三角恒等变换（一）解析版-2024年高考数学一轮复习导学案

第27讲三角恒等变换（1）

知识梳理

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

s讥（a±0）=sinacosB土cosasinB，简记作S（a±B）；

cos（a±0）=cosacosB干si几asinB'简记作C（a±s）；

tana但、_

-c邸尸百3a•3B，间记作T…•

2.二倍角公式

sin2a=2s而a•cosa；

2tana

tan!a=；

1一山，2a

cos2a=c。52a—si72a=2cos2cl—l=l—2si几2a.

3.辅助鬲获

._____ab

y=av应x+bcosx=\/a2+b2s血(x+①)»其中(p为辅助角，且其中cos巾=荷T'S…荷

,b

(P=一.

a

4.公式的逆用及有关变形

tana±tanP=以几（a±B）（1干口〃a•tan1）；

sina±cosa=也5加(狂了);

sina•cosa==^sin2a；

1-\~sinla=(si九a+cosa＞；

1—sinla=(s%a—cosa＞；

1-cos2a

sin9a=2；

l+cos2a

9L

cosa=o—：

cl—cos2a”上一八八

tana=l+cos2a(降暴公式);

l-cos2a=2S%2a；1+cos2a=2co$2a(升幕公式)

1＞【2022年新高考2卷】若sin(a+/?)+cos(a+/?)=2迎cos(a+3)sinS，则()

A.tan(a—£)=1B.tan(or+£)=1

C.tan(cr—/?)=—1D.tan(a+£)=—1

【答案】C

【解析】

由已矢口得：sinacos/?+coscrsin/?4-cosacos/?—sinasin/?=2(cosa—sina)sin0,

即：sinacos0—cosasin0+cosacos£+sinasin£=0,

即：sin(a—S)+cos(a-0)=0,

所以tan(a-/?)=-1,

故选：C

2、【2022年浙江】若3sina-sin£=+S=],贝ijsina=,cos20

【答案】3V104

105

【解析】Q+S=，sin©=cosa,即3sina—cosa=V10,

即旧（甯sina-噜cosa）=同，令sin。=察，cos。=富.

则Vl^sin(a-6)=VTU,「.a—9=]+2/CTT，kEZ,即a=9+习+2/CTT,

sina=sin(6+]+2ATT)=cos。=

则cos2/?=2cos2/7—1=2sin2a—1=1.

故答案为：鬻；2

0，S，tan2a=cosa…/

3、【2021年甲卷文科】若2-sina'则.&=()

且D.屈

A.叵B.更C.

1553

【答案】A

COSa

L1用解牛析仞J】Ltaan^2oac-.

2—sina

小sin2a2sincrcosacosa

..Ldll/cz——一-一.，

cos2。1—2sina2—sina

2sina1

i,..JV7DCX.-T—\JJc,解得sina=,

l2)1—2sin2a2—sin6z4

sinaV15

cosa=vAl-sin~a=-屏----，

4coser15

故选：A.

25兀/

4、【2021年乙卷文科】cos2—-cos—=()

1212

A.5B.立

C.叵D.g

2322

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意结合诱导公式可得COS22-cos2”=cos2=-sin2二，再由二倍角公式即可得解.

【详解】

2兀757r27C,271712万.2""

由题意,cos-----cos——=cos>-----COS=cos-----sin——

1212122121212

71正

=cos—=

62

故选：D.

5、【2020年新课标1卷理科】已知。£(0,兀)，且3cos2a-8cosa=5,则sina=()

A.立B.-

33

C.-D.好

39

【答案】A

【解析】

【分析】

用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosa的一元二次方程，求解得出cose,再用同角间的三角函

数关系，即可得出结论.

【详解】

3cos2。一8cosc=5,得6cos之二―8cosa-8=0,

2、

即3cos2二一4cos°一4二0,解得cosa=-^或cosa=2(舍去)，

又ae(0,兀),sina=A/1-cos2a-.

