上海市某中学2024-2025学年高一年级上册12月诊断测试数学试卷（解析版）

2024学年第一学期上大附中诊断测试

一、填空题(前6题每题3分，后6题每题4分，共42分)

1,设集合。={1，2,3,4,5,6},?1={2,3,6},3={1,3,4},则从小豆=

【答案】{2,6}

【解析】

【分析】先求耳，再根据交集的定义计算可得.

【详解】由题方={2,5,6},A={2,3,6},

所以AC^={2,6}.

故答案为：{2,6}

2.不等式工〉1的解集为.

【答案】{x|0<x<2}

【解析】

【分析】根据分式不等式的解法即可得解.

2x-2

【详解】解：由一〉1,得——<0,

xx

则x(x—2)<0,解得0<%<2,

所以不等式->1的解集为{乂0<x<2}.

X

故答案为：{F0<x<2}.

3.已知〃=34+5々+2，N=2/+4a，aeR,则MN(用>、<、=填空).

【答案】>

【解析】

【分析】利用作差法比较大小即可.

【详解】因M=3/+5a+2，N=2储+4a，

所以N=34+5a+2-(24+4a)

1,7

=a9+a+2=(aH—)H—>0,

24

故M>N,

故答案为：＞.

4.已知aeR,若函数y=lg（V—依+1）定义域为R,则。的取值范围为.

【答案】（—2,2）

【解析】

【分析】由题意有9-6+1＞0恒成立，利用二次不等式恒成立的条件求解.

【详解】若函数y=lg（d—依+1）定义域为R,则公+1＞。恒成立，

有A=/—4＜0,解得一2＜。＜2,即。的取值范围为（-2,2）.

故答案:（-2,2）

5.函数y=+5的值域为.

【答案】（5,+8）

【解析】

【分析】y=+5'令〉°'换元后求丁=产+由+5的值域即可得至人

【详解】函数y=+5的定义域为R.

因为」［+唱“曲+唱E

令/=Qj〉0，则y=/+4t+5.

又函数y=/+今+5在（0,+“）上单调递增，

所以在（0,+。）上，有丁=产+4/+5＞5恒成立.

所以函数y=+5的值域为（5,包）.

故答案为：（5,+8）.

6.已知1g2=a,1g3=/?,贝ij用。、/?表示log】？25=.

2-2a

【答案】

2a+b

【解析】

【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解.

100

［详解］lo25=坨25—值1r—2—21g22—2a，

--2--

团2lgi2lg（2x3）21g2+lg32a+b

2-2a

故答案为:

2a+b

7.若/（工）=0?+法3+£+4,且/（_。=15,则/«）=.

X

【答案】-7

【解析】

【分析】代入即可根据哥指数性质求解.

【详解】由于"V）=a（T）5+b（T）3+-+4=15^>-at5-bt3--+4=15^>at5+bt3+-=-11,

-ttt

所以成5+43+：+4=—n+4=—7,

故答案为：-7

8.已知机eZ,设哥函数'=/""4",的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则机的值为

【答案】1或3

【解析】

【分析】利用嘉函数的性质得到加的相关条件，从而得解.

【详解】因为累函数y=x""4,"的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，

所以机2一4加＜0且〃，一4根为奇数，则0＜加＜4,

又〃zeZ,结合机2-4m为奇数，可得加=1或3.

故答案为：1或3.

9.己知定义在（—3,3）上的奇函数“力在（—3,0］上是严格减函数，若/（加+1）+/（3m—2）＜0,则实数

m的取值范围是

【答案】

【解析】

【分析】根据奇函数的性质可知/（幻在（-3,3）上是减函数，根据奇偶性和单调性可将不等式转化为

故而可得用的范围.

3>m+l>2—3m>—3,

【详解】•・"（X）是奇函数，在（—3,0］上是严格减函数，

/⑶在（-3,3）上单调递减,

/(m+l)+/(3m-2)<0,

:.于(m+1)<—/(3m—2),

即/(m+1)</(2-3m),

.*.3>m+l>2—3m>—3,

解得工<加<9,则实数加的取值范围是

43

故答案为:

(；

2—+x<1?

