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文档简介
2024学年第一学期九年级质量调研
数学样卷
(时间100分钟,满分150分)
考生注意:
1.本试卷含三个大题,共25题;
2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一
律无效;
3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或
计算的主要步骤.
一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)【下列各题的四个选项中,有且只有一
个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1.下列>关于x的函数中,一定是二次函数的是()
A.y-ax1+bx+cB.y-(x-5)2~x2
2,2
C.y=%+1D.y=—
x
【答案】c
【解析】
【分析】本题考查二次函数的识别,根据形如丁=融2+法+c(awo),这样的函数叫做二次函数,进行判
断即可.
【详解】解:A、当。=0时,y=ox?+bx+c不是二次函数,不符合题意;
B、y=(尤-5)2-炉=一10%+25,不是二次函数,不符合题意;
C、y^x~+l,是二次函数,符合题意;
D、y=不是二次函数,不符合题意;
故选C.
2.抛物线y=必+%一定经过点()
A.(1,0)B.(-1,0)C.(2,4)D.(-2T)
【答案】B
【解析】
【分析】本题二次函数图象上点的特征,根据图象上的点的横纵坐标满足函数解析式,进行判断即可.
【详解】解:A、当x=l时,丁=仔+1=2,故函数图象不经过点(1,0);
B、当x=-L时,y=(—1)2—1=0,故函数图象经过点(—1,0);
C、当尤=2时,y=22+2=6,故函数图象不经过点(2,4);
D、当为=一2时,y=(—2『—2=2,故函数图象不经过点(一2,T);
故选B
3.下列两个三角形一定相似的是()
A.两个直角三角形B.有一个内角为40°的两个直角三角形
C,两个等腰三角形D.有一个内角是40。的两个等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定,根据相似三角形的判定方法,逐一进行判断即可.
【详解】解:A、两个直角三角形不一定相似,不符合题意;
B、根据两角相等的两个三角形相似,可以得到有一个内角为40°的两个直角三角形一定相似,符合题
忌;
C、两个等腰三角形不一定相似,不符合题意;
D、有一个内角是40°两个等腰三角形不一定相似,比如一个40°的角是顶角,一个40°的角为底角,
不符合题意;
故选B.
CD
4.如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,?D90?,如果对角线那么——的值是
AC
C.tanBD.cotB
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角函数比值关系,平行线的性质,熟悉掌握角三角函数的比值关系是解题的关键.
利用角的等量代换和三角函数的比值关系求解即可.
【详解】解:90?,
CD
cos/4C。-,
AC
•:AD//BC,
:.ZDCB=180°-ZD=180°-90°=90°,
•:ACLAB,
/.ZCAB=90°=ZDCB,
:.ZACD+ZACB=9Q°,ZB+ZACB=90%
ZB=ZACD,
CD
cosXACD==cosB,
AC
故选:B.
5.下列命题正确的是()
A.如果同=,卜那么&=6B,如果口和都是单位向量,那么a=6
C.a+(—a)=0D.如果a=(4中0),那么
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查命题与定理,平面向量,解答本题的关键是掌握平面向量的基本概念和性质.
由平面向量的基本概念和性质,即可判断.
【详解】解:A、两向量的模相等,方向不一定相同,故A选项不符合题意;
B、两单位向量的方向可能不同,故B选项不符合题意;
C、a+(—a)=0,故C选项不符合题意;
D、如果。=妨(%*0),那么£〃〃,正确,故D选项符合题意;
故选:D.
6.如图,两条不平行的直线4与直线4相交于点。,四条平行线分别交直线4于点A、B、C、D,分别
交直线,2于点4、B]、G、Dx,则有44]〃5用〃。£〃。〃.如果4。=3,OB}^BXC^2,
G,=4,那么在下列结果中,线段之差最大的是()
A.BD-ABB.OC-OA
C.OC-CDD.CD-OB
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例,根据平行线分线段成比例,分别求出线段之间的数量关系,逐一计
算,比较大小即可.