故选：A.

,.71

6、【2020年新课标3卷理科】已知2tan0-tan(6+1)=7,贝！Jtan<=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.

【详解】

)c八tan^+1厂

2tan8-tan18+7=7,「.2tan。--------=7,

1-tan

☆t=tana/wl,贝i]2f-小=7,整理得产-4r+4=0,解得t=2,即tan£=2.

1-t

故选：D.

pfflBfll©------------------------------------------

1、sin45°cos15°+cos225°sin165°=()

A.lB.]C坐D.-3

【答案】B

【解析】sin45°cos15°+cos225°sin165°=sin450-cos15°+(-cos45°)sin15°=sin(45°-15°)=sin30。=,

4则sin（a+辨于（）

2、矢口COSG.~~5，G,＜兀,用,

A—也B亲

从10J10

【答案】c

【解析】Vae^,2),且cos。=4.._3

:—苧..sina——亍

/.sin(a+?=—…X7^2

2_10.

=^~,贝Ucos(乃一2a)=(

3（2022•福建三明•模拟预测）若sina)

【答案】A

3

【角星析】cos（^7r-2a^=-cos2a=2sin2a-l=~~.

故选：A.

4、（2022•湖南・雅礼中学二模）已知3cos2夕一8coscr=5,则cosa=（）

A.--B.-C.-好D.@

3333

【答案】A

【解析】由题可得6cos20-8cos。一8=0,

、2

解得cosa=2（舍去），或cosi=-1.

故选：A.

--------------------------------------------------------------------

考向一利用两角和(差)公式运用

例、・福建•模拟预测)已知为锐角，且

1(1)(2022asink+[J=sin[a-1"则tana=()

A.73B.2+代C.76D.V6+^

【答案】B

【分析】

运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值

【详解】

因为sin[a+g=sinf，所以工sinaH———cosa=sina--cosa，

2222

所以(6+1卜。5£=(有-1卜ina,所以tana=*^=2+G.

5/3—1

故选：B

(2)(2022・广东・深圳市光明区高级中学模拟预测)已知角6的终边过点A(-U),则sin(5-6)=()

6

iV2+y/6D—\/2+^60A/2—y/6c—V2—y/6

4444

【答案】D

【分析】

JT

由任意三角形的定义求出sin。,cos。,由两角差的正弦公式代入即可求出sin(£-6).

6

【详解】

因为角。的终边过点A(-U),由任意三角形的定义知：sin6=¥，cos8=-

sin(—-0)=sin—cos0-cos—sin^=加—―.

6664

故选：D.

5兀

变式1、(2022年湖南常德市高三模拟试卷)下列选项中，与Sin^的值相等的是()

6

2兀oo

A.cos-^-B.cos18cos42°-sin18°sin42°

「tan30°+tan15°

C.2sin75°sin750D.---------；------7

1-tan30tan15

【答案】BC

57r7T12冗I

【解析】sin—=sin—=—,cos—=——，故A错误；

66232

cos18°cos42°-sin18°sin42°=cos(l8°+42°)=cos60°=—,故B正确;

2sinl5°sin75°=2sinl50cosl5°=sin30°=L故C正确;

2

tan300+tan15°

=tan(30°+15°)=tan45°=l,故D错误.

1-tan30°tan15°

故选：BC

变式2、(1)若Q+4=彳，则(l—tana)(l—tan夕)=.

【答案】2

3兀tana+tan夕

【解析】因为tanN=tan(仪+为=^;;;~~=—1,所以tanatan^—l=tana+tan色所以(1—tana)(l

41-tanoctanp

—tan份=1—tana—tan夕+tanoc-tan0=2.

(2)在△ABC中，tanA+tanB+^/3=^/3tanAtanB,贝！JC=；

【答案】I

ltanA+tanB「

【解析】由已知，得tanA+tan3=1§(tanAtanB—1),所以tan(A+B)=~~：———三=一，§.又0<A+B<K,

i-tanAtanD

2TTIT

所以A+3=§，所以C=Q.

