锐角三角函数50道压轴题型专训（10大题型）原卷版-2024-2025学年人教版九年级数学下册

锐角三角函数压轴题型专训(10大题型50道)

旨【题型目录】

题型一锐角三角函数与三角形压轴

题型二锐角三角函数与四边形压轴

题型三锐角三角函数与圆压轴

题型四锐角三角函数与一次函数压轴

题型五锐角三角函数与二次函数压轴

题型六锐角三角函数与相似压轴

题型七锐角三角函数的最值训练

题型八锐角三角函数的应用

题型九锐角三角函数的新定义问题

题型十锐角三角函数的综合

经典例题

41经典例题一锐角三角函数与三角形压轴】

1.(24-25九年级上•重庆南岸•阶段练习)已知：等边△ABC,点A和点。在直线8C的异侧，且

/BDC=60°,于点E.

(1)如图1,若DBLBC,AB=4,求4。的长；

(2)如图2,取4D中点尸，连接E尸，试探究BD,CD,E尸三条线段的数量关系并证明你的结论；

(3)如图3,在(2)的条件下，当8户最小时，在线段2c上取点G,在射线E尸上取点a，使8G=E",

1s

连接HG,射线“G交/C延长线于点K.当〃最小时，请直接写出芍造的值.

2、ABDC

1

2.（24-25九年级上•辽宁大连•期末）△4BC,4DL3C于。，tanB=~,tanC=l,40=6,点£沿射线

。。方向一直运动，将点E绕点。逆时针旋转90。得到点尸（尸在射线ZX4上），点G与点£关于点。成中心

对称（点G在射线OB上），连接GE、EF、FG得到AGE户.

（1）求2C的长；

（2）在点£的运动过程中，设DE=x,AGE尸与△N8C的重叠部分面积为S,求S与x的函数关系式.

3.(24-25九年级上•陕西西安•阶段练习)【问题提出】

(1)如图1,在△48C中，ZBAC=90°,是它的一条中线，则/CQ4与22的数量关系式是:

【问题探究】

(2)如图2,在△48C中，乙4=60。,8。=6,。6_1/2于点6,_L/C于点〃，。为3c边上一点，且0G=,

连接GA,求GH的长；

【问题解决】

(3)如图3,有一块四边形草地/BCD,规划部门计划在这块空地内种植花卉，计划在边8C、8上分别

取点小尸，利用小路NE、4月把这块草地分割开，在四边形4EW内种植郁金香，其他区域种植草坪，EF

为观赏长廊.已知/。〃8C,=80V2m,AD=100m,BC=140m,ZB=45°.设计师认为当tanZEAF=2时,

规划更美观.

请帮助规划部门解决问题：

①求出观赏长廊E厂长度的最小值；

②当观赏长廊E尸最小时，种植郁金香区域的面积为__________.

图1图2图3

4.(24-25九年级上•河南驻马店•阶段练习)【问题探索】

(1)如图1,在△48C中，AC^BC,。是48边上一点，下是3c边上一点，NCDF=NA.求证:

ACBF=AD-BD；

【类比应用】

(2)如图2,在四边形45尸C中，点。是48边的中点，AA=AB=ZCDF=45°,若NC=4.5,BF=4,

求线段CF的长;

【拓展提升】

(3)如图3,在△N5C中，AB=5亚,4=45°,以A为直角顶点作等腰直角三角形/OE,点。在8c

上，点E在/C上，若CE=2瓜,直接写出CD的长.

5.(24-25九年级上•重庆开州•阶段练习)在△/BC中，ZCAB=60°,。为4B边上的中点，连接CD.

(1)如图1,若/8=45。时，AB=3+百，求△58的面积；

(2)如图2,44c8=90。，E为BC上一点、,将OE绕点。逆时针旋转60。得线段。G,作8G交3G的延

长线于点尸，如果。G=G万，求证：AG=4T.DE-

(3)如图3,44c8=90。，E为8c上一点，将DE绕点。逆时针旋转60。得线段DG,当CG最小时，M为平

s

面内一点，将沿CN翻折得AMCE',当E夕最大时，直接写出谭皿的值.

