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文档简介
第27讲三角恒等变换(1)
知识梳理
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
s讥(a±0)=sinacosB土cosasinB,简记作S(a±B);
cos(a±0)=cosacosB干si几asinB'简记作C(a±s);
tana但、_
-c邸尸百3a•3B,间记作T…•
2.二倍角公式
sin2a=2s而a•cosa;
2tana
tan!a=;
1一山,2a
cos2a=c。52a—si72a=2cos2cl—l=l—2si几2a.
3.辅助鬲获
._____ab
y=av应x+bcosx=\/a2+b2s血(x+①)»其中(p为辅助角,且其中cos巾=荷T'S…荷
,b
(P=一.
a
4.公式的逆用及有关变形
tana±tanP=以几(a±B)(1干口〃a•tan1);
sina±cosa=也5加(狂了);
sina•cosa==^sin2a;
1-\~sinla=(si九a+cosa>;
1—sinla=(s%a—cosa>;
1-cos2a
sin9a=2;
l+cos2a
9L
cosa=o—:
cl—cos2a”上一八八
tana=l+cos2a(降暴公式);
l-cos2a=2S%2a;1+cos2a=2co$2a(升幕公式)
1>【2022年新高考2卷】若sin(a+/?)+cos(a+/?)=2迎cos(a+3)sinS,则()
A.tan(a—£)=1B.tan(or+£)=1
C.tan(cr—/?)=—1D.tan(a+£)=—1
【答案】C
【解析】
由已矢口得:sinacos/?+coscrsin/?4-cosacos/?—sinasin/?=2(cosa—sina)sin0,
即:sinacos0—cosasin0+cosacos£+sinasin£=0,
即:sin(a—S)+cos(a-0)=0,
所以tan(a-/?)=-1,
故选:C
2、【2022年浙江】若3sina-sin£=+S=],贝ijsina=,cos20
【答案】3V104
105
【解析】Q+S=,sin©=cosa,即3sina—cosa=V10,
即旧(甯sina-噜cosa)=同,令sin。=察,cos。=富.
则Vl^sin(a-6)=VTU,「.a—9=]+2/CTT,kEZ,即a=9+习+2/CTT,
sina=sin(6+]+2ATT)=cos。=
则cos2/?=2cos2/7—1=2sin2a—1=1.
故答案为:鬻;2
0,S,tan2a=cosa…/
3、【2021年甲卷文科】若2-sina'则.&=()
且D.屈
A.叵B.更C.
1553
【答案】A
COSa
L1用解牛析仞J】Ltaan^2oac-.
2—sina
小sin2a2sincrcosacosa
..Ldll/cz——一-一.,
cos2。1—2sina2—sina
2sina1
i,..JV7DCX.-T—\JJc,解得sina=,
l2)1—2sin2a2—sin6z4
sinaV15
cosa=vAl-sin~a=-屏----,
4coser15
故选:A.
25兀/
4、【2021年乙卷文科】cos2—-cos—=()
1212
A.5B.立
C.叵D.g
2322
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合诱导公式可得COS22-cos2”=cos2=-sin2二,再由二倍角公式即可得解.
【详解】
2兀757r27C,271712万.2""
由题意,cos-----cos——=cos>-----COS=cos-----sin——
1212122121212
71正
=cos—=
62
故选:D.
5、【2020年新课标1卷理科】已知。£(0,兀),且3cos2a-8cosa=5,则sina=()
A.立B.-
33
C.-D.好
39
【答案】A
【解析】
【分析】
用二倍角的余弦公式,将已知方程转化为关于cosa的一元二次方程,求解得出cose,再用同角间的三角函
数关系,即可得出结论.
【详解】
3cos2。一8cosc=5,得6cos之二―8cosa-8=0,
2、
即3cos2二一4cos°一4二0,解得cosa=-^或cosa=2(舍去),
又ae(0,兀),sina=A/1-cos2a-.
故选:A.
