人教版中考数学专项复习：相似三角形的基本模型（X字型）含答案及解析

相似三角形的基本模型（X字型）

【模型说明】

“X”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例

就可以判定这两个三角形相似.

人」八c-AB_OA_OB

结论：/\AOB△COD<±>~T^Z——万斤

2）反“8”字模型，条件：如图2,zJ=AO；

人…AC”4BOAOB

结论:Z^AOB〜△Z)OC<=>「c一八门—ct

K-xi-ZLJl_Z

3）平行双“8”字模型，条件:如图3,3抑CD；］

结论:超BE_AB

CF—CD

4）斜双“8”字模型，条件：如图4,N1=N2；

结论：AAOD^-ABOC,AAOB^-ADOC.

【例题精讲】

例1.（基本模型D如图（1）所示：等边△/8C中，线段ND为其内角角平分线，过。点

的直线HG1/C于。交N8的延长线于8/.

ACCDCD

（1）请你探究：书』,黄AC=点是否都成立？

ABDBA"DD{

（2）请你继续探究：若A45C为任意三角形，线段4。为其内角角平分线，请问三"二为

ABDB

一定成立吗？并证明你的判断.

32

（3）如图（2）所示RtZi/8C中，乙4cs=90°,AC=8,BC=—,D£||/C交48于点E,

试求=的值.

例2.（基本模型2）（1）某学校"学习落实"数学兴趣小组遇到这样一个题目

如图，在△NBC中，点。在线段3c上，/2/。=30。，乙OAC=75。,/。=6，BO-.。。=2：

1,求的长经过数学小组成员讨论发现，过点8作80I/C,交4。的延长线于点。，通

过构造A48。就可以解决问题（如图2）

AA

BoCB\/oC

\/

图10图2

请回答：UDB=",AB=

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3在四边形48C。中对角线NC与AD相交于点O,AC1AD,月。=石，/-ABC=^ACB

=75°,B0-.0D=2：1,求。C的长

A

c

图3

例3.（培优综合1）如图，在nASC中，点。在8c上，80=2（?D=2,连接

ZADC=2ZBAC=60°,则线段AD的长为

A

例4.（培优综合2）如图，在矩形ABCD中，瓦尸分别为边AB,AD的中点，BF与EC,ED

分别交于点M,N.已知AB=4,BC=6,则MN的长为.

例5.（与反比例综合）如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，乙4C3=90。,

k

点C（-l,0）,点8在反比例函数y=—的图像上，且y轴平分N8/C,则左的值是.

x

例6.（与二次函数综合）如图，抛物线y="+6x+4与x轴交于A（-2,0）,8（3,0）两点,

交了轴于点C,尸是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为加.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图L连接AP,交线段3c于点Q,若P之D"1,求阳的值.

(3)如图2,已知抛物线的对称轴交X轴于点H,与直线AP,8尸分别交于E、尸两点.试问

EH+FH是否为定值?如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

【变式训练11如图，在RtaACB中，ZACB=90°,AC=4,3c=3,点。为AC上一点,

连接8D,E为AB上一点，CELBD于点F,当4D=CD时，求CE的长.

【变式训练2].如图，在AABC中8C=6,E、F分别是A3、AC的中点，动点尸在射线

"上，BP交CE于点D,/CBP的平分线交CE于点。，当CQ=；CE时，EP+BP=

【变式训练3】.如图，在等边口43。边长为6,。是中心；在及△/[£«中，ZADE=90°,

ZDAE=60°,AD=2.将VADE绕点/按顺时针方向旋转一周.

备用图1备用图2

⑴当AD、AE分别在AC、A8边上，连结0。、OE,求:]ODE的面积;

⑵设DE所在直线与14BC的边A5或AC交于点凡当。、D、E三点在一条直线上，求AF

的长;

⑶连结CE,取CE中点连结DM,DW的取值范围为

【变式训练4].如图1：抛物线了=狈2+云-4交无轴于点/、B,连接/C、BC,tanzABC

=1,tanz8NC=4.

⑴抛物线的解析式为；

(2)点P在第三象限的抛物线上，连接尸C、PA,若点尸横坐标为/,△孙C的面积为S,求S

与，的函数关系式；

⑶如图2,在(2)的条件下，当S=6时，点G为第四象限抛物线上一点，连接PG,CH1PG

3

于点“，连接OH,若tan40〃G=：,求G8的长.

