4.过点/（LI）且与抛物线C:/=x只有1个公共点的直线有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

JT

5.如图，二面角£-/-〃的大小为点/,3分别在半平面a,月内，4C，/于点C,BDLI

于点D若/C=5,BD=6,AB=2A/15,则CD=（）

C.V29D.V30

6.动点W（x,y）与定点B（3,0）的距离和它到定直线/:x=g的距离的比是则动点M的

轨迹方程为（）

222222

A-B.土-匕=1C.土-匕=1D.匕-匕=1

54454995

r2*4V2

7.已知4,5分别为椭圆C:5+4=l(a>b>0）的左、右顶点，。为C的上顶点，O为坐

a2b2'

标原点，E为C上一点，且位于第二象限，直线3E分别与y轴交于点X,G.若D为

线段。〃的中点，G为线段OD的中点.则点£到x轴的距离为（）

试卷第1页，共4页

8.如图，正方形44GA的棱长为4,G,6分别是CC1，的中点，P是四边形

―►3—►

CCQQ内一动点，BF=-BC,若直线/尸与平面£FG没有公共点，则线段/尸的最小值

4

为（）

A.V35B.4A/7C.5A/5D.

二、多选题

9.已知空间内三点/（3,2,0）,5（2,1,3）,C（0,2,-l）,则（）

A.|A8|=V1TB.AB1AC

C.cosZABC=—D.VNBC的面积为^^

212

22

10.已知厂是双曲线C:匕-t=1的上焦点，48是C上的两点，则下列结论正确的是（

3612

A.若尸是N8的中点，贝!J|AB|=4

B.刊的最小值为4

C.点尸到C的两条渐近线的距离的乘积为12

D.若N8的中点坐标为（2,8）,则直线48的斜率为:

11.笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出.如图，叶形线

Ux'+K=。肛经过点/[■!，■1]，点P（%0，%）在C上，则下列结论正确的是（）

试卷第2页，共4页

A.直线y=-x与C有3个公共点B.若点尸在第二象限，则尤。+为＜0

C.x0+y0>-]D.无o+%V3

三、填空题

12.与圆G：/+(y-2)2=i,。2：/+必=1都相切的直线有条.

13.己知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和

最小距离分别为L53xl()8km,1.47xl()8km,则这个椭圆的离心率为.

14.在正六棱柱中，窗=2/8=4,M,N分别为E&,的中点，

平面CMN与直线交于点G,则2G=；点A到平面CMN的距离为.

四、解答题

15.已知点/(一3,-1),2(-2,2),点。在x轴上，且VN3C是直角三角形，NABC,.

(1)求点C的坐标；

⑵求V/2C的面积；

(3)求斜边上的中线所在直线的方程.

16.如图，在四棱锥P-/BC。中，底面48CD为矩形，平面48cO,PA=AD=2AB,

4

E为线段尸C上一点，AEYPD,且该四棱锥的体积为I.

试卷第3页，共4页

(1)求NE的长度；

(2)求二面角尸-8E-N的正弦值.

22

17.已知双曲线G:今-*=l(a>0,6>0)的左顶点为/,右焦点为尸，抛物线

c2：?=2px〈p>0)的焦点与F重合，M(2,2A/6)是G与G的一个公共点.

⑴求G与c2的标准方程；

⑵过点N的直线/与交于。，£两点，若£是力。的中点，求直线/的斜率.

22

18.已知片，片分别为椭圆匚£+a=1(°>6>0)的上、下焦点，/(。，-2/')是椭圆(7的

一个顶点，尸是椭圆C上的动点，P,F1,£三点不共线，当△咫片的面积最大时，其为

等边三角形.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵若〃■为NP的中点，O为坐标原点，直线■交直线了=46于点。，过点。作〃/尸

交直线y=4由于点E,证明：ZOEK=NODF-

19.空间直角坐标系。-平中，任意直线/由直线上一点尸(%,%,z°)及直线的一个方向向

量1=(a也c)唯一确定，其标准式方程可表示为亍=与%=『(仍"0).若平面a以

》为法向量且经过点［，贝!］平面。的点法式方程可表示为a(x-Xo)+6(y-%)+c("Z。)=0,

整理成一般式方程为。龙+6y+cz+d=0.特殊地，平面xOy的一般式方程为z=0,其法向

量为(o,o,i).若两个平面相交，则交线的一般式方程可以表示为卜"+?'+平

\a2x+b2y+c2z+a2=U.

