三角函数与解三角形（十二大题型） -2025年上海高考数学复习热点题型专练（解析版）

热点题型•选填题攻略

专题04三角函数与解三角形(十二大题型)

O----------------题型归纳•定方向----------*>

题型01任意角和弧度制.................................................................2

题型02任意角的三角函数...............................................................3

题型03同角三角函数的基本关系.........................................................6

题型04三角函数的诱导公式.............................................................7

题型05三角恒等变换...................................................................9

题型06三角函数的有关概念............................................................11

题型07三角函数图像的变换............................................................13

题型08三角函数的求参问题............................................................15

题型09解三角形.......................................................................17

题型10解三角形一面积问题、解的个数等问题............................................19

题型11解三角形与平面向量、数列等....................................................21

题型12三角函数与解三角形的实际应用..................................................26

*>----------题型探析•明规律----------*>

【解题规律•提分快招】

1、利用三角函数的定义，已知角a终边上一点P的坐标可求a的三角函数值；已知角a的三角函数值，也可以

求出角a终边的位置.

2、判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三

角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.

3、诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

4、常用的拆角、配角技巧:2a=(a+P)+(a—P)；a=(a+P)—P=(a—P)+P；P=—=(a+2p)—(a+P)；a—P=(a

-y)+(y-p)；15o=45°-30°；+a=一等.

5、确定y=Asin®x+(p)+b(A>0,a>>0)的步骤和方法：

M—TYlTYl

(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=-—，b=一〜一.

2冗

⑵求8.确定函数的最小正周期T,则8=于

(3)求(P，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象

的最高点或最低点代入.

6、解三角形问题的技巧

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一

次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三

角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

7、判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=7T这个结论.

8、平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，

利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把

要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.

题型01任意角和弧度制

【典例1-1].已知扇形的半径是3,弧长为6,则扇形圆心角的弧度数是.

【答案】2

【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解.

【解析】依题意，设扇形的圆心角为。（。＞0）,

因为扇形的半径是r=3,弧长为/=6,

所以由/=/r，得6=3a,则0二:二？.

故答案为：2.

【典例1-2】•母线长为5、底面半径为2的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为.

【答案】岸477//4万

【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为a,根据底面周长等于侧面展开图的弧长计算可得.

【解析】设圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为a,

又母线/=5,底面半径r=2

47r

则al=2兀r,即5a=4兀，解得a=—.

4兀

故答案为：y

【变式1-1】.若扇形的半径为2,弧长为3,则扇形的面积为.

【答案】3

【分析】根据扇形的面积公式直接运算求解.

【解析】由题意可得：扇形的面积为]x3x2=3.

故答案为：3.

【变式1-2】•设a是第一象限的角，则言所在的象限为（）

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限

【答案】C

【分析】根据a是第一象限的角，求出，的范围判断即可得解.

【解析】因为a是第一象限的角，

71

所以2kli<a<2kji+—,keZ,

2

OfTT

所以E<一<E+一,左eZ

24

OfTTCt

当后二2〃,〃£Z时，2〃兀<—<2ml+—,HGZ,一为第一象限角；

242

ryTT（y

当左=2〃+l,〃eZ时，2〃兀+兀<—<2”兀+兀+—eZ,—为第三象限角.

242

故选：C

【变式1-3】•折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的

形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）,图2为其结构简化图，设

扇面A,8间的圆弧长为/,A,B间的弦长为d,圆弧所对的圆心角为。（。为弧度角），则/、d和0所满足

的恒等关系为（）

图1图2

e~13~1

coo

厂2cos—,ccos—7

C.2_uD.2_£

e~19~1

【答案】A

【分析】先用。表示出d和/,进而求得彳的值.

【解析】过点。作于。，则NAO3=。，ZDOB=-

n

则d=2忸必=2|03河口5，l=\OB\-0

故选：A

题型02任意角的三角函数

【典例2-1】.若角a的终边过点（4,3）,则sin（a+$=.

【答案】》0.8

【分析】根据三角函数的定义求得cosa,再利用诱导公式即可求得.

44

【解析】依题意，cose5+32=于

兀4

则sin（a+—）=cos0=丁

4

故答案为：—.

【典例2-2].“sin人^”是”的（

24

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】判断“sinO=""和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.