4

【变式训练5】.【问题背景】如图1,在△NBC中，点。在边5C上且满足乙840=乙4c3,

求证：BA2=BD-BC；

[尝试应用]如图2,在△4BC中，点。在边2c上且满足乙B4D="CB,点E在边48上，

点G在45的延长线上，延长ED交CG于点尸，若34D=Z4C,BE=ED,BG=2,DF=1,

求BE的长度；

【拓展创新】如图3,在△/8C中，点。在边8c上（/屏且满足4cB

t,­।AH7AD28、士士工夫<_,,AD,,

垂足为氏右罚=§'就=斤'用直接与出花的值--------

课后训练

1.如图，在nABC中，AD是BC边上的中线，尸是AD上的一点，且AGFD=1:5,连结CF

并延长交AB于点E,则AE:£B等于（）.

2.正方形ABCD中，42=2,点E是对角线2D上的一动点，ZDAE=a（6Z45°）.NADE

⑴当0°<a<45。时，求"BG的度数（用含a的式子表示）；

⑵点E在运动过程中，试探究会的值是否发生变化？若不变，求出它的值•若变化，请说

明理由；

⑶若BF=FG,求a的值.

3.如图1,在RtaZBC中，乙4c8=90。，AC=BC=1,。为48上一点，连接CD,分别过

点/、B作AN_LCD,BM1CD.

（1）求证：AN=CM；

（2）若点。满足AD：AD=2：1,求。”的长;

（3）如图2,若点E为48中点，连接EM,设sin乙NAD=k,求证：EM=k.

图2

4.如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点,A尸平分NE4D,交CD于点尸.

AE=BE+2CE；

图1

⑵在⑴的条件下，求曝的值;

nC

（3）如图2,延长A尸交的延长线于点G,延长AE交。C的延长线于点儿连接"G,当

5.如图，在等边aABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=BE,CD与AE交于F.

A

(1)求NAFD的度数;

(2)若BE=m,CE=n.

AT

①求「7的值；(用含有m和n的式子表示)

FE

②若黑=:，直接写出上的值.

FD5m

6.在图中；如图1,在正方形ABCD中，延长3c至使BM=DN,连结MN交延

长线于点E.

(1)求证：BD+IDE=-J1BM;

(2)如图2,连结BN交AD于点尸，连结“交5D于点G.若AF:FD=1:2,且CM=2,

则线段DG=.

7.己知在口ABC中，点。为边3c上一点，点E为边AC的中点，AD与BE交于点P.

PE

(1)如图，当3D=CE＞时，—

PB

(2)如图，当CD=2即时，求证：PE=PB.

BDC

相似三角形的基本模型（X字型）

【模型说明】

“X”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例

就可以判定这两个三角形相似.

图4

人」八c-AB_OA_OB

结论：/\AOB△COD<±>~T^Z—万一万万

2）反“8”字模型，条件：如图2,zJ=zZ）；

人…AC”4BOAOB

结论:〜△Z)OC<=>「c一八门—

Z^AOBK-xi-ZLJlc_Zt

3）平行双“8”字模型，条件:如图3,3抑CD；］

结论：—=—=—

DFCFCD

4）斜双“8”字模型，条件：如图4,N1=N2；

结论：AAOD^-ABOC,AAOB^-ADOC.

【例题精讲】

例1.（基本模型1）如图（1）所示：等边△/8C中，线段ND为其内角角平分线，过。点

的直线HG1/C于。交N8的延长线于8/.

（1）请你探究：WAC=为CD，安AC=,木■C,D是否都成立？

ABDBA"L）D^

ATCD

（2）请你继续探究：若△45。为任意三角形，线段4。为其内角角平分线，请问工豆==

ABDB

一定成立吗？并证明你的判断.

32

（3）如图（2）所示Rta/BC中，AACB=90°,AC=8,BC=',Z）£||/C交于点E,

【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）8

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC,ZCAD=ZBAD=30°,AB=AC,

ACCD

则DB=CD,易得ABDB.由于NC1AB1=60°,得NB1=3O°,则AB1=2AC1,同理可得到

AC,CtD

DB1=2DC1,易得“ADBi；

（2）过B点作BEIIAC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到4E

ACCD

=ZCAD=NBAD,贝l|BE=AB,并且根据相似三角形的判定得△EBD^/iACD,得至I]BEDB,

AC_CD

而BE=AB,于是有43一。8,这实际是三角形的角平分线定理；

（3）AD为4ABC的内角角平分线，由（2）的结论，根据相似三角形的判定得△DEF-^ACF,

利用相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：（1）•••等边4ABC中，线段AD为其内角角平分线，

/.AC=AB,CD=DB,

ACCD।

二.——=——=1.

