人教版九年级数学重难点专项突破：二次函数综合之“线段周长”问题（原卷版+解析）

重难点专项突破01二次函数综合之“线段周长”问题

【知识梳理】

(1)线段的数量关系

此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对

应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其

只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未

知数的值；

(2)线段最值问题

此类问题通常有两类：

①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题

目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段

的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；

②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，

使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个

对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值；

(3)周长最值问题

此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转

化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长

的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2).

：」【考点剖析】

题型一：线段的数量关系

1.(2023•福建厦门•厦门一中校考模拟预测)抛物线w-f+bx+c经过点4(4,0),与V轴交于点B,对称

轴为x=J,点尸是x轴上一点，过点尸作垂直于无轴的直线分别交抛物线和直线于点E和点

⑴求二次函数的表达式；

(2)若E、F、尸三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)时，求点P的坐标；

⑶分别过点E、尸向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N,矩形£73由与此抛物线相交，抛物

线被截得的部分图象记作G,G的最高点的纵坐标为机，最低点纵坐标为“，当%-〃=20尸时，求点尸的

坐标.

题型二：线段最值问题

2.（2023・上海•九年级假期作业）如图，已知抛物线y=-x2+5,抛物线居与6关于点（1,0）中心对

称，“与尸2相交于48两点，点〃在抛物线耳上，且位于点/和点2之间；点N在抛物线用上，也位

于点/和点8之间，且MNLx轴.

⑴求抛物线Fz的表达式；

⑵求线段MN长度的最大值.

3.（2023・内蒙古•内蒙古师范大学附属学校校考三模）如图，抛物线y=/+bx+c与x轴交于/、g两点,

8点坐标为（3,0）.与7轴交于点（0,3）.

⑴求抛物线的解析式;

(2)点P在X轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线3c交于点瓦与y轴交于点尸，求PE+EF

的最大值；

⑶点。为抛物线对称轴上一点.当△3CD是以3c为直角边的直角三角形时，求点。的坐标.

4.(2023•黑龙江绥化•统考中考真题)如图，抛物线％=办2+以+。的图象经过A(-6,0),8(-2,0),

C(0,6)三点，且一次函数＞=丘+6的图象经过点B.

⑴求抛物线和一次函数的解析式.

(2)点E,尸为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点尸的左侧.这样的

E,F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由.

2

⑶将抛物线yi=ax+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线内，此抛物线的图象与*轴交于M,

N两点点在N点左侧).点尸是抛物线内上的一个动点且在直线NC下方.已知点尸的横坐标为

机.过点尸作尸DLNC于点O.求加为何值时，+有最大值，最大值是多少？

5.(2023・全国•九年级专题练习)如图，已知抛物线与x轴交于4(1,0)和3(-5,0)两点，与>轴交于点

C.直线y=-3x+3过抛物线的顶点尸.

⑴求抛物线的函数解析式；

⑵若直线X=祖（-5</77<0）与抛物线交于点E,与直线BC交于点F.

①当政取得最大值时，求加的值和跖的最大值；

②当A£FC是等腰三角形时，求点E的坐标.

题型三：周长最值问题

6.（2023・湖南张家界•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=o?+b尤+c的图象与

x轴交于点4（-2,0）和点3（6,0）两点，与y轴交于点C（0,6）.点。为线段BC上的一动点.

⑴求二次函数的表达式；

⑵如图1,求△AOZ）周长的最小值；

⑶如图2,过动点。作DP〃AC交抛物线第一象限部分于点P,连接尸记ARS与的面积和

为S,当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值.

【过关检测】

一、单选题

1.（2020春・福建龙岩•九年级校考阶段练习）P是抛物线y=x2—4x+5上一点，过点P作PM，x轴，PN±

y轴，垂足分别是M,N,则PM+PN的最小值是（）

115

A.3B.—C.-D.5

44

2.（2023•山东临沂•统考二模）如图，二次函数图象经过4（2,0）,。（0,0）且有最小值-1,若/点关于y轴

的对称点为5点，过2作了轴平行线交抛物线于点C,在的斜边AC上有一动点。，过。作

DELBC于E,。尸，AB于R则£尸的最小值为（）

Q

A.6B.-y/5C.2-y/5D.4A/5

3.（2023•山东济宁•统考一模）如图,抛物线y=a（x+3）（x-l）经过点C（0,3）,点P（版小从点/出发,

沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴/向下运动，给出下列说法：

①4=-1:

②抛物线的对称轴为九二-1；

③当点尸，B,C构成的三角形的周长取最小值时，n=l；

④在点尸从点/运动到顶点的过程中，当时，△PAC的面积最大.

