三角形综合（解析版）-中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题20三角形综合

1.(2021•淮安中考)

【知识再现】

学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简称‘班’定

理)”是判定直角三角形全等的特有方法.

【简单应用】

如图(1),在△N8C中，ZBAC=90°,AB=AC,点、D、E分别在边NC、AB1..若CE=BD,则线段4E和线

段的数量关系是4E=4D.

AA

B”------------------

图⑴图(2)备用图

【拓展延伸】

在△/BC中，NBAC=a(90°<a<180°),4B=4C=m,点D在边4c上.

(1)若点£在边上，且CE=BD,如图(2)所示，则线段NE与线段相等吗？如果相等，请给出证明；

如果不相等，请说明理由.

(2)若点£在历1的延长线上，且CE=5D.试探究线段4E与线段力。的数量关系(用含有a、加的式子表

示)，并说明理由.

【简单应用】

解：如图(1)中，结论：AE=AD.

一

B”------------------

图⑴

理由：VZA=ZA=90°,AB=AC,BD=CE,

：.RtA^SD^RtA^CE(HL),

：.AD=AE.

故答案为：AE=AD.

图(2)

理由：如图（2）中，过点C作CM_L比1交8/的延长线于河，过点8作用V_LC4交C/的延长线于N.

,:/M=NN=90°，ZCAM=ZBAN,CA=BA,

：.£\CAM沿八BAN(AAS),

：.CM=BN,AM=AN,

,:/M=/N=90°,CE=BD,CM=BN,

：.RtACAffi^RtASA©(HL),

：.EM=DN,

:AM=AN,

：.AE=AD.

②如图(3)中，结论：AE-AD=2m'cos(180°-a).

E

图(3)

理由：在48上取一点歹，使得AD=CE'，则.过点C作C7U4E于T.

\"CE'=BD,CE=BD,

：.CE=CE',

；CTLEE',

：.ET=TE',

'/AT=AC9cos(180°-a)=m・cos(180°-a),

..AE-AD=AE-AE'=24T=2加・cos(180°-a).

2.(2021•抚顺中考)如图，RtZ\45C中，ZACB=90°,。为中点，点E在直线BC上(点£不与点8,。重

合），连接过点。作。歹，交直线4。于点h连接

(1)如图1,当点尸与点/重合时，请直接写出线段所与的数量关系;

(2)如图2,当点厂不与点/重合时，请写出线段/REF,8E之间的数量关系，并说明理由;

(3)若NC=5,BC=3,EC=1,请直接写出线段/尸的长.

备用图

解：(1)结论：EF=BE.

:.EF=EB.

(2)结论:AF2+BE2^EF2.

理由：如图2中，过点/作47L/C交ED的延长线于J,连接内.

C.AJ//BE,

：.ZAJD=ZDEB,

在△4©和△BED中,

fZAJD=ZDEB

<ZADJ=ZBDE)

,AD=BD

:.AAJDmABED(AAS),

:.AJ=BE,DJ=DE,

'：DF±EJ,

：.FJ=EF,

VZFAJ=90°,

：.AF2+AJ2=FJ2,

:.AF2+BE2=EF2.

(3)如图3-1中，当点E在线段8C上时，设/尸=x,则CF=5-x.

V5C=3,CE=1,

：.BE=2,

22222

'：EF=AF+BE=CF+CE,

.".X2+22=(5-x)2+l2,

.•人Y=11,

5

:.AF=1L.

5

如图3-2中，当点E在线段8c的延长线上时，设/尸=x,则C/=5-x.

图3-2

•：BC=3,CE=l,

:.BE=4,

•；EF2=AF1+BE2=CF2+CE2,

Z.X2+42=(5-x)2+12,

»»x=1,

：.AF=\,

综上所述，满足条件的“/的长为旦或1.

5

3.（2021•郴州中考）如图1,在等腰直角三角形48c中，/BAC=90°,点、E,尸分别为48,NC的中点，H为线

段£尸上一动点（不与点£,尸重合），将线段绕点N逆时针方向旋转90°得到NG,连接GC,HB.

U）证明：△4HB会AAGC；

（2）如图2,连接GFHG,HG交AF于点、Q.