ABDB

因为B1C11AC于Cl交AB的延长线于Bl,

乙CAB=60°,ZB1=ZCAD=ZBAD=3O°,

C1D=1AD=1B1D,AC1=1AB1,

AD=B1D,

AQ1CXD

函一万一瓦

综上：这两个等式都成立;

图1

（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：

如图所示，4ABC为任意三角形，过B点作BEIIAC交AD的延长线于E点,

线段AD为其内角角平分线

ZE=ZCAD=ZBAD,AEBD-AACD

ACCD

・•.BE=AB,~BE~~DB

XvBE=AB.

ACCD

二瓶二丽，

即对任意三角形结论仍然成立；

32

BC=—

(3)如图(2)所示，因为Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,3,

图2

・・・AD为4ABC的内角角平分线，

CDAC83

AB_40-5?

...T

.CDAE.BE_5

vDEIIAC,',AB'S

•­•DEIIAC,

.•.△DEF-AACF,NBDES'RCA,

DF_DEDE_BEDFDEBE_5

...FA-AC5AC-BA5,­,FA-AC-AB-8

【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质的应用，直角三角形，等边三角形的性质,

平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键.

例2.（基本模型2）（1）某学校"学习落实"数学兴趣小组遇到这样一个题目

如图，在△/BC中，点O在线段8c上，N8NO=30。，AOAC=75°,AO=,BO：CO=2,

1,求N8的长经过数学小组成员讨论发现，过点2作2DII/C,交4。的延长线于点。，通

过构造△NAD就可以解决问题（如图2）

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3在四边形4BCD中对角线/C与AD相交于点。，AC1AD,AO=6，UBC=UCB

=75°,BO：OD=2-.1,求。C的长

3屈

【答案】（1）75,3括；（2）CD=2

【分析】（1）根据平行线的性质可得出NADB=NOAC=75。，结合NBOD=NCOA可得出

△BOD-ACOA,利用相似三角形的性质可求出0D的值，进而可得出AD的值，由三角形内

角和定理可得出乙嵋口=75。="。8,由等角对等边可得出AB=AD即可求解；

（2）过点B作BEIIAD交AC于点E,同（1）可得出AE=3百，在RSAEB中，利用勾股定

理可求出BE的长度，再在RtZkCAD中，利用勾股定理即可求出DC的长.

【详解】解：（1）如图2中，过点B作BDIIAC,交A0的延长线于点D,

vBDUAC,

.-.ZADB=ZOAC=75°.

vZBOD=ZCOA,

.-.△BOD-ACOA,

OPOB

=

..~OAOC=2f.

又・.・AO=g,

.-.OD=2AO=2^,

••.AD=AO+OD=3反

•・2BAD=30°,4ADB=75°,

.-.ZABD=180°-ZBAD-Z_ADB=75°=NADB,

••.AB=AD=30；

故答案为：75,3名.

(2)如图3中，过点B作BEIIAD交AC于点E.

vAClAD,BEHAD,

・・ZDAC=4BEA=90°.

vZAOD=ZEOB,

.­•△AOD-AEOB,

BOEOBE

...0D~AO~AD=2.

•■•BO：OD=1：3,

•:A0=6,

.•.E0=2石,

...AE=3石.

••2ABC=NACB=75",

.,ZBAC=30°,AB=AC,

•­.AB=2BE.

在RtZkAEB中，BE2+AE2=AB2,即(4BE2)2+BE2=(2BE)2,

解得：BE=3,

3

•­.AB=AC=6,AD=2

3

在RtACAD中，AC2+AD2=CD2,即62+(2)2=CD2,

3历

解得：CD=—(负根已经舍弃).

【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的

性质，掌握平行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键.

例3.(培优综合1)如图，在口ABC中，点。在2c上，BD=2CD=2,连接40,

N/WC=2NBAC=60。，则线段AD的长为.