,△CEG

41经典例题二锐角三角函数与四边形压轴】

6.(24-25九年级上•四川成都•阶段练习)在矩形42。。中，—£是边ND上异于/,。的一个动点.

nC2

(1)如图1,将沿BE折叠，点/的对应点H落在CD边上，求tan/4£D；

(2)如图2,点M,N分别是边8C,CD的中点，将四边形沿ME折叠，得到四边形连接

A'N.若4B=6,直接写出线段HN的长度的取值范围.

(3)如图3,将沿BE折叠，点/的对应点4落在矩形外，A'E,H3分别与8交于点尸，Q,连接

交CD于点R,已知柘=£,求受的值.

A£7JED

7.(24-25九年级上•内蒙古包头•阶段练习)在矩形/BCD的边上取一点£,将ABCE沿8E翻折，使点。恰

好落在4D边上点尸处.

M

(2)如图，当48=5时，且/?FD=10时，求2c的长.

AD

(3)如图，延长ER,与尸的角平分线交于点M,BM交AD于点、N,当NF=AN+FD时,求『的值.

BC

8.(24-25九年级上•上海杨浦•阶段练习)如图，已知矩形48。。中，AB=9,BC=12,E是3c边上一点

(不与3、C重合)，过点£作斯，4E交NC、8于点M、F,过点B作8GL/C,垂足为G,BG交

4E于点、H.

⑴求证："BHSAECM；

FH

(2)设8£=x,—=y,求V关于x的函数解析式，并写出定义域;

EM

(3)当ABAE为等腰三角形时，求3E的长.

9.（24-25九年级上•山东荷泽•阶段练习）【问题呈现】

如图1,△48C和都是等边三角形，连接2。，CE.易知”=

CE

【类比探究】

如图2,△4BC和△4DE都是等腰直角三角形，/ABC=/4DE=90°.连接AD,CE.贝

CE

【拓展提升】

AD3

如图3,△的和都是直角三角形，//8C—,且正=5r“连接犯CE.

、BD,,..

(1)求=7的值;

(2)延长CE交2。于点尸，交4B于点G.求sinZB尸C的值.

10.（24-25九年级上•安徽安庆•阶段练习）如图，NC是正方形4BCD的对角线，4E平分NC4D交CD于

E,点〃r在/C上，且4〃=/。，连接r并延长，分别交/E,3c于点G,F.

(1)求证：CF-=GE'AE-,

⑵求F黑M的值；

MkJ

⑶求tan/CMF的值.

41经典例题三锐角三角函数与圆压轴】

11.(2024・湖南•模拟预测)如图，为。。的直径，C为。。上一点，连接过C作CO148于点

D,过C作/DCE,使NDCE=2NBCD,其中CE交48的延长线于点£.

图1图2

(1)求证：CE是。。的切线.

(2)如图2,点尸是。。上一点，且满足/FCE=2448C,连接N尸并延长交EC的延长线于点G.

①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；

②若CD=4,tanZ5C£=1,求线段/月的长.

12.（2023•四川绵阳•中考真题）如图，在。。中，点/,B,C,。为圆周的四等分点，NE为切线，连接

ED,并延长交。。于点凡连接8尸交/C于点G.

(1)求证：4D平分NC4E；

(2)求证：AADEAABG；

(3)若ZE=3,4G=3GC,求cos/C8厂的值.

13.(24-25九年级上•浙江杭州•阶段练习)问题情境：如图1,筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,

假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒.

问题设置：如图2,把筒车抽象为一个半径为，,的。。.筒车涉水宽度=3.6m,筒车涉水深度(劣弧48

中点£到水面42的距离)是0.6m.

图1图2

问题解决：

(1)求该筒车半径『.

(2)筒车开始工作时，。。上C处的某盛水筒到水面的距离是0.9m,经过85秒后，该盛水筒旋转到点。

处.

①求NCO。的度数.

②当盛水筒旋转至。处时，求它到水面的距离.

14.（24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习）【情景认识】

托勒密是一位古希腊的天文学家、地理学家和数学家，他的数学成就是在三角学方面，被誉为三角学的创

建者，图一所示.

图1

【问题导入】

托勒密定律：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所

包矩形的面积之和.

翻译：在四边形N8CD中，若A、B、C、。四点共圆，则/。80=/氏。+40.8。.