10.已知函数/（尤）=<是R上的严格增函数，则实数Q的取值范围是

log。_x+1),x>1

3

【答案】［—,2）

2

【解析】

【分析】由分段函数的两段均为严格增函数且临界点函数值满足的关系（左不大于右）可得.

【详解】由题易知/（X）是R上的严格增函数，贝=X+1在（工,+8）上是增函数，必须有。〉1,

y^ax2-x+l^x>l时是增函数，最小值在x=l时取得且最小值为〉

ymin=a0,

2—a>0

a>13

工<1，解得一<a<2,

2a-2

{2-a+|<1

3

故答案为：目,2).

11.设a＞0且awl,则函数/(x)=a、+f—2x—2a+l的零点的个数为.

【答案】2.

【解析】

【分析】函数零点个数等价于函数＞="与,=-尤2+2%+2。-1=一(无一1/+2。的交点个数，分。＞1和

0＜。＜1画出两个函数的图象，由图象判断焦点个数.

【详解】优+/—2%—2a+l=0

等价于优=-丁+2x+2a-l，

函数/(%)=a*+*—2x—2a+1的零点的个数等价于函数y=优

与y=-x2+2x+2a-l=—+2a的交点个数，

当。〉1时，画出两个函数的图象，并且x=l时，a＜2a,

由图象可知函数有两个交点，即函数/(%)=优+——2x—加+1的零点的个数是2个;

当Ovavl时，1=1时，a＜2a,

如图，

由图象可知两个函数有两个交点，即函数〃"=优+x2-2x-2a+l的零点的个数是2个；

综上可知无论还是。〉1,两者均有两个交点.

故答案为：2

【点睛】本题考查函数零点个数问题，意在考查函数与方程的思想和数形结合分析问题和解决问题的能

力，属于中档题型.

12.对任意a,Z?e[-l,l],方程上一。|+归一4=加和上一4一卜一百=〃在[-2,2]上均有解，则〃z+八的取

值范围为

【答案】[0,6]

【解析】

【分析】根据绝对值函数的性质和方程的解法以及不等式的性质，可求得m+〃的取值范围.

【详解】因为方程卜_。|+卜_目=加和=〃，

所以=,

因为a,Z?e[-l,l],所以一iWaWl,§P-l<-a<l,

因为任意a，Z?e[-l,l],方程上一同+归一母=加和上一同一归一母=〃在[-2,2]上均有解，

所以工€卜2,2],即一2WxW2,

则04上一。归3,即0W2|x—4W6,

所以m+八的取值范围为[0,6],

故答案为；[0,6].

二、选择题(每题3分，共12分)

13.函数〃x)='中，有()

%+1

A./(%)在(-1,y)上严格增

B./(%)在(—8,—1川(-1,+8)上严格减

C./(%)在(1,+8)上严格增

D.“X)在(-L4W)上严格减

【答案】D

【解析】

【分析】函数/(x)=,是由函数＞=工向左平移得到的，函数为单调递减函数，单调减区间只要将原

X+1X

来的单调减区间向左平移一个单位即可

【详解】函数y=」的图象向左平移1个单位可得函数丁=——的图象，

尤X+1

因为函数在(-8,0)和(0,+")上严格减，

则函数y=-^―在(—8,—1)和(-1,+8)上严格减，

A-।JL

而在(-8,—l)U(—l,4w)不具备单调性.

故选：D.

14.若二次函数表达式为y=«%2+6x+c,则“b=0”是“此函数为偶函数”的()条件

A,充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次函数奇偶性，结合充要条件的定义判定即可.

【详解】二次函数表达式为y=^2+6x+c,则awO,其定义域为R,

若b=0,则二次函数了=以2+法+。=。f+。为偶函数，...充分性成立，

b

若二次函数了=以2+法+。为偶函数，——=0,••)=0,•..必要性成立，

2a

所以b=0是此函数为偶函数的充要条件.

