人教版九年级数学常见题型专练：解一元二次方程（直接开平方、配方法、配方法的应用）（原卷版+解析）

第02讲解一元二次方程(直接开平方、配方法、配方法的应用)

【知识梳理】

一.直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程犬=a,可直接开平方求解.

若a>0，则才=±'^'；表示为X、=Rt&=-五，有两个不等实数根；

若a=0,则x=o;表示为再=七=0，有两个相等的实数根；

若a<0,则方程无实数根.

②形如关于x的一元二次方程(&了+胃)=m(a0,幽之0)，可直接开平方求解，两根是

f+Jw-n-\Irn

X]=_,X]=1*

aa

要点诠释：

用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的

完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

二.配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成卜+编2的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的

方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：-±2如+M=(a±6「

⑶用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为ax'+bx+c=0(aH0)的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为L

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数

解.

要点诠释:

(1)配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

(2)配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

(3)配方法的理论依据是完全平方公式a2±2ab+〃=(。土b)2.

三、配方法的应用

1.用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零(或小于零)而比较

出大小.

2.用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定

字母的取值.

3.用于求最值：

“配方法”在求最大(小)值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值.

4.用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有

着广泛的应用.

要点诠释：

“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关

系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好.

—,【考点剖析】

题型一、用直接开平方法解一元二次方程

例L解方程(1)3x-24=0；(2)5(4-3n)J320.

例2.解方程(x-3)J49.

【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根:

(1)X2=361；(2)2y2-72=0；

⑶5a2-1=0；(4)-8m2+36=0.

【变式2】解方程：4(x+3)J25(x-2)2.

题型二、用配方法解一元二次方程

例3.用配方法解方程X2-7X-1=0.

【变式】用配方法解方程.

(1)X2-4X-2=0；(2)X2+6X+8=0.

例4.用配方法解方程：2炉-3x-3=0.

【变式】用配方法解方程

(1)2x2+3=5x(2)+px+q-Q

题型三、配方法在代数中的应用

例5.若代数式/=104+从—7。+8,"=/+02+5。+1,则加―N的值()

A.一定是负数B.一定是正数C.一定不是负数D.一定不是正数

例6.用配方法说明：代数式x?+8x+17的值总大于0.

【变式1］求代数式X2+8X+17的最小值

【变式2】用配方法证明-IO/+7尤-4的值小于0.

【变式3】求证：代数式3x2_2X+4的值不小于与_.

例7.已知/+/—2a+6b+10=0,求2-4°°一30-1的值.

例&若实数x,y满足/+/_4》_2丁+5=0,则0y的值是()

J3y-26

3

A.1B.1+72C.3+20D.3-272

【变式】(1)2x2+6x—3的最小值是.(2)—x2+4x+5的最大值是

例9,分解因式：尤4+x~+2ax+l—ci~.

【过关检测】

一、单选题

L（广东清远•九年级统考期末）将方程d+4x+2=0配方后，原方程变形为（）

A.（x+2）2=2B.（X+4）2=3C.（X+2）2=-3D.（x+2）2=-5

2.（2023•河北衡水•统考二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完

成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（）

原方程甲乙丙丁

。2》-8=0—aX2-2X=8—>/-2刀+1=8+1----►(x-l)2=9—aX=4

A.甲B.乙C.丙D.T

3.（2023・贵州贵阳•统考一模）解一元二次方程尤?+4叶2=0时，配方后得到方程（x+2?=c,则c等于

（）

A.6B.4C.2D.-2

4.（2023•北京东城•统考一模）用配方法解一元二次方程V+6x+3=0时，将它化为（x+M?="的形式,

则的值为（）

A.-6B.-3C.0D.2

5.（2023•江苏扬州・统考一模）已知/-2x+4=0,则/+丁+2x的最小值是（）

A.8B.-8C.-9D.9

6.（2022•山东德州・统考中考真题）已知P=/-x,。=》-2为任意实数，则P-。的值（）

A.大于0B.等于0C.小于0D.无法确定

7.（2023•山西大同•校联考模拟预测）将方程-12》+1=0配方成（元-机）2=〃的形式，下列配方结果正

确的是（）

A.（x+3）~=17B,（x+3）~=¥C.（x—3）2=17D.（x-3）~=?