⑴若集合M={(尤,％z)10V尤V2,0VyW5,0VzV2},记集合M中所有点构成的几何体为S,

求S的体积；

⑵已知点0(3,2,-2),直线4：U=T=Z.若Qe平面尸，［u尸，求尸的一般式方程；

(3)已知三棱柱N8C—44。的顶点4(—3,4,1),平面48。的方程为2x+y+z—6=0,直线

/G的方程为x-2=y_3=丁--4，平面8CG4的方程为x+y+fz_：0=0.求直线幺4与直线

BC所成角的余弦值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ABDCCBDDABDACD

题号11

答案BCD

1.A

【分析】两直线平行，的系数的比值相等，且与％j的系数的比值与常数项的比值不相

等，由此能求出机.

【详解】根据直线X+V+加—1=0与直线3x+(加+2)歹+3=0平行，

故加=1.

故选：A

2.B

【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.

【详解】对于A,根据题意1=g伍-玄)+；0+25),故A错误.

对于B,设B=S(3-23)+43+25),贝ljs,f不存在，故B正确.

对于C,c=-1(a-2c)+1(5+2c),故C错误；

对于D,由=尤仅一21)+了伍+23)=(x+a+-2x)c,

x+〉=l而z31

则2y-2x=-r所以"

31

所以1-3=](1-2可+^(1+2可，故D错误;

故选：B.

3.D

【分析】利用垂径定理，将弦长问题转化为在弦心距与半径，半弦长构成的直角三角形中求

解即可.

|0-1|_V2

【详解】圆M的半径r=2,圆心M(0,l),则圆心M到直线/的距离4=

2

故|/同=2,户_/=屈•

答案第1页，共13页

故选：D.

4.C

【分析】分直线与抛物线相切和与对称轴平行求解.

【详解】解：因为点/在C上，

所以过点/且与。相切的直线只有1条，该切线满足题意.

过点/且斜率为0的直线与C也只有1个公共点，

所以满足题意的直线有2条.

故选：C

5.C

【分析】解法一：作辅助线构造三角形，根据余弦定理以及勾股定理可求得结果；解法二:

根据向量的线性运算以及数量积的运算可求得结果.

【详解】解法一：作2'C_L/于点C,且=连接夕3，B,A,

解法二：由4C_L/,BD11,

----------711

得COSC408=COS5=5，G4-CD=0,BDCD=Q.

因为=K+西+丽，

匚匚［、［--»2----、2------*1----»2----►----»

所以45=AC+CD+DB+2ACDB，

则（2岳『=52+CD2+62+2X5X6X］,

解得CD2=29>CD=V29.

故选：C.

6.B

【分析】利用直接法求解.

小一3)”23

【详解】解：由题意可得4—=2;

x—

3

答案第2页，共13页

22

化简得土-匕=1.

45

故选：B

7.D

【分析】首先过点石作£尸，x轴，垂足为方，利用线段比例关系，列式求解.

OGOBEFAF

【详解】过点E作轴，垂足为足由题意可得K=K，

所以5"=a,因="的,两式相乘可得必1=2

\EF\a+\OF\2baa5

所以回=纥团二，则即=?.

2ba5115

【分析】建系，设P（0,%〃），通过NP〃平面EFG,得到〃=8-3"，再结合距离公式及二

次函数求最值即可.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则N（4,0,0）,E（4,2,0）,F（1,4,0）,G（0,4,2）,

EF=（-3,2,0）,£G=（-4,2,2）.

设平面EFG的法向量为日=（尤J,2）,

EF-u=0,[-3x+2y=0,

贝1J一，即“cc

EG-a=0,[-4x+2y+2z=0n,

令x=2,可得力=（2,3,1）.设P（0,加㈤（04加W4,0V〃W4）,则4P=（-4,加,〃）.

因为直线/尸与平面EFG没有公共点，所以/尸〃平面EFG,则在，》，

所以一8+3加+〃=0,即〃=8-3m.

AP=yjl6+m2+n2=-J16+m2+（8—3m）2=yJlOm2-48m+80，

答案第3页，共13页

当机=?时，/P取得最小值，最小值为3ox1m；-48xg+8O=警.

9.ABD

【分析】根据点/(3,2,0),8(2,1,3),C(0,2,-l),得到方=(-1,-1,3),次=(-3,0,-1),

G=（2,-1,4）,再逐项判断.

【详解】因为空间内三点力（3,2,0）,5（2,1,3）,C（0,2,-l）,

所以存=(T,T,3),就=(-3,0,-1),屈=(2,-1,4),

则网=vn,困卜而，冏=亚，A正确.

因为万•%=（），所以48工/C,B正确.

AB7231

cos/ABC===j=^^,C错误.

CBV2121

V/3C的面积为子方八就卜《粤，D正确.

故选：ABD.

10.ACD

【分析】对于A,由轴即可判断；对于B,由双曲线的性质即可判断；对于C,由

点到线的距离公式即可判断；对于D,由点差法可判断.