①证明：在点〃的运动过程中，总有/加6=90°；

②若AB=AC=4,当EH的长度为多少时4/06为等腰三角形？

VZBAC^90°,

NBAH=NCAG,

,：AB=AC,

：./\ABH^/\ACG⑸S）；

（2）①证明：如图2,在等腰直角三角形/BC中，ZBAC^90°,

A

G

图2

；・NABC=NACB=45°,

■:点E,一分别为Z分/C的中点,

工石尸是△45。的中位线，

：.EF//BC,AE=1AB,AF=1AC,

22

：.AE=AF,/AEF=NABC=45°,/AFE=/ACB=45

■:/EAH=/FAG,AH=AG,

・••△AEmdAFG(SAS)f

:.NAFG=NAEH=45°,

：.ZHFG=45°+45°=90°；

②分两种情况：

z)如图3,/Q=QG时，

'：AQ=QG,

：.ZQAG=ZAGQ,

VZHAG=ZHAQ+ZQAG=ZAHG+ZAGH=90°,

AZQAH=/AHQ,

：.AQ=QH=QG,

•：AH=AG,

：.AQ±GHf

VZAFG=ZAFH=45°,

ZFGQ=ZFHQ=45°,

：.NHFG=NAGF=NAHF=90°,

，四边形///尸G是正方形，

\"AC=4,

：.AF=2,

:.FG=EH=版,

，当即的长度为正时，ZX/QG为等腰三角形;

法）如图4,当ZG=0G时，AGAQ=ZAQG,

G

VZAEH=ZAGQ=45°,NEAH=NGAQ,

：.ZAHE=ZAQG=ZEAH,

:.EH=AE=2,

当即的长度为2时，A/OG为等腰三角形；

综上，当的长度为血或2时，△ZQG为等腰三角形.

4.（2021•大连中考）己知48=AD,AE=EF,NABD=/AEF.

（1）找出与/相等的角并证明；

（2）求证：ZBFD=ZAFB；

（3）AF=kDF,ZEDF+ZMDF=ISO0,求3L

MF

证明：•：/DBF+NABF=/ABD,ZABD=ZAEF,

：.ZDBF+ZABF=ZAEF,

•・・ZAEF=NBAE+/ABF,

：./BAE+NABF=NDBF+NABF,

：.NBAE=/DBF.

图1

(2)证明：如图2,连接4。交8尸于点G,

•：AB=BD,AE=EF,

・ABBD

AEEF

,?ZABD=ZAEF,

；.A4BDs△4EF,

：.ZBDG=ZAFB,

'：ZBGD=ZAGF,

：.△BGDs^AGF,

•BGDG

"AG'FG"

•BGAG

"DG'FG"

NAGB=NFGD,

ZUGBs△尸GO,

ZBAD=ZBFD,

'：ZBAD=ZBDG=NAFB,

：./BFD=ZAFB.

图2

(3)如图3,作点。关于直线AF的对称点D',连接MT、DD',作E"〃必T交4c于点H,则8尸垂直

平分DD',

：.D'F=DF,D'M=DM,

;MF=MF,

：.△D,MF^ADMF,

：.ZEHF=AMD'F=ZMDF,

■:NEDF+NMDF=18G°,/EHA+/EHF=180°,

：.ZEDF=ZEHA,

:ZEFD=ZAFB=ZEAH,EF=AE,

:.LEFD<AEAH(AAS),

:.DF=AH,

Ag__EF^HF

7=；DF=DF,

MFMFD'F

•AE二HF二AF-AH二AF-DF二AF

=

"MF"DFDF=DF=OF-1'

;AF=kDF,

A

图3

5.（2021•铜仁中考）如图，在△N8C中，ZACB=90a,8c=6伤加，AC=12cm.点尸是C4边上的一动点，

点尸从点C出发以每秒2c加的速度沿C4方向匀速运动，以CP为边作等边△CP。（点8、点。在NC同侧），

设点P运动的时间为x秒，△NBC与△CP0重叠部分的面积为S.

（1）当点。落在△NBC内部时，求此时△NBC与△CPQ重叠部分的面积S（用含x的代数式表示，不要求写x

的取值范围）；

（2）当点0落在N8上时，求此时△NBC与△CP。重叠部分的面积S的值；

（3）当点0落在△N8C外部时，求此时△/5C与△CP。重叠部分的面积S（用含x的代数式表示）.

解：（1）如图1中，当点。落在△N8C内部时，S=Y?X（2x）2=丁泉2.

图1

（2）如图2中，当点0落在N8上时，过点。作。于

B

'：ZQHA=ZACB=90°,

：.QH//BC,

・QH=AH

..而AC，

・«x=12-x

••—-----，

67312

...x=4,

ACP=8,CH=PH=4,

.•.5=^AX82=16V3.

4

(3)如图3中，点0落在△/BC外部时，设CQ交AB于N,PQ交AB于M,过点N作4c于“，过点M

作⑷L4c于J,作NT//PQ交AC于T.

由(2)可知，CH=HT=4,CT=NT=8,A7f=4«，4T=4,

•S&BCN=-XX4=125/3,

,JNT//PM,

：.△AMPs^ANT,

•虹=町

"ATNH'

•12-2x=MJ

:而=12a-2心,

_=XX2

•'•S=S^ABCS^BCN~5A^P-^-6A/312-12A/3-Ax(12-2x)X(=-2A/3X+24^/3Y-

48«(4<xW6).