【详解】解::4。=3,0B[-BJCJ=2,ClDl—4,A\//BB{//CC,//DDX,
.AO_\O_3OB_OB{_XBC_B.Q_1
''OB~OB,F瓦—BG—,CD—CR~2'
3
:.A。=QOB,BC=OB,CD=2BC=2OB,
AB=OA+OB=^OB,OC=OB+BC=2OB,BD=BC+CD=3OB,
5131
BD—AB=3OB——OB=-OB,OC-OA=2OB——OB=-OB,
2222
OC-CD=Q,CD-OB=OB,
•:OB>-OB>0,
2
,CD—03的差最大;
故选D.
二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位
置】
x3x-y
7.已知一=那么——=.
>4y
【答案】—工##-0.25
4
【解析】
【分析】本题考查了代数式的运算,熟悉掌握运算法则是解题的关键.
•y-33JL*_y
根据一=:推出x=-y,再整体代入二义运算即可.
y44-y
x3
【详解】V-=-,
y4
3
;•x=—y,
4-
a31
.•・把x=3y代入工。可得:4:1,
4,丁丁.
故答案为:—.
4
8.如果抛物线y=(2—a)f+X—1的开口向下,那么a的取值范围是.
【答案】a>2
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质,根据抛物线开口向下可得出a>2,再结合二次函数的定义即可
求出答案.
【详解】解:根据题意可知:2—。<0且2—
解得:a>2,
故答案为:a>2
9.将抛物线y=-(九向右平移3个单位,得到新抛物线的顶点坐标是.
【答案】(4,0)
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移,根据平移规则:左加右减,上加下减,进行求解即可.
22
【详解】解:抛物线y=—(x—向右平移3个单位,得到:y=-(x-l-3)=-(x-4),
新抛物线的顶点坐标是(4,0);
故答案为:(4,0),
10.已知点3(%2,%)在函数y=-f+2x+l的图像上,如果石〉》2>1,那么%
力.(填“>”、"="、)
【答案】<
【解析】
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小,根据开口向下的抛物线上的点离对称轴越远,函数值越小,
进行判断即可.
【详解】解:=—V+2X+1,
抛物线开口向下,对称轴为直线x=-——=1,
-1x2
...抛物线上的点离对称轴越远,函数值越小,
*/x1>x2>l,
%—1>%2—1,
・•・X<%;
故答案为:<.
H.已知某二次函数一部分自变量1和函数值y的对应情况如表所示,根据表中信息可知这个函数图像的
对称轴是直线.
X・・・-4-2124・・・
y・・・11-511143・・・
【答案】x=-l
【解析】
【分析】本题考查根据抛物线的对称性求对称轴,找到表格中函数值相同的两个自变量的值,进行求解即
可.
【详解】解:由表格可知:当x=T和%=2时,函数值相等,
即:点(T/l)和(2,11)关于对称轴对称,
对称轴为直线%=三*=-1;
2
故答案为:x=-l.
12.如图,AD//BC,AC,相交于点。,如果S:S=2:3,那么凡.。:SVB℃的值是
4
【答案】-
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定,先根据同高三角形的面积之比等于底边长之比得到
OD:OB=2:3,再证明cAO”COB,最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答
案.
【详解】解:■:SA0D-.SAOB=2:3,
OD:OB=2:3,
-:AD//BC,
99A
---SAOD:SBOC=(OD):(OB)=4:9=-,
4
故答案为:—.
13.如图,在VABC中,点。、E分别在边AB、AC上,且&)=2A。,EC=2AE,连接DE,如
果A2=a,AC=b>那么。E=.(用含向量i、b的式子表示)
A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质,向量的线性运算,三角形法则求出BC,证明小DEs/xmc,
DF
求出一的值,即可得出结果.
BC
【详解】解:A8=a,AC=b^
BC=AC-AB=b-a,
VBD=2AD,EC=2AE,
:.AB=3AD,AC=3AE,
.AD_AE_1
AB-AC-3)
:.DE//BC,
:.AADE^AABC,
•DE_AE_1
"~BC~~AC~3'
:.DE^-BC,
3
一1-1-1-
/.DE=-BC=-b——a;
333
故答案为:-b—a.