二、填空题

8.（2022秋•广东佛山•九年级校考期中）一元二次方程尤2一八-5=0配方后得（尤-加）2=〃，贝。〃叶〃的值

为.

9.（2022秋•广东梅州•九年级统考期中）代数式°2一6口+13可化为/一6〃+9+4=（0-3）2+4；无论。取何

值（a-3）29，所以（"3）,4",即（a-3『+4有最小值为4.仿照上述思路，代数式一4+4.一8的最

大值为•

10.（2023•全国•九年级专题练习）填空：

(1)f+8%+_____=(x+4)2.

-［力),

(2)x2-3x+___

(3)X?—12%+__—=(尤-_________)2

11.（2021秋•陕西渭南•九年级统考阶段练习）用配方法将方程f+2x=0进行配方得.

12.（2023•全国•九年级专题练习）一元二次方程/一8犬-2=0,配方后可变形为—.

13.（2022秋・全国•九年级专题练习）当。=时，代数式/一6a-9有最小值为.

14.（2022秋•江苏盐城•九年级校考阶段练习）已知实数。，匕满足b=a+l,则代数式1+26-6a+5的最

小值等于__________

15.（2023秋•辽宁丹东•九年级校考期中）将方程/-8了-9=0化为（％+6）2=无形式，则扪=，k=

16.（2022秋,福建宁德•九年级统考阶段练习）若将方程f+6x=l化为（％+机）2=10,贝”或

17.（2023•浙江台州•统考一模）已知点小。力）在一次函数y=2x-l图象上，贝。2+^3的最小值为

18.（2023春•江苏南通•九年级校联考阶段练习）若实数无，y满足关系式3/+2/=6了，则f+y2的最大

值为.

三、解答题

19.（2022秋•江都区期中）解方程:

(1)4/=49；(2)⑵-1)2-25=0.

20.（2023・全国•九年级专题练习）用配方法解方程：x2+4x+l=0

21.（2022秋•贵州黔西•九年级校联考阶段练习）先阅读，后解题.

已知加2+2m+”2一6〃+10=0,求加和〃的值.

解：将左边分组配方：(〃/+2优+1)+(力2一6〃+9)=。.即(m+1)2+(〃-3)2=0.

(m+1)2>0,(n-3)2>0,且和为0,

二.(机+1产=0且(〃-3)2=0,/.m——1,“=3.

利用以上解法，解下列问题：

(1)已知：x2+4x+y2~2y+5=0,求x和y的值.

⑵已知“，b,c是AA5c的三边长，满足片+62=8a+66-25且AABC为直角三角形，求c.

22.(2022秋•江西九江•九年级统考期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其

他重要应用.

例：已知X可取任何实数，试求二次三项式x2+6x-l最小值.

解：x2+6x-l=^+2x3ic+2-23

=(X+3)2-10

团无论尤取何实数，总有(元+3)&0.

0(X+3)2-1O>-1O,即嘉+6X-1的最小值是TO.

即无论x取何实数，V+6X-1的值总是不小于-10的实数.