6.(2021•湖北中考)已知△N8C和△DEC都为等腰三角形，AB=AC,DE=DC,ZBAC=ZEDC=n°.

⑴当n=60时,

①如图1,当点。在/C上时，请直接写出与ND的数量关系：BE=AD

②如图2,当点。不在NC上时，判断线段与ND的数量关系，并说明理由;

(2)当〃=90时,

①如图3,探究线段3E与ND的数量关系，并说明理由;

②当BE〃AC,AB=3圾,时，请直接写出。C的长.

图1图2图3

解：（1）①当"=60时，△4BC和△DEC均为等边三角形,

：.BC=AC,EC=DC,

又，：BE=BC-EC,

AD=AC-DC,

：.BE=AD,

故答案为：BE=AD；

②BE=AD,理由如下：

当点。不在NC上时，

VZACB=ZACD+ZDCB=60°,ZDCE=ZBCE+ZDCB=60°,

ZACD=ZBCE,

在△/CD和△BCE中，

'AC=BC

<ZACD=ZBCE>

kDC=EC

AAACD^^BCE(SAS),

；.AD=BE；

（2）@BE=»/2AD,理由如下：

当”=90时，在等腰直角三角形。EC中：]£=sin45。"1,

EC2

在等腰直角三角形/8C中：—=in45°=-

BCs'2

VZACB=ZACE+ZECB=45°,ZDCE=ZACE+ZDCA=45°,

ZECB=ZDCA

在△DQ4和△ECB中，

'DC'AC贝

<EC=BC

LZDCA=ZECB

△DCAS^ECB,

.ADV2

•------=-----,

BE2

②DC=5或JW，理由如下：

当点。在△48C外部时，设EC与交于点尸，如图所示：

,:AB=3AD=\

由上可知：AC—AB—3\[2'2E=J^AD=M，

%：BE"AC,

ZEBF=ZCAF=90°,

而NEFB=NCFA,

：.△EFBs^CFA,

.EFBFBE=也=1

"CF"AF'AC有7T

:.AF=3BF,而4B=BF+AF=3a，

：'BF=\*37^=邛^，

在中：吁向高乂加）2+（平）2:平,

又,?CF=3EF=3X5衣=至返，

44

：.EC=EF+CF：(或EC=4£户=5&),

在等腰直角三角形DEC中，DC=EC・cos45°=5&X返=5.

2

当点。在△4BC内部时，过点。作D8L/C于〃

,:AC=3近,AD=\,ZDAC=45°

:.AH=DH=返，CH=AC-AH=^f^,

22

CD=VDH24CH2=(^)2+(^-)2=

综上所述，满足条件的CD的值为5或丁石.

7.(2020•吉林中考)如图，△N8C是等边三角形，AB=4cm,动点P从点/出发，以2c加/s的速度沿48向点8

匀速运动，过点尸作尸0LAB,交折线/C-C5于点Q,以尸。为边作等边三角形PQD,使点/,。在PQ异

侧.设点尸的运动时间为x(s)(0<x<2),△尸。。与△48C重叠部分图形的面积为y(cm2).

(1)AP的长为2xcm(用含x的代数式表示).

(2)当点。落在边BC上时，求x的值.

(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

解：(1):动点P从点N出发，以2c加/s的速度沿向点8匀速运动,

.'.AP的长为2xcm；

故答案为：2x；

(2)当点。落在8c上时，如图1,

BP=AB-AP=4-2x,

：.ZQPA=90°,

・・•△尸0D等边三角形，△Z5C是等边三角形,

=ZB=ZDPQ=60°,PQ=PD,

；./BPD=3G°,

：・NPDB=90°,

C.PDLBC,

：.AAPQ^ABDP(AAS)f

：.BD=AP=2x,

■:BP=2BD,

・・4—2x4x,

解得x=2；

3

(3)①如图2,当0<xW2时，

:在RtZ\/P0中，AP=2x,ZA=60°,

：.PQ=AP-tan60°=2心，

•.•△P0D等边三角形，

；•SAP”=,X2•3x=3落

所以y=3j§r2；

②如图3,当点。与点C重合时，

图3

此时CPLAB,

所以/尸=145,即2x=2,

2

解得x=l,

所以当2<xWl时，如图4,设PD、0D与8C分别相交于点G、H,

3

图4

\9AP=2x,

：.BP=4-2x,/。=2/尸=4x,

:.BG=LBP=2-X

2

:.PG=4^pG=M(2-x),

2

.\SAPBG=^LXBG-PG=^(2-X),

22

'：AQ=2AP=4x,

：.CQ=AC-AQ=4-4x,

:・QH=M：Q=M(4-4X),

:•SAQCH="CQ・QH=®(4-4x)2,

~22

■:S“BC=，X4X2«=4近

•'•S四边形PGHQMSAJBC-S^PBG-S^QCH_S"PQ

=4A/3-—(2-x)2一返(4-4x)2-±X2xX2JSv

222

=-生氏2+i8«r-6A/3)

