三次函数的图像与性质（4大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与训练（解析版）

i重难题型•解题技巧攻略

・_J____________________________________________________

专题03三次函数的图像与性质

O---------------题型归纳•定方向----------*>

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题型01三次函数的零点.........................................................................1

题型02三次函数的极值、极值点................................................................7

题型03三次函数的切线........................................................................14

题型04三次函数的对称性......................................................................19

♦>-----------题型探析,明规律-----------O

题型01三次函数的零点

【解题规律•提分快招】

一、三次函数概念

定义：形如/(久)=ax3+bx2+ex+d(aW0)叫做三次函数

/(x)=3ax2+2bx+c,把4=4Z?2—12ac叫做三次函数导函数的判别式

22

人,-b-b-3ac-b+lb-3ac

当4>。时,令/(x)=0,记两根为%1=——---,々=——纥----

二、三次函数的零点个数

若三次函数/(%)=+b%2+c%+d(aH0)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下:

三次函数图像

性质说明

a>0a<0

零1\Kb2—3ac>0

点三一八)一fN),f(久2)<0

个个(v

\/\\两个极值异与

数TXT

图像与久轴有三个交点

【典例训练】

一、单选题

1.(24-25高三上•辽宁・期中)已知函数/(£)=*3+依2+云+。的三个零点分别为1,4，x2(O<Xj<x2),若

函数满足/(2X+1)=-〃1-2X),则/⑶的取值范围为()

A.[2,4]B.(4,6)C.(6,8)D.[4,8]

【答案】C

【分析】根据题设得函数关于(1，。)对称，进而有。=-(。+6+1)、%+%=2,且。<玉<1<%<2,结合

/(x)=(x-1)[A-2+{a+X)x+{a+b+1)],得到芯,超是g(x)=/+(a+l)x+(a+6+l)的两个零点,根据二次函

数性质求得。=-3、2Vb<3,即可求"3)的范围.

【详解】由〃2x+l)=—〃l-2x),即/(x+l)+/(l—x)=O,故函数关于(L0)对称，

所以7•⑴=l+a+6+c=0,贝!)c=—(a+6+l),

故/(%)=x3+ax2+bx—(a+b+l)=(x—l)[x2+(a+V)x+{a+b+V)},

令g(x)=尤?+(a+l)x+(a+b+1),且开口向上，对称轴为了=-----,

由题意玉+尤2=2,且0<%<1</<2,它们也是g(x)的两个零点,

所以-等f3,且g(0)=Q+〃+l=Z?-2>0,,

g(lL+3W3<0，故2<b<3,贝!1。=2一》,

所以/'(3)=2(6+1)e(6,8).

故选:C

【点睛】关键点点睛：应用因式分解及已知得到尤1，无2是g(x)=x2+(“+l)x+(a+b+l)的两个零点，且

为+3=2,且0cxi为关键.

二、多选题

2.（24-25高三上•辽宁沈阳•期中）已知函数/（尤）=1一依+2（aeR）,则（）

A.2）+〃2）=4B.若a＞0,则/（x）的极大值点为尤={1

C.若AW至少有两个零点，则。23D./（》）在区间上单调递增

【答案】ACD

【分析】A选项，代入计算，得至IJ/（-2）+/（2）=4；B选项，求导，得到函数单调性，得到尤=J1为极小

值点，B错误；C选项，分和。＞0两种情况，结合B选项，得到函数极值情况，从而得到不等式，

求出a23；D选项，分aWO和。＞0两种情况，得到-舟”L得到D正确.

【详解】A选项，/（-2）=-8+2t7+2=-6+2a,/（2）=8-2fl+2=10-2a,

故/（-2）+〃2）=4,A正确；

B选项，f'（x）=3x2-a,若。＞0,当龙＞/或x＜-0时，＞0,

当-A＜x＜A时，"幻＜0，

故f（x）在_”后上单调递增，在卜仁后上单调递减,

故X=为极小值点，B错误

C选项，f\x）=3x2-a,当aWO时，/V）＞0,故/（x）在R上单调递增，不会有两个零点，舍去;

与上单调递增,

当a＞0时，由B选项知，/（X）在一00,一

f（x）在*=怖处取得极小值，在x=*取得极大值,

且当X趋向于-GO时，/（X）趋向于-00,当X趋向于+8时，/（X）趋向于+C0,

要想了（X）至少有两个零点，则/<0,

解得a＞3,C正确；

D选项，由C选项知，当aWO时，在R上单调递增，满足在区间上单调递增,

、

当a>0时，f(x)在

其中「1-|-(-«-1)=>0

故-祗>,所以fM在区间上单调递增，

综上，在区间上单调递增，D正确

故选：ACD

【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次

函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等.