33
14.在等腰VA3C中,AB=AC,如果A8:5C=3:2,那么sin/B4C的值是.
【答案】逑
9
【解析】
【分析】本题考查求角的正弦值,勾股定理.过点3作3r>J_AC,根据A5:5C=3:2,不妨设
AB=AC=3,BC=2,设CD=x,勾股定理列出方程求出。的长,进而求出6D的长,再根据正弦
的定义即可求解.
【详解】解:过点8作如图,设CD=x,
D
,/AB:5C=3:2,
...不妨设AB=AC=3,BC=2,贝U:AD=3-x,
在RtAADB中,BD?=AB?—AD?,
在RtACDB中,BD2=BC2-CD2,
•••AB--ADr=BC2-CDr,即:32-(3-^)2=22-x2,
2
解得:x=j,
.•.BDNBC-CD、母,
4A/2_
在Rt"Z53中,.人…BD34A历,
sinABAC=——==-----
AB39
故答案为:逑.
9
15.手影戏是一种独特的艺术形式,它通过手势和光影创造出生动的形象.它的原理是利用光的直线传
播,将手影投射到幕布上形成各种影像.如图,为了投影出一个动物造型C。,手的长度是15厘米,
AB//CD,光源。到手的距离OG是100厘米,手到幕布的距离是20厘米.此时CD的长
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质,先证明△。钻Saos,然后根据相似三角形的对应高
之比等于相似比求解即可.
【详解】解:根据题意,得OG=100,GH=23AB=15,OHLCD
:.OH=OG+GH=120,
':AB//CD,
△OABs2xocD,
VOHVCD,
ABOGHn15100
"CDOH'CD120)
解得CD=18,
经检验,CD=18是原方程的解,
的长度是18厘米,
故答案为:18.
16.如图,某商场开业,要为一段楼梯铺上红地毯,已知楼梯高A3=6m,坡面AC的坡度i=l:g,则至
少需要红地毯___________m.
【答案】14
【解析】
【分析】根据坡面AC的坡度i=1:],求出的长度,从而利用平移的知识可得红地毯的长度为A3+8C,
进而得出答案.
4
【详解】解:;AB=6m,坡面AC的坡度i=l:§=AB:BC,
44
BC=—AB=—义6=8m,
33
...红地毯的长度为AB+BC=6+8=14m,
故答案为:14.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,利用坡度求出3C的长度是解答本题的关键,另外要掌握平移
性质的运用.
17.平行于梯形两底的直线截梯形的两腰,当两交点分别是两腰的黄金分割点时,我们称这条线段是梯形
的“黄金分割线”.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AD=6,BC=10,点E、E分别在边
AB、CD±.(AE>BE),如果所是梯形ABCD的“黄金分割线”,那么EF=.
【答案】245+4
【解析】
【分析】本题考查黄金分割,相似三角形判定和性质,过点A作AG〃CD交所于点,,证明
FHAF
AAEH^AABG,得到——=——,求出的长,利用石H+EH求出跖的长即可.
BGAB
【详解】解:过点A作AG〃CD交所于点”,
;斯是梯形ABCD的“黄金分割线”,
AD//BC//EF,出=避二!_
AB2
四边形ADEfCAOCG均为平行四边形,
:.HF=CG=AD=6,
:.BG=BC-CG=4,
:AG//CD,
:.AAEHs^ABG,
.EHAEA/5-1
••--------,
BGAB2
•••EH=2有-2,
EF=EH+HF=2非+4;
故答案为:26+4.
18.如图,将一块含30。角的实心的直角三角板放置在桌面上,在桌面所在平面内绕着它的重心G逆时针
旋转180°.如果这块三角板的斜边长12厘米,那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为平方厘
【答案】1273
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质,旋转的性质,重心的性质,根据含30度角的直角三角形的性
质,求出VABC的面积,旋转的性质,重心的性质,推出且相似比为1:3,利用VA5C
的面积减去三个小三角形的面积求出重叠部分的面积即可.