,.71
6、【2020年新课标3卷理科】已知2tan0-tan(6+1)=7,贝!Jtan<=()
A.-2B.-1C.1D.2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用两角和的正切公式,结合换元法,解一元二次方程,即可得出答案.
【详解】
)c八tan^+1厂
2tan8-tan18+7=7,「.2tan。--------=7,
1-tan
☆t=tana/wl,贝i]2f-小=7,整理得产-4r+4=0,解得t=2,即tan£=2.
1-t
故选:D.
pfflBfll©------------------------------------------
1、sin45°cos15°+cos225°sin165°=()
A.lB.]C坐D.-3
【答案】B
【解析】sin45°cos15°+cos225°sin165°=sin450-cos15°+(-cos45°)sin15°=sin(45°-15°)=sin30。=,
4则sin(a+辨于()
2、矢口COSG.~~5,G,<兀,用,
A—也B亲
从10J10
【答案】c
【解析】Vae^,2),且cos。=4.._3
:—苧..sina——亍
/.sin(a+?=—…X7^2
2_10.
=^~,贝Ucos(乃一2a)=(
3(2022•福建三明•模拟预测)若sina)
【答案】A
3
【角星析】cos(^7r-2a^=-cos2a=2sin2a-l=~~.
故选:A.
4、(2022•湖南・雅礼中学二模)已知3cos2夕一8coscr=5,则cosa=()
A.--B.-C.-好D.@
3333
【答案】A
【解析】由题可得6cos20-8cos。一8=0,
、2
解得cosa=2(舍去),或cosi=-1.
故选:A.
--------------------------------------------------------------------
考向一利用两角和(差)公式运用
例、・福建•模拟预测)已知为锐角,且
1(1)(2022asink+[J=sin[a-1"则tana=()
A.73B.2+代C.76D.V6+^
【答案】B
【分析】
运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系,计算即可得到所求值
【详解】
因为sin[a+g=sinf,所以工sinaH———cosa=sina--cosa,
2222
所以(6+1卜。5£=(有-1卜ina,所以tana=*^=2+G.
5/3—1
故选:B
(2)(2022・广东・深圳市光明区高级中学模拟预测)已知角6的终边过点A(-U),则sin(5-6)=()
6
iV2+y/6D—\/2+^60A/2—y/6c—V2—y/6
4444
【答案】D
【分析】
JT
由任意三角形的定义求出sin。,cos。,由两角差的正弦公式代入即可求出sin(£-6).
6
【详解】
因为角。的终边过点A(-U),由任意三角形的定义知:sin6=¥,cos8=-
sin(—-0)=sin—cos0-cos—sin^=加—―.
6664
故选:D.
5兀
变式1、(2022年湖南常德市高三模拟试卷)下列选项中,与Sin^的值相等的是()
6
2兀oo
A.cos-^-B.cos18cos42°-sin18°sin42°
「tan30°+tan15°
C.2sin75°sin750D.---------;------7
1-tan30tan15
【答案】BC
57r7T12冗I
【解析】sin—=sin—=—,cos—=——,故A错误;
66232
cos18°cos42°-sin18°sin42°=cos(l8°+42°)=cos60°=—,故B正确;
2sinl5°sin75°=2sinl50cosl5°=sin30°=L故C正确;
2
tan300+tan15°
=tan(30°+15°)=tan45°=l,故D错误.
1-tan30°tan15°
故选:BC
变式2、(1)若Q+4=彳,则(l—tana)(l—tan夕)=.
【答案】2
3兀tana+tan夕
【解析】因为tanN=tan(仪+为=^;;;~~=—1,所以tanatan^—l=tana+tan色所以(1—tana)(l
41-tanoctanp
—tan份=1—tana—tan夕+tanoc-tan0=2.
(2)在△ABC中,tanA+tanB+^/3=^/3tanAtanB,贝!JC=;
【答案】I
ltanA+tanB「
【解析】由已知,得tanA+tan3=1§(tanAtanB—1),所以tan(A+B)=~~:———三=一,§.又0<A+B<K,
i-tanAtanD
2TTIT
所以A+3=§,所以C=Q.