问题：

(1)已知y=Y-4x+7,求证y是正数；

(2)知识迁移：如图，在RtaA5C中，ZC=90°,AC=6cm,3c=4cm,点尸在边AC上，从点A向点C

以2cm/s的速度移动，点。在CB边上以由cm/s的速度从点C向点B移动若点P,。同时出发，且当一点

移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Sen?,运动时间为/秒时S最大，请求出f和S的

值，

23.(2022秋•广西柳州•九年级统考期中)阅读材料

数学课上，韦老师在求代数式Y-4X+5的最小值时，利用公式/±2“"从=(°±4,对式子作如下变形回

x~—4x+5=x2-4x+4+l=(x—2)+1,

团（无一2）220,

0（X-2）2+1>1^X=2B^,（X-2）2+1=1,

团当x=2时，（彳-2）2+1有最小值1,即f_4无+5的最小值为1.通过阅读，解决下列问题回

⑴当x=时，代数式2（x-5）2+4有最小值为

⑵代数式x2+2.X+1的最小值为

⑶当x取何值时，代数式-d+6x+3的有最大或最小值，并求出最大或最小值.

24.（2023秋・河北承德•九年级统考期末）解决问题

嘉琪同学用配方法推导一元二次方程依2+泳+。=0（。彳0）的求根公式时，她是这样做的:

cvC+fer+c=0（aH0）

4。2%2+4abx+4ac=0

21

+4abx+b+4ac=b

）2=b2-4ac

若4QCN0时:

2办+b=±J/?2-4ac

2ax=-b±ylb2—4ac

若。2—4〃c<0时此方程无实数根.

⑴嘉琪同学步骤中括号填：.

⑵根据嘉琪同学步骤回答：

①一元二次方程加+法+0=0(々。0)有实根的条件是：.

②％十/=,七元2=.

(3)一元二次方程％2_4%-1=0,有两个不相等实数根毛和巧；用配方法解方程验证：为+4=4;

25.（2023•浙江嘉兴•统考一模）设达y都是实数，请探究下列问题，

⑴尝试：①当了=-2,y=l时，*/x2+y2=5,2xy=-4,x2+y2>2xy.

②当x=l,y=2时，X2+y2=5,2xy=4,：.x2+y2>2xy.

③当x=2,y=2.5时，•/x2+y2=10.25,2肛=10,x2+y2>2xy.

④当x=3,y=3时，vx2+y2=18,2xy=18,:.x2+y22xy.

(2)归纳：f+y2与2孙有怎样的大小关系？试说明理由.

⑶运用：求代数式力的4最小值.

26.(2023,安徽芜湖,统考二模)观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题.

•

•••

*•••••

•••••••••

第1个图形第2个图形第3个图形

2x(l+2)3x(l+3)4x(l+4)

1+2=———L1+2+3=———11+2+3+4=———L

222

⑴第4个图形对应的等式为；

(2)若第“个图形对应的黑点总数为66个，求n的值.

第02讲解一元二次方程(直接开平方、配方法、配方法的

应用)

【知识梳理】

一.直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程父=a,可直接开平方求解.

若a>0，则x=±5^；表不为X]=*Ju,X)=-s/a>有两个不等实数根；

若a=0,则x=o；表示为公=X2=0,有两个相等的实数根；

若a<0,则方程无实数根.

②形如关于x的一元二次方程+工Q,加20),可直接开平方求解，两

根是

-n+-Jin-n--Jm

X]=-------，々=----------

aa

要点诠释：

用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边

是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

二.配方法解一元二次方程：

⑴配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成(x+%y=0(p之0)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解

一元二次方程的方法叫配方法.

⑵配方法解一元二次方程的理论依据是公式：a2±2ab+b2=(a±6)'

⑶用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为ax?+bx+c=#0)的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判

定此方程无实数解.

要点诠释：

(1)配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

(2)配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

(3)配方法的理论依据是完全平方公式6±206+〃=①±»2.

三、配方法的应用

1.用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零(或

小于零)而比较出大小.

2.用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后，再运用非负数

的性质求出待定字母的取值.

3.用于求最值：

“配方法”在求最大(小)值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值.

4.用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在

二次函数中也有着广泛的应用.

要点诠释：

“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关

系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学

好.

W1【考点剖析】

题型一、用直接开平方法解一元二次方程

例1.解方程(1)3x-24=o；(2)5(4-302=320.