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③

4.（2022春•全国•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=--2x+c的图象与x轴交

于/、C两点，与y轴交于点8（0,-3）,若尸是x轴上一动点，点。（0,1）在y轴上，连接PD,则

5.（2023・全国,九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+3x-4的图象与x轴交于

4、C两点，与y轴交于点5,若P是x轴上一动点，点0（0,2）在了轴上，连接尸。，则PQ+^PC的

最小值是（）

A.6B.2+|72C.2+3行D.3行

6.（2022秋•浙江温州•九年级统考阶段练习）如图，抛物线y=-/+2x+l交x轴于/,8两点，交y轴于

点C,点。为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点£,点G,尸分别在x轴和y轴上，

二、填空题

7.（2023•江苏连云港•校考三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数、=乎/-岑尤-旧的图象与x

轴交于点4C两点，与〉轴交于点8,对称轴与x轴交于点D,若P为y轴上的一个动点，连接尸。，则

^PB+PD的最小值为.

8.（2023秋•河北秦皇岛•九年级秦皇岛市第七中学校考期末）如图，已知二次函数图像的顶点坐标为

M（2,0）,与y轴交于点8（0,2）,直线y=x+m与该二次函数的图像交于A,B两点，D是线段

AB上的一个动点，过。作x轴的垂线交二次函数的图像于点E.则线段DE的最大值为

9.（2023•江苏宿迁・统考一模）如图，抛物线y=/+2x-3交x轴于43两点.点P为x轴下方抛物线上

任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线3尸、AP分别交抛物线的对称轴于点M、

N.OW+CN的值等于.

10.（2023•吉林长春・统考一模）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A（2,-2）在抛物线

y=-x2+k±.,过点A作>轴的垂线，交抛物线于另一点8,点C、。在线段上，且C、。两点关于

y轴对称，过点C作无轴的垂线交抛物线于点E.连接EO,若CE=2CD,则线段CD的长为.

IL（2023秋•广西南宁•九年级南宁十四中校考开学考试）如图抛物线y=-/-4x+5与x轴交于A,8两

点，与>轴交于点C,点尸是抛物线对称轴上任意一点，若点D,E,歹分别是BC,BP,PC的中点，

连接£>E,DF,则DE+Z）厂的最小值为.

39

12.（2023春•福建泉州•九年级福建省永春第一中学校考期中）如图：二次函数>=f+3x+：的图象与

x轴交于/、B两点（点/在点3的左侧）与歹轴交于点C,顶点为点D.

（1）在抛物线的对称轴上找一点P,使3P-CP的值最大时，则点尸的坐标为一；

（2）在抛物线的对称轴上找一点P,使E4+巫尸。的值最小时，则点尸的坐标为

10

13.（2023•四川•校联考模拟预测）已知二次函数>-交x轴于AB（点/在8的左侧）两点，

平面上有任意点尸，使得24=2依，贝以上钻面积的最大值为.（用含有a的代数式表示）

14.（2023•四川宜宾,统考中考真题）如图，抛物线、=依2+"+。经过点人（-3,0）,顶点为“（-I,%）,且抛

物线与，轴的交点3在（。，-2）和（0,-3）之间（不含端点），则下列结论：

VI；

①当一3WxWl时，y<0；

②当AABM的面积为孚时，4=¥；

③当AABM为直角三角形时，在“03内存在唯一点P,使得尸A+PO+P3的值最小，最小值的平方为

18+96

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

15.（2023•全国•九年级专题练习）如图，抛物线y=+bx+c经过点A（-3,0）,顶点为“（-1,加），且抛物

线与>轴的交点2在（。，-2）和（0,-3）之间（不含端点），则下列结论：

①当—3W尤<1时，y<l；

②当AABM的面积为孚时，

③当AABM为直角三角形时，在AAOB内存在唯一点P,使得Rl+PO+PB的值最小，最小值的平方为

18+9A/3.

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

三、解答题

16.（2023,浙江温州•温州市第二十三中学校考三模）如图，已知二次函数y=-gf+6x+c的图象与x轴

交于A（l,0）,B,与了轴交于点c[o,-£].8〃工轴交抛物线于点。.

（1）求b,c的值.