22

【详解】由双曲线C:匕-L=l,可得焦点在y轴上，4=6,6=26,0=4百，

3612

若尸是的中点，则直线轴，|/叫=丝=4,A正确.

a

|/用的最小值为c—a=4\回—6,B错误.

答案第4页，共13页

由题意得尸（。,46），1=V3,

所以双曲线的渐近线方程为Kx-y=O或6x+y=0,

所以点尸到C的两条渐近线的距离乘积为挚乂挈=12,C正确.

22

2

a

2L

设/（网，弘），则12

三

力

,3612

两式相减得（"+%）（"一%）一（王+必网一xj=0.

3612

因为48的中点坐标为（2,8）,所以16（…2）_4（…2）=0,即匕二A=

36124

3

所以直线45的斜率为二，D正确.

4

故选：ACD.

11.BCD

【分析】对于A,联立方程求解的个数即可判断，对于B,由

/+9=3中=（x+y）［（x+v）2-3中］.结合毛为＜0可判断，对于C,通过点P（xo，yo）在第一、

第二、第四象限逐个判断即可，对于D,结合C中得到的3xy（x+〉+l）=（x+y）3,再结合基

本不等式得到也立＜3（叶q求解即可.

x+y+1＜2J

【详解】因为叶形线C：/+y3=a中经过点所以“=3.

联立犯,，解得x=y=0,所以直线了=一》与。只有1个公共点，A错误.

［V=一%,

x3+y3=3xy=(x+j)(x2

因为点尸在第二象限，所以尤o%＜O，（%+%）2-3%%＞0,

所以/+%=;------—<°-B正确.

(%+%)-3尤0%

若点P在第四象限，则%比＜0,可推出%+%）＜0.

因为彳3+,3=2xy=(尤+了乂无？一切+/)=(x+y)[(x+y)~

答案第5页，共13页

所以3初(x+y+l)=(x+y)3.当点尸在第二、四象限时，­=/。+%)*,

3尤0%

所以天+了0>-1.当点P是原点或在第一象限时，易得/+%>-1,

所以%+为>-1,C正确.

由3(x+y+l)=(x+»,可得3孙=包立43(出丫，解得x+y43,所以x0+比W3,

x+y+1\2J

D正确.

故选：BCD

12.3

【分析】根据两圆心距离与两个圆的半径和差关系判断两圆位置关系，即可判断公切线条数.

【详解】圆G：/+(y-2)2=i的圆心为。(0,2),半径为11,

C2：x2+y2=l的圆心为G(0,0),半径为4=1,因为|CC|=2=1+1=4+马,

所以圆。与圆G外切，与圆。，G都相切的直线有3条.

故答案为：3

13.0.02/—

50

【分析】根据椭圆的性质求椭圆参数，应用离心率公式求离心率.

【详解】设该椭圆的长轴长为2°,焦距为2c,

88

由题意，得a+c=1.53xl08,a-c=1.47xl0,解得。=1.5xl()8,c=0.03xl0.

所以这个椭圆的离心率e=£=0.02.

a

故答案为：0.02

14.4巫

7

【分析】连接BF,设其交点为。.以。为坐标原点，OB,OD,。尸所在直线分别为

x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.求得平面CWN的一个法向量为针=(久,y,z),设G(0,3,a),

则由宙•万=0求得a,再利用空间两点间的距离和点到平面的距离公式求解.

【详解】解：连接4D,BF,设其交点为。

由正六棱柱的性质知，ADLBF,且08=0尸，

答案第6页，共13页

取用片的中点尸，连接。尸，则0尸，平面Z8COM.

OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

因为倒=248=4,M,N分别为E&,的中点,

所以/(O,T,O),C(石,2,0),M(-73,2,2),N80,2),则就=(百,3,0),

CM=(-2>/3,0,2),GV=(0,-2,2).

设平面CW的一个法向量为元=(x,y,z),

万•西=一2"+2z=0,

则一令尸1，则〃=

n-CN--2y+2z=0,I3)

设G(0,3,a),贝1］瓦=卜6,1,0).

由M•力=-Gxg+lx0=0,解得。=0,又。"0,3,4),所以2G=4.

_\AC-n\4后

点A到平面CMN的距禺d='J=空巴.

同7

4^/21

故答案为：4,

7

15.(l)C(4,0)

⑵10

(3)x+j=0.

【分析】(1)设出C点坐标C®,0),利用垂直，转化为斜率之积为T即可求出机的值;

(2)求出两直角边长，代入三角形面积公式即可；

(3)写出NC中点£的坐标，利用直线的点斜式方程即可求出斜边中线所在直线方程.