变式3、(1)己知a是第二象限角，且sintz=走,

tan(«+/?)=-2,则tan£=,

5

3

【答案】-1

【解析】由a是第二象限角，且sina=好，可得cosa=—3&，tan«=--

552

/tana+tan0c1

由tan(a+力)=-2,可得;-------------=-2代入tan。二一一

'71-tan6rxtan/?f2

3

可得tan/,

3

故答案为：-

4

变式3、(2)已知sina=sin(a+g+g,则cos(a+聿)的值为()

D「平

A-3B-33

【答案】B

in(a+兀3+g,得sina=sinotcos胃+cosasin1+；=聂】na+坐cosa+1,则坐cosa-|sin

【解析】由sinasin3,

1

a=­g,即cosla+=

6)-3

方法总结：考查两角和差的三角函数.公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、

所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，

选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解.本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想.

考向二二倍角公式的运用

例2、（2022年深圳市深圳中学高三模拟试卷）（多选题）下列各式的值等于的是

~T

2tan22.5°

A.2sin67.5°cos67.5°B.2cos2--1C.l-2sin215°

121-tan222.5°

【答案】BC

【解析】】2sin67.5°cos67.5°=sinl35°=—，故A错误

2

2cos2--1-cos—=>故B正确

1262

l-2sin215°=cos30°=—,故。正确

2

2tan22.5°

=tan45°=1故D错误

1-tan222.5°

综上所述，故选B,C

变式1、（1）化简：（一，一tan•（1+tanoc-tan=

tan2一

2

【答案】

sina

a./

?—.sin^

cos2sin2sina2

【解析】原式=-1+

.aacosaa

sin^cos21cos。

a.aa,..aa

cos?o-sin?\cosoccos7+sinasm7_cos7-

2222_2cosa22

.aaa~sina(z-sina

sin^cos2cosacos/cosacos]

cos2a

(2)求证:4sin2a.

1a

atan2

tan2

.aa

ocos9asinTcosT

cos7acosa2，

【解析】左边=

a.a~.a~.a

COSTsin5cos与一sin?,cos^r—sin?^j

.aa.aa

sin5cos5sin^cosy

.aa

cos9asin^cos]

aa1.

cosacosasm^cos2—2sinacosa

所以原式成立.

兀1三匹〕

变式2、已知cos|g+ajcosl/a不建3'2)

(1)求sin2a的值;

⑵求tana一舟;的值.

Ldll(X

【解析】(l)cos《+a)cos|(xj=cosl|+ajsing71+a=|sin|2a+^1

64

(2a+%]

sin2a=sin

.71

=sinsin3

1J3

又由(1)知sin2a=2,「.cos2a=一方-.

1sinacosa

..tana—=一

tanacosasina

siiA/—cos2a—2cos2a

2X—邛p=2-V3.

sinacosa-sin2a

2

已知sin[a+g]=g,则sin[2a+2]的值为(

变式3、（2022・江苏如皋•高三期末）)

C.一走D.B

22

【答案】B

【解析】Qsin,+[=；

:.sin12a+力=sin2,+曰一1=-cos2^a+:|-^=-l-2sin2^ar+J|-

1

2

故选:B

方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用.三角函数式的化简要注意以下3点：①看角之间的差别与联

系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化

弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升基”等.本题

考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想.

考向三公式的综合运用

(l+sinO+cos。)Isin^-COS2)

例3、化简:----环嬴----(°"

HjrH

【解析】由。£（0,71）,得0<5<菱，，COS]>0.

因此、2+2cos8=4COS2^=2COS^.

/g

又(1+sinO+cos。)卜in1一ee

[2COS2

=2cos<sin<-os<g

C=12cos2cos仇

0

-2cos5cos9

故原式==—CQSO.