【分析】过A作AE,BC,交8c的延长线于E,过B作BFLAD,交的延长线于产，可

AFBF

求BF=6,DF=1,设AD=x,可证口ABFsQACE,由AECE即可求解.

【详解】解：如图，过A作AE,BC,交的延长线于E,过8作BFLAD,交AD的延长

线于尸,

A

F

:.ZAEB=ZBFD=9Q°,

ZADC=2ZBAC=60\

,\ZDAE=ZBAC=30°f

ZBDF=ZADC=60°f

.•.ND5尸=30。，

••BD=2CD=2

DF=-BD=1

:.CD=192

BF=^BD--DF2=V3,

DE=—xCE=-x-\

设AD=%，则2,2

AF=x+l,

AE=ylAD2-DE2=-X

2

VZBAD+ZACD=30°,

ZACD+ZC4E=30°,

:.ZBAD=ZCAEf

.'QABF^QACEf

AF_BF

~AE~~CE9

x+1_V3

整理得：X2-4X-2=0,

解得：%=2+"，々=2-«（舍去）,

/.AD=2+V6,

故答案：2+6

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角形相似的判定及性质，掌握相关的

判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键.

例4.（培优综合2）如图，在矩形ASCD中，E,尸分别为边AS,AZ）的中点，BF与EC,ED

分别交于点N.已知AB=4,BC=6,则MN的长为.

4

【答案】3

【分析】过点E作EHIIAD,交点BF于点G,交CD于点H,证明△BEG^ABAF,求出EG的

长，再证明△EGN〜△DFN,AEGM-ACBM,得出2NG=NF,4MG=MBf再求出BG=GF=2

5

BF=2,从而求出NG和MG,可得MN的长.

【详解】解：过点E作EHIIAD,交点BF于点G,交CD于点H,

由题意可知:EHHBC,

/.△BEG-ABAF,

BEEGBG

...AB_AF-GF,

vAB=4,BC=6,点E为AB中点,F为AD中点,

/.BE=2,AF=3,

2EG

T亍，

3

・•・EG=2,

vEHIIBC,

•••△EGN〜△DFN,AEGM-ACBM,

EGNG_ENEGMG_EM

.DF-DAFBC-CM

••,,

33

2_NG2_mg

,1一而，MB,

NG_1MGI

即标*MB~4,

-2NG=NF,4MG=MB,

•••E为AB中点，EHHBC,

.•.G为BF中点,

2

1~^AB+AF-=-

.■.BG=GF=2BF=22,

-GF--1

；.NG=3=6,MG=5BG=2,

4

；.MN=NG+MG=3,

4

故答案为：3.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线EH,

得到相似三角形.

例5.（与反比例综合）如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，乙4cB=90°,

k

点0）,点3在反比例函数y=—的图像上，且y轴平分NA4C,则左的值是.

【答案】

【分析】作BE1X轴，垂直为E,先证明△AOC三Z\CEB,得OC=BE=1,AO=CE；再证明AAOC三ZiAOD,

得OC=OD=1；设DE=m,通过证明△BED-aAOD,构造方程，求出m,确定E的坐标，即可

求解.

【详解】解:作BElx轴,垂直为E,则NBEC=90。，

，.NCBE+NBCE=90°,

•••△ABC为等腰直角三角形，

.*.AC=CB,Z.ACB=90°,

.-.Z.ACO+ZBCE=90°,

/.ZACO=ZCBE,

vZ.AOC=ZCEB=90°,

•••△AOCKCEB,

/.OC=BE=1,AO=CE.

•・・y轴平分NBAC,

.,.ZCAO=ZDAO,

vOA=OA,ZAOC=ZAOD=90°,

.-.△AOC=AAOD,

/.OC=OD=1.

设DE=m,贝CE=OA=2+m,

•••B曰|OA,

.-.ABED-AAOD,

BE_DE

-AO~DO

1m

即：2+机1,

..m2+2m=1,

解得叫=3-1,如=一夜一1(不合题意，舍去),

.•.OE=OD+DE=&,

.••点B的坐标为("T),

,k=\/2x(—=—y[2

故答案为：一叵.

【点睛】本题考查的知识点比较多，见到aABC为等腰直角三角形，考虑做辅助线，化斜为

直，构造全等或相似，这是解决平面直角坐标系中求点的坐标的常见思路，要深刻领会.