⑵已知点E在抛物线上且位于无轴上方，过E作〉轴的平行线分别交AB,CD于点凡G,且GE=2GE>,

求点E的坐标.

17.(2023•浙江•九年级假期作业)直线％=x+6经过点4(1,0),抛物线％=/-2"+4a-6经过点

3(2,〃?)，其中。和》为实数.设抛物线％=1-2依+4°-6的顶点为"，过M作》轴的平行线交直线

%=x+b于点N.

⑴求》和加的值；

(2)当抛物线顶点M的纵坐标取得最大值时，求线段MN的值；

⑶求线段MN的最小值.

18.(2023•浙江•九年级假期作业)如图，在平面直角坐标系中，AAOC绕原点。逆时针旋转90。得到

△DOB,其中点/的坐标为(—1,0),CD=2.

⑴写出C点的坐标,B点的坐标；

(2)若二次函数;y=ox2+6x+c(awO)经过B,C三点，求该二次函数的解析式；

⑶在(2)条件下，在二次函数的对称轴/上是否存在一点P,使得B4+PC最小？若尸点存在，求出尸点

坐标；若尸点不存在，请说明理由.

19.(2023•江苏镇江•统考二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁=/+桁+。的图像与x轴相交于

点/、B,与了轴相交于点C,其中2点的坐标为(3,0),点〃为抛物线上的一个动点.

⑴二次函数图像的对称轴为直线x=l.

①求二次函数的表达式；

②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是；

③在②的条件下，连接OM,在。河上任意取一点尸，过点尸作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图

像交于点。，求线段PQ的最大值；

(2)过点M作3C的平行线，交抛物线于点N,设点M、N的横坐标为加、"，在点〃•运动的过程中，试问

帆+〃的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值.

20.(2023•辽宁・统考中考真题)如图，抛物线yn-gd+bx+c与x轴交于点A和点8(4,0),与＞轴交于

⑴求抛物线的解析式；

(2)点E在第一象限内，过点E作跖〃y轴，交BC于点F,作轴，交抛物线于点7/,点H在点E的

左侧，以线段匹,段/为邻边作矩形EFG”,当矩形EFG”的周长为11时，求线段Ea的长；

⑶点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标.

重难点专项突破01二次函数综合之“线段周长”问题

【知识梳理】

（1）线段的数量关系

此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对

应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其

只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未

知数的值；

（2）线段最值问题

此类问题通常有两类：

①设出关键的点的未知数（通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标），通过题

目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段

的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；

②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，

使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个

对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值；

（3）周长最值问题

此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转

化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长

的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同（2）.

【考点剖析】

题型一：线段的数量关系

1.（2023・福建厦门•厦门一中校考模拟预测）抛物线y—f+bx+c经过点A（4,o）,与V轴交于点3,对称

7

轴为％=点P是x轴上一点，过点尸作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线于点E和点厂.

⑴求二次函数的表达式；

（2偌E、F、尸三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点尸的坐标；

⑶分别过点E、P向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N,矩形项WF与此抛物线相交，抛物

线被截得的部分图象记作G,G的最高点的纵坐标为机，最低点纵坐标为“，当〃.〃=2OP时，求点尸的

坐标.

7

【答案］⑴y一+”2

（2乂-1,0）,匕0

⑶尸（6,0）

【分析】（1）由抛物线的对称轴方程先求解b,再把4（4,0）代入即可得到c,从而可得答案；

（2）先求解抛物线与x轴另一交点［J,。］；直线AB:y=f+2,设P（r,0）,则/,-产+夕+2）,

下，-1+2）,再分四种情况讨论：①当0</<4时，PE=2PF,②当。4时，PE=2PF,③当

「<一；时，PE=PF,④当-：<f<0时，PF=2PE,再建立方程求解即可.

（3）由题意得：m-n=2\t\,如图，①当0<t<4时，矩形与抛物线只有一个公共点E,不合题意，舍；

②当f<0时，最高点为B，最低点为E,③当/>4时，矩形边界最高点为最低点为E,再建立方程

求解即可.