3.(24-25高三上•甘肃兰州•阶段练习)已知三次函数/(X)=加+凉+cx+d有三个不同的零点

xl,x2,x3(xl<x2<x3),函数g(x)=/(x)T也有三个零点M2J3O1<短<切，则()

A.b2>3ac

b

B.若占,和工3成等差数列，则々=-三

3a

C.xx+x3<tx+13

D.=彳+名+"

【答案】ABD

【分析】求导根据两个极值点即可求解A,根据“X)关于1(对称，结合等差中项即可求解B,

根据图象即可求解C,利用因式分解可得4+L+J=占+W+退/&+33+佑=xlx2+x2x3+xlx3,即可利用三

元平方关系求解D.

【详解】由/(x)=加+h2+5+1可得/=3办2+2&X+C,

要使/(%)有三个不同的零点%，%2，毛(石<%2<毛)，

则r(x)=3办2+2桁+c=0有两个不相等的实数根，故A=4/—12QC>0,

即b2>3ac9A正确，

由于1(x)=3加+2Zzx+c为二次函数，关于x=对称，因此

+小一!11-办3+/9+-+（||）+|知+2[=券+,知+21=2”（

故〃x）关于[9“-曰]对称,

因此不，无2,W成等差数列，故（尤2，/®））是“X）的对称中心，则々=-（，故B正确,

当。<0时，作出了（X）的图象，则〃x）的图象与y=l的图象交点如图所示，

由于为>/i],^3，故X]+%>?1+%，故C错误,

对于D,根据。（工-玉乂工一马乂了―尤3）=加+入龙2+cx+d，

22

展开可得63一+X2+^）%+〃（石%2+%2毛+石毛）1一的工2毛=63+Zzx+cx+d,

故一〃（玉+%+&）=〃,〃（菁%2+%2毛+%毛）=。，一叫%2毛=d,

同理可得/（X）_]=办3+灰2+5+1_]=0的三个实数根为.W4l<与），

贝!]ax'+凉+“+[_]="（1—.）（工_2）（1一%）=0,

-Cl+%2+，3）="，〃（42+1j3+阜3）=3­0邛2,3=d—1,

因此。+/2+%3=演+%2+%3，+必3+印3=X1X2+X2X3+X1X3，

故（玉+/+%）2—2（%/+兀2%3+石毛）=（。+»2），

即得入；+石+考=彳+名+4，故D正确，

故选：ABD

关键点点睛：根据因式分解可得。+/2+/3=玉+入2+%3，单2+垃3+巾3=玉%2+x2x3+玉％3，进而根据

2

（jq+x2+X3）-2（XjX2+X2X3+玉％3）=（。+t2+g）2—2（%，2+,2,3+4/3）求解.

三、填空题

x3+3x2—2,x<0,

4.（24-25高三上•广东•阶段练习）已知〃x）=Inx若函数g（x）=〃x）r”有两个零点，则机

---,x>0,

、x

的取值范围为

【答案】（-s，-2）u]；,2）

【分析】首先利用导数说明函数在各段的单调性与最大值，即可画出函数图象，依题意可得y=相与y=f(x)

的图象有两个交点，数形结合即可得解.

【详解】当XWO时，〃力=丁+3/_2,贝！］/'(%)=Sf+GxnBxq+2),

所以当无«--一2)时，f，(x)>0,函数f(x)单调递增；

当2,0)时，f，(x)<0,函数单调递减.

32

所以当xVO时，/Wmax=f(-2)=(-2)+3x(-2)-2=2.

、r,/./\InxEc,/\1-lnx

当x>0时，/(x)=—,贝!J尸(x)=——,

XX

当x«0,e)时，f，(x)>0,函数/⑺单调递增；当xe(e,+8)时，f，(x)<0,函数/(元)单调递减.