例6.(与二次函数综合)如图，抛物线>="+灰+4与x轴交于A(-2,0),3(3,0)两点，

交》轴于点C,P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m.

PD1

(2)如图1,连接”，交线段5C于点。，若不=工，求机的值.

DA5

⑶如图2,已知抛物线的对称轴交x轴于点“，与直线AP,BP分别交于E、P两点.试问

+9是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

y=--x2+-x+4—

【答案】(I]33；(2产=1或2；⑶+为定值，3

【分析】(1)利用待定系数法，将A8两点坐标代入解析式求解即可；

(2)构造相似三角形△即和口口酒，利用直线的解析式求出点“坐标以及点N关

于根的代数式，利用相似三角形的性质列方程求解即可；

(3)通过辅助线构造直角三角形并用含有根的代数式表示出tanNR:和tan/PBA,再分

别用两个三角函数表示由，FH,代入+中，最后化简即可.

【详解】(1)抛物线丁二依。+6无+4与x轴交于A(-2,0),'(3,0)两点

2

a=—

I3

j4a-2b+4=022,2.

।Qor,Ab=工y=.--xH--X+4

19〃+3。+4=。，解得：〔3；；.抛物线的表达式为：”33.

(2)如图1,过点A作A"轴，交BC的延长线于点过点P作轴交BC于点

N,则,\ZPND=ZAMD,ZNPD=ZMAD

PDPN1

.QDMA^QDNPf...DA-AM-5

令x=o,则y=4,...c(°，4)

•・・直线BC过点C（°，4）和B（3,o）

j3Z+b=0i34,

设直线8C：y=kx+bjIb=4,Ib=4,y=——x+4

直线的解析式为：3

」20…20

...A(-2,0),AA/〃y轴，...当x=-2时，尸一丁”)+4=—AM=——

73,...3

P\+—m+4|N\m,——m+4|

设I33人则I3)

22(4}2

PN=—m9+—m+4-—m+4=—m9+2m

...33I3J3

二疗+2加।

3_________1

PDPN120-5

...DA-AM-5,...T,

PD_1

解得仍=1,相2=2.，当机=1或2时，DA5.

M、

刁o\B\X

'ffll

25

EH+FH=——

(3)EH+FH为定值,3

理由如下：如图2,过点尸作尸G'x轴交x轴于点G

AH=BH

../「，刃，外》刃，对称轴是2,...2

(222

?尸224

设P1m,——3m+—3m+4人则G=——3■m+—m+4

3,AG=m+2fBG=3-m

tan.1—PGPGSPC1

EH=AHxtanZl=-x-------

在RtQAPG中，AGm+2,,-,2m+2，

/cPGPG<P'

FH=BHxtanZ2=-x-------

在RtABPG中，BG3-m,...23-m

/222/

5——m+—m+4

EH+FH=-x^-+-x^~^(PGPG}5I3351025

+——x------------------------------—x——=——

2m+223—m2ym+23—mJ2(m+2)(3-m)233

【点睛】本题主要考查二次函数，相似三角形的判定及性质以及三角函数，熟练掌握待定系

数法求解析式，相似三角形的判定和性质以及运用三角函数解直角边是解决本题的关键.

【变式训练1].如图，在Rt^ACB中，NACB=90。，AC=4,BC=3,点。为AC上一

点，连接8。，E为AB上一点，CE_LBD于点F,当AD=CD时，求CE的长.

127n

【答案】*

【分析】将RtAACB补成矩形AC3”,延长CE交AH于点G,可得△BCDs^cAG,结合

“_8”_49

已知可求3、3,再由△AEGS^BEC即可求出CE.

【详解】解：如解图，补成矩形AC3”,延长支交A8于点G,

.•・"3=90°,CELBD,

...ZACG+ZBCG=90°,ZABD-^ZBCG=90°f

...ZACG=/CBD,

:ABCDsXCAG,

CD_CB_BD

...AG-AC-CG,

2_3_VT3

-AG_4_CG,

84713

ACr=-CG=----

3,3,

“4m

EG=---------x

...设CE=x,则3,

又•••在矩形ACB”中，AG//BC,

,.•△AEGs/\BEC，

84旧

AGEG3__~3

...BCCE,gp3x,

12vli

x=----

解得17.

G12屈

CE=--------

17.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，直

角三角形的性质，证明△BCDSACAG是本题的关键.