【答案与解析】

(1)把方程变形为3x2=24,xM.

开平方，得原方程的根为x=2近或x=-2.

(2)原方程可化为(4-3n)2=64,

所以有4-3n=8或4-3n=-8.

4

所以，原方程的根为n=-3或n=4.

【总结升华】应当注意，形如x2=k(k20)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是

解这种方程最直接的方法.“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一.

例2.解方程(X-3)2=49.

【答案与解析】

把x-3看作一个整体，直接开平方，得

x-3=7或x-3=-7.

由x-3=7,得x=10.

由x-3=-7,得x=-4.

所以原方程的根为x=10或x=-4.

【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)Jn(neO)的方程就可

看作形如x?=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可

以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根.所以，(x+m)?F可成为任何

一元二次方程变形的目标.

【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：

(1)X2=361；(2)2y-72=0；(3)5a2-l=0；(4)-8m2+36=0.

【答案】⑴：X2=361,

x=19或x=-19.

(2)V2y-72=0,

2y2=72,

y2=36,

y=6或y=-6.

(3)V5a2-l=0,

5a=1,

2

a一1,

5

a=2^或a=-.

55

(4)•.•-8m2+36=0,

-8m2=-36,

29

m=—,

2

m=—y/2或m=--金.

22

【变式2】解方程：4(x+3)J25(x-2)2.

【答案】解：4(x+3)125(x-2)2,

开方得：2(x+3)=±5(x-2),

解得:，.

题型二、用配方法解一元二次方程

例3.用配方法解方程x-7x-l=0.

【答案与解析】

将方程变形为x"7x=l,两边加一次项的系数的一半的平方,得

直接开平方，得x-1=叵或

2222

所以原方程的根为x=Z+生或x=2-亚.

2222

【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：

(1)把形如ax?+bx+c=O(a#0)的方程中二次项的系数化为1；

(2)把常数项移到方程的右边；

(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n20)的方程;

(4)用直接开平方的方法解此题.

【变式】用配方法解方程.

(1)X2-4X-2=0；(2)X2+6X+8=0.

【答案】(1)方程变形为X2-4X=2.

两边都加4,得x?-4x+4=2+4.

利用完全平方公式，就得到形如仁+小产二口的方程，即有(x-2y=6.

解这个方程，得x-2=6或x-2=-J^.

于是，原方程的根为x=2+6或x=2-JJ.

(2)将常数项移到方程右边X2+6X=-8.

两边都加“一次项系数一半的平方”(习=32,得X2+6X+32=-8+32,

(x+3)2=1.

用直接开平方法，得x+3=±l,

/.x=-2或x=-4・

例4.用配方法解方程：2d—3%—3=0.

【答案与解析】

解：2x?—3%—3=0,

22

.23993

••X------XH------=------1----，

216162

33

16

3+A/333-^3

4

【总结升华】原方程的二次项系数不为1,必须先化成1,才能配方.配方时，方程左右两

边同时加上一次项系数一半的平方,配成（尤+m）2=〃5》0）的形式，然后用直接开平方

法求解即可.

【变式】用配方法解方程

(1)2x2+3=5x(2)x2+px+q-0

【答案】(1)2x2+3=5%

3

x2--x=-

22

352

x2--x+一”7

2

1

（416

51

x—=±—

44

_3_1

X\_5，%2—1•

(2)x1+px+q=Q

%2+px+=-4+(针

a+rr

①当p2-4q>0时，此方程有实数解,

②当P?-旬<0时，此方程无实数解.

题型三、配方法在代数中的应用

例5.若代数式"=10/+/—7a+8,N=a2+b2+5a+l,则N的值()

A.一定是负数B.一定是正数C.一定不是负数D.一定不是正数

【答案】B；

【解析】(作差法)M-N=10a2+b2-la+8-(a2+b2+5a+l)

=10a2+b2-7a+8-a2-b2-5a-l

=94-120+7=9。2-12。+4+3=(3a—2/+3>0.故选B.

