人教版高考数学专项复习：排列与组合【十大题型】

专题6.2排列与组合【十大题型】

【人教A版(2019)]

A题型梳理

【题型1有关排列数的计算与证明】............................................................2

【题型2排列数方程和不等式】................................................................3

【题型3元素(位置)有限制的排列问题】......................................................5

【题型4相邻问题的排列问题】................................................................7

【题型5不相邻排列问题】.....................................................................8

【题型6有关组合数的计算与证明】...........................................................11

【题型7组合数方程和不等式】................................................................12

【题型8组合计数问题】......................................................................14

【题型9分组分配问题】......................................................................15

【题型10排列、组合综合】...................................................................17

A举一反三

【知识点1排列与排列数】

1.排列

(1)排列的定义

一般地，从”个不同元素中取出”，加eN*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从w

个不同元素中取出m个元素的一个排列.

(2)排列概念的理解

①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列.

②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同.

③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断,

这一点要特别注意.

(3)排列的判断

判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任

取相⑺&小个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关

的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有

变化，就与顺序无关，就不是排列问题.

2.排列数

(1)排列数定义

从"个不同元素中取出"，机eN*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从〃个不同元素中取出

%个元素的排列数，用符号47表示.

(2)排列数公式

=w("-l)(〃-2)…(〃-〃z+l).这里，n,mGN",并且

(3)排列数公式的理解

①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有w种排法；第2步，排第2个位置的元

素，有(〃-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(w-2)种排法；…；第加步，排第m个位置的元素，

有(小优+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有4：=”(小1)义(小2必.“(力-"计1)种不同的排法.

②排列数公式的特征:第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个因数少1,最后一个因数是n-m+1,

共有机个因数.

3.全排列和阶乘

(1)全排列

特别地，我们把九个不同元素全部取出的一个排列，叫做"个元素的一个全排列，这时公式中机』，

即有&=wx(w-1)x(w-2)x…x3x2x1.

(2)阶乘

正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘,用川表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成4；=次，

规定0!=1.

(3)排列数公式的阶乘表示

4.排列应用问题的分类与求解思路

(1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在

实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类

过多的问题可以采用间接法.

(2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的

内部排列.

(3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面

元素排列的空档中.

【题型1有关排列数的计算与证明】

【例1】(23-24高二下•山东荷泽•期中)neN*,n<20,贝4(21—n)…(100—n)等于()

A.A®oO_nB.A编2rlC.A®Q0_nD.A狄日

【解题思路】根据给定条件利用排列数公式的意义即可得解.

【解答过程】因JieN*且n<20,(21-n)(22-n)-(100-几)表示80个连续正整数的乘积，

其中最大因数为100-71,最小因数为21-71,由排列数公式的意义得结果为A相0F，

所以(21-n)(22-n)…(100-n)=Afg0_n.

故选：A.

【变式1-1](23-24高二下.重庆黔江.阶段练习)求A专+A?的值为()

A.12B.18C.24D.30

【解题思路】利用排列数的计算方法即可得解.

【解答过程】Ai+Ai=3X2+4X3=18.

故选：B.

【变式1-2](23-24高二下•宁夏吴忠・期中)计算：

(1)A：+A4+A4+A4；

(2)4A1+5A|；

(3)已知A卷=7A„_4,求?i

【解题思路】(1)(2)利用排列数公式计算即可.

(3)利用排列数公式化简方程，再求解方程即得.

【解答过程】(1)A%++A；+A£=4+4x3+4x3x2+4x3x2x1=64.

(2)4A?+5Ag=4x4x3+5x5x4x3=348.

(3)由AZ=7A"4，Wn-4>2,nEN*,即n26,?ieN*,贝比⑺-1)=7(n—4)(n-5),

整理得(3n-10)(n-7)=0,所以n=7.

【变式1-3](24-25高二・江苏•课后作业)求证：

⑴的+4A?=A|；

I1

(2)A^+mArt.

