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文档简介
2024学年第一学期上大附中诊断测试
一、填空题(前6题每题3分,后6题每题4分,共42分)
1,设集合。={1,2,3,4,5,6},?1={2,3,6},3={1,3,4},则从小豆=
【答案】{2,6}
【解析】
【分析】先求耳,再根据交集的定义计算可得.
【详解】由题方={2,5,6},A={2,3,6},
所以AC^={2,6}.
故答案为:{2,6}
2.不等式工〉1的解集为.
【答案】{x|0<x<2}
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法即可得解.
2x-2
【详解】解:由一〉1,得——<0,
xx
则x(x—2)<0,解得0<%<2,
所以不等式->1的解集为{乂0<x<2}.
X
故答案为:{F0<x<2}.
3.已知〃=34+5々+2,N=2/+4a,aeR,则MN(用>、<、=填空).
【答案】>
【解析】
【分析】利用作差法比较大小即可.
【详解】因M=3/+5a+2,N=2储+4a,
所以N=34+5a+2-(24+4a)
1,7
=a9+a+2=(aH—)H—>0,
24
故M>N,
故答案为:>.
4.已知aeR,若函数y=lg(V—依+1)定义域为R,则。的取值范围为.
【答案】(—2,2)
【解析】
【分析】由题意有9-6+1>0恒成立,利用二次不等式恒成立的条件求解.
【详解】若函数y=lg(d—依+1)定义域为R,则公+1>。恒成立,
有A=/—4<0,解得一2<。<2,即。的取值范围为(-2,2).
故答案:(-2,2)
5.函数y=+5的值域为.
【答案】(5,+8)
【解析】
【分析】y=+5'令〉°'换元后求丁=产+由+5的值域即可得至人
【详解】函数y=+5的定义域为R.
因为」[+唱“曲+唱E
令/=Qj〉0,则y=/+4t+5.
又函数y=/+今+5在(0,+“)上单调递增,
所以在(0,+。)上,有丁=产+4/+5>5恒成立.
所以函数y=+5的值域为(5,包).
故答案为:(5,+8).
6.已知1g2=a,1g3=/?,贝ij用。、/?表示log】?25=.
2-2a
【答案】
2a+b
【解析】
【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解.
100
[详解]lo25=坨25—值1r—2—21g22—2a,
--2--
团2lgi2lg(2x3)21g2+lg32a+b
2-2a
故答案为:
2a+b
7.若/(工)=0?+法3+£+4,且/(_。=15,则/«)=.
X
【答案】-7
【解析】
【分析】代入即可根据哥指数性质求解.
【详解】由于"V)=a(T)5+b(T)3+-+4=15^>-at5-bt3--+4=15^>at5+bt3+-=-11,
-ttt
所以成5+43+:+4=—n+4=—7,
故答案为:-7
8.已知机eZ,设哥函数'=/""4",的图象关于原点成中心对称,且与x轴及y轴均无交点,则机的值为
【答案】1或3
【解析】
【分析】利用嘉函数的性质得到加的相关条件,从而得解.
【详解】因为累函数y=x""4,"的图象关于原点成中心对称,且与x轴及y轴均无交点,
所以机2一4加<0且〃,一4根为奇数,则0<加<4,
又〃zeZ,结合机2-4m为奇数,可得加=1或3.
故答案为:1或3.
9.己知定义在(—3,3)上的奇函数“力在(—3,0]上是严格减函数,若/(加+1)+/(3m—2)<0,则实数
m的取值范围是
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质可知/(幻在(-3,3)上是减函数,根据奇偶性和单调性可将不等式转化为
故而可得用的范围.
3>m+l>2—3m>—3,
【详解】•・"(X)是奇函数,在(—3,0]上是严格减函数,
/⑶在(-3,3)上单调递减,
/(m+l)+/(3m-2)<0,
:.于(m+1)<—/(3m—2),
即/(m+1)</(2-3m),
.*.3>m+l>2—3m>—3,
解得工<加<9,则实数加的取值范围是
43
故答案为:
(;
2—+x<1?