【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方,

使此差大于零而比较出大小.

例6.用配方法说明：代数式X2+8X+17的值总大于0.

【答案与解析】

X2+8X+17=X2+8X+42-42+17=(X+4)2+1

(x+4)220,(x+4)2+1>0,

故无论x取何实数，代数式X2+8X+17的值总大于0.

【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.

【变式1】求代数式X2+8X+17的最小值

【答案】X2+8X+17=XZ+8X+42-42+17=(X+4)2+1

(x+4)

.,.当(x+4)2=0时，代数式x2+8x+17的最小值是1.

【变式2】用配方法证明-10尤2+7尤-4的值小于0.

【答案与解析】

证明：—10/+7%—4=(—10/+7X)—4=—10•%2--x|-4

10J

即-10x2+7x—4<0.故-10-+7x-4的值恒小于0.

【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平

方式和一个常数的式子来证明.本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与

自己学的配方法大同小异，即思路一致.

【变式31求证：代数式3x2_2X+4的值不小于U.

3

【答案】

皿、2111,11

解：3x2-2x+4=3(zx29---x+—)----1-4=3(x--)~+——

39333

1

V3(x--)29>0,

3

11111

.".3(x--)29+—>—,

33~3

即代数式3x2-2x+4的值不小于U.

3

例7.已知"+/―2。+6匕+10=0,求2-"°°—30-1的值.

【思路点拨】采用配方法求出a力的值，代入计算即可得到答案.

【答案与解析】

解：由题意可得：片—2a+1+“+6Z?+9=0

(«-l)2+(Z?+3)2=0

a—1=0,〃+3=0

a=l,b=-3

将a=1,b=—3代入得：

2xl100-3x(-3)-1=2+1=3

【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个

非负数的和为0,每个非负数都为0是解题的关键.

4x+y

例8.若实数x,y满足一+/_4%—2y+5=0,则的值是()

小3y-2五

A.1B.-+V2C.3+20D.3-20

2

【答案】C；

【解析】对已知等式配方，得(x—2)2+(y—1)2=0,，x=2,y=l.

.G+yV2+1_V2+1_V2+1__9r-

^y-14xV3-2V2J(友—IFV2-1

【总结升华】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负

数的性质求出待定字母的取值.

【变式】(1)2X?+6X—3的最小值是；(2)—x?+4x+5的最大值

是.

【答案】(1)

2x2+6x—3=2(/+3x)-3=2x2+3x+(|)2-(|)2]-3=2(x+|)2-y；

所以2x2+6x-3的最小值是一丝

2

(2)-%2+4x+5=—(犬—4x)+5=—(Y—4x+22—2?)+5=—(x—2)2+9

所以—x2+4x+5的最大值是9.

例9.分解因式：x4+X1+2OX+1-O1.

【答案与解析】

%，+J_|_?QX+1—I2—%，+2%2—X?+2dX+1一/

=(x4+2x2+1)-(x2-lax+a2)=(x2+1)2-(x-a)2

=(%2+1+X—々，(犬？+1—X+62).

【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方

差公式分解因式.

【过关检测】

一、单选题

1.(广东清远•九年级统考期末)将方程d+4x+2=0配方后，原方程变形为()

22

A.(尤+2)2=2B.。+4)2=3c.(x+2)=-3D.(x+2)=-5

【答案】A

【分析】用配方法解一元二次方程即可.

【详解】解：由题意知，方程f+4x+2=0配方后，方程变形为(x+2)2=2,

故选：A.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程.解题的关键在于正确的运算.

2.(2023•河北衡水•统考二模)某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方

程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误

的，则这位同学是（）

原方程甲乙丙丁

x2-2x-8=0—►X2-2X=8—»■^-2%+1=8+1-----»>（x-l）2=9-►x=4

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果.