【解题思路】(1)利用排列数公式化简可证得等式成立；

(2)利用排列数公式化简可证得等式成立.

【解答过程】⑴证明：A1+4A3=I：+=^=At.

(2)证明：端+m蹄-=—+=(n-”;+i)x小=A/+「

【题型2排列数方程和不等式】

【例2】(23-24高二下•河南郑州•期末)不等式3AM<2A>]+6A^的解集为()

A.{3,4,5}B.{3,4,5,6}C.{%|3<x<5]D.[x|3<x<6}

【解题思路】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解.

【解答过程】易知x>3,XEN.

因为A*=x(x—1)(%—2),A。1=(%+1)%,A箜=x(x—1),

所以原不等式可化为3%(%—1)(%—2)<2x(%+1)+6x(%—1),

所以34%<5,

所以原不等式的解集为{3,4,5}.

故选：A.

【变式2-1](24-25高二下•全国•课后作业)不等式A百<6A『2的解集为()

A.[2,8]B.[2,6]C.(7,12)D.{8}

【解题思路】根据题意，利用排列数公式和排列数的性质，列出方程求得7<xW8,结合XCN*,即可求

解.

【解答过程】由A1<A「2,可得整理得——19久+84<0,解得7<%<12,

°°(8-x)!(10-x)!

又因为f解得2WxW8,

lx-2>0

综上可得7<x48,又由xeN*所以x=8.

故选：D.

【变式2-2](23-24高二下•江苏苏州•阶段练习)(1)解关于x的不等式A€<6A/2；

(2)解不等式:3Az<2A]i+6A)

【解题思路】(1)(2)将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解，

【解答过程】(1)依题意，有.•.2WXW8,

由A[<6A/2,得—_<6x—即1<——-——，

88(8-x)!(10-%)!(10-x)(9-x)

整理得%2-19%+84<0,解得7<x<12,所以7<xW8,

又xeN*得x=8,

所以A百<6AM2的解集为{8}.

(2)因为3AM<2A>i+6A如

"V?X(*+1)!6x"fQ<7Xx+1_____|___®_

所以「(X-3)!*"*(XT)!十0*J)!,即『一"乂(一乂1)十(x_2),

Ix>3,xGN*Ix>3,xGN*

整理得,(3x—w。，解得[,故xe[3,4,5},

(x>3,xeNU>3,%GN*

所以不等式解集为{3,4,5}.

【变式2-3](24-25高二上•全国•课后作业)解下列方程或不等式.

(1)A短=2A"i；

⑵蜴<6AH2.

【解题思路】(1)根据条件，利用排列数公式即可求出结果；

(2)先利用排列数公式得到/-19X+84<0,从而得到7<x<12,对根据排列数公式要求，求出x的

范围，进而求出结果.

【解答过程】(1)因为A猊=2AM「

•2n>3

由W+124,解得n23,

.n£N*

由原式可得2n(2n-l)(2n-2)=2(n+l)n(n—l)(n—2),解得n=5或n=0或n=1.

又因为n>3,所以几=5.

(2)因为A百<6A/,

•1<x<8

由1Wx-2W8，解得3<x<8且xeN*,

%eN*

由原不等式可得冷二<6x

(8-x)!(10-x)!

化简可得——I9x+84<0,解得7<x<12,

又3WxW8且K€N*,所以x=8.

【题型3元素(位置)有限制的排列问题】

【例3】(23-24高二下•内蒙古•期中)从6人(包含甲)中选派出3人参加4B,C这三项不同的活动，且

每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加力和B活动，则不同的选派方案有()

A.60种B.80种C.90种D.150种

【解题思路】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解.

【解答过程】当甲被选中时，不同的选派方案有Ag=20种；

甲没被选中时，不同的选派方案有Ag=60种.

故满足条件的不同的选派方案有20+60=80种.

故选：B.