24

【解析】当正时,

sin”0=—+2kn,k^Z^3=—+2fai,keZ,推不出。二工;

2444

当。=:时，必有sin6=包，

42

故"sin。=走”是“。：”的必要不充分条件，

24

故选：C

3

【变式2.1】.已知点尸（3,%）（典〈0）是角a终边上一点，若cosa=g,贝ijtana=

【答案】=4

【分析】由任意角的三角函数定义即可求解.

33

【解析】COS6Z=-===-,又为＜0,

49+%3

解得：为=-4,

4

所以tana=-],

4

故答案为：

【变式22】.下面有四个命题:

①若点P（a,2a）（«20）为角a的终边上一点，则sina=等；

②同时满足sina='，cosa=走的角a有且只有一个；

22

③如果角a满足-3n<a<-：兀，那么角a是第二象限的角；

④满足条件tanx=-若的角x的集合为卜|x=E-g，左ez1.

其中真命题的序号为.

【答案】④

【分析】①根据正弦函数定义求正弦值判断；②注意任意角定义即可判断；③直接判断角所在象限即可；

④根据正切值及任意角定义求角即可判断.

【解析】①若点以。,2。）（分0）为角a的终边上一点，5m。=一^=±挛（注意参数。的符号不确定）,

+4/5

假命题；

②同时满足sina=1,cosa=昱,只要终边与a=各相同的角都满足，假命题；

226

③如果角a满足-兀，那么角a是第三象限的角，假命题；

④满足条件tanx=-右的角x=］+E,keZ,真命题.

故答案为：④

【变式2-3］.已知锐角a的顶点为原点，始边为x轴的正半轴，将a的终边绕原点逆时针旋转g后交单位

O

圆于点贝hina的值为.

［答案］2&+1

6

【分析】先求得3,+胃2m3+胃，然后利用三角恒等变换的知识求得sina

【解析】由于在单位圆上，所以［Tj+y2=l,y2=|,

由于a是锐角，所以,2=»=>>=HE,则尸,

93（33）

二匚1“（吟1•（兀）2A/2

I6；3l6；3

.兀兀7171.兀

所以sin。=sina-\--------=sina+—cos——cosa+—sm—

（66I6666

11276+1

=述苕+-x—=

323-26

故答案为：马位口

6

题型03同角三角函数的基本关系

【典例3」】.已知tanx=2,则2sin%cos%=

【答案】弛8

2sinxcosx

【分析】由2sinxcosx二,再将弦化切，最后代入计算可得.

sin2x+cos2x

2sinxcosx2tanx2x24

【解析】因为tanx=2,所以2sinxcos;r=

sin2x+cos2xtan2x+122+15

4

故答案为：—

【典例3-2】.设。为第二象限角，若tan6=-g,贝ijsin6»+cos6>=

布z-A/5

【答案】--------/---------

55

【分析】由同角三角函数的基本关系，列方程组解出sinacos0,求和即可.

【解析】6为第二象限角，贝Usin6>0,cos0<0,

sin。1sin8=——

若tan6=-；，则有<5

cos62解得

A2后

sin2+cos20=1cos"=--------

5

所以sin6+cos0=

555

故答案为：T

cosa+sina

【变式3“】.若tana=V^，则的值为

cosa—sina

【答案】-3-272

【分析】弦化切，代入tana即可.

cosa+sina

cosa+sina1+tan。

【解析】cos。=-（3+2及）

cosa-sinacosa—sina1—tana

cos。

故答案为：-3-272

【变式3・2】.已知角a的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（）

A.sina,cos%tanaB.sina,tana,cosa

C.sin2%cosa,tan2aD.cos26Z,sinof,tan26Z

【答案】D

【分析】对于ABC,举反例排除即可；对于D,利用三角函数的基本关系式即可判断.

sinci

【解析】角。的终边不在坐标轴上，有cosawO,sinawO,tanawO,tana=-------,

cosa

对于A,令a=；,则sina=Y^,cosa=«^,tana=l,

422

cos2cr=—,sinatma=x1=,即cos2。wsinatana,A不是；

222

兀]

对于B,令1=:，贝!|tan%=1,cosasine=:，即tan%wcosasine,B不是；

42

对于C,令a=£,则sin2a=（；）2=；,cosc=孝,tan%=（弓y=g,

于是cos%=：,sin%tan%=-x-=—,即cos%wsiratan%,C不是；

44312

对于D,sin<z=cosatancz,则sin2（z=cos%tan2£,贝ljcos%,sine,tan?。一定成等比数列，D是.