10.已知函数/(尤)=<是R上的严格增函数,则实数Q的取值范围是
log。_x+1),x>1
3
【答案】[—,2)
2
【解析】
【分析】由分段函数的两段均为严格增函数且临界点函数值满足的关系(左不大于右)可得.
【详解】由题易知/(X)是R上的严格增函数,贝=X+1在(工,+8)上是增函数,必须有。〉1,
y^ax2-x+l^x>l时是增函数,最小值在x=l时取得且最小值为〉
ymin=a0,
2—a>0
a>13
工<1,解得一<a<2,
2a-2
{2-a+|<1
3
故答案为:目,2).
11.设a>0且awl,则函数/(x)=a、+f—2x—2a+l的零点的个数为.
【答案】2.
【解析】
【分析】函数零点个数等价于函数>="与,=-尤2+2%+2。-1=一(无一1/+2。的交点个数,分。>1和
0<。<1画出两个函数的图象,由图象判断焦点个数.
【详解】优+/—2%—2a+l=0
等价于优=-丁+2x+2a-l,
函数/(%)=a*+*—2x—2a+1的零点的个数等价于函数y=优
与y=-x2+2x+2a-l=—+2a的交点个数,
当。〉1时,画出两个函数的图象,并且x=l时,a<2a,
由图象可知函数有两个交点,即函数/(%)=优+——2x—加+1的零点的个数是2个;
当Ovavl时,1=1时,a<2a,
如图,
由图象可知两个函数有两个交点,即函数〃"=优+x2-2x-2a+l的零点的个数是2个;
综上可知无论还是。〉1,两者均有两个交点.
故答案为:2
【点睛】本题考查函数零点个数问题,意在考查函数与方程的思想和数形结合分析问题和解决问题的能
力,属于中档题型.
12.对任意a,Z?e[-l,l],方程上一。|+归一4=加和上一4一卜一百=〃在[-2,2]上均有解,则〃z+八的取
值范围为
【答案】[0,6]
【解析】
【分析】根据绝对值函数的性质和方程的解法以及不等式的性质,可求得m+〃的取值范围.
【详解】因为方程卜_。|+卜_目=加和=〃,
所以=,
因为a,Z?e[-l,l],所以一iWaWl,§P-l<-a<l,
因为任意a,Z?e[-l,l],方程上一同+归一母=加和上一同一归一母=〃在[-2,2]上均有解,
所以工€卜2,2],即一2WxW2,
则04上一。归3,即0W2|x—4W6,
所以m+八的取值范围为[0,6],
故答案为;[0,6].
二、选择题(每题3分,共12分)
13.函数〃x)='中,有()
%+1
A./(%)在(-1,y)上严格增
B./(%)在(—8,—1川(-1,+8)上严格减
C./(%)在(1,+8)上严格增
D.“X)在(-L4W)上严格减
【答案】D
【解析】
【分析】函数/(x)=,是由函数>=工向左平移得到的,函数为单调递减函数,单调减区间只要将原
X+1X
来的单调减区间向左平移一个单位即可
【详解】函数y=」的图象向左平移1个单位可得函数丁=——的图象,
尤X+1
因为函数在(-8,0)和(0,+")上严格减,
则函数y=-^―在(—8,—1)和(-1,+8)上严格减,
A-।JL
而在(-8,—l)U(—l,4w)不具备单调性.
故选:D.
14.若二次函数表达式为y=«%2+6x+c,则“b=0”是“此函数为偶函数”的()条件
A,充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数奇偶性,结合充要条件的定义判定即可.
【详解】二次函数表达式为y=^2+6x+c,则awO,其定义域为R,
若b=0,则二次函数了=以2+法+。=。f+。为偶函数,...充分性成立,
b
若二次函数了=以2+法+。为偶函数,——=0,••)=0,•..必要性成立,
2a
所以b=0是此函数为偶函数的充要条件.
故选:C.
15.若/(x)=k+l|+|2x+a|的最小值是3,则实数a的值为()
A.5或8B.—1或5C.—1或4D.T或8
【答案】D
【解析】
【分析】分-1〉-q、-1=-9三种情况进行讨论即可得答案.