【简单应用】

如图三，四边形N8C。内接于8c是OO的直径，如果N5=/C=百，CD=1,求2D的长.

【加深理解】

如图四，在Rt/X/BC中，ABAC=90°,。为5c的中点，过点。作/组,力?，交A4的延长线于点E,交

7

/C的延长线于点尸.若c尸=万,ZC=4,AB=2.则NE=_；

15.(24-25九年级上•河北邢台•阶段练习)如图1,已知。。的直径N2=4,点£是射线上的一个动点,

以/E为边构造平行四边形/CDE,满足NC4E=60。，AC=1AE.

(1)如图2,当AE=时，点C恰好在。。上.

(2)如图3,当动点E与点。重合时，连接。8,求证：03是。。的切线.

(3)在点E的运动过程中，若平行四边形ZCDE的边所在的直线与OO相切，求4E的长.

【经典例题四锐角三角函数与一次函数压轴】

16.(24-25九年级上•上海•期中)在平面直角坐标系中(如图)，一次函数图像与反比例函数图像相交

于点/(-1,3)和3(3,0),点C(%MW>0)是该反比例函数图像上的一个动点，连接NC,与y轴的正半轴

交于点D

(1)求一次函数解析式及的面积；

DC

⑵当£二:3时，求点。到x轴的距离；

(3)当CO与x轴夹角与ZOAB相等时，求加的值.

17.(24-25九年级上•上海•期中)如图，在平面直角坐标系xQy中，直线y=gx-3分别交于x轴、y轴于

3两点，一次函数了=履+6的图像经过点3和点。(4,1),与无轴交于点D.

(1)求一次函数y=h+6的解析式及点。的坐标；

(2)求证：NOAB=NCAD；

(3)如果点P在射线AB上，且与A/DC相似，求点尸的坐标.

18.(22-23九年级上•四川成都•阶段练习)如图，在平面直角坐标系X。)，中，一次函数y=2x+4的图象与反

(1)求点/的坐标及反比例函数的表达式；

(2)点尸是反比例函数y=£(x>0)的图象上一点，连接P4PB,若的面积为4,求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，取位于4点下方的点P,将线段P/绕点尸顺时针旋转90。得到线段尸C,连接3C•点

M是反比例函数y=£(x>0)的图象上一点，连接MB,若NPCB+NMBO=9。。,直接写出满足条件的点"

的坐标.

19.（2024・四川成都•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数〉=h+6的图象与反比例函数/='

X

的图象相交于点/（T4）,将直线绕点/顺时针旋转成0。＜。＜45。）交＞轴于点跖连接

BM.

（1）求反比例函数和一次函数的表达式;

⑵若S^ABM=10，求点M的坐标;

⑶当A/BM是以为腰的等腰三角形时，求tane的值.

20.(2024•上海•模拟预测)已知一次函数y=-x+4交x轴，了轴于A,B两点，抛物线y=-/+bx+c经

过A,8两点，顶点为。，抛物线与x轴另一交点为C,抛物线的对称轴与直线＞=-x+4交于E

⑴求sin/A4。的值

(2)已知点P为直线y=-x+4上的动点，且在x轴上方，若APACSABED,求点P坐标

J【经典例题五锐角三角函数与二次函数压轴】

21.(2025九年级下•全国•专题练习)如图，一次函数y=-；x-2与x轴、＞轴分别交于N、C两点，二次

3

函数〉=如2+云+。图象经过，、C两点，与x轴交于另一点8,其对称轴为直线x=-^

(1)求该二次函数表达式；

(2)在y轴的负半轴上是否存在一点“，使以点M、。、2为顶点的三角形与△ZOC相似，若存在，求出点M

的坐标；若不存在，请说明理由；

22.（2025九年级下•全国•专题练习）在平面直角坐标系中，将二次函数y=/（a>0）的图象向右平移1个

单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与X轴交于点A、B（点A在点3的左侧）,

CM=1,经过点A的一次函数>=依+6（左20）的图象与V轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为。，

（1）求抛物线和一次函数的解析式；

（2）点。是直线y=g上的一动点，连接。。，FQ,设△O0尸外接圆的圆心为M,当sin/。。厂最大时，求

点M的坐标（直接写答案）.