故选：D

1+sinOcos。

【变式3-3].若tand=-2,那么

sin26>-cos20

【答案】1

【分析】弦化切即可.

1+sindcosO_sin2J+cos,e+sin-cosJ_tan26+\+tan0

【解析】

sin2cos20sin20-cos20tan20-1

故答案为：1

题型04三角函数的诱导公式

sin（一2cos--a

【典例4」】.已知tana=2,则''”上.

cos（兀+a）

【答案】6

【分析】由诱导公式化简即可得出答案.

sin2cos--a

【解析】\2）-sma-2sma3sina。/

----------------------------===3tana=6

cos（兀+a）--------cosa---------cosa

故答案为：6.

【典例4-2】•已知sin(e+"=g,则cos(""=

【答案】1/0.5

【分析】依题意利用两角之间的关系并根据诱导公式计算可得结果.

【解析】根据题意，由诱导公式可得sin(e+E)=cos]-=cos(£-々=85标一；]=：

故答案为：?

【变式4・1】.已知sin(a+i)=4cosa,则tan2a=.

【答案】卷

【分析】利用诱导公式将sinQ+万)=4cosa化简，求出tana,再利用二倍角公式求值.

【解析】因为sin(a+万)=4cosa,所以一sina=4cosa,所以tana=Y,

““Ic2tana8

所以tan2a=------

1-tana15

故答案为：—

【变式4・2】.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若S]2=7»,则COS(4+%)=.

【答案】一也

2

【分析】由条件可得5]2=6(%+%)=7%，然后可得cosa+^XcosgECOs,即可得到答案.

【解析】因为S,是等差数列｛%｝的前〃项和，所以兀=6(4+%)=7万，即g+%=?

以cos(4+%)=cos$=-cos————

故答案为：4

【变式4-3].已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角a的终边按逆时针方向旋转£TT

0

后经过点(-1,73),则Sina=.

【答案】1

【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得。的值，可得sina的值.

【解析】角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，

将角a的终边按逆时针方向旋转?后经过点㈠道卜

/.tana+—==—>/3,a+—=+2k7i,左£Z,

I6—163

JIJI

所以a=5+2k兀,左£Z,sincr=sin(—+2ki)=1.

故答案为：1.

【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值的问题，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.

题型05三角恒等变换

【典例.若tana=5,贝Itan2a二

【答案】4

【分析】直接利用二倍角公式计算可得.

【解析】因为tana=5,

2tana2x5

所以tan2a=

1—tan2a1-52~12

5

故答案为:

12

71+S23,贝！亩［一

【典例5-2］.已知sin|a+三|52£2

34

7

【答案】-三/-0.875

o

【分析】利用辅助角公式求出

sin(a+£j=再利用诱导公式和二倍角公式求解即可.

立

【解析】sin|cr+—71j+sincr=—sin6z+c°sa+sina=

3224

-,故sina+$兀=

6sina+cosa=—f则

222464

27

sinf2a一看=sin2a+二=-cos2a+—=-l-2sin(+

(38

7

故答案为：

O

■什ccosa

【变式5・1】•右tanZaM；；；—；---,且会,则tana

2—sma

［答案】

1515

【分析】由同角三角函数的关系，结合二倍角公式求解.

cosa

【解析】由tan2a=

2—sina

2sincrcosa_coscr

l-2sin2a2-sina

jr

又ae(0,—),贝！Jcosa>0,

BP2sina(2-sina)=1-2sin2a,

解得2；,

贝1Jcosa=A/1-SIII2a=

4

,sinaV15

改/rtana=-------=------

cosa15

故答案为：姮

15

【变式5.2】•已知cos(a+£)=；,tanatan/=2,则8$(。一分)=()

1

AB.D

-412cA-7

【答案】A

【分析】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出cosacos/7、sinasin/，再由两角差的余

弦公式计算可得.

【解析】因为cos（。+4）=cosacos夕一sinasin夕=；,

csinasin[3",

=解得

3

所以cos(a-£)=cosacos£+sinasin§=--.

故选：A

冗

【变式5・3】.函数y=3sin2x+2百sinxcos%+cos2,0,-的值域为

【答案】[1,4]

【分析】由三角恒等变换得/(x)=2sin]2x-"+2,再整体代换求解值域即可.