2cos5

变式1、（1）（2022・湖北江岸•高三期末）计算tan70。cos10。（百tan20°-1）=（

A.1B.-1C.gD.--

22

【答案】B

【解析】

tan70°cos100（若tan20°-1）=cot20°cos10°（括tan200-1）

*cosl。。［百里”

-1

sin20°Icos20°

*cosl。。'百sin20。-cos20。］

sin20°、cos20°,

疆（Am2°j°s2。。

冷2smg

-sin20°

sin20°

=-l

故选：B

sin122cos12-1

(2)(2022•山东省淄博实验中学高三期末)()=

6-tan12。

【答案】：

O

【解析】因为sinl2°（2cos212°-1）.sin12°cos12°cos24°_〈sm48]j.

V3-tanl2°-73cos120-sin12°-2sin48°-8

故答案为：—

o

变式2、（1）（2022年福建龙岩市高三模拟试卷）已知cos（a+£）=—奇，cos2«=,其中a,夕为

锐角，以下判断正确的是（）

八•。_120/19小

A.sin2CK———B.cos（tz—B）=---------

13I65

C.cosacos/3=^~c11

D.tanartanp=—

【答案】AC

【解析】因为cos（a+，）=—好，cos2e=-三，其中a,夕为锐角，故。+齐«0,兀）

513

/12

所以：sin2a=71-cos2la=一,故A正确；

13

因为sin（6Z+6）=Jl-cos（a+0y=~~~，

所以cos(a-/?)=cos[2a—(a+/?)]=cos2acos(a+/)+sin2asin(a+/3)

+"义毡="百，故B错误；

13565

可得cosacosp=g[cos(a+/?)+cos(cr-^)]=+=，故C正确;

可得sinasin/?=g[cos(a—/7)—cos(a+y0)]=；[2^^一(-^^)]='||j^,所以

万sinasinB21

1almta”=嬴诉TW，故D错误.

故选:AC

（2）（2023•江苏南通・统考一模）已知sin3-£1+cosa=|

贝ljCOSI2(7+yj=)

72424

A.BD.

25-i2525

【答案】B

【解析】sina——+cosa=——sina——cosa+cosa=一,

I6J225

所以+几sa』

225

所以sin(e+.)=|,

cos2a+—=cos2a+—=l-2sin2a+—=l-2x——=——,

I3)(6)I6)2525

故选:B.

方法总结：（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原贝U：

一看角，二看名，三看式子结构与特征.

（2）三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数

公式之间的共同点.

---------------------------------------------------------------------------------------------

1、（2022•福建•模拟预测）己知C为锐角，且sin（a+m=sin[-f,则tana=（）

A.V3B.2+6C.&D.G+6

【答案】B

【解析】

因为sin[a+g,所以，sina+^^cosau/'Sina-工cosa,

2222

所以（6+1卜osa二（百一1卜ini,所以tana=卓担=2+班.

,3—1

故选：B

3TT,2J,sin^-|,sin(«)=3os^则ta"=

2、（2022•湖南•长郡中学模拟预测）已知ae+/?C

2

B•4一9

A.-3C.3D.-

2

【答案】D

【解析】

由于sina=-g3且4]£,271),则有4

cosa=—

55

1849

由sincifCOs/?+coscrsin/?=3cos/?得，—cos；0=—siny0,故tan4=—,

故选：D.

3

3、（2022•广东湛江•二模）若tan（a-£）=j，tan尸=2,贝ijtantz=

7

【答案】北

【解析】

3

因为tan(a_/7)=],tan'=2,

3

11

所以tana-tan[(a_/?)+[]=，a：(：夕黑：乙二工一7

L」tan/7]_上*241

~2

7

故答案为：2

0，W],tan(a+尸)=g,则tan'=

4、（2022•广东韶关•一模）若sin（»一£

2

【答案】|

【解析】

因为sin(万一a)=^^,二£〔0,n,所以sina=m°,所以cosa=Jl-sin2a=,所以tanasina_1