答案第7页，共13页

【详解】(1)设c(见0).因为=所以N3J.3C,

手一

显然m2,则kAB-kBC=-1.

72-02

因为3k=-----------=------------

RC-2-m2+m

所以3*:一

解得加=4,则C(4,0).

(2)\AB\=yJlQ,\BC\=2VW,

丫48(7的面积为；・|/郎忸。=10.

(3)记/C的中点为£,则E

直线BE的斜率为

直线的方程为了=-(x+2)+2,即x+y=0,

所以斜边上的中线所在直线的方程为x+y=0.

【分析】(1)根据锥体体积求得48=1,建立空间直角坐标系，设酝=23，利用4E_LPZ)

及向量垂直的坐标运算求得力=1,利用直角三角形性质即可求解；

(2)求出两个平面的法向量，利用向量法求解二面角平面角的余弦值，然后利用同角三角

函数关系求解正弦值.

14

【详解】(1)设“5二。，则正力=4。=2〃，该四棱锥的体积为=§,

解得。=1,即/5=1,PA=AD=2.

以/为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(l,0,0),C(1,2,0),P(0,0,2),

答案第8页，共13页

£>(0,2,0),18=(1,0,0),C?=(-1-2,2),PD=(O,2,-2),

设丽=4而=(一九-刀,刀),则E(l-42-2；l,2；l),ZE=(l-2,2-2A,2A).

若AELPD,则：ig.丽=4-82=0，解得力=；，即£为PC的中点.

连接NC,在Rt△尸/C中，AE=-PC=~^PA2+AC2=-；

222

(2)由(1)得於=(』/],就=(0,2,0).

设平面/AB的法向量为五=(XQ],Z]),

项=0,

AB-n=0,

则一即1A取乂=1,得S=(0,L—l).

AE-n=0,5/+必+Z]=0,

设平面PBE的法向量为m=(x2,y2,z2),

BC-m=0,2%=0,

则＜即取之2T，得丽=(2,0,1).

CPm=0,—%—2%+2?2=0,

设二面角尸-5E-/的大小为

则|cosO\=|cos比同=|寄[=,所以sinO=圭叵，

IMMII1010

所以二面角尸的正弦值为巫.

10

2

17.(1)G的标准方程为G的标准方程为V=12x.

⑵土亚

3

【分析】(1)将点M代入抛物线方程求出P,列出双曲线方程中。,上，方程求解;

(2)设直线/的方程为了=左(％+1)，与抛物线C联立，由韦达定理可得%+%,X、，结合£

是40的中点，求出人的值.

答案第9页，共13页

【详解】(1)因为必2,2网，所以仅指『=2夕2,

解得p=6,所以G的标准方程为/=12x.

22

因为抛物线C2的焦点与尸重合，所以尸(3,0),a+b=9.

2

所以G的标准方程为f一三=i.

(2)由(1)知设直线/的方程为歹=上卜+1),£(国,必)，£»(x2,y2).

因为£是4D的中点，所以2尤1=%T①.

=2222

联立f2M尤叫,得kx+（2k-l2）x+k=0,

[y=12x

—1717

贝ljA>0,x+x=----5—=与\②，x,x=：1.

r2/vAV2

48

由①②解得玉=-1+正二一1+

所以=解得左2=g,即左=±半，

经验证，此时满足A>0,所以直线/的斜率为土壁.

3

(2)证明见解析

【分析】(1)通过点尸与C的左顶点或右顶点重合时，APGE的面积最大，即可求解;

(2)设直线/尸的方程为歹=区—2百，延长他交OD于N,延长。耳交于

通过向量数量积说明他，DFJOE,再通过NOEF\=90。-NERH,

答案第10页，共13页

NODF[=90°—NDRN,及NEF、H=2DRN,即可求证;

【详解】(1)因为是椭圆C的一个顶点，所以”=26.

当点P与C的左顶点或右顶点重合时，人尸久心的面积最大，其为等边三角形，满足6=岳,

又因为a2=/+c2,所以6=3,c=B

22

故椭圆c的标准方程为匕+L=1.

129

(2)

证明：设直线/尸的方程为》=区—26,(左W0)，P(%i，yD.

|22

工+J,

由,,129得(342+4卜2-12回:=0,

y—kx-2^3,

A=432r>0,

士+06有ik-873

所以%=^,o-2y1^=

X°—2-3一+4,3r+4

’6版-86]

即点M

、3如+43r+4)

4

所以直线的方程为>=

3k

令了=46，得0卜3亚,43).

又。£〃/尸，所以直线的方程为>=履.

/1—、

令了=46，得与彳.

延长环交OD于N,延长少交OE于77.

答案第11页，共13页

由所砺=0,得EF]_LOD,则/耳初=90。.

同理由西•砺二(3限