所以x>。时，〃x)max=〃e)=F=:.

画出函数的图象如图所示：

因为函数g(x)=/(x)-机有两个零点，所以y=帆与y=f(x)的图象有两个交点,

由图可知机<-2或,<根<2,

e

所以机的取值范围为(-巴-2)口［：,2).

故答案为：(-双-2)口\,2)

5.(24-25高三上•天津•阶段练习)已知函数/(x)=F-2x，x：0,若方程/(力+/(_*=。有且仅有两不等

［x+a,x>0

实根，则实数。的取值范围是.

【答案】［0,y)口{—2}

—x3+3x,尤<0

【分析】由题意，构造函数g(x)=,方程〃x)+〃T)=0有且仅有两不等实根，即直线y=a

x3—3x,x>0

与函数y=g(x)的图象有两个交点，作出函数的图象，根据交点的情况得到答案.

【详解】当x<0时，方程/(力+/(-力=0可化为三—2x—x+a=0f即Q=一丁+3%,

3

当x>0时，方程〃x)+/(—x)=0可化为x+a+(r)3—2(—x)=0,^a=x-3x,

-x3+3x,x<0

令g(尤)=<,方程〃x)+/(-x)=O有且仅有两不等实根，即直线y=。与函数y=g(x)的图象

x3-3x,x>0

有两个交点,

当x<0时，g(x)=-x3+3x,(%)=-3x2+3,

当-l<x<0时，g'(x)>O,g(x)单调递增；当x<-l时，g'(x)<O,g(x)单调递减；当x=-l时，g(x)取极

小值—2.

当%>0时，g(^)=-3x,g'(A:)=3x2-3,

当0<x<l时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>l时,g<x)>0,g(x)单调递增；当x=l时，g(x)取极小值

—2.

根据以上信息，作出g(x)的图象如图，

由图可知，当。20或。=-2时，直线y=。与函数y=g(x)的图象有两个交点，即方程/(x)+/(-x)=0有

且仅有两不等实根.

故答案为：［0,+8)口{-2}.

题型02三次函数的极值、极值点

【解题规律•提分快招】

一、三次函数的图像及单调性

注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！

系数关系式/X)的图像/(久)的图像/(%)的性质

【典例训练】

一、单选题

1.(2024・四川泸州•一模)已知函数〃制=无原-4在x=l处取得极大值，则。的值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据极值点求参数，再由所得参数验证在x=l处是否取得极大值，即可得答案.

【详解】由题设/'("=3/一4依+储，则尸⑴=3—4a+a2=0,可得a=l或Q=3,

当a=1时/'(%)=3%2—4%+1=(3x—l)(x—1),

当或x>l时尸(x)>0,则/(X)在(-8,；)和(L+8)上递增，

当(<x<i时r(X)<o,则于(X)在g,i)上递减,

此时在X=1处取得极小值，不符；

当4=3时r(x)=3x2-12x+9=3(x-l)(x-3),

当尤<1或x>3时尸(x)>0,则/。)在(-«,1)和(3,+8)上递增，

当l<x<3时/''(HvO,则在(L3)上递减，

此时在x=l处取得极大值，符合；

综上，a=3.

故选：C

2.(24-25高三上•吉林长春•阶段练习)若x=0是函数/(x)=；V-+；卜+(/+a)xT的极小值点，则

fM的极大值为()

A.-B.-C.--D.--

6336

【答案】D

【分析】根据题意，由条件可得/'(0)=0,即可得到。的值，然后代入检验，再由函数极值的求解，代入

计算，即可得到结果.

【详解】由/(x)=—(a+—)%2+(a2+a)%—1可得广(x)=x?—2[a+]]x+(/+"),

又尤=0是函数〃x)的极小值点，所以/(0)=/+°=0,解得。=0或。=一1,

当a=0时，f'(x)=x2-x=x(x-l),

当xe(F,0)时，f'(x)>0,此时/(x)单调递增,

当xe(O,l)时，f'(x)<Q,此时单调递减，

即尤=0是7'(X)的极大值点，不符合题意，故舍去；

当a=-l时，/,(x)=x2+x=x(x+l),

当xe(y,-l)时，/(力>。，此时〃x)单调递增，

当xe(-LO)时，r(x)<0,此时单调递减，

当xe(O,4w)时，r(x)>0,此时单调递增，

即x=-l是〃x)的极大值点，x=0是的极小值点，符合题意，

此时/(x)=§尤3+5X2,

所以“X)的极大值为〃-1)=-；+：-1=一|.