百2十

【解析】y=3sin"+2sinxcosx+cosx=3^—+«x+1

=百sin2x-cos2x+2=2sin+2,

._,,,c兀r-r'Ir\兀兀5兀

因为xe0,~，所以2元一工£一72,

2J6L66

所以sin(2x-胃e-pl,所以2sin(2x-eJ+2e[1,4],

所以函数y=3sin，+2百sinxcosx+cos尻xe0,；的值域为[1,4].

故答案为：[1,4]

题型06三角函数的有关概念

【典例6-1】.函数y=tan12x+gj的最小正周期为.

兀1

【答案】

【分析】根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果.

【解析】y=tan"x+T，所以函数的周期T=',

故答案为：y.

【典例6-2】•函数y=2sin[x+e]+l的单调递增区间是.

【答案】[2far-y,2fat+1],(Z:eZ)

【分析】利用整体代入法求得y=2sin(x+5+1的单调递增区间.

JTJT

【解析】函数y=sinx的单调区间为[2E—，乂配十万],伏£Z)

由2kli一方4x十三4Zkit+5QeQ,

解得2E一年

所以函数y=2sin[+"+l的单调递增区间是[2E-g,2E+学(丘Z)

【变式6-1】.已知函数/(x)=cos®x+")(o>0，M〈卷，的部分图象如图所示，贝ij/(x)=

【分析】根据图象得到函数周期，进而得到0的值，再结合特殊点函数值求得答案.

71712兀

【解析】由题意得，函数周期为T=4x=兀，所以/=干=2,

312

71

所以〃x）=cos（2x+9）,由了cos*+可=1,

12

^—+cp=2kji{keZ),即0=2左兀一二(％EZ),

66

又因为ld<]，所以e=所以〃x）=cosf2x-^j.

26

故答案为：cosf2%-^

T

【变式6-2].函数〃尤）=sin（5+0）（0>O,O<°<n）,设T为/'（力的最小正周期,若了号则

0=

711

【答案】—/一

44

9IT

【分析】由T=」，代入函数解析式中，结合0<9〈兀，可得。的值.

CD

97r

【解析】函数〃尤)=sin(&x+/)(0>O,O<e<7i),最小正周期T=—

CD

sijox女2兀+》=",

由于/.•.sin(]+0…等

(4GJ2

又。<0<兀，可得夕三.

故答案为：5

【变式6-3】.函数y=2cos2x+百sin2x的值域为

【答案】[T3]

TT

【分析】化简函数的解析式为y=2sin（2x+：）+l,结合正弦函数的性质，即可求解.

6

【解析】由函数y=2cos2x+Gsin2]=(2cos2x—l)+V5sin2x+l=cos2x+V3sin2x+1=2sin(2x+-^)+1,

TTjr

因为sin(2x+—),所以2sin(2x+—)+le[-l,3],

66

所以函数的值域为[T,3].

故答案为：[—1,3].

题型07三角函数图像的变换

27r

【典例7-1】.把关于尤的函数y=sin(x+6),040<2兀的图像向左平移T，可得函数'=国型的图像，贝I]。

的值为.

【答案】~^~11兀

【分析】利用y=Asin(ox+°)的图象变换规律，结合诱导公式即可得解.

【解析】把函数y=sin(x+。)的图象向左平移g,得函数-(+l+。]=$山》的图象，

2兀2冗

贝l」7+e=2E,左£Z,即e=—彳+2而/£2,

4TT

因为ov〃<2兀，所以e=?-.

47r

故答案为：—.

【典例7-2】•函数/(x)=sin(2x+°)的图象向左平移方个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)是偶函数，

则tan°=.

【答案】一且

3

【分析】根据函数图象的平移可得g(x)=/1+，=sin(2x+g+e),进而根据偶函数即可求解

7T

夕=-：+E,左eZ,进而可求解.

6

【解析】g(x)=/^x+|j=sin(2x+y+^),

由于g(x)是偶函数，所以§+e=g+故e=+

326

所以1211夕=1211]一6+阮)=tan[_£)=一^^,

故答案为：_昱

3

【变式7-1】.将函数〉=5也2龙的图像向左平行移动£个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩小

6

到原来的5（纵坐标不变），得到的函数图像的解析式是

【答案】y=sin（4x+g）

【分析】利用平移和伸缩变换得出答案：向左平移。个单位，即将x换成x+a；横坐标变为原来的工倍，

m

即将X换成机X.