【详解】解:如图,ZBAC=90°,ZB=30°,BC=12cm,
AC=—BC=6cm,AB=6AC=6s[3cm,
2
S诋=x6x6A/3=IsVScm2,
:G为重心,
AG:GN=2:1,
:VABC绕点G旋转180度,
AB//A'B',BC//B'C,AC//AC,AG=A'G,MG=NG,
:.AM:MG:GM=1:1:1,
:.AM:AN=1:3,
;BC//B'C,
:.AADE^AABC,
22
:.sADE:SABC=AM:AN=1:9,
2
**,SADE—gABC~2A/3CDI,
同理:SCGH=SBKP=gSABC=2百cm?,
2
・•・重叠部分的面积为:SARC-SCCH-SRKP-SADF=18^/3-3x243=IZA/SCHI;
故答案为:12A/3.
三、解答题(本大题共7题,满分78分)
2cos60°
19.计算:sin245°-
cot30°-tan45°
【答案】
2
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算,先把特殊角的三角函数值代入,然后再根据实数
的混合运算法则计算即可.
2cos60°
【详解】解:sin245°-
cot30°-tan45°
2x-
田2_2_
bJA/3-1
_11
—56-1
16+1
-21T
=_"
-2
_1
20.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-―9+及+。的顶点为£),
3
(1)为了确定这条抛物线,需要再添加一个条件,请从以下两个条件中选择一个:①它与y轴交点的坐
标是(0,—1);②顶点。的坐标为.你选择的条件是(填写编号),并求匕、c的值.
(2)由(1)确定的抛物线与X轴正半轴交于点A,求tan/QAO的值.
【答案】(1)②,&=|,C=1
⑵2
3
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用,正确的求出函数解析式,利用数形结合的思想进行求解是解题的关
键:
(1)选择②,写出顶点式,再转化为一般式求出匕、C的值即可;
(2)求出点A的坐标,过点。作轴,利用正切的定义,进行求解即可.
【小问1详解】
解:当选择条件为①时,只有一个点的坐标无法求出两个参数的值;
1、24122
故选择②,此时:y=--X-1)H---...X-\--X+1,
37333
721
・\力=一,c=1;
3
故答案为:②;
【小问2详解】
1,2
解:当丁=一一厂+—%+1=0时,
33
解得:西=3,%2=-1,
4(3,0),
OA—3,
过点。作DEJ_x轴,
4
:./〜八DE32.
tan/DAO==—=—
AE23
21.如图,在VA3C中,点D、E分别在边BC、AC上,应>=12,CD=15,且4L4D=NC.
(1)求线段AB的长;
(2)当NAD£=NC,/3=60°时,求△石。。的面积.
【答案】(1)18;
(2)—^3.
2
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理.
(1)根据:ZBAD=ZC,ZB=ZB,可证.ABXCBA,根据相似三角形的对应边成比例可得:
——=——,从而可求42的长度;
CBAB
(2)过点A作AM,3C,根据直角三角形的性质可求=9,利用勾股定理可求AM=9JL利用三
243/-
角形的面积公式可求3ABe=;-。3,因为NEM>=NC,ZADE=/C,可证LCD石s一蟀,根据
相似三角形的面积比等于相似比的平方可知SCDE=T指.
【小问1详解】
解:ZBAD=ZC,ZB=ZB,
ABD^CBA,
AB_BD
BD=12,CD=15,
BC=BD+CD=12+15=21,
AB_12
27—AB,
AB是线段,
AB>0,
:.AB=18;
【小问2详解】
解:如下图所示,过点A作AM,3C,
:.ZAMB=90°,
又・ZB=60°,
ZBAM=3Q°,
:.BM=-AB=9,
2
AM=ylAB2-BM2=V182-92=973,
:.SABC=^BC-AM=^x21x9y/3=^yj3,
ABAD=AC,ZADE=NC,
.-.ZBAD=ZADE,
DEAB,
CDEsCBA,
.CD_15_5
-CB―27—3'
,SCDEJ5?:25
"SCBA⑺81'
■.SCDE=—x—s/3=—s/3.