变式3、(1)己知a是第二象限角,且sintz=走,
tan(«+/?)=-2,则tan£=,
5
3
【答案】-1
【解析】由a是第二象限角,且sina=好,可得cosa=—3&,tan«=--
552
/tana+tan0c1
由tan(a+力)=-2,可得;-------------=-2代入tan。二一一
'71-tan6rxtan/?f2
3
可得tan/,
3
故答案为:-
4
变式3、(2)已知sina=sin(a+g+g,则cos(a+聿)的值为()
D「平
A-3B-33
【答案】B
in(a+兀3+g,得sina=sinotcos胃+cosasin1+;=聂】na+坐cosa+1,则坐cosa-|sin
【解析】由sinasin3,
1
a=g,即cosla+=
6)-3
方法总结:考查两角和差的三角函数.公式的结构特征要记牢,在求值、化简时,注意观察角度、函数名、
所求角与已知角之间的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.求角问题的关键在于选择恰当的三角函数,
选择的标准是,在角的范围内根据函数值,角有唯一解.本题考查逻辑思维能力,考查转化与化归思想.
考向二二倍角公式的运用
例2、(2022年深圳市深圳中学高三模拟试卷)(多选题)下列各式的值等于的是
~T
2tan22.5°
A.2sin67.5°cos67.5°B.2cos2--1C.l-2sin215°
121-tan222.5°
【答案】BC
【解析】】2sin67.5°cos67.5°=sinl35°=—,故A错误
2
2cos2--1-cos—=>故B正确
1262
l-2sin215°=cos30°=—,故。正确
2
2tan22.5°
=tan45°=1故D错误
1-tan222.5°
综上所述,故选B,C
变式1、(1)化简:(一,一tan•(1+tanoc-tan=
tan2一
2
【答案】
sina
a./
?—.sin^
cos2sin2sina2
【解析】原式=-1+
.aacosaa
sin^cos21cos。
a.aa,..aa
cos?o-sin?\cosoccos7+sinasm7_cos7-
2222_2cosa22
.aaa~sina(z-sina
sin^cos2cosacos/cosacos]
cos2a
(2)求证:4sin2a.
1a
atan2
tan2
.aa
ocos9asinTcosT
cos7acosa2,
【解析】左边=
a.a~.a~.a
COSTsin5cos与一sin?,cos^r—sin?^j
.aa.aa
sin5cos5sin^cosy
.aa
cos9asin^cos]
aa1.
cosacosasm^cos2—2sinacosa
所以原式成立.
兀1三匹〕
变式2、已知cos|g+ajcosl/a不建3'2)
(1)求sin2a的值;
⑵求tana一舟;的值.
Ldll(X
【解析】(l)cos《+a)cos|(xj=cosl|+ajsing71+a=|sin|2a+^1
64
(2a+%]
sin2a=sin
.71
=sinsin3
1J3
又由(1)知sin2a=2,「.cos2a=一方-.
1sinacosa
..tana—=一
tanacosasina
siiA/—cos2a—2cos2a
2X—邛p=2-V3.
sinacosa-sin2a
2
已知sin[a+g]=g,则sin[2a+2]的值为(
变式3、(2022・江苏如皋•高三期末))
C.一走D.B
22
【答案】B
【解析】Qsin,+[=;
:.sin12a+力=sin2,+曰一1=-cos2^a+:|-^=-l-2sin2^ar+J|-
1
2
故选:B
方法总结:本题考查二倍角公式的简单应用.三角函数式的化简要注意以下3点:①看角之间的差别与联
系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;②看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化
弦”;③看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升基”等.本题
考查运算求解能力,逻辑思维能力,考查转化与化归思想.
考向三公式的综合运用
(l+sinO+cos。)Isin^-COS2)
例3、化简:----环嬴----(°"
HjrH
【解析】由。£(0,71),得0<5<菱,,COS]>0.
因此、2+2cos8=4COS2^=2COS^.
/g
又(1+sinO+cos。)卜in1一ee
[2COS2
=2cos<sin<-os<g
C=12cos2cos仇
0
-2cos5cos9
故原式==—CQSO.