故选：C.

15.若/(x)=k+l|+|2x+a|的最小值是3,则实数a的值为()

A.5或8B.—1或5C.—1或4D.T或8

【答案】D

【解析】

【分析】分-1〉-q、-1=-9三种情况进行讨论即可得答案.

222

—3x—(I+a),x<——

.a

【详解】由题意，①当—I〉—T时，即〃>2,/（%）=<X+—I,--<I,

2

3x+(〃+1),x>—I

则当x=-'|■时，/min(x)=/(—,)=-万+[+|—〃+〃=3,解得〃=8或a=-4(舍)；

~3x—(I+a),x—I

11,a

②当—I<时,即a<2,/(%)=<—X+I—6Z,-1<X«--,

22

3x+(6/+1),x>——

则当x=一'1时,=/(--)=~—+l\+\~a+a=3,

解得a=8（舍）或。=-4；

③当—1=—曰时，即a=2,/（%）=3|%+1|,此时北m（x）=O,不满足题意,

综上a=8或a=T,

故选：D.

16.若不等式d—（2a+2）x+2a<0（a>0）有且只有三个整数解，实数。的取值范围为（

44

A.0<a<—B.0<aV—

33

334

C.G>—D.—<。<一

443

【答案】D

【解析】

【分析】设/（力=——（2a+2）x+2a,则/（0）>0,故可得不等式的解集中的三个整数为

1,2,3,据此可求参数的取值范围.

【详解】设/(x)=£—(2a+2)x+2a,则/(1)=—1<0,

故/(x)<0的解集中有整数1,而/(0)>0,

/(3)<0

故不等式的解集中的三个整数为1,2,3,故<

/(4)>0

9—6a—6+2a<034

所以4,故一<a4一，

[16-8〃-8+2/043

故选：D.

三、解答题(第17题6分，第18题8分，第19题10分，第20题10分，第21题12分，共

46分)

17.已知。为实数，设集合4={%|2%+。2/}.

(1)当。=8时，用区间表示集合A;

(2)设集合3={九|炮犬=0},若5=求实数。的取值范围.

【答案】⑴A=[-2,4]；

(2)ci>—1.

【解析】

【分析】(1)当a=8吐求出2X+82V的解集，用区间表示出来即可;

(2)求出集合3={1},利用BRA,求出实数。的取值范围即可.

【小问1详解】

当a=8时，由2x+8之一，

解得：—2WxW4,即4=[—2,4].

【小问2详解】

由集合8={x|lgx=0},可得B={1},

因为且A={x|2x+a»x2},

所以1GA=+«>J},

即2xl+a212,解得：a>-\.

18.已知函数/(x)=g+不片.

(1)判断此函数是否具有奇偶性并证明.

(2)解不等式/(%)>—2.

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)^-oo,log4|^|u(0,+<»)

【解析】

【分析】(1)根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；

(2)分无>0和x<0两种情况求解，利用指数函数单调性解不等式即可求解.

【小问1详解】

判断函数为奇函数，证明如下：

函数/(x)=g+不片，令4£一1/0，解得{x|"0},

即函数/(%)的定义域为卜|无00},关于原点对称，

又由/+—％)=[工+^^]+[』+^^]=1+[^^+^^]=1_1=0,

V7I)(24r-lJ(24^-lJ1-4-J

BP/(-x)--fM，

所以函数为定义域上的奇函数.

【小问2详解】

/(%)>—2等价于g+不匕>—2,当x>0时，4，—1>0，

则一+—-—>-+0>-2恒成立；

24'-12

1133

当x<0时，4。1<0,则不工>—2等价于4'<w，解得x<log4g,

综上，不等式/(%)>-2的解集为[一”,log’|1D(0,+").

19.函数〃x)=l-2a-2—-2(1-炉)(―1«.1)的最小值为g(a)(a」R)

(1)求g(a)；

(2)若g(a)=g,求。及此时/(%)的最大值.