23.(2025九年级下•全国•专题练习)如图1,二次函数y=f+及一3的图象与x轴相交于点Z(T,0)和点

B,与y轴相交于点C.

(1)①6=_，②顶点坐标为

(2)如图2,坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点尸及图象的一段，分别记为P,L'.移动该胶

片，使〃所在抛物线对应的函数恰为＞=/+2.求点P移动的最短路程;

⑶如图3,M是抛物线上一点，N为射线C8上的一点，且M、N两点均在第一象限内，8、N是位于直线

同侧的不同两点，tanZAMN=l,点M到x轴的距离为a,A/MN的面积为2a,豆NANB=NMBN,请问

及W的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

24.(24-25九年级上•全国,期末)如图，已知抛物线歹=Mr?+〃工+P与y=Y+6x+5关于歹轴对称，与〉轴

交于点〃，与1轴交于点A和5.

⑴歹=加/+研+夕的解析式—，试猜想出与一般形式抛物线产分2+法+°关于V轴对称的二次函数解析式

为_.

(2)A,5的中点是点C,则sin/CMB=_.

(3)如果过点〃的一条直线与歹=加、2+依+P图象相交于另一点"(〃，b),a,b满足Q2—Q+机=o,

2

b—b+m=0J则点N的坐标为

i3

25.（24-25九年级上•江西新余•阶段练习）如图，二次函数了=-5/+5工+2的图像与无轴交于点/,B（点、

（1）直接写出点/,B,C的坐标；

⑵求证：△4BC是直角三角形；

（3）点尸是该抛物线上一点，若/PCB=2/ACO（点。为坐标原点），求点尸的坐标：

（4）点M是该抛物线上一点，若乙攸CO+N/CO=45°（点。为坐标原点），直接写出点M的坐标.

41经典例题六锐角三角函数与相似压轴】

26.(24-25九年级上•上海徐汇•期中)如图，已知平行四边形/BCD中，AD=M，AB=5,BDVAD,

点E在射线/D上，过点E作即工40,垂足为点E,交射线48于点尸，交射线CB于点G,连接CE、

CF,设AE=m.

(1)当点E在边4D上时，

①求ACE尸的面积；(用含加的代数式表示)

②当S.DCE=4SBFG时，求4E:ED的值；

(2)当点E在边AD的延长线上时，如果斯与△C/G相似，求加的值.

27.(22-23八年级下•浙江宁波•期中)如图，在RtA43C中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P

从点B出发，在A4边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点。从点C出发，在C5边上以4cm/s的

速度向点8匀速运动，运动时间为t秒(0<f<2),连接P0.

(1)若△BP。与△N5C相似，求才的值.

(2)当tan/PQ8=；时，求C0的长.

S13

28.(24-25九年级上•上海•阶段练习)已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴

84

(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以尸、D、E为顶点的三角形与△NDC相似，求此时点P的坐

标.直接写出你的结论，不必证明.

29.(23-24九年级下•山东日照•开学考试)如图，抛物线了="2+区+3交x轴于点/(3,0)和点8(-1,0),

(1)求抛物线的表达式；

(2)当D在第一象限时，求点D到直线AC的最大距离；

(3)过点。作。轴于点E,连接4D,2C,当以4D、E为顶点的三角形与ZOC相似时，请直接写出

点。的坐标.

30.(24-25九年级上•四川成都•阶段练习)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线=-瓜+道与无轴

交于点A,与了轴交于点B,直线/：了=依+6过点8,与x轴交于点C,。。=3工。，点。是线段NC上一

点(不与4。重合).

(1)求直线/的解析式；

(2)作。E2AB于E,DF1BC于F,连接EF.

①若9跖与△4BC相似，求点。的坐标；

②取E厂的中点直接写出周长的最小值.

41经典例题七锐角三角函数的最值训练】

31.(2024九年级下•全国•专题练习)如图是由小正方形组成的8x8网格，每个小正方形边长都是1,每个

小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线表示.

..9

(1)在图1中，先在边上画点尸，使5尸=34尸，再在边5。上画点G,使工,=775△的；

16

(2)在图2中，在对角线5。上画点X,使CHLBD,再在直线CH上取一点尸，使4P+5P的值最小.