2cos5
变式1、(1)(2022・湖北江岸•高三期末)计算tan70。cos10。(百tan20°-1)=(
A.1B.-1C.gD.--
22
【答案】B
【解析】
tan70°cos100(若tan20°-1)=cot20°cos10°(括tan200-1)
*cosl。。[百里”
-1
sin20°Icos20°
*cosl。。'百sin20。-cos20。]
sin20°、cos20°,
疆(Am2°j°s2。。
冷2smg
-sin20°
sin20°
=-l
故选:B
sin122cos12-1
(2)(2022•山东省淄博实验中学高三期末)()=
6-tan12。
【答案】:
O
【解析】因为sinl2°(2cos212°-1).sin12°cos12°cos24°_〈sm48]j.
V3-tanl2°-73cos120-sin12°-2sin48°-8
故答案为:—
o
变式2、(1)(2022年福建龙岩市高三模拟试卷)已知cos(a+£)=—奇,cos2«=,其中a,夕为
锐角,以下判断正确的是()
八•。_120/19小
A.sin2CK———B.cos(tz—B)=---------
13I65
C.cosacos/3=^~c11
D.tanartanp=—
【答案】AC
【解析】因为cos(a+,)=—好,cos2e=-三,其中a,夕为锐角,故。+齐«0,兀)
513
/12
所以:sin2a=71-cos2la=一,故A正确;
13
因为sin(6Z+6)=Jl-cos(a+0y=~~~,
所以cos(a-/?)=cos[2a—(a+/?)]=cos2acos(a+/)+sin2asin(a+/3)
+"义毡="百,故B错误;
13565
可得cosacosp=g[cos(a+/?)+cos(cr-^)]=+=,故C正确;
可得sinasin/?=g[cos(a—/7)—cos(a+y0)]=;[2^^一(-^^)]='||j^,所以
万sinasinB21
1almta”=嬴诉TW,故D错误.
故选:AC
(2)(2023•江苏南通・统考一模)已知sin3-£1+cosa=|
贝ljCOSI2(7+yj=)
72424
A.BD.
25-i2525
【答案】B
【解析】sina——+cosa=——sina——cosa+cosa=一,
I6J225
所以+几sa』
225
所以sin(e+.)=|,
cos2a+—=cos2a+—=l-2sin2a+—=l-2x——=——,
I3)(6)I6)2525
故选:B.
方法总结:(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原贝U:
一看角,二看名,三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数
公式之间的共同点.
---------------------------------------------------------------------------------------------
1、(2022•福建•模拟预测)己知C为锐角,且sin(a+m=sin[-f,则tana=()
A.V3B.2+6C.&D.G+6
【答案】B
【解析】
因为sin[a+g,所以,sina+^^cosau/'Sina-工cosa,
2222
所以(6+1卜osa二(百一1卜ini,所以tana=卓担=2+班.
,3—1
故选:B
3TT,2J,sin^-|,sin(«)=3os^则ta"=
2、(2022•湖南•长郡中学模拟预测)已知ae+/?C
2
B•4一9
A.-3C.3D.-
2
【答案】D
【解析】
由于sina=-g3且4]£,271),则有4
cosa=—
55
1849
由sincifCOs/?+coscrsin/?=3cos/?得,—cos;0=—siny0,故tan4=—,
故选:D.
3
3、(2022•广东湛江•二模)若tan(a-£)=j,tan尸=2,贝ijtantz=
7
【答案】北
【解析】
3
因为tan(a_/7)=],tan'=2,
3
11
所以tana-tan[(a_/?)+[]=,a:(:夕黑:乙二工一7
L」tan/7]_上*241
~2
7
故答案为:2
0,W],tan(a+尸)=g,则tan'=
4、(2022•广东韶关•一模)若sin(»一£
2
【答案】|
【解析】
因为sin(万一a)=^^,二£〔0,n,所以sina=m°,所以cosa=Jl-sin2a=,所以tanasina_1
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