【详解】解：炉-"-8=0

尤2-2x=8

x2—2x+1=8+1

（尤-I）』

0x-l=±3

解得：无1=4,无2=-2,

丁同学是错的，

故选：D.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解

题的关键.

3.（2023・贵州贵阳•统考一模）解一元二次方程/+4升2=0时，配方后得到方程

（x+2）2-c,贝ijc等于（）

A.6B.4C.2D.-2

【答案】C

【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4,然后把方程左边写成完全平方

的形式，从而求得c.

【详解】解：x2+4x+2=0,

x~+4x——2,

x?+4x+4=2,

.-.（x+2）2=2,

/.（?=2.

故选：c.

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的

一般步骤是解答关键.

4.（2023•北京东城•统考一模）用配方法解一元二次方程/+6%+3=0时，将它化为

。+机）2=”的形式，贝"一"的值为（）

A.-6B.-3C.0D.2

【答案】B

【分析】由V+6x+3=0,配方可得（尤+3『=6,进而可得〃?，"的值，然后代入

计算求解即可.

【详解】解：回f+6x+3=0,

团X?+6x+9=6，

回（x+3）-=6,

=3,n=6,

团机一〃=一3,

故选：B.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值.解题的关键在于正确的配方求

出血〃的值.

5.（2023•江苏扬州,统考一模）已知/一2%+4=0,则/+2x的最小值是（）

A.8B.-8C.-9D.9

【答案】A

【分析】由已知得丁=2彳-4,注意x的取值范围，代入Y+y2+2x再配方，利用非负数

的性质即可求解.

【详解】解:0/-2x+4=O,

0y2=2x-4,且2x—420即尤22,

回尤？+y?+2x=+2x—4+2x

=x2+4x+4-8

=（X+2）2-8,

0（X+2）2>O,X>2

团当元=2时，£+9+的最小值是8,

故选：A.

【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及

确定x的取值范围是解决问题的关键.

6.（2022•山东德州•统考中考真题）已知尸=Y-尤，。=尤-2为任意实数，则尸-。的值

（）

A.大于0B,等于0C.小于0D.无法确定

【答案】A

【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出P-Q=（X-1）2+1>0,即可求解.

【详解】解：回P=d-x,Q=x-2

BP-Q=X2-X-（X-2^=X2-2X+2=（X-1）2+l>0

回「一。的值大于0,

故选：A.

【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题

的关键.

7.（2023•山西大同•校联考模拟预测）将方程2尤2-12%+1=0配方成（彳-m）2=〃的形式，下

列配方结果正确的是（）

A.（x+3）2=17B.（尤+3）~=：C.（x—3）"=17D.（无一3）~==

【答案】D

【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项

系数的一半，即可求解.

【详解】解：2X2-12X+1=0

二次项化系数为1得：无2-6x+g=0

移项得：X2-6X=-1

配方得：X2-6X+9=9--

2

,17

整理得：（X-3『=£

故选：D.

【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键.

二、填空题

8.（2022秋•广东佛山•九年级校考期中）一元二次方程/一4尤-5=0配方后得

（x-m）2=n,则〃2+〃的值为.

【答案】11

【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得机、〃的

值，再进行计算即可.

【详解】解：移项得/一4元=5,

配方得炉-4x+4=5+4,即（X-2）2=9,

团=2,71=9,

回机+〃=11,

故答案为：11.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键.

9.（2022秋•广东梅州•九年级统考期中）代数式/一6〃+13可化为

a2-6a+9+4=（a-3）2+4；无论a取何值（4-3）?20,所以（a-3『+424,即

（a-3y+4有最小值为4.仿照上述思路，代数式-1+4〃-8的最大值为

【答案】-4

【分析】仿照题意进行求解即可.

【详解】解：-a2+4a-8

=-（/-4。+4）-4

=-（a-2）2-4,

团无论a取何值，都有（a-2）220,

0（a-2）2+4>4,

0-（a-2）2-4<-4,即-（。-2）2-4有最大值T,

0_〃+4。-8的最大值为-4,

故答案为：-4.