7

【详解】（1）解：：抛物线y—V+Zu+c经过点4（4,0）,对称轴为尤

•一°_7,7

,,x=---=—,b=一,

-242

7

代入点A（4,0）,得：0=—16+,x4+c,c=2,

27个

y——xH—%+2：

2

（2）如图，

7

令一九2+一尤+2=0,

2

贝！）兀=一|■或x=4；

.•.抛物线与X轴另一交点，g,0

QA（4,0）,3（0,2）,

*'•直线ABy=——x+2,

设尸&。），则

①当0<力<4时，PE=2PF,

-t2+^t+2=2（-^-t+2],r=L或4（舍）

22）2

②当7>4时，PE=2PF,

解得：f=g或4,都不符合题意，舍去，

③当时，PE=PF,

解得：r=-i或4（舍）

④当一g<f<0时，PF=2PE,

--t+2=2\-t2+-t+2\"J或4（舍）

2I2J

综上，尸点的坐标为：（TO）,g，°]；

（3）由题意得：m—n=2|^|,如图,

①当0</<4时，矩形与抛物线只有一个公共点石，不合题意，舍;

②当，V。时，最高点为尸，最低点为£1,

—Z+2—|/-|—/■+2]=-2%,

2I2J

，=0（舍），或，=2（舍），

③当，>4时，矩形边界最高点为尸，最低点为

「.[一,/■+2^—/2+—t+2^=2t,t2_4t=2t,

t=0（舍），或，=6,

.•.尸（6,0）.

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，清晰的分

类讨论是解本题的关键.

题型二：线段最值问题

2.（2023•上海•九年级假期作业）如图，已知抛物线式］：y=-f+5,抛物线F?与月关于点（1，。）中心对

称，片与工相交于4,5两点，点/在抛物线耳上，且位于点/和点3之间；点N在抛物线尸2上，也位

于点/和点2之间，且MN_Lx轴.

⑴求抛物线工的表达式；

⑵求线段长度的最大值.

【答案】⑴y=（x-2）2-5

(2)8

【分析】（1）先求出抛物线片：〉=-犬+5的顶点坐标为（0,5）,然后求出点（0,5）关于（1,0）对称后的点坐

标为(2,-5),再抛物线尸2的解析式为：y=(x-2尸-5；

(2)先求出/、8两点横坐标分别为-1和3,设^(.,4+5),N[a,(a-Z)，-5]其中一1<。<3,则MV=

-2(a-l)2+8,求出最大值即可.

【详解】⑴解：抛物线耳:y=-/+5的顶点坐标为(0,5),

点(0,5)关于(W)对称后的点坐标为(2,-5),

♦.•抛物线居与抛物线匕关于(1,0)成中心对称，

抛物线尸2的解析式为：y=(x-2)2-5.

(2)解：：抛物线匕：>=一炉+5与居：y=(无一2)2-5交于B,

令-%2+5=(x-2)~—5,

解得：x=-l或x=3,

则3两点横坐标分别为-1和3,

设仆,--+5),A?[a,(«-2)z-5],其中-l<a<3,

贝I]削=_/+5_[(°_2)2_5]=_2(?+44+6=-2(<z-l)2+8,

.•.当a=l时，MN最大为8.

【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合,

利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值.

3.(2023•内蒙古•内蒙古师范大学附属学校校考三模)如图，抛物线y=Y+Zzx+c与x轴交于4B两点,

8点坐标为(3,0).与y轴交于点(0,3).

备用图

⑴求抛物线的解析式;

(2)点尸在x轴下方的抛物线上，过点尸的直线y=x+7”与直线BC交于点£,与y轴交于点R求PE+EF

的最大值；

⑶点。为抛物线对称轴上一点.当△BCD是以8C为直角边的直角三角形时，求点。的坐标.

【答案】⑴抛物线的解析式为产％2-叔+3

(2)当1=2时，PE+EF的最大值为4&

⑶点。的坐标为(2,5)或(2,-1)