【变式3-1](23-24高二下.北京通州•期末)某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要

从4B,C,D,E,F这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作(每道工序安排一人)，如果员工4不能

安排在第四道工序，则不同的安排方法共有()

A.360种B.300种C.180种D.120种

【解题思路】从6人中任取4人安排工作，去掉A安排在第四道工序工作的安排方法数即得.

【解答过程】从6名员工中任选4人，安排在4道工序上工作的安排方法数为A*种，

其中员工4在第四道工序工作的安排方法数为Ag种，

所以不同的安排方法共有A2-Ag=300（种）.

故选：B.

【变式3-2］（23-24高二下•四川绵阳•期末）某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家

公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的

安排方案有（）

A.48种B.36种C.24种D.18种

【解题思路】先安排甲乙，共有3种安排，剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，第二类是三个

人去除甲乙去的公司的另外两个公司，然后用分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可得解.

【解答过程】因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，先安排甲乙，从三家公司中选一家公司共有3

种选法；

剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有Ag种安排方法；第二类三个人去除

甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，所以共有C弘纤中安排方法；

所以共有不同的安排方案有3x（A1+釐A分=36种，

故选：B.

【变式3-3］（23-24高二下•海南海口•期末）某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强

基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年

学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才.某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同

学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）.甲

和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这

两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有（）

A.48种B.54种C.60种D.72种

【解题思路】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名，分甲在第五名与甲不在第五名两种

情况讨论.

【解答过程】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名，

①甲排在第五名，则有A1A1=18种排法；

②甲没有排在第五名，则甲、乙有A专种排法，其余人全排列，故有A专Ag=36种排法；

综上可得一共有18+36=54种不同的排法.

故选：B.

【题型4相邻问题的排列问题】

【例4】（23-24高二下.内蒙古.期末）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其

随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

【解题思路】利用捆绑法可求得结果.

【解答过程】将2本语文书捆绑、2本数学书捆绑，

则相同科目的书相邻的排法种数为A'A,Ag=2X2X6=24种.

故选：C.

【变式4-1]（24-25高二下•全国•课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村

晚”.通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有

如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（）

A.240种B.188种C.144种D.120种

【解题思路】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位

情况一样，即可得出答案.

【解答过程】先将“相声”与“小品”排在一起，有A孑种排法，再与其它4个节目排序，有Ag种排法，

最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有竽=120种.

故选：D.

【变式4-2]（23-24高二下•四川遂宁.阶段练习）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航

天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪

波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”.随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安.若

这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同

的排法有（）

A.144种B.204种C.156种D.240种

【解题思路】先应用捆绑解决相邻，再分海鹏站位置分类，最后应用分步解决问题.

【解答过程】第一步，唐胜杰、江新林2人相邻，有A2=2种排法；

第二步，分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论

第一种情况：景海鹏站最右边，共有A：=24种排法；

第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有=54种排法，

故总共有2X（24+54）=156种排法.

故选：c.

【变式4-3］（23-24高二下•安徽•期末）为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、

剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的

课程的安排方案种数为（）

A.18B.24C.36D.42

【解题思路】根据相邻问题利用捆绑法即可求解.

【解答过程】剪纸和插花课相邻的安排方法有组A,=48种，

剪纸和插花课相邻且陶艺课排在周一的安排方法有AgA5=12,

故陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方法一共有48-12=36,

故选：C.

【题型5不相邻排列问题】

【例5】（24-25高二下•全国•课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中

庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同

一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数

为（）

A.5760B.5660C.5642D.5472

【解题思路】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得.

【解答过程】四书、五经必须分别排在一起，共有A决/刍=5760种，

若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有AgA3A5=288种，

则共有5760-288=5472种.

故选：D.

【变式5-1］（24-25高三上•山东济南•开学考试）由0,I,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中

任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（）

A.60B.108C.132D.144

【解题思路】根据插空法先排奇数，再排偶数去除。在首位的情况计算即可.