【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键.

10.（2023・全国•九年级专题练习）填空：

（1）尤2+8尤+=（%+4）'.

（2）x2-3x+=h-"•

(3)X2-12x+________=(x~■—)2.

9

【答案】16-366

4

【分析】（1）所填的常数项为一次项系数一半的平方；

（2）所填的常数项为一次项系数一半的平方；

（3）所填的常数项为一次项系数一半的平方，运用配方法的运算方法，也可以直接利用完

全平方公式：a?±2必+匕2=（“±6）2得出结论.

【详解】解：（1）尤2+8x+16=（尤+4）2.

故答案为：①16；

故答案为：②];

（3）X?—12尤+36=（无一6）2

故答案为：③36,④6.

【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方的过程中应注意不能改变

原式的大小.

11.（2021秋•陕西渭南•九年级统考阶段练习）用配方法将方程d+2x=0进行配方得

【答案】（X+l）2=l

【分析】在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即可求解.

【详解】解：f+2x=o,

方程两边加上1,X2+2X+1=1，

即（X+J）2=],

故答案为：（尤+7）2=1.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键.

12.（2023・全国•九年级专题练习）一元二次方程f-8x-2=0,配方后可变形为—.

【答案】（1）2=18

【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16,然后把方程左边写成完全平方

形式即可.

【详解】解：f_8x=2,

X2—8x+16=18，

（^-4）2=18,

故答案为：（x-4）2=18.

【点睛】本题考查了解一元二次方程一配方法，掌握配方法是解题的关键.

13.（2022秋•全国•九年级专题练习）当“=时，代数式/一64-9有最小值为

【答案】3-18

【分析】根据偶次方的非负性可知（。-3）220,当。-3=0时有最小值，进而可求解.

【详解】解：02—6a—9=（a—3Y—18,

­.­（a-3）2>0

当a-3=0时代数式/一6°-9取得最小值，最小值为-18,

即“=3时，代数式片一6a—9的最小值为一18,

故答案为：3；-18.

【点睛】本题主要考查了配方法、偶次方的非负性，掌握偶次方的非负性是解题的关键.

14.（2022秋•江苏盐城•九年级校考阶段练习）已知实数。，b满足6=。+1,则代数式

/+26-6。+5的最小值等于.

【答案】3

【分析】将b=a+l代入代数式，根据配方法即可求解.

【详解】解：Elb=a+1

回〃+2b—6a+5="+2（。+1）-6。+5

=a?—4。+7

=（。-2『+3,

0（（2-2）2>0,

团（a-2）+323,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键.

15.（2023秋•辽宁丹东•九年级校考期中）将方程必-8》-9=0化为（*+/2『=左形式，则

h—，k=.

【答案】-425

【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全

平方公式即可.

【详解】解：0%2-8%-9=0,

回X?-8元=9，

配方得尤2一8X+16=9+16,即（尤一4）2=25,

团〃=4k=25,

故答案为：-4,25.

【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题时要注意步骤，选择用配方法解一元二次

方程时，先将常数项移到等号右边，并使二次项的系数为工，然后进行配方.

16.（2022秋・福建宁德•九年级统考阶段练习）若将方程/+6x=l化为。,+加）2=10,则

【答案】3

【分析】此题实际上是利用配方法解方程.配方法的一般步骤:

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1;

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

【详解】解：在方程尤?+6尤=1的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得

X2+6X+32=1+32,

配方，得

(尤+3)2=10.

所以,m=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了解一元二次方程一一配方法.掌握配方法解是解题的关键.

17.(2023•浙江台州•统考一模)已知点在一次函数y=2x-l图象上，则/+6+3的

最小值为.

【答案】1

【分析】将点A(a㈤代入一次函数解析式得出，6=24-1,代入代数式，根据配方法即可

求解.