故选：D

3.(24-25高三上•辽宁•阶段练习)已知函数/(同=彳3_2加+及+£?(0,6,(?€1＜),/'(x)是/'(x)的导函数,

则下列说法错误的是()

A.“a=c=O”是“/⑺为奇函数”的充要条件

B."4=6=0”是“〃x)为增函数”的充要条件

C.若不等式〃司＜。的解集为闾尤＜1且xhT},则的极小值为-II

D.若毛、X,是方程/'(%)=0的两个不同的根，且＜+[=1,则。＜0或。＞3

【答案】B

【分析】利用奇函数的定义可判断A选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断B选项；利用不等式解

集与方程的关系可得出函数/(X)的解析式，利用导数求出函数的极小值，可判断C选项；利用根与系数的

关系结合A＞0可判断D选项.

【详解】对于A选项，若函数〃”=无3-262+灰+°(4,反。62为奇函数，

贝(l/(r)=-〃x),

/(—x)=(一%)_2a(一兀)+Z?•(_%)+c=—d_2(X^2_/zx+c,

所以，-三-2ax2-bx+c=-^-2OX1+bx+cj=-x3+2ax2-bx-c,

_,f-4a=0

即Tax?+2c=0对任意的xeR怛成立，贝(„»可得a=c=0,

[2c=0

所以，"a=c=0”是“/(x)为奇函数”的充要条件，A对；

对于B选项，易得/'(x)=3尤之一4依+6,

因为函数/(x)为增函数，则A=16a2-126N0,可得4〃_36»0,

所以，“。=6=。，，="4/-3620”，

若取。=。=2,贝!!46-3。20成立，即“a=6=0"e“4/-3620”，

所以，"4=6=0，，是"/⑺为增函数，，的充分不必要条件，B错；

对于C选项，因为不等式〃x)＜0的解集为{小＜1且xH-1},

则-1、1为方程〃尤)=。的两个根，设方程，(尤)=。的第三个根为七，

则f(x)=(xT)(x+D(x-%),

若不＜-1,则不等式〃x)＜0的解集为(f,%)U(Tl)，不合乎题意；

若毛=-1,贝怀等式/⑺＜0的解集为(F,-1)U(T1),合乎题意；

若则不等式〃x)＜0的解集为(-«,-1川优,1),不合乎题意；

若％=1,则不等式“无）＜。的解集为（-8,-1）,不合乎题意；

若%＞1,则不等式/（无）＜。的解集为（e,-i）U（i,%）,不合乎题意.

所以，毛=-1,则〃尤）=（X—D（X+1）2,

/r（x）=（x+l）2+2（%-l）（x+l）=（3x-l）（x+l）,列表如下：

£2

X(-00,-1)-1

3

/‘（X）+0—0+

“X)增极大值减极小值增

所以，函数/（无）的极小值为d：=-|xg]=-1|,C对；

对于D选项，若小马是方程/'（x）=3*-4依+6=0的两个不同的根，

4〃h

由韦达定理可得%+多=£,^2=1,

11%4〃r

所以，-^=「1，可得》=4。，

演x2玉尤2b

由于△=16〃2一126=16/一48。＞0,解得。＜0或a＞3,D对.

故选：B.

【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下：

（1）求函数〃元）的定义域；

（2）求导；

（3）解方程/（尤0）=。，当/'（不）=0；

（4）列表，分析函数的单调性，求极值：

①如果在无。附近的左侧/（无）＜0,右侧（（尤）＞。，那么"不）是极小值;

②如果在与附近的左侧/（x）＞0,右侧/'。卜。，那么〃看）是极大值.