32.(2024•宁夏吴忠・二模)动手操作

利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法.

如图1,将等腰直角三角形/3C的边48绕点8顺时针旋转90。得到线段H3,ZACB=90°,AC=1,连

接A'C,过点4做A'H_LCB交CB延长线于点H.

(1)在图1中：易知,贝i|tanNHCB=_；

BB

图1图2

思考探索

如图2,若△4BC为任意直角三角形，乙4c3=90。、BC、AC,48分别用.、b、c表示.48边绕点2

顺时针旋转90。，得到过点4作NTTLBC,交8C延长线于点

(2)在图2中：AHBC的面积为二

拓展延伸

(3)如图3,在△NBC中，AB=AC,AB1A'B,AB=10,BC=12,A'B=5,连接4C.

①求A/'BC的面积；

②在△/BC中，在2c边的高上找一点。，使4D+08的值最小，求的长和4。+08的最小值.

33.(23-24九年级下•重庆巴南•阶段练习)把△/2C的2c边绕点C逆时针旋转90。得到线段CD,连接

BD,过点。作。垂足为E,连接CE.

(1)如图1,已知N/C8=90。，DB=2屈,48=4.求4c的长；

(2)如图2,求证：DE=4iCE+BE;

(3)如图3,已知44c8=150。，ZA+ZBCE=45°,将ABCE沿着直线5c折叠，得到ABCE'、连接匹'，M

是直线48上的一个动点，当CM+3最小时值为6+36，请直接写出的面积.

2

1

34.(2024•山东泰安•三模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-5%+2与X轴交于点5,与〉轴交点

C,抛物线广――C经过3,C两点，与X轴交于另一点

如图1,点尸为抛物线上任意一点.过

点尸作轴交2C于

(1)求抛物线的解析式;

(2)当△尸CM是直角三角形时，求尸点坐标;

(3)若点尸是直线3c上方抛物线上一动点(不与8、C重合)，过点P作y轴的平行线交直线8C于点

作PN18C于点N,当APAW的周长最大时，请在x轴上找到一点0,使△尸QC的周长最小，并求出最

小值.

35.(23-24九年级上•广东广州•期中)如图，已知抛物线丁=0^-2办-8as>0)与x轴从左至右依次交于

A,B两点,与y轴交于点C,经过点8的直线y=-@x+速与抛物线的另一交点为。，且点。的横坐标

33

为-5.

备用图

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点P(x,y)在该二次函数的图象上，且XBS=S“ABP，求点P的坐标；

(3)设尸为线段AD上的一个动点(异于点8和。)，连接/了.是否存在点尸，使得24b+。尸的值最小？若

存在，分别求出24F+。江的最小值和点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

41经典例题八锐角三角函数的应用】

36.（24-25九年级上•上海青浦・期中）图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意

图如图2所示，两支脚OC=O£>=10分米，展开角/COD=60。，晾衣臂=03=10分米，晾衣臂支架

HG=FE=6分■米,且巾9=R9=4分米.（参考数据：gal.73）

（1）当//OC=90。时，求点A离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1）

（2）当03从水平状态旋转到（在C。延长线上）时，点£烧点尸随之旋转至08'上的点£处，则8名，=

37.（24-25九年级上•山东潍坊•阶段练习）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下:

（1）探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心。处，另一端系小重物G测量时，使支杆

量角器90。刻度线ON与铅垂线。G相互重合（如图①），绕点。转动量角器，使观测目标尸与直径两端点

/、8共线（如图②），此时目标P的仰角是图②中的N.目标P的仰角与图②中的N相等，请

写出这两个角相等的证明过程.

（2）拓展应用：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决

定先在水平地面上选取观测点E、F,E、F、"在同一直线上，分别测得点P的仰角。=45。、夕=30。，测

得E、尸间的距离2米，点«、。2到地面的距离。/、Q尸均为L5米.求尸女的长（结果保留根号）

H

图④

38.（2024九年级下•辽宁•专题练习）数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1）,图2为该纸杯

的透视效果图，在图3的设计草图中，由万；线段E厂和0方构成的图形为杯盖部分，其中蒜、与曲均在

以/。为直径的。。上，且衣=丽,G为环的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由

点HB,C,D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁N8=13.6cm,杯底直径8C=5.8cm,杯

壁与直线/的夹角为84。.