【详解】解：回点4(。力)在一次函数>=2x-l图象上，

团Z?=2〃—1

团/+Z?+3=Q?+2a—1+3

=a2+2a+1+1

=(a+l)2+l>l

故答案为：1.

【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键.

18.(2023春•江苏南通•九年级校联考阶段练习)若实数x,y满足关系式3尤2+2y=6了，

则产+丁的最大值为.

【答案】4

【分析】将3尤?+2/=6x适当变形得到用含有x的代数式表示/+-的形式，再利用配方

法变形后，根据尤的取值范围即可解答.

【详解】解：团3炉+2;/=6x,

回2(x?+y~)=-x?+6x,

11Q

02x2+/=--x2+3x=--(x-3)2+-,

222

团3炉+2y2=6x,

2—3x^+6x

•••y=

2

0/>0

-3x2+6x八

,-------->0

2

[?]0<x<2

回当X=2时f+y2的最大值为一;（2-3）?+：=4.

故答案为4.

【点睛】本题主要考查了代数式的极值、配方法等知识点，利用配方法对式子灵活变形是

解题的关键.

三、解答题

19.（2022秋•江都区期中）解方程：

⑴4/=49；⑵（2x-1）2-25=0.

【分析】（1）首先将方程整理为了=单，再利用平方根的意义直接开方求解即可；

4

（2）首先将方程整理为（2x-1y=25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可.

【解答】解：（1）4?=49,

X--4-9-，

4

（2）（2x-1）2-25=0,

（2r-1）2=25,

；.2尤-1=±5,

•*Xi~~3,X2==~2.

【点评】本题考查了解一元二次方程--直接开平方法.用直接开方法求一元二次方程

的解的类型有：/=〃（〃20）；〃/="（〃，b同号且“W0）；（x+a）2=ba（x+Z?）

2=c（〃，c同号且〃W0）.法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1,再

开平方取正负，分开求得方程解”.

20.（2023・全国•九年级专题练习）用配方法解方程：f+4x+i=o

【答案】玉=—2+^3,9=—2—\/3

【分析】先利用配方法得到（X+2）2=3,然后利用直接开平方法解方程.

2

【详解】解：X+4X+1=0,

移项得：x2+4x=-1,

配方得：x2+4x+4=—1+4,即（x+2）2=3,

开平方得：x+2=+y/3,

解得：%=-2+上,x,=—2—\/3.

【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是

解题的关键.

21.(2022秋•贵州黔西•九年级校联考阶段练习)先阅读，后解题.

已知w?+2m+/-6〃+10=0,求加和”的值.

解：将左边分组配方:(m2+2m+l)+(n2-6n+9)=0.Bp(m+1)2+(«-3)2^0.

V(m+l)2>0,(n-3)2>0,且和为0,

二.(机+1)2=0且(w—3>=0,m=—l,a=3.

利用以上解法，解下列问题：

(1)已知：x2+4x+y2-2y+5=0,求x和V的值.

(2)已知。，b,c是AABC的三边长，满足6+〃=84+6。-25且^45。为直角三角形，求

c.

【答案】⑴x=-2,y=l

(2)c=5或c=S"

【分析】⑴由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，利用非负数的性质即可求解；

(2)由题意把等式变形为非负数的和等于。的形式，求得久6的值，然后根据勾股定理可

求解.

【详解】(1)解：Elx2+4x+/-2y+5=0,

卜2+4x+4)+(y2-2y+i)=0,即(x+2)~+(y-1)~=0,

0(X+2)2>O,(y-l)2>0,M(^+2)2+(y-l)2=0,

E(x+2)2=0且(y—lj=0,

/.x=-2,y=1；

(2)解：团〃+/=8々+6〃—25,

方程变形为S-4)2+0-3)2=0,

回(a-"?20,(6一3)220,

团a=4,b=3,

•.•△ABC为直角三角形，

团当。=4,人=3是直角边时，则