【变式训练2].如图，在AABC中8C=6,E、下分别是A8、AC的中点，动点P在射线

E尸上，BP交CE于点、D,NCBP的平分线交CE于点。，当CQ=；CE时，EP+BP=.

【答案】12

【分析】如图（见解析），延长BQ交射线EF于点M,先根据中位线定理得出EF//8C,再

根据角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的定义得出8尸=心，从而可得

EM_EQ

EP+BP=EM,然后根据相似三角形的判定与性质得出BCCQ,从而可求出EM的长.

【详解】如图，延长BQ交射线EF于点M

・：E、产分别是A3、AC的中点

/.EF//BC

ZM=ZCBM

•:BQ平分/CBP

ZCBM=APBM

ZPBM=ZB

:.BP=MP

:.EP+BP=EP+MP=EM

VCQ=^CE

：.EQ=2CQ

由EF//BC得^EMQ~\CBQ

,EM=EQ=2

'~BC~~CQ~

EM=2BC=2x6=12

即EP+BP=12

故答案为：12.

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识

点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键.

【变式训练3】.如图，在等边DABC边长为6,。是中心；在对△ADE中，ZADE=90°,

ZDAE=60°,AD=2.将VADE绕点/按顺时针方向旋转一周.

BC

备用图2

⑴当AD、AE分别在AC、A8边上，连结OD、0E,求口。£>£的面积;

(2)设OE所在直线与DABC的边AB或AC交于点凡当。、。、K三点在一条直线上，求A尸

的长；

⑶连结CE,取CE中点M,连结OM,的取值范围为.

【答案】⑴2指

(2)12-476

(3)1<DM<5

-GB=-CA—=—

【分析】(1)由0是等边三角形的中心，可知0M=22,进而得到生CM,从而

j_s=s=1s

EOIIBM,所以可得OD=5EN,但曲2△⑶即可求解；

生生

(2)易证△AEFs/MDBF,得至I])CFEF,设AF=x,OF=y,求解即可；

(3)取AE的中点N,连接MN,DN,由D、N在G)A上，可知即MN-DN4DM4DN+MN,易

知MN是aAEC的中位线，从而求得.

【详解】(1)连接A0,并延长交BC于M,连接0B

•••0是等边4ABC的中心

.­•ZOBM=30",BM=MC,AM1BC

----=-----

.BECM

.-.EOIIBM

延长E0交AC于N,则4AEN为等边三角形

vEOIIBM

AE_^N_4生_包_0

争=而二万'瓦=丽=前

.*.ON=OE,CN=DN=AD=2

j_

/.0D=2EN=2

^aE=^aw=2以g=/x2x6=2后

••/OBA=30。，0A=0B=2也

...0g9=《2g*d2亚

­•-ZDAE=30°

；.AE=4,DE=2石

在4AEF和△OBF中

•••ZABO=ZAED=30°,ZAFE=ZBFO

.••△AEF-AOBF(AA)

空—空二

：a=d二百

4x26+2日y

设AF=x,OF=y,则2gY6-X

解得x=12-4A/6,y=6-6A/2

所以注=12-46

(3)取AE的中点N,连接MN,DN,

•••D,N在OA的圆上

.•.当D、M、N三点共线时，DM最大或最小,

即MN-DN<DM<DN+MN,

.•.MN-2<DM<MN+2

当D、M、N三点共线如图1时，

AAND为等边三角形，

.­•ZNDA=ZDAC=60",

.-.MN||AC

••,M,N为中点

-AD=3

・・・MN=2

/.DM>1

BC

.-.ZNDA=ZBAC=ZCAE=60°,

/.MN||AC

••,M,N为中点

[43

.•.MN=2

.♦.DM45

故答案为：1<DM<5

【点睛】本题主要考查了正三角形的中心的概念，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾

股定理，平行线分线段成比例的性质与判定，相似三角形的判定与性质及方程思想，综合运

用相关性质和判定是解题关键.

【变式训练4].如图1：抛物线＞=办2+云-4交x轴于点/、B,连接NC、BC,tanzABC

⑴抛物线的解析式为;

(2)点P在第三象限的抛物线上，连接尸C、PA,若点P横坐标为3△刃C的面积为S,求S

与，的函数关系式；

(3)如图2,在(2)的条件下，当S=6时，点G为第四象限抛物线上一点，连接尸G,CHLPG

3

于点〃，连接O"，若tanNO〃G=：,求G8的长.