<—2

2

【答案】⑴^(a)=<-^--2a-l,-2<a<2

1-4a,a>2

(2)a=-l,此时/(%)的最大值为5

【解析】

【分析】(1)对/(%)配方后，分—£〉1与］<—1三种情况，结合函数单调性，求出最小值,

求出g(a)；

(2)在第一问的基础上，分三种情况进行求解，得到a=-1,并结合单调性求出函数的最大值..

【小问1详解】

.•./(x)=2(x—曰)-y-2a-l,且—

.•.若—即—2WaW2时，/(%)在—上单调递减，在■|<xWl上单调递增,

故当x=£时，〃X)取得最小值，

2

即/Wmin=^(«)=-y-2«-1；

若即a>2时，/(x)在—1<%<1上单调递减，

故当x=l时，/(%)血n=/(l)=g(a)=l—4a；

若£<一1,即a<—2时，/(%)在—1<%<1上单调递增,

故当天=—1时,/COmin=/(—D=g(a)=l-

l,a<—2

2

综上所述，g(〃)=<———2a—l,—2<a<2；

1-4a,a>2

【小问2详解】

显然当Q<—2时，且(。)=1。5，舍去，

若〃>2,则有1一4〃=,，得〃=,，与。>2矛盾；

28

若—2WaW2,则有一^-—2a-l=-,

22

即〃2+4々+3=0，解得〃=—1或〃=—3（舍），

:.g（a）=g时，a=-l,即/（x）=2（x+g1+3，

Q111

v-l<x<L=；+—=5,/（-1）=-+-=1,

v722v722

.•.当x=l时，/（x）取得最大值5.

20.销售甲种商品所得利润是尸万元，它与投入资金/万元的关系有经验公式尸="；销售乙种商品所

/+1

得利润是。万元，它与投入资金/万元的关系有经验公式。=初.其中a,b为常数.现将3万元资金全部投

9

入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为一万元；若全部投入乙种商品，所得利润为

4

1万元.若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售•则所得利润总和为y

万元.

（1）求利润总和y关于％的表达式，并》指出的取值范围；

（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值.

1

【答案】（1）y=*+—（3—x）,0<x<3

尤+13

7

（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为一万元

3

【解析】

【分析】（1）由题意，根据给定的函数，代入给定值，可得答案；

（2）利用分离常数项整理函数，根据基本不等式，可得答案.

【小问1详解】

因为对甲种商品投资x万元，所以对乙种商品投资为3-x万元，

Z7Y

由题意知：y=P+Q=-^+b（3-x）,

[3a9

当x=3时，V=—，当时，，则｛44,解得a=3，b=—,

4[3b=l。3

则丁=----+-（3-x）,0<x<3.

x+13

【小问2详解】

,r,曰、3x13(x+l)-31

由(1)可得/(x)=------F—(3-X)=---------------bl——X

x+13x+13

,+2+t—当且仅当-2时取等号,

7

故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为一万元.

3

21.已知aeR,函数/（%）=九|九一。|

（1）当a=2时，直接写出函数y=/（x）的单调增区间（不需证明）；

（2）当a=2时，求y=f（x）在区间［［，、历+1］上的最值；

（3）设awO,函数y=/（x）在（私"）上既有最大值又有最小值，请分别求出加、n的取值范围（用

a表示）.

【答案】（1）1］和［2,+8）；

（2）最大值是1,最小值是0；

（3）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）由绝对值定义去掉绝对值符号化简函数式后，结合二次函数知识可得单调区间；

（2）由（1）可得函数在,从而得最值;

（3）根据a>0和a<0分类讨论作出函数图象，分析函数在开区间（〃?,〃）上既有最大值又有最小值时，最

大值和最小值只有在x=。和x=幺处取得，从而可得相，”范围.

2

【小问1详解】

x(x-2),x>2(X-1)2-1,X>2

a=2时,f(x)=x\x-

x(2-x),x<2-(X-1)2+