222
—3x—(I+a),x<——
.a
【详解】由题意,①当—I〉—T时,即〃>2,/(%)=<X+—I,--<I,
2
3x+(〃+1),x>—I
则当x=-'|■时,/min(x)=/(—,)=-万+[+|—〃+〃=3,解得〃=8或a=-4(舍);
~3x—(I+a),x—I
11,a
②当—I<时,即a<2,/(%)=<—X+I—6Z,-1<X«--,
22
3x+(6/+1),x>——
则当x=一'1时,=/(--)=~—+l\+\~a+a=3,
解得a=8(舍)或。=-4;
③当—1=—曰时,即a=2,/(%)=3|%+1|,此时北m(x)=O,不满足题意,
综上a=8或a=T,
故选:D.
16.若不等式d—(2a+2)x+2a<0(a>0)有且只有三个整数解,实数。的取值范围为(
44
A.0<a<—B.0<aV—
33
334
C.G>—D.—<。<一
443
【答案】D
【解析】
【分析】设/(力=——(2a+2)x+2a,则/(0)>0,故可得不等式的解集中的三个整数为
1,2,3,据此可求参数的取值范围.
【详解】设/(x)=£—(2a+2)x+2a,则/(1)=—1<0,
故/(x)<0的解集中有整数1,而/(0)>0,
/(3)<0
故不等式的解集中的三个整数为1,2,3,故<
/(4)>0
9—6a—6+2a<034
所以4,故一<a4一,
[16-8〃-8+2/043
故选:D.
三、解答题(第17题6分,第18题8分,第19题10分,第20题10分,第21题12分,共
46分)
17.已知。为实数,设集合4={%|2%+。2/}.
(1)当。=8时,用区间表示集合A;
(2)设集合3={九|炮犬=0},若5=求实数。的取值范围.
【答案】⑴A=[-2,4];
(2)ci>—1.
【解析】
【分析】(1)当a=8吐求出2X+82V的解集,用区间表示出来即可;
(2)求出集合3={1},利用BRA,求出实数。的取值范围即可.
【小问1详解】
当a=8时,由2x+8之一,
解得:—2WxW4,即4=[—2,4].
【小问2详解】
由集合8={x|lgx=0},可得B={1},
因为且A={x|2x+a»x2},
所以1GA=+«>J},
即2xl+a212,解得:a>-\.
18.已知函数/(x)=g+不片.
(1)判断此函数是否具有奇偶性并证明.
(2)解不等式/(%)>—2.
【答案】(1)奇函数,证明见解析
(2)^-oo,log4|^|u(0,+<»)
【解析】
【分析】(1)根据函数奇偶性的定义和判定方法,即可求解;
(2)分无>0和x<0两种情况求解,利用指数函数单调性解不等式即可求解.
【小问1详解】
判断函数为奇函数,证明如下:
函数/(x)=g+不片,令4£一1/0,解得{x|"0},
即函数/(%)的定义域为卜|无00},关于原点对称,
又由/+—%)=[工+^^]+[』+^^]=1+[^^+^^]=1_1=0,
V7I)(24r-lJ(24^-lJ1-4-J
BP/(-x)--fM,
所以函数为定义域上的奇函数.
【小问2详解】
/(%)>—2等价于g+不匕>—2,当x>0时,4,—1>0,
则一+—-—>-+0>-2恒成立;
24'-12
1133
当x<0时,4。1<0,则不工>—2等价于4'<w,解得x<log4g,
综上,不等式/(%)>-2的解集为[一”,log’|1D(0,+").
19.函数〃x)=l-2a-2—-2(1-炉)(―1«.1)的最小值为g(a)(a」R)
(1)求g(a);
(2)若g(a)=g,求。及此时/(%)的最大值.
<—2
2
【答案】⑴^(a)=<-^--2a-l,-2<a<2
1-4a,a>2
(2)a=-l,此时/(%)的最大值为5
【解析】
【分析】(1)对/(%)配方后,分—£〉1与]<—1三种情况,结合函数单调性,求出最小值,
求出g(a);
(2)在第一问的基础上,分三种情况进行求解,得到a=-1,并结合单调性求出函数的最大值..