【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式；

(2)得8C的解析式为，=-了+3,先证明AECF为等腰直角三角形，作轴于"，/石〃y轴交3C

于G,如图1,则△EPG为等腰直角三角形，PEqPG,设网产_布+3)(1</<3),则G«,T+3),接

着利用/表示PF、PE,所以PE+EF=2PE+PF=-丘干+3&+&，然后利用二次函数的性质解决问

题；

(3)如图2,抛物线的对称轴为直线x=-1-4=2,设。(2,y),利用两点间的距离公式得到BC?=18,

£>C2=4+(J-3)2,BD2=i+y2,讨论：当△BCD是以BC为直角边，8。为斜边的直角三角形时，

18+4+(y-3)2=l+y2；当ABC。是以BC为直角边，8为斜边的直角三角形时，

4+(y-3)2=1+/+18,分别解方程求出/即可得到对应的。点坐标；

【详解】(1)把5(3,0),C(0,3)代入y=Y+"+c

f9+3Z?+c=0[b=-4

得。,解得，，

[c=3[c=3

抛物线的解析式为y=9-4x+3；

(2)由题意可得BC的解析式为，=-》+3,

■直线y=x-相与直线y=x平行，

直线，=-了+3与直线y=x—〃?垂直，

:.ZCEF=90°,

・•.AEb为等腰直角三角形，

作尸轴于卢G〃y轴交BC于G,如图1,AEPG为等腰直角三角形，PE=—PG,

2

设P02—4,+3)(1</V3),贝lj+3),

:.PF=4iPH=®，尸G=T+3—(*—4，+3)=—/+3，，

：.PE占G=£当,

222

/.PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF

=-后+3"+"=一后+4"=-0«-2)2+4后，

当，=2时，PE+历的最大值为4后；

-4

(3)如图2,抛物线的对称轴为直线x=-二=2,

2

设。(2,y),贝！］BC。=3。+3?=18,DC2=4+(^—3),BD1=(3—2)+y~=l+y~,

当△BCD是以8C为直角边，为斜边的直角三角形时，

BC2+DC2=BD2,即18+4+(y—3)2=l+y2,

解得y=5,

此时。点坐标为(2,5)；

当△BCD是以8c为直角边，8为斜边的直角三角形时，

BC2+DB2=DC2,即4+(y-3)2=1+/+18,

解得尸T，

此时。点坐标为(2,-1)；

综上所述，。点坐标为(2,5)或(2,T).

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征

和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标

与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题.

4.(2023•黑龙江绥化•统考中考真题)如图，抛物线％=渥+云+。的图象经过A(-6,0),5(-2,0),

C(0,6)三点，且一次函数l="+6的图象经过点8.

⑴求抛物线和一次函数的解析式.

(2)点E,尸为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点尸的左侧.这样的

E,尸两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由.

⑶将抛物线y^ajc+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线必，此抛物线的图象与》轴交于M，

N两点(以点在N点左侧).点P是抛物线％上的一个动点且在直线NC下方.已知点尸的横坐标为

m.过点P作尸D_LNC于点。.求加为何值时，+有最大值，最大值是多少？

2

【答案】⑴%=#+4无+6,y=3x+6

(2)满足条件的E、尸两点存在，g(-8,2),E式4,-2),£3(-4,4)

⑶当机=；时，。+2尸£)的最大值为"逑

3224

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)①当2C为正方形的边长时，分别过8点C点作旦旦，8。，KBLBC,使用B=E?B=BC,

CF\=CFz=BC,连接月月、E2F2,证明△84区出△CBO(AAS),得出耳乜=80=2,HlB=0C=6,

则&(-8,2)同理可得，&(4,-2)；②以BC为正方形的对角线时，过BC的中点G作石3玛，8C,使Ej玛与

8C互相平分且相等，则四边形为正方形，过点与作与轴于点N,过点8作于点

222

M,证明△CEjN之△&&W(AAS),得出用3=26，在RtA^NC中，E3C=CN+E3N,解得0V=2

或4,进而即可求解；

(3)得出ACON是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则HD=DP=aHP,点尸在抛物线内

2

上，且横坐标为加，得出“(加,-加+6),进而可得HD=。尸=1(_工1+3n7)=-也疗+述加，则

2I2J42

CD+^PD=-^H(m-^]+竺迪，根据二次函数的性质即可求解.

2813J24

【详解】(1)解：把4-6,0),5(-2,0),C(0,6)代入M=o?+bx+c

36a-6b+c=0

得＜4〃一2。+。=0

c=6

一1

a=­

2

解得＜。=4

c=6

1,

y1=—X9+4-x+6

把3(—2,0)代入广辰+6得左=3

y=3%+6

(2)满足条件的£、尸两点存在，4(-8,2),E2(4,-2),E3(-4,4)

解：①当5c为正方形的边长时，分别过口点。点作耳与，5C,^IBC,使RB=E2B=BC,

CFX=CF2=BC,连接耳片、E2F2.