二、多选题

4.（24-25高三上•江西南昌•阶段练习）已知函数/（无）=（x-a）2（x-b）（a＜b）,2为了。）的极大值点，则下

列结论正确的有（）

A.a=2

B.若4为函数/（%）的极小值点，则6=4

C.若/（X）在（彳，“内有最小值，则6的取值范围是1|,+s]

D.若，(x)+4=0有三个互不相等的实数解，则6的取值范围是(5,+s)

【答案】AD

【分析】先求得f'(x),然后根据函数的极值、最值、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A,f'^x)=2(%—a)(x—&)+(%—a)-=(x—a)(2x—2Z?+x—a),

=(x-a)(3x-a-2b),/'(x)=0,贝！J尤=°或^^,而a<6,贝！

令f'(x)>0,得或,令f'(x)<0,得r<尤<“,

故在a)单调递增，卜丁^单调递减，［巴詈,+6单调递增；，

・•.f(x)的极大值点为。，.•.4=2,A对.

对于B,若4为极小值点，则工^=4,则6=5,B错.

对于C,〃可在仁,“内有最小值，则小)在审处取得最小值/［二%

〃X)=(X-2)2(X-6),［带)

噌-2信琲用

0-3)26<0-2)3,.-.^>1，故C错误.

对于D,〃力=-4有三个互不相等的实数解，"2)=0,

贝！］一4(等)<-4,故/>5,故D正确；

故选：AD

【点睛】关键点睛：导数的准确求解与符号分析：通过求导并分析导数的符号变化，是判断函数单调性和

极值点的关键步骤,确保每一步的符号处理准确，是得出正确答案的基础.

条件验证的完整性：对于多项选择题，通过完整地验证每个选项的条件，可以确保答案的准确性.尤其是涉

及极值点和方程解的条件时，要特别注意每个条件的符号和数量判断.

5.(24-25高三上•江苏•阶段练习)已知三次函数/(x)=幺(x-b)2,则()

A.函数/(x)一定有两个极值点B.当a<0<6时，f(a)>f(a+b)

C.当例>0时，/(x)的极小值为0D.孔,£>€11,70)在区间［«,切上的值域为［<2,可

【答案】BCD

【分析】对于AD,利用特例法可判断其正误，对于B,利用作差法可判断其正误，对于C,判断导数的符

号可判断其正误.

【详解】对于A,当匕=0,。=1时，/(尤)=尤3,该函数在R上为增函数，无极值点，故A错误；

对于B,f(a)-/(«+Z?)=(a-Z?)2-tz3(«+/?)=a2b(Z?-3tz),

而Q<O<Z?,故/人〉。,仅_3〃)>0,故/匕伍_3仪)>0,所以73)>/3+力，

故B正确；

对于C,7'(X)=a(x-b)2+2〃x(x-/?)=,

b

若〃>0,贝！|b〉0,此时当或x〉Z?时，f'(x)>0,

A

当(<x<6时，f<x)<0,故〃X)在X=b处取极小值〃b)=0；

b

若avO,贝(JbvO,此时当或时，fz(x)<0,

当时，f，(x)>0,故在x=b处取极小值/•他)=0；

故C正确；

对于D,当avO,b>0时，

hh

贝！I当元或x>〃时，fz(x)<0,当］<工<"时，f'(x)>0,

-A"|「/?一

故“X)在为减函数，在上为增函数，

取6=3.21,贝==a^=a,

/_2、2_2

考虑方程/x-3-2^-3・2行=0在(-双0)上是否有解，

\7

(_2、2_22

设s(x)=%2x-3-23-3-23,则s(0)=—3-2§vO,

\7

(2A2_2_2

s(-3)=93+3-2-3-3-2^>9-3-2^>0,

\7

由零点存在定理可得s(x)在(T,。)上存在零点，设该零点为。，则/(a)=6>0,

则/(力在可上的值域为句,

故D成立，

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：对于三次函数中定义域与值域一致的问题，我们先利用导数判断函数的单调性，再

结合函数在闭区间上端点处、在区间内的最值的关系来判断处理即可.

三、填空题

6.（24-25高三上•四川攀枝花•阶段练习）已知函数〃尤）=+尤+2两个极值点分别为椭圆与双

曲线的离心率，则实数加的取值范围是.

【答案】m<l

【分析】根据题意可得方程/（》）=0有两个不相等的实数根网，马，且占€（0,1）,%€（1,+00）,根据一元二次

方程根的分布可得结果.

【详解】椭圆离心率心（。，1）,双曲线离心率e以（1,?）.

由题意得，/，（x）=x2+（m-3）x+l.