【解答过程】先排3个奇数，有Ag=6种排法，

排完奇数后形成4个空，插入余下3个偶数，有A宠=24种排法，

但此时0放在首位的情况有A专=6种，故满足条件的排法有6x（24-6）=108.

故选：B.

【变式5-2］（2024•湖南邵阳•模拟预测）“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟

子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动

期间举办“四书五经，，知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排

法种数为（）

A.A|A|B.AgA/C.A^A乡A,D.院蛤

【解题思路】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，

再将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案.

【解答过程】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座，

共有Ag种排法；

再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有A拜中排法，

故总共有线A?种排法；

故选：D.

【变式5-3］（23-24高二下•天津•阶段练习）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校

国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“乐”

排在“书”与“数，，的前面，“礼”和“射”不相邻且不排在最后面，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共

有（）

A.48种B.72种C.96种D.144种

【解题思路】根据“乐”分别排在前四节，即可根据最后一位以及不相邻问题，分类求解.

【解答过程】若“乐”排在第一节，则从御、书、数种选一节排最后一节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有

3xA^A1=36种方法，

若“乐”排在第2节，则从书、数种选一节排最后一节或者“御”安排最后一节，要满足“礼”和“射”不相邻，则

有禺禺A,+•+=40种方法，

若“乐”排在第3节，则从书、数种选一节排最后一节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有©最禺6=16种方

法，

若“乐”排在第4节，贝胪书”与“数”排最后两节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有人找g=4种方法，

故总的方法一共有36+40+16+4=96,

故选：C.

【知识点2组合与组合数】

1.组合

（1）组合的定义

一般地，从“个不同元素中取出加(祖"，祖eN*)个元素作为一组，叫做从〃个不同元素中取出相

个元素的一个组合.

(2)组合概念的理解

①组合的概念中有两个要点：要求〃个元素是不同的；“只取不排”，即取出的加个元素与顺序无关，

无序性是组合的特征性质.

②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.

(3)排列与组合的联系与区别

联系：都是从"个不同元素中取出加(《1&",个元素.

区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可

以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.

2.组合数与组合数公式

(1)组合数

从〃个不同元素中取出相O&W,力，wGN*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出

加个元素的组合数，用符号。广表示.

(2)组合数公式

①连乘表示：

丝_〃.—1).(〃一2).......(〃一相+1)

"A鲁"(m—1)-(m—2)..........1

这里，n,mGN*,并且，

〃！

②阶乘表示：c『=

ml(n—m)\'

规定：C°=l.

3.组合数的性质

(1)性质1：C[=CL

这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从〃个不同元素中取出根(祖《小/MdN*)个元素后，

剩下(止优)个元素，因而从九个不同元素中取"Z个元素的组合，与剩下的("-"2)个元素的组合是一一对应

的，因此取法是一样多的.

利用这个性质，当机时，我们可以不直接计算C,：",而是改为计算GT%这样可以简化运算.

(2)性质2：C*=C，+C；L

这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(”+1)个不同元素中取出n,mGN*)

个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素

中再取(此1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的〃个元素中取出m个元素，有C,；"种

取法.

由分类加法计数原理可得：CM=C1+C『T.

在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等.

4.分组分配问题

(1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题.

(2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有机组元素个数相同，则

分组后除以加；③完全非均匀分组，只要分组即可.

(3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数

原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解.

【题型6有关组合数的计算与证明】

[例6](24-25高二下•全国•课后作业)田+蜀+禺+C$+C，=()

A.315B.330C.345D.360

【解题思路】根据组合数的性质即可求解.

【解答过程】程+爵+砥+C$+C，=髭+髭+第+原++Clo-C|=CJi-15=330-15=315.

故选：A.

【变式6-1](23-24高二下.山西长治•期中)已知瑞+1—4=瑞，则几=()

A.11B.10C.9D.8

【解题思路】根据组合数的性质计算可得.