2

所以尸-2限好+18份-6正；

③如图5,当l<x<2时，点。运动在3c边上,

设与BC相交于点G,

图5

此时PG=8P・sin60°=(4-2x)X(■=«(2-x),

<PB=4-lx,

：.BQ=2BP=2(4-2x)=4(2-x),

:・BG=LBP=2-x,

2

:.QG=BQ-BG=3(2-x),

・••重叠部分的面积为:

S△/0G=/XPG.QG=£X«(2-XA3(2-x)=^3,(2-x)2

所以y=挈.(2-X)2.

综上所述：y关于x的函数解析式为：

当OVxWZ时，y=3y/3^2；

3

当2<xWl时，y=-见返P+18心-6«；

32

当l<x<2时，y=^!^(2-x)2.

2

8.(2020•牡丹江中考)在等腰△N8C中，AB=BC,点。，£在射线比1上，BD=DE,过点£作£尸〃BC,交射线

C4于点尸.请解答下列问题:

图①图②图③

(1)当点£在线段上，CD是△/C8的角平分线时，如图①，求证：AE+BC=CF；(提示：延长CD,FE

交于点M.)

(2)当点£在线段A4的延长线上，CD是△NC3的角平分线时，如图②；当点£在线段8/的延长线上，CD

是△NC2的外角平分线时，如图③，请直接写出线段/E,BC,C尸之间的数量关系，不需要证明；

(3)在(1)、(2)的条件下，若DE=2AE=6,则CF=18或6.

解：(1)如图①，延长CD,FE交于点M.

;AB=BC,EF//BC,

：.ZA=ZBCA=ZEFA,

：.AE=EF,

C.MF//BC,

：.ZMED=ZB,ZM=ZBCD,

又,:NFCM=/BCM,

：.ZM=ZFCM,

:.CF=MF,

又■:BD=DE,

:.丛MED”ACBD(AAS),

：.ME=BC,

：.CF=MF=ME+EF=BC+AE,

即AE+BC=CF-,

图①

(2)当点E在线段A4的延长线上，CD是△4C8的角平分线时，BC=AE+CF,

如图②，延长CD,EF交于点、M.

由①同理可证四△CAD(AAS),

：.ME=BC,

由①证明过程同理可得出am=CF,AE=EF,

：.BC=ME=EF+MF=AE+CF；

当点E在线段BA的延长线上，CD是△NC2的外角平分线时，AE=CF+BC.

如图③，延长CD交跖于点

由上述证明过程易得△MED必△CBD（AAS）,BC=EM,CF=FM,

又,：AB=BC,

NACB=NCAB=ZFAE,

'：EF//BC,

：.NF=ZFCB,

：.EF=AE,

：.AE=FE=FM+ME=CF+BC；

（3）C尸=18或6,

当。£=2/E=6时，图①中，由（1）得：AE=3,BC=AB=BD+DE+AE=15,

：.CF=AE+BC=3+15=18；

图②中，由（2）得：AE=AD=3,BC=AB=BD+AD=9,

:.CF=BC-AE=9-3=6；

图③中，DE小于幺E,故不存在.

答案：18或6.

9.（2020•泰安中考）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形,

N/C2与NEC。恰好为对顶角，/ABC=/CDE=90°,连接AD,48=20,点尸是线段CE上一点.

探究发现：

（1）当点尸为线段CE的中点时，连接。尸（如图（2））,小明经过探究，得到结论：BDLDF.你认为此结论

是否成立？是.（填“是”或“否”）

拓展延伸：

（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BDLDF,则点尸为线段CE的中点.请判断此结论是否成立.若成立,

请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

问题解决：

（3）若4B=6,CE=9,求的长.

解：（1）如图（2）中,

图（2）

VZ££>C=90°,EF=CF,

：.DF=CF,

：.ZFCD=ZFDC,

：N4BC=90°,

：.ZA+ZACB=90°,

,:BA=BD,

：.ZA=ZADB,

'：/ACB=NFCD=ZFDC,

ZADB+ZFDC=90°,

：・/FDB=90°,

：.BD±DF.

故答案为是.

(2)结论成立：

理由：•:BDJLDF,EDLAD,

：.ZBDC+ZCDF=90°,ZEDF+ZCDF=90°