过点&作&轴于％

・.・BE,=CB,ZBOC=NEiH[B=90°=AEXBC,

又NBEi&=90°-ZEiBHl=ZCBO,

：.之△CBO(AAS),

:.E[H、=BO=2,H[B=OC=6

.•.&(-8⑵

同理可得，£(4,-2)

②以3C为正方形的对角线时，过2C的中点G作&玛，BC,使巴玛与5c互相平分且相等，则四边形

鸟C为正方形，

过点Es作E3N1y轴于点N,过点8作BM1E3N于点M

又NBE3M=90°-ZCE3N=ZE3CN

△CEiN^^E3BM(AAS)

/.CN=E3M,BM=E3N

,/BC=2M

：.EsG=BG=®

：.E.B=2-45

22

在RtA£3^C中，E3c2=CN+E3N

(2V5)2=C7V2+(6-C^)2

解得CN=2或4

当CN=4时，凡(2,2),此时点E在点尸右侧故舍去；

当OV=2时，£3(-4,4).

综上所述：g(-8,2),E2(4,-2),£3(-4,4)

119

(3)•••%=5Y+4x+6向右平移8个单位长度得至IJ抛物线%=5(x—8)-+4(x-8)+6

19

当％=0，BP-(x-8)+4(x-8)+6=0

解得：玉=2,%=6

AM(2,0),N(6,0)

•・•内过M，N,C三点

19

>2=a%一4%+6

：.ON=OC

・•.△CON是等腰直角三角形

VZCHG=45°,ZGHP=90°

：.ZPHD=45°

又PD1CN

••△”PD是等腰直角三角形

*.HD=DP^—HP

2

..点尸在抛物线以上，且横坐标为加

*.CG=GH=m

CH=Cm

■,>CN=f+6

H(m,-m+6)

*.HP~-m+6-1—m2-4m+6|=--m2+3m

12J2

0230

=------mH-------m

42

•.CD+-PD^CH+HD+-PD^CH+-PD=0m+-f-—m2+逑m

2222(42J

169夜

H-------------

24

.•.当=?时，的最大值为竺逑.

3224

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数

的性质是解题的关键.

5.（2023•全国•九年级专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于4（1,0）和川-5,0）两点，与>轴交于点

C.直线y=-3x+3过抛物线的顶点尸.

⑴求抛物线的函数解析式;

(2)若直线X=7M-5<m<0)与抛物线交于点E,与直线BC交于点F.

①当所取得最大值时，求小的值和E尸的最大值；

②当AEFC是等腰三角形时，求点E的坐标.

【答案】(l)y=-%2-4x+5

(2)①当根=，时，E尸有最大值，最大值为争②(-3,8)或(-4,5)或(忘-5,6忘-2)

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)①先求出C(0,5),进而求出直线BC的解析式为>=尤+5,则网〃〜病-4〃/+5),F(m,m+5),进

一步求出砂+彳，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线天="与x轴交于“，

先证明ASHF是等腰直角三角形，得到NEEC=NBFH=45°；再分如图3-1所示，当EC=FC时，如图3-

2所示，当EF=EC时，如图3-3所示，当£F=CF时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可.

【详解】(1)解：•••抛物线与x轴交于4(1,0)和3(-5,0)两点,

抛物线对称轴为直线尤=三生=-2,

在y=_3x+3中，当x=-2时，y=9,

抛物线顶点P的坐标为(-2,9),

设抛物线解析式为y=a(x+2)2+9,

Aa(l+2)2+9=0,

••Cl——1,

.•.抛物线解析式为y=-(尤+2)2+9=-炉-4x+5

(2)解：①：抛物线解析式为,=一/一4戈+5,点C是抛物线与〉轴的交点，

/.C(0,5),

设直线5c的解析式为y=丘+么，

.[~5k+b{=0

'A=5，

k=\

b=5

・,・直线BC的解析式为y=x+5,

・・・直线％=m(-5<m<0)与抛物线交于点心与直线3c交于点方

-4m+5),F(m,m+5),

EF=-rr^-4m+5—(m+5)

=-rrr-5m

(5?25

I2j4

V-l<0,

.・・当相=—|5时，所有最大值，最大值为2亍5；

x

②设直线元=机与x轴交于H,

；.BH=m+5,HF=m+5,

：.BH=HF,

瓦7F是等腰直角三角形，

NEFC=ABFH=45°；

如图3-1所示，当EC=FC时，

过点。作CG，EF于G,则G(m,5)