■CDE8122
22.如图,在VA3C中,ZBAC=90°,AB=AC,点E是边AB的中点,连接CE,作AELCE,
垂足为点E,连接族.
a
(1)求证:△EFBs^EBC;
DFr
(2)取边的中点。,连接DE,求证:一=V2.
EF
【答案】(1)见详解(2)见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质,等腰直角三角形的判定以及性质,三角形中位线的判
定以及性质,掌握这些判定定理以及性质是解题的关键.
EFEA
(1)先证明.EEAsAEC,由相似三角形的性质得出——=——,由线段中点的定义得出“4=班,等
EAEC
EFEB
量代换可得出——=——,结合NFEB=NBEC,进而可得出
EBEC
(2)取边的中点。,连接。尸,先证明,由相似三角形的性质得出
/EFB=/EBC=45。,/EBF=/DCF,连接AD交CF于点H,连接ED,利用三角形中位线的判
定以及性质,等腰直角三角形的判定得出CD=BD7BE。+DE=肥BE,再证明
CHDsAHF,FHDsAHC,再由相似三角形的性质进一步证明△OBSAEBF,最后根据
相似三角形的性质即可得出国=C2=0.
EFBE
【小问1详解】
证明:•.,440=90°,点E是边A3的中点,AFLCE于点片
AZEFA^ZEAC=9Q°,EA=EB,
:.ZFEA=ZAEC,
:..FEAsAEC,
.EF_EA
•,一,
EAEC
.EFEB
,•诟一法
1/ZFEB=ZBEC,
;•ZXEFBs^EBC.
【小问2详解】
解:取3C边的中点。,连接DE,
VZBAC=90°,AB=AC,
AZEBC=ZACB=45°,
•//XEFB^/XEBC,
•••ZEFB=ZEBC=45°,/EBF=ZDCF,
连接AD交C尸于点H,连接ED,
B
•・•点E是AB的中点,点。是3C的中点,
:.BE=-AB,DE,AC,DE//AC,ADIBC,
22
ADAC=ZDAB=-ABAC=45°,
2
:.BE=DE,ZBED=/BAC=90。,
CD=BD=y/BE-+DE2=④BE,
■:/CDH=ZAFH=90。,ZCHD=ZAHF,
:..CHD^AHF,
.PHCH
.DHFH
"~CH~^H'
VZAHC=ZDHF
:..FHDs.AHC,
ZDFC=ZDAC=45°,
ZDFC=ZEFB,
VZDCF=ZEBF,
ZXDCF^ZXEBF,
.―日
EFBE
23.火车作为我国重要交通运输形式之一,其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全.我国目
前轨道检测的主要方法是机械检测,通过使用机械传感器和无损检测设备(包括激光三角位移传感器、超
声波传感器等)来测量轨道的各种参数(几何尺寸、轨距、高差和曲率),从而判断轨道是否有损伤或缺
陷.某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究:
激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光,聚集目标物反射的
光,并在光接收元件上成像.一旦离目标物的距离发生改变,聚集反射光
阅读概述
的角度也会改变,成像的位置也随之改变.可以通过成像的位移来计算物
体实际的移动距离.
光学成像僮备—14
IIIIIIIIIIIIIIIIII
接收透慢
被测量物体从初始位置移动到最终位置,需要测量的是参考平面与目标测
量平面的距离,也就是图中点〃与点N之间的距离.假设激光通过接收
透镜后仍按照原直线方向传播,最后在光学成像设备上成像.
发现原理
如图,直线〃直线乙〃直线4,直线肱V垂直于乙和4,垂足分别
建立模型
探究(1)设MN=m,请用含机和a的式子表示点N到直线MM'的距离.