•.•函数两个极值点分别为椭圆与双曲线的离心率,

:.方程f'M=0有两个不相等的实数根网,X2,且玉w（0,1）,3€（1,+8），

r/-（o）=i>o

[r⑴=1+加一3+i<o解得m<1.

故答案为：m<\.

题型03三次函数的切线

【典例训练】

一、单选题

1.（23-24高三上•广东汕头•阶段练习）若过点（根,〃）（加>0）可作曲线y=V-3x三条切线，贝|（）

A.n<—3mB.n>m3—3m

C.n=m3—3mgKn=—3mD.-3m<n<m3—3m

【答案】D

【分析】设出切点”（%,%）,求导,得到切线方程,将>。）代入切线方程,得到2片-3:腐+3优+〃=0,

故2£-3,厨+3根+〃=。有三个实数根，令g（x0）=2片-3谒+3加+〃，求导，得到其单调性和极值点情况，

从而得到不等式，求出答案.

【详解】设切点为“5,%）,则%=/（无o）=片-3%,

/^X）=3X2-3,故（优）=34-3,且切线方程为y-%=（3x；-3）（x-x。），

因为（m,ri）｛m>0）在切线上，故”-（片-3尤°）=（3x；-3）（租-尤0）,

整理得2%o-3mx；+3m+几=0,

因为过点（m,n）（m>0）可作曲线y=V—3%三条切线，

故2x1-3*+3m+n=0有三个实数根，

设g（%）=24-3mXg+3m+n,则g'（%。）=6%-6mc。=6%（%-m）,

由g(%)=°得，/=。或“,

因为m>0,由g'GobGXoao-"2)>0得/>根或％<0,此时g(%o)单调递增，

由8，亿)=65(5-7〃)<0得。<不<〃2,此时g(x())单调递减,

所以g(毛)=2年-3:词+3m+n的极大值点为%=0,极小值点为xQ=m,

故2无；-3mxl+3m+n=Q要有三个实数根的充要条件为,

[3m+n>0

即13a八，解得—3机〈nd—3m・

\—m+5m+n<0

故选：D

【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：

(1)已知切点A&,/(x。))求斜率左,即求该点处的导数k=f(x0).

⑵已知斜率上求切点可士,〃%)),即解方程((%)=左；

(3)已知切线过某点加(石,〃石»(不是切点)求切点，设出切点人(%,/(%)),利用

4=/()―/(%)=解.

%一次0

二、多选题

2.(24-25高三上•河北张家口•开学考试)已知函数〃元)=:尤3一Gz+」，则()

36

A.。>0时，x=0是/'(》)的极大值点

B.若FQ)存在三个零点，贝必>；

C.当。=0时，过点(0,0)可以作/(彳)的切线，有且只有一条

D.存在a,W/(—1^)+/(7—)+/(^3)+-+/(2^02^2)=3—37

20232023202320232

【答案】ACD

【分析】求出极大值点判断A；〃尤)有三个零点，求出。的范围判断B；利用导数的几何意义求解判断C；

取a=g,求出函数图象对称中心计算判断D.

【详解】对于A,当。>0时，f\x)=x1-2ax=x(x-2a),当％v0或%>2a时，/z(x)>0,

当0vxv2a时，/«<0,因此x=0是/(%)的极大值点，A正确；

32

对于C,当a=0时，/(x)=^x+|,f'M=X>0,设切点为亿1r+3，-⑺=产，

3636

则切线方程为、-(¥+》=〃(XT),由切线过点(0,0),得/=；,此方程有唯一解，

因此过点(。,0)可以作f(x)的切线，有且只有一条，C正确

对于B,当。>0时，f(x)在x=0上取得极大值”0)=，，在x=2a处取得极小值"2°)=-%+L

636

函数/(X)存在三个零点，则/(2〃)=-±匚+,<0,解得。>:，

362

当。=0时，/(X)在R上单调递增，/'(X)最多一个零点；

当〃<0时，当％<2.或%>0时，f\x)>0,当2a<x<0时，/f(x)<0,

因此/(X)在x=2。处取得极大值/(2a)=--+->0,在尤=0上取得极小值/(0)=1,

则F(尤)最多一个零点，于是f(x)存在三个零点，«>1,B错误;

对于D,取"；，则=/(I)+/(X)="X)T(1T)2+*#_#+X

A1232022

令S=/(——)+/(——)+/(——)+-••+/(——),

2023202320232023

me〃/2022、“2021、“2020、“1、10337

贝”=/(----)+/(----)+/(----)+-••+/(-----),2s=—x2022=337,S=——

202320232023202362

i1232022337

因此当〃=—时，/(——)+/(——)+/(——)+-••+/(——)=——,D正确.