...点G为防的中点，

由(2)得E(m,-加2-4〃z+5),F(m,zn+5),

.-m2-4m+5+m+5

••—5,

2

.*•rrT+3m=0，

解得m=-3或%=0（舍去）,

/.E（-3,8）；

如图3-2所示，当EF=EC时，则AEFC是等腰直角三角形,

/.ZFEF=90°,即CE_LEF,

.•.点£的纵坐标为5,

—m2—4m+5=5,

解得〃z=7•或加=0（舍去）,

E（T,5）

图3-2

如图3-3所示，当EF=CV时，过点C作CGLEF于G,

同理可证ACFG是等腰直角三角形，

FG=CG=-m,

/.CF=在CG=-母m，

-nr—5m=-V2m,

/.m2+（5-0）m=0,

解得机=&-5或m=。（舍去）,

EF=CF=-V2x(V2-5)=5V2-2,板=也，

HE=6叵-2,

：.40-5,6&-2)

综上所述，点E的坐标为(-3,8)或(-4,5)或(应-5,60-2)

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综

合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

题型三：周长最值问题

6.(2023•湖南张家界•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数、=依2+法+。的图象与

x轴交于点A(-2,0)和点3(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6).点。为线段8C上的一动点.

⑴求二次函数的表达式；

⑵如图1,求△AOD周长的最小值；

(3)如图2,过动点。作O尸〃AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PA%,记与△尸即的面积和

为S,当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值.

【答案】⑴产-#+2尤+6

⑵12

【分析】(1)根据题意设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-6),将(0,6)代入求解即可;

(2)作点。关于直线3c的对称点E,连接EC、根据点坐特点及正方形的判定得出四边形03EC为

正方形，E（6,6）,连接AE,交BC于点D,由对称性眼回=|。。|,止匕时|。。|+|£凰有最小值为AE的长，再

由勾股定理求解即可；

（3）由待定系数法确定直线5c的表达式为y=-尤+6,直线AC的表达式为y=3x+6,设

P[m,-1m2+2m+6j,然后结合图形及面积之间的关系求解即可.

【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为y=a（x+2）（尤-6）,

将（0,6）代入上式得：6=«（0+2）（0-6）,

a=—1

2

所以抛物线的表达式为丁=-；/+2苫+6；

（2）作点。关于直线BC的对称点E,连接EC、EB,

•.•3（6,0）,C（0,6）,ZBOC=90。,

OB=OC=6,

：0、E关于直线BC对称，

二四边形O3EC为正方形，

风6,6）,

连接AE,交3c于点D,由对称性|。同=|。。|,

此时口。|+|D4]有最小值为AE的长，

AE=ylAB2+BE2=V82+62=10

,?/XAOD的周长为DA+OO+AO,

AO=2,。4+DO的最小值为10,

△AOD的周长的最小值为10+2=12；

(3)由已知点4(—2,0),B(6,0),C(O,6),

设直线BC的表达式为y=kx+b,

6k+b=0k=-l

将3（6,0）,C（0,6）代入>=丘+8中,

b=。,解得b=6

，直线BC的表达式为y=-x+6,

同理可得：直线AC的表达式为y=3x+6,

,/PD//AC,

：.设直线PD表达式为y=3x+a,

由（1）设尸（根，-g/+2根+6］，代入直线尸。的表达式

得：a=-—m2-m+6,

2

12

直线尸O的表达式为:y=3x——m—m+6,

2

121

y=-x+6x=—m+—m

84

由*Q12“，得，

y=3x——m-m+o11乙

2y二——m2——m+6

84

%苏-工优+6,

D

8484J

；P,。都在第一象限,

..S=S4PAD+S/\PBD=S△尸48_S4DAB

12c,

——m+2m+om2--m+6

J明24

=lx8r

84

3

——m+9m=-一6〃?)

2

一孤-3）一，

「・当相=3时，止匕时P点为13,—

「

【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问

题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键.

【过关检测】

一、单选题

1.（2020春・福建龙岩,九年级校考阶段练习）P是抛物线y=x2—4x+5上一点，过点P作PM_Lx轴，PN±

y轴，垂足分别是M,N,则PM+PN的最小值是()

、r11-5

A.3B.—C.—D.5

44

【答案】B

【分析】设点P的坐标为(m,m2-4m+5),构造出PM+PN的值与m的函数关系，利用二次函数的性质解

决问题即可.

【详解】抛物线y=x2-4x+5,A=16-20=-4<0,可知抛物线的值恒为正，

设P(m,m2-4m+5),

则PM=|m2-4m+5|,PN=|m|

当m<0时，PM+PN=|m2