探究(2)已知MN'=5,OM'=23,OM=132,求MN的长度.(结果精确到
个位,sin。q0.8,cos。a0.6,cota«0.75)
【答案】(1)mcosa(2)60
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用,相似三角形的判定和性质,添加辅助线构造直角三角形,是解
题的关键:
(1)过点N作NBJ_M'M于点B,对顶角结合同角的余角相等,得到ZMNB=a,解直角三角形MBN,
求出的长即可;
(2)作ND〃MN,交MM'于点、D,解直角三角形证明一DON's_MON,列出比例式进
行求解即可.
【详解】解:过点N作射于点8,贝I:ZNBM=90°,ZCMB=a,
•:MNLI,,
NCMN=90。,
:.ZMNB=ZCMB=90°-ZBMN=a,
在RtZJV/BN中,BN=MN-cosa=mcosa;
(2)作N'D〃MN,交W于点。
■:MN〃(MN11;
ZN'M'D=a,DN'±MN,
MN25M'N'20
=—,DN'=------X----
coscr3cota3
44
:.OD=OM'—DM'=——,
3
N'D//MN,
・・・二DON'S』MON,
MNOM132仆
----=----=---=9
•••DN'OD44,
T
20
:.MN=9DN'=9x——=60.
3
24.在平面直角坐标系尤0y中,抛物线y=以2+6x-l经过点(2,3)和点(T,3).
(1)求该抛物线的表达式;
(2)如图,该抛物线上有三个点A、B、C,轴,ZACB=90°,ZBAC=30°,AB与抛物线
的对称轴交于点M(点A在对称轴的左侧).
①如果点C到抛物线对称轴的距离为t,请用含/的代数式表示点B的横坐标;
②求点C的横坐标.
1,
【答案】(1)y=-X"+x—1
(2)①2/-1;②空一1
3
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用,解直角三角形,正确的求出函数解析式,利用数形结合的思想进行
求解是解题的关键:
(1)待定系数法求出函数解析式即可;
(2)①连接。0,过点。作CD,直线x=-L,根据对称性结合直角三角形斜边上的中线推出,CMB为
等边三角形,在RtaCDM中,求出。0的长,进而得到3M的长,即可得出点8的横坐标;
②在RtACDM中,利用锐角三角函数求出/的值,进而求出点。的横坐标即可.
【小问1详解】
解:丁抛物线》=〃%2+/7%-1经过点(2,3)和点(-4,3),
"4a+2b-1=3
[16a-4〃-1=3,解得:
b=1
12,
y=-x~+x-l;
"2
【小问2详解】
(X)*.*y=5尤2+%-1>
i,
Y—...........—___|
对称轴为直线c1一,
2x—
2
,/AB〃x轴,
/.A3关于对称轴对称,
:AB与抛物线的对称轴交于点M,
;.以为AB的中点,
连接CM,过点C作。。,直线x=-L,
•••.CMB为等边三角形,
NCMB=60°,
Z.CMD=900-ZCMB=30°,
:CD,直线x=-1,且点。到抛物线对称轴的距离为t,
CD-t,
:.CM=2CD=2t,
***BM=2t,
・・・点区的横坐标为:2t-l;
②设点C到抛物线对称轴的距离为t,则点。的横坐标为/-1,
11Q
点C的纵坐标为:一(/—1)9+/—1—1=—/—?,
2V722
193
由①可知:点3的横坐标为:2/—1,贝U:点8的纵坐标为:一(2/—1)+2t-l-l=2t2——
,31,33,
/.DM=2t2--——t2+-=-t2,
2222
在Rt^CDM中,NOW。=30°,
CDt26
••MD乡产313,
2
2A/3
r
点C的横坐标为:/—1=2叵—1.
3
25.如图1,在VABC中,AB=AC,过点C作CDLAB,垂足为点。,点。在AB边上(不与点A重
合),点E是边AC上的点,且满足CQ=CE,设左=tanB.
图1
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