【解析】把函数y=sin2x的图像上所有的点向左平行移动£jr个单位长度，

0

得至Uy=sin21x+胃=sin（2x+]）的图象，

再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变），

得至I」y=sin+（）的图象.

故答案为：y=sin（4x+1^.

【变式7-21.若将函数y=tan[s+£|（0>0）的图像向右平移7个单位长度后，与函数y=tan,x+£|的

图像重合，则。的最小值为.

【答案】|

【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan[ox+^]的图象重合，比较系数，求出

0=6k+g（%eZ）,然后求出。的最小值.

【解析】解：y=tan/x+小（0>0）,向右平移套个单位可得：

/.co—6k+—(k£Z),

又,①>0,

1

4in=5.

故答案为：

【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是基础题.

【变式7-3].已知/（x）=sin（ox+£|（0>O）,函数y=〃x）,xeR的最小正周期为兀，将y=〃x）的图

像向左平移。个单位长度，所得图像关于了轴对称，则。的值是.

【答案】苦77兀|

【分析】由周期求出。，即可求出/>（X）的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后

根据对称性得到。的值.

【解析】/（x）=sin，x+£|（0>o）,函数y=/（x）的最小正周期为7等=….0=2,"x）=sin（2x+「

将>=/（尤）的图像向左平移。个单位长度，可得尸sin+2。+：）的图像，

根据所得图像关于，轴对称，可得2°+；=M+W，kuZ,解得0="+keZ,

4228

又。<。<小则令左=0,可得。的值为3

2o

故答案为：方.

题型08三角函数的求参问题

【典例8-1】.若函数y=tan3x在区间[九上是严格增函数，则实数加的取值范围为.

【答案】U

【分析】解出正切型函数单调区间，则得到加的范围.

【解析】令E—<3x<kTt-\—,keZ,解得-----<x<---1—,keZ,

223636

令左=0,则其一个单调增区间为Jcvg则实数机的取值范围为卜

66L66；

故答案为：卜亲胃.

【典例8-2].函数〃x）=2sin（0x-U（（y>0）在0,刍上存在最小值-2,则实数。的最小值是.

【答案】5

7T

【分析】先由X的范围求得。的范围，再利用正弦函数的性质得到关于。的不等式，解之即可得解.

0

【解析】因为xe。，彳，所以啰式-工£，

因为函数〃x）=2sin10x-W（0>O）在区间0,y上存在最小值-2,

所以gty-gN当，解得025,

362

所以实数。的最小值是5.

故答案为：5.

TT7T

【变式8・1】.已知函数丁=5皿2%-7）-根在［0,不上有两个零点，则机的取值范围为____.

62

【答案】［1,1）

【分析】根据给定条件，探讨函数丁=5足（2%-今TT-机的单调性，结合函数值情况列出不等式求解即得.

6

【解析】当xe［O,勺时，f=,

由2x-?e［-］勺，得xe［O,勺；

6623

由刍,得xw百勺,

62632

因此函数丁=sin,一机，

在［-£勺上单调递增，函数值从-1-加增大到1-m，

o22

在耳，手上单调递减，函数值从1-帆减小到;-机，

口11

n.—m>-----m,

22

l-m>0

jrjr|

由函数y=sin（2x-：）-用在［0<］上有两个零点，得11,解得74加<1,

12

所以加的取值范围为［；』）.

故答案为：g』）

【变式8.2】.关于1的不等式sinxZcos2%+〃对任意尤£氏恒成立，则实数〃的最大值为.

【答案】-3/T.25

4

【分析】々t=sinxJe［-M］,将不等式转化成关于，的一元二次不等式，根据一元二次函数性质即可求出

结果.

【解析】因为sinx>cos2x+«，

所以sin无之1—sin2无+。，BPsin2x+sinx—1>a,

☆/=sinx,t2+t-l>a

令/⑺=『+%-1,,要使不等式si/x+sinx-lZa对于任意％ER恒成立，

只需满足a</（以“，te[-1,1],

函数/⑴在-1>-|上单调递减，在上单调递增，

所以/=—5时，即sinx=—得x=不+（2左+左eZ或x=-^~+（2E+左eZ,有最小值，

=得aV-J,所以实数”的最大值为-）.