【解答过程】因为瑞+i—喘=瑞，所以瑞+i=瑞+C®,

又瑞+瑶=喘+1，所以C2+i=C-i，所以n+1=5+6,解得n=10.

故选：B.

【变式6-2](23-24高二下.江苏淮安・期中)求值(用数字表示)

(1)A；+A4+A4+A4

⑵禺+心

⑶瑞5+A精

【解题思路】(1)根据排列数公式计算可得；

(2)根据组合数公式计算可得；

(3)首先确定n的值，再由排列、组合数公式计算可得.

【解答过程】(1)Ai+Al+A^+A：

=4+4x3+4x3x2+4x3x2x1=64；

(2)髭+第=髭+禺=签+5=15；

(3)依题意可得h5：又neN*,解得几=4或71=5,

L0<9—n<n+l

当n=4时，琮—+=C]+A於=4+5x4x3x2xl=124；

当n=5时，端—+=C^+At=14-6x5x4x3=361.

【变式6-3]（23-24高二上・江西•期末）已知m,7i,k€N*,m>k>n.

⑴证明：%邛1f=

(2)证明：=C»C^.

【解题思路】（1）由组合数公式计算即可;

（2）由组合数公式计算即可.

m!(m-k)\ml

【解答过程】（1）因为c1^_k=,--,

fc!(?n-fc)!n\(m-k-n)lfc!n!(?n-n-k)!

rnpk_汕(m-n)\_ml

55-71-n!(m_n)!k!(?n-n-k)!k\n\(m-n-k)lf

所以=-n»

（2）因为C*邛=m!k\_m\

n!(fc-n)!n!(m-fc)!(fc-n)!?

pnrk-nm\(m-n)l_m\

'-m'-m-nn!(m-n)!(fc-n)!(?n-/c)!7i!(7n-Zc)!(k-7i)!’

所以%及=4啸与

【题型7组合数方程和不等式】

【例7】（24-25高二上•河南驻马店•期末）关于x的方程C£=C翌t的解为（）

A.久=3B.x=4C.x=3且尤=4D.久=3或无=4

【解题思路】根据题意结合组合数的定义与性质运算求解.

【解答过程】因为c£=盘74,贝屹％=3%-4或2x+3x-4=U,解得x=4或％=3,

若x=4,可得C?i=Cf「符合题意；

若x=3,可得C?i=C?「符合题意；

综上所述：x=3或久=4.

故选：D.

【变式7-1]（2024高二.江苏.专题练习）若鬃>叫，贝切的取值集合是（）

A.{6,7,8,9}B.{6,7,8}

C.（n]n>6},neN*D.{7,8,9}

【解题思路】根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可.

【解答过程】：第>琮，

n!>n!

4!x（n-4）!6!x（n-6）!

{n>6

即「2-9『产<0,解得6口<10

ln>6,

VneN*,

An=6,7,8,9.

；.n的取值集合为{6,7,8,9}.

故选：A.

【变式7-2](23-24高二上.上海•课后作业)解关于正整数x的方程：

⑴噫T=C审；

⑵嗨:+C与

【解题思路】(1)(2)根据组合数的性质以及公式即可求解.

【解答过程】(1)尤为正整数，

由密r=C睛T可得/—%=5%—5或/—x+5%—5=16,

故小—6%+5=0或/+4x—21=0,解得x=1或x=5或％=3或%=—7(舍去)，

又——%,5x—5均为整数，且0<x2—x<16,0<5%—5<16,

所以％=1或%=3符合要求，x=5不符合要求，

故％=1或久=3

(2)由组合数的性质可得唠布=仁+2,唠二=C+2V+2+点+2=总+3

所以由C3+Cx+2=:A*+3可得田+3=:A?+3，进而可得今白=2,1=>x(x—1)=30,

4十/人十乙4汽十J汽十J4%十J5!(x-2)!4x\5!4x(x-l)n

解得第=6或久=—5(舍去)，

X+2>0

久+^11，所以久23,故只取x=6,x=—5舍去.