【小问1详解】
.•./(x)=2(x—曰)-y-2a-l,且—
.•.若—即—2WaW2时,/(%)在—上单调递减,在■|<xWl上单调递增,
故当x=£时,〃X)取得最小值,
2
即/Wmin=^(«)=-y-2«-1;
若即a>2时,/(x)在—1<%<1上单调递减,
故当x=l时,/(%)血n=/(l)=g(a)=l—4a;
若£<一1,即a<—2时,/(%)在—1<%<1上单调递增,
故当天=—1时,/COmin=/(—D=g(a)=l-
l,a<—2
2
综上所述,g(〃)=<———2a—l,—2<a<2;
1-4a,a>2
【小问2详解】
显然当Q<—2时,且(。)=1。5,舍去,
若〃>2,则有1一4〃=,,得〃=,,与。>2矛盾;
28
若—2WaW2,则有一^-—2a-l=-,
22
即〃2+4々+3=0,解得〃=—1或〃=—3(舍),
:.g(a)=g时,a=-l,即/(x)=2(x+g1+3,
Q111
v-l<x<L=;+—=5,/(-1)=-+-=1,
v722v722
.•.当x=l时,/(x)取得最大值5.
20.销售甲种商品所得利润是尸万元,它与投入资金/万元的关系有经验公式尸=";销售乙种商品所
/+1
得利润是。万元,它与投入资金/万元的关系有经验公式。=初.其中a,b为常数.现将3万元资金全部投
9
入甲,乙两种商品的销售,若全部投入甲种商品,所得利润为一万元;若全部投入乙种商品,所得利润为
4
1万元.若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售,余下的投入乙种商品的销售•则所得利润总和为y
万元.
(1)求利润总和y关于%的表达式,并》指出的取值范围;
(2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品,才能使所得利润总和最大,并求最大值.
1
【答案】(1)y=*+—(3—x),0<x<3
尤+13
7
(2)对甲种商品投资2万元,对乙种商品投资1万元,才能使所得利润总和最大,最大值为一万元
3
【解析】
【分析】(1)由题意,根据给定的函数,代入给定值,可得答案;
(2)利用分离常数项整理函数,根据基本不等式,可得答案.
【小问1详解】
因为对甲种商品投资x万元,所以对乙种商品投资为3-x万元,
Z7Y
由题意知:y=P+Q=-^+b(3-x),
[3a9
当x=3时,V=—,当时,,则{44,解得a=3,b=—,
4[3b=l。3
则丁=----+-(3-x),0<x<3.
x+13
【小问2详解】
,r,曰、3x13(x+l)-31
由(1)可得/(x)=------F—(3-X)=---------------bl——X
x+13x+13
,+2+t—当且仅当-2时取等号,
7
故对甲种商品投资2万元,对乙种商品投资1万元,才能使所得利润总和最大,最大值为一万元.
3
21.已知aeR,函数/(%)=九|九一。|
(1)当a=2时,直接写出函数y=/(x)的单调增区间(不需证明);
(2)当a=2时,求y=f(x)在区间[[,、历+1]上的最值;
(3)设awO,函数y=/(x)在(私")上既有最大值又有最小值,请分别求出加、n的取值范围(用
a表示).
【答案】(1)1]和[2,+8);
(2)最大值是1,最小值是0;
(3)答案见解析.
【解析】
【分析】(1)由绝对值定义去掉绝对值符号化简函数式后,结合二次函数知识可得单调区间;
(2)由(1)可得函数在,从而得最值;
(3)根据a>0和a<0分类讨论作出函数图象,分析函数在开区间(〃?,〃)上既有最大值又有最小值时,最
大值和最小值只有在x=。和x=幺处取得,从而可得相,”范围.
2
【小问1详解】
x(x-2),x>2(X-1)2-1,X>2
a=2时,f(x)=x\x-
x(2-x),x<2-(X-1)2+
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