220232023202320232

故选：ACD

3.(24-25高三上•广东广州•阶段练习)已知函数/(无)=；尤3+无2+办+优°]€1<),则()

A.。=-3时，若/(W有3个零点，则实数6的取值范围是

B.。=6=0时，过(1,0)可作函数/'(x)的切线有两条

C.若直线/与曲线>=/(尤)有3个不同的交点3(孙％)，C(w，%)，且加RAC|,则

西+%+%=3

D.若/(*)存在极值点飞,且〃为)=/(占)，其中吃力玉，则%+2%+3=0

【答案】AD

【分析】求导后分析函数的单调性，利用极大值大于零，极小值小于零可得A正确；设切点(%，%)，由导

数的意义求出斜率，再由点斜式得到直线方程，然后由点在切线上代入解方程，由根的个数可得B错误；

再次构造函数g(x),从而求出对称中心点即可得C错误；根据函数存在极值点毛，再结合令

xx+2x0=t,求出/即可得D正确;

【详解】对于A,当。=一3时，/(无)+/-3x+Z?,f\x)=x2+2x2-3=(x+3)(x-l),

令/'(%)=。，解得玉=-3,々=1,

所以/(X)在(-力,-3),(1,+8)上为单调递增函数，在(-3,1)上为单调递减函数，

若/(x)有3个零点，贝!J极大值/(一3)=9+6>0=6>—9,极小值/(l)=6-g<0=6<g,

所以实数b的取值范围是，9,；｝故A正确；

对于B,当a=6=0时，f(x)=^x3+x2,

设切点为(4,%)，贝!I/'(X)=X2+2X,所以切线的斜率k=x：+2x”

切线方程为y-”=(/+2匕)(*-*4)，

又点(1,。)在切线上，且％=g只+*，

代入可得+X；]=(X：+2%)(1-尤4)，

整理可得一1无；+2%=0,解得七=°或±6，

所以应该有三条切线，故B错误；

对于C,令g(x)=f，(x),则g'(x)=2x+2=0,得x=-L,贝！|三次函数f(x)的对称中心是(-IJ(-D).

当直线/与曲线y=f(x)有3个不同的交点A(xi，yi),B(x2,y2),€:(&,%)，且|A例=|AC|时，

所以点A一定是对称中心，所以占+%+W=3占=-3,故C错误；

2

对于D：若/(%)存在极值点毛，则((无)=(尤+iy+aT=0,a<l,(x0+1)=l-a,

令1i+2x0=t,得芯=，一2%0,

因为/(%)=/(为)，于是=2%),

1132

以§X：+%：+dLXg+Z?=耳-2%0)+[t_2/o)+Q(/-2%)+Z7,

化简得：、+1](-3%『=0,

因为毛片为，故比一片0,于是/=_3,即X]+2xo+3=O,故D正确；

故选：AD.

4.(24-25高三上•浙江•开学考试)三次函数/(Mn/+o?+x+l叙述正确的是()

A.函数可能只有一个极值点

B.当。=0时，函数〃x)的图象关于点(0』)中心对称

C.当天=-三时，过点(~J(x。))的切线可能有一条或者两条

D.当X时，在点&,〃%))处的切线与函数y=〃x)的图象有且仅有两个交点

【答案】BD

【分析】求导，令/'(%)=0,利用△结合二次函数的图象可判断A；利用y=d+x是奇函数，可判断B；

设切点(X]f(xi)),切线方程为y-/(%)=/'(%')(%-为)，结合已知可得(M-X])2(Xo+4+2X])=O,求解可

判断C；在点(xo，f(x。))处的切线为丁-/(%)=/'(无。乂了-王)，与曲线方程联立方程求解可判断D.