%—3>0

{%-2>0

【变式7-3](24-25高二下•江苏•阶段练习)求解下列方程和不等式.

(1)A1+1<6A.T(%>l,x£N)；

117

(2)而一而=(m>0,meN).

b5b6"7

【解题思路】(1)根据排列数公式求解；

(2)根据组合数公式求解.

【解答过程】(1)由A/i<6Ar】，<6X

11(8-x)!(10-x)!

化简得一一19x+84<0,解得7<x<12,①

X>1

又0<%+1工9,所以14%工8,②

0<%-1<9

由①②及久6N得X=8.

（2）由题意04zn<5,m6N,

11_7日n??i!（5-？n）!m!（6-?n）!7m\（7-m）\

.一至=硬，即FL=Z=_h1

化简得巾2-17m+42=0,解得TH=14（舍去）或m=3.

故方程的解为爪=3.

【题型8组合计数问题】

【例8】（24-25高二下•全国•课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5

名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共

有（）

A.80种B.90种C.100种D.120种

【解题思路】结合分类加法和分步乘法计数原理，利用组合数即可求得.

【解答过程】若恰有1名女生参加，则有髭玛=10x4=40种，

若恰有2名女生参加，则有髭釐=10X6=60种,

所以共有40+60=100种不同的选派方式.

故选：C.

【变式8-1]（23-24高二下•吉林长春•期中）若一个四位数的各位数字之和为4,则称该四位数为“厂数”，

这样的“尸数，，有（）

A.17个B.19个C.20个D.21个

【解题思路】根据题意，得到4=4+0+0+0=3+1+0+0=2+2+0+0=24-1+1+0=1+1+

1+1,分五种情况讨论，结合排列数、组合数的计算公式，即可求解.

【解答过程】由题意，可得4=44-0+0+0=3+1+0+0=2+2+0+0=2+1+1+0=1+1+1+

1,

当四位数为由4,0,0,0构成时，共有1种情况；

当四位数为由3,1,0,0构成时，共有禺禺=6种情况；

当四位数为由2,2,0,0构成时，共有玛=3种情况；

当四位数为由2,1,1,0构成时，共有吟=9种情况；

Ai

当四位数为由LL1,1构成时，共有1种情况，

由分类计数原理，可得共有1+6+3+9+1=20种不同的“F数”.

故选：c.

【变式8-2］（2024•江西南昌•模拟预测）四面体的顶点和各棱的中点共10个点.在这10点中取4个不共

面的点，则不同的取法种数为（）

A.141B.144C.150D.155

【解题思路】求出从10个点中任取4个点的取法，减去不合题意的结果可得答案.

【解答过程】从10个点中任取4个点有C%种取法，其中4点共面的情况有三类.

第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4篇种；

第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；

第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），

它的4顶点共面，有3种.

以上三类情况不合要求应减掉，...不同的取法共有-4髭-6-3=141种.

故选：A.

【变式8-3］（23-24高二下•新疆克孜勒苏•期中）学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志

愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（）

A.20B.30C.22D.40

【解题思路】根据给定条件，利用两个基本原理，结合组合计数问题列式计算即得.

【解答过程】选出的志愿者中，有2个女生2个男生时，选法种数为髭鬃=18种，

有3个女生1个男生时，选法种数为或禺=4种，

所以不同选法有18+4=22种.

故选：C.

【题型9分组分配问题】

【例9】（23-24高二下•江苏盐城•阶段练习）甲、乙等5人去三个不同的景区游览，每个人去一个景

区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（）

A.112B.114C.132D.160

【解题思路】先分组再分配，先将5人分成3组，有（1,1,3）、（2,2,1）两种分组可能，求出所有游览方法

总数，根据题意再减去甲乙去同一景区的方法总数即可.