故答案为：-J

4

【变式8・3】・设函数y=sing3>0）在区间（0,2兀）上恰有三个极值点，则①的取值范围为

■林金▼（57一

【答案】匕4

【分析】由元的取值范围得到口工的取值范围，再结合正弦函数图象的性质得到不等式组，解得即可.

【解析】由已知工£（0,2兀）,G>0得妙£（0,2S）.

要使函数y=sin以3>0）在区间（0,271）上恰有三个极值点，

5兀771

由y=sin%,N£（0,47i）图象可得万<2师工彳，

题型09解三角形

【典例9-1].在VABC中，若AB=5,8C=J^T,CA=4,则NA=.

【答案】y

【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得.

【解析】在7ABC中，由余弦定理得cosA=叱+斯-叱=2"16-21=J_

2ABCA2x5x42

兀

而OVAVTI,所以A=].

故答案为：—

【典例9・2】,在VABC中，已知8C=5,AC=4,A=25,贝(Jcos5的值为.

【答案】j/0.625

O

【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得.

【解析】在VABC中，由正弦定理得4=旦，而BC=5,AC=4,A=2B,

sinAsmB

54545

因此上一=——，即-----------=——，所以COSB=L

sin23sin32sinBcosBsinB8

故答案为："I

o

【变式9-1].在VABC中，角A,8,C对应边为a,6,c,其中6=4.若A+C=120，且a=2c,则c边长为

【答案】疸占6

33

【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得J

【解析】依题意，a=2c,

由正弦定理得sinA=2sinC,即sin(120—C)=2sinC,

61.,r

—cosCrH—sinC=2sinC,tanC——，

223

由于0<C<120,所以。=30,则A=90,3=60,

由正弦定理得三bc—_b_s_in__C—____9—_4_石_

sinCsinBsin383

2

故答案为:理

【变式9-2】•AFC中，sinA:sinB:sinC=1:\[1:,则cos4+cosb+cosC=.

【答案】73+76

-3

【分析】利用正弦定理角化边，再结合勾股定理即可求得答案.

【解析】因为sinA:sinB:sinC=l:0：6\所以Q:Z?:C=1:0:百，

设a=左（左＞0）,则人=及k,c=®,

又/+〃=3左2=，，所以该三角形为直角三角形，

所以cosA=,cosB=,cosC=0,

y/3k3辰3

所以cosA+cosB+cosC=4+，

3

故答案为：一+二.

3

【变式9.3】.在VABC中,已知角A3。所对的边分别为。，仇若石asinB+csinC=asinA+OsinB,则

C=.

【答案】

6

【分析】根据正余弦定理边角互化即可求解.

【解析】由y/3asinB+csinC=asinA+bsinB可得6ab+c2=a2+b2

进而可得廿二百"，

a2+b2-c2yfiab_V3

所以cosC=

lablab2

由于Ce（0,兀）,故C=m，

故答案为：—

0

题型10解三角形一面积问题、解的个数等问题

【典例10-1】.在VA3C中，已知/AC8=120,AB=2A/7,若3c=2AC,则VA5c的面积为.

【答案】2也

【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出AC,再利用三角形面积公式计算即得.

【解析】在VABC中，NACB=12Q,AB=2币,BC=2AC,

由余弦定理得28=AB?=AC2+8C2-2AC-BCCOS120=1AC2,

解得AC2=4,

所以VABC的面积为LACxBCxsinl20=AC2--=2y/3.

22

故答案为：2陋

【典例10-2】.在VABC中，AB=4,BC=3,S^=3y/3,贝!]AC=.

【答案】而或历

【分析】由三角形面积公式求出sin3,分类讨论得到cosB,由余弦定理得出AC的值.

【解析】5=

sinB=,

2

当Be(0,J时，cosB=Jl-sin?B=',

由余弦定理得AC=^AB2+BC2-2AB-BC-cosB=J42+32-2x4x3x1=^/13,

当Be(右"时，cosB=71-sin2B=-；,

由余弦定理得AC=JA52+8C2-2AB.8C-COS8=J42+32—2x4x3x1-g)=历,

,AC=g或历，

故答案为：屈或后.

【变式10-11.记VA3C的内角A