【详解】对于A选项：r(x)=31+*+l,令广(x)=0,

BP3无2+2分+1=(),△=4。2—12,

当A>0时，方程/'("=0有两个不同根，有两个极值点；

当△<()时，"X)无个极值点，故A错误；

对于B选项：/(%)=x3+x+l,又>是奇函数，关于点(0,0)对称，

所以函数/■("的图象关于点(0,1)中心对称，故B正确；

对于C选项：设切点(Xi，f(xD),则切线方程为卜/&)=/'(刈(％-王)，

因为过点(Xo，f(xo)),所以〃%)—/(%)=>(幻(％—石),

即片—+a(尤6—X；)+XQ一芯=(3玉2+2cuc^+1)—芯)，

整理得(方-玉)2(毛+°+2%)=0,所以%=x°,或玉=一笠9,由于毛=一_|,

则两根相等，即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；

对于D选项：在点(xo，f(x(j))处的切线为,一/^5尸尸伉乂左一番),

与曲线联立方程组F一4尤°):，I"f)化简得，(x_x°ya+a+2x)=0,

所以x=x°,或％=-号/,由于无则方程组有两个不同解，

即有两个不同交点，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

5.(23-24高三上•四川内江.期末)己知函数/(尤)=-/+2%2_了+1,若过点尸(1J)可作曲线y=〃x)的三条

切线，贝疗的取值范围是.

【答案】(1,||)

【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，将问题转化为方程有三个实数根的问题，再

利用导函研究函数的极值求解作答.

【详解】设过点尸(L。作曲线y=/(尤)的切线的切点坐标为(%,-片+2%-%+1),

由/(%)=—丁+2f—x+1求导得：/'(%)=—3%2+4x—1,贝!|切线斜率上=—+4%—1,

_

切线方程为y-(^o+2x；-x0+1)=(-3x；+4x0-l)(x-x0),

于是"(一3%；+4x0—1)(1—x0)+(一片+2x1-x0+1),整理得t-2%Q-5%o+4x0,

令g(%)=2x3-5x2+4x-t,求导得g'(x)=6x2-10x+4=2(3x-2)(x-1),

22

由g'(%)>0,得％或%>1,由g'O)v。，得

22

因此函数g(%)在(-8,1),(l,+8)上单调递增，在(§/)上单调递减，

当天=：时，函数g(x)取得极大值g(mY,当1时，函数g(x)取得极小值gQ—,

因为过点尸(甲)作曲线y=/⑺的切线有三条，则方程”2舅-5x：+4%有3个不等实根，

[28八

____1>0亦

即函数g(%)有3个零点，由三次函数的性质知，27,解得

1-，<027

9Q

所以/的取值范围是(1,1|).

故答案为：(1,台)

27

题型04三次函数的对称性

【解题规律•提分快招】

一、三次函数的韦达定理

设/⑺=a/+b/+ex+d（a大0）的三个零点分别为％i，x2,x3,则

（l）xi+X2+xs=~~

（2）/%2+X2X3+X3X1=:

（3）式/2叼=一£

/八1.1.1C

（4）—I---1—=--

X1X2%3d

二、三次函数的对称性

结论1三次函数f(%)=a%3+b%2+c%+d(aW0)的图象关于点(一盘，/(—/))中心对称

结论2已知三次函数/(汽)=ax3+bx2+c%+d(aW0)中心对称点的横坐标为久°,两个极值点分别为%j

“2,则"?二㈤=)(久。)T&-久2『

结论3若y=/(久)图像关于点(m,n)对称，则y=f'(x)图像关于轴久=m对称

点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数

奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数

【典例训练】

一、多选题

1.(2024高三.全国・专题练习)已知函数〃x)=x3-x+l,则()

A./(x)有两个极值点B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=〃尤)的切线

【答案】AC

【分析】求出导函数，利用导函数的符号及极值的概念判断A,根据单调性及极值的符号判断B,先利用

奇函数定义求得〃(x)=/-x的对称中心，进而利用平移法求得/(x)=x3-x+l的对称中心判断c,根据导

数的几何意义求得切点坐标，进而求解切线方程判断D.

【详解】由题意，f'(x)=3x2-l,令((尤)=。，得x;土旦

3

令r(无)>0,得X>走或X〈一且，令八尤)<0,得一出<X〈且；

3333

所以“X)在卜#，刈上单调递减