【解答过程】去A,B,C三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览，因此先分组再

分配，

5个人可以分为3组,分别是（1,1,3）、（2,2,1）,

当为(1,1,3)时，有空屋=10种组合，

A2

当为(2,2,1)时，有嘤生=15种组合，

A2

再分配到三个不同的景区，有(10+15)XA1=150种；

以上情况包含甲乙去同一景区，需要再减去此种情况，

将甲乙捆绑起来作为一个元素，此时有四个元素去三个不同的景区，此时只有(1,1,2)这种组合，因此有

卑窈=6种组合，再分配给三个不同的景区，有6xA§=36种；

因此满足题意的有：150—36=114种.

故选:B.

【变式9-1](23-24高二下.新疆乌鲁木齐•期中)将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，

则不同分配方案有()

A.240种B.150种C.60种D.180种

【解题思路】根据题意要求，有“2:2:1”或“3:1:1”两种分配方案，因分配时出现部分平均分组，应在方法数

上除以相同数目组数的阶乘.

【解答过程】依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“2:2:1”或“3:1:1”两种分配方案.

按照“2:2:1”分配时，有阿笋-A1=90种方法；

按照“3:1:1”分配时，有害抖-A1=60种方法.

由分类加法计数原理，可得不同分配方案有90+60-150种.

故选：B.

【变式9-2](23-24高二下•江苏连云港.期中)甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工

薪资情况.每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为()

A.150B.300C.450D.540

【解题思路】先分组再分配，结合排列组合即可求解.

【解答过程】把5人分组有两类情况：1:1:3和2:2:1.

先把5人按1:1:3分组，有底种分组方法，

按2:2:1分组，有警种分组方法，

因此不同分组方法数为eg+等，

再把三组人安排到三个城市，有Ag种方法,

所以不同分配方法种数是(Cg+婴)Ag=(10+15)x6=150.

A2

故选：A.

【变式9-3](23-24高二下•广东云浮.阶段练习)大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰

富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有A,B,C,D,E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模

块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加

现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共

有()种.

A.84B.72C.60D.48

【解题思路】分参加生物创新实验模块的为1人和2人两种情况，结合排列组合知识和计数原理求解即可.

【解答过程】因为生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，所以参加生物创新实验

模块的为1人和2人两种情况，

(1)当参加生物创新实验模块的为1人时，若这个人为4则一共有号•A5+C上A5=14种不同的分配方式;

若这个人不是4贝M只能参加现代农业技术模块，一共有第(1+C|-AD=28种不同的分配方式；

(2)参加生物创新实验模块的为2人时，若这两人中有4,则一共有玛•C|-A1=24,

若这两人中没有4则4只能参加现代农业技术模块，一共有量(1+©)=18种不同的分配方式；

综上，一共由14+28+24+18=84种不同的分配方式；

胡选：A.

【题型10排列、组合综合】

【例10】(24-25高二下•全国•课后作业)现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2

人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？

(1)老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；

(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；

(3)2名老师之间必要有男女学生各1人.

【解题思路】(1)根据特殊元素优先安排求解即可.

(2)利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的3名男学生即可.

(3)先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可.

【解答过程】(1)由题意可得共人必到才=2x2x24=96种不同的站法.

(2)先排老师和女学生共有A1种站法，再排男学生甲有玛种站法，

最后排剩余的3名男学生有A点种站法，

所以共有A犯到宠=24x3x24=1728种不同的站法.

（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有禺禺A歼中站法，

两老师的站法有A5种，

再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有Ag种，

所以共有禺禺A必2Ag=2x4x2x2x120=3840种不同的站法.

【变式10-1］（23-24高二下.江苏宿迁.期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员

甲是其中一名.

（1）若从中任选2人参加A,B两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护

人员甲不参加力项救护活动的选法种数；

（2）这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不

能去往同一个地方，求不同的分配方案种数.

【解题思路】（1）分类，按甲是否参加活动分两类；

（2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性.

【解答过程】（1）分两类：