4

【答案】⑴y=x2+3x-4

=J__1

⑵S5t22t

62而

⑶

【分析】(1)利用三角函数求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出解析式即可；

(2)设出P点坐标，求出直线PA的解析式，设直线AP交y轴于点D,确定点D坐标，根

据S=SAADC+SAPDC求出S的表达式即可；

(3)根据(2)中的关系式求出t值，确定P点的坐标，连接CP,则CP〃x轴，过点。作

CH2

OK//GP,GP交CH的延长线于点K,根据△COK-aPCH,得tanNCPHPH3,求出G

_2

点坐标，得出GM,再根据tanNMCH=tanNCPH得出MH,即可得出GH的长.

⑴解：由图像知抛物线y=ax2+bx-4交y轴于点C,

.­.C(0,-4),

••・OC=4,

vtanZ.ABC=l,tanZ.BAC=4,

1

...0B=0C=4,OA40c=1,

即B(-4,0),A(1,0),

J16tz-4Z?-4=0[a=\

,[a+b-4=0,解得卜=3,

・•・抛物线的表达式为：y=x2+3x-4；

(2)解：点P(t,t2+3t-4),

设直线PA的解析式为y=kx+b

■+匕=产+3.-4

,k+b=O

fk=t+4

.\b=-4-t

・,・直线PA的解析式为y=(t+4)x-4-t,

设直线AP交y轴于点D,则D(0,-4-t),

=j_

(3)解：由(2)知S5t25t=6,

解得t=-3或t=4(舍去)，

•••点P(-3,-4),

•・•点C(0,-4),连接CP,则轴，

过点。作°K〃GP,OK交CH的延长线于点K,

_3

vtanZOHG4,

・,•设KH=3m,0K=4m,

vZPCH+Z.KCO=90o,NPCH+4Hpe=90°,

/.ZKCO=ZHPC,

又・・・4PHC=NCKO=90°,

•••△COK〜△PCH,

OKCKCO4

===

...CH7H~CP3f

9

=­m

••.CH=3m,PH2,

CH2

在RtACPH中，tanzCPHPH3,

设GP交CO于点M,贝！JCM=PC・tan/CPH=2,

・••点M(0,-2),

_2

设直线PM的解析式为y=klx-2,把P(-3,-4)代入得kl3,

2.

y——x—2

・,・直线PM的解析式为3,

2

—x—2—x9+3x—4

令3,

2

解得x=-3(舍)或§,

214

.•.G39),

2V13

.­.GM9

_2

在RtACMH中，tanzMCH=tanzCPH3,

4打

.■.MH13,

_2A/134屈_62屈

.■.GH=^-+^3-=117.

【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数及一次函数的的解析式，二次函数的性质，

相似三角形的判定与性质，解直角三角形，一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握待定

系数法求解析式及数形结合的思想是解题的关键.

【变式训练5】.【问题背景】如图1,在△ZBC中，点。在边2C上且满足乙B4D="C3,

求证：BA2=BD-BC；

［尝试应用］如图2,在△4BC中，点。在边2C上且满足乙B4D=UCB,点E在边48上，

点G在的延长线上，延长ED交CG于点凡若3/D=Z4C,BE=ED,BG=2,DF=1,

求BE的长度；

【拓展创新】如图3,在△ABC中，点。在边3c上且满足=

工口且一什AH7AD28在士**一…士

垂足为右而=§'就=药’:直接与出益•的值--------.

BABD

【分析】（1）要证明BA2=BD・BC,只需证明由已知判定△54。」△BC4即可

解答；

2BABD2

⑵由3AD=2AC可知△&4£＞口AfiC4的相似比为3,从而得出BCBA4,设BD=4x,

则BA=6x,BC=9x,再过F点作FM〃AG,交BC于M点，利用平行线构造相似三角形和等

BDBE_&

腰三角形，利用已知线段关系证明DF=FM,从而得出"（一根一，由此即可求出BE长,

（3）延长BC到G,使CG=AC,过C点作CM1AG垂足为M,构造口比⑦73G4,由已知求

2

出相似比为再设3D=2x,AD=9yf解△筋。即可得出结论.

【详解】（1）证明：vzBAD=