图1图2图3

⑴求杯口半径OD的长；

（2）若杯盖顶旌=3.2cm,吸管3〃=22cm,当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点2重合时，求吸管漏出

杯盖部分G8的长.（参考数据：

sin84°«0.995,cos84°a0.105,tan84"«9.514,715.93-3.99,17.5222«307.02,

J315.43al7.76,结果精确到0.1cm).

39.(23-24九年级下•四川成都•阶段练习)随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞

校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳

光.如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆NN上的点。处弯折并旋转任意角,

图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨/2,/C与水平方向的夹角N4BC=N/C8=30。，伞

骨与NC水平方向的最大距离BC=2m,8c与/N交于点O,撑杆/N=2.2m.

川师吉台山中学服务员小组(33)

①②③

(1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点8到地面的距离.

(2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜49与铅垂线助成30。夹角，如图③，若斜射

阳光与所在直线垂直时，求2c在水平地面上投影的长度约是多少.(说明：6^1.732,结果精确到

0.1m)

40.（22-23九年级下•重庆南岸•阶段练习）木马是很多小朋友喜欢的玩具，图1是一个摆放在角落的木马的

示意图，当木马静止时，以。为圆心，08为半径的圆弧的中点T接触地面，RT表示地面，此时

PQ〃MN〃RT,OT工RT.已知NAOB=90。,ZDN。=53°,CM==40cm,点。为中点，尸。=32cm,

Z）2=15cm.（参考数据：sin37°«0.60,cos37°»0.80,tan37°«0.75,后合1.41，兀。3.14）

（1）求ZN的长度；（结果保留根号）

（2）当木马沿弧48向前滚动到点A接触地面时，达到木马向前的最大安全角（如图2所示），此时，与

地面夹角为90。.为了保证木马向前到最大安全角时不碰到墙面KR,木马静止时到墙角R的距离77?长度最

小是多少？（结果保留到十分位）

J【经典例题九锐角三角函数的新定义问题】

41.(2024・上海・三模)新定义：如果一个三角形中有两个内角a,夕满足a+277=90。，那我们称这个三角

形为“近直角三角形

A

(1)若是“近直角三角形"，4>90。，ZC=50°,则44=度；

(2)如图1,在Rta/BC中，ABAC=90°,AB=3,ZC=4.若5。是443c的平分线，在边NC上是否存

在点E(异于点。)，使得ABCE是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,在RtA43C中，NA4c=90。，点。为NC边上一点，以8。为直径的圆交3c于点E,连接4E

交BD于点、尸,若△BCD为“近直角三角形“，且/3=5,AF=3,求tanNC的值.

42.（22-23九年级上•山东潍坊•期中）【阅读理解】：如图，在中，a,b,c分别是ZB,NC

的对边，ZC=90%其外接圆半径为尺.根据锐角三角函数的定义：sin^=-,sinB=L可得

CC

a_b即告二刍二七二？7?(规定sin9(F=l).

c=2R,

sinAsinBsinAsinBsinC

【探究活动】：如图,在锐角△/8C中，a,b,c分别是2ZB,/C的对边,其外接圆半径为尺,那么:

—（用＞,=或＜连接），并说明理由.

sinC

【初步应用工事实上，以上结论适用于任意三角形.在，N2C中，a,b,c分别是ZB,的对

边.已知N8=30°,ZC=45°,b=6，求J

【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在A处用测角仪测得地面

点C处的俯角为45。，点。处的俯角为15。，B,C,D在一条直线上，且C,。两点的距离为100m,求楼48

的高度.（参考数据：sinl5w吟虫）

BCD

43.(22-23九年级上•江苏泰州•期中)我们类比黄金分割点给出如下定义：如图点P、N、0在同一条直线

NP

上，而=2,则称点N为［尸，。］的“银杏点”.特别地，若N为尸。的中点时，则。为［尸,N］的“银杏点，，，p

也为［。,叫的“银杏点”.

⑴己知尸0=6,点N在线段尸。上，若点N为［。,尸］的“银杏点”，则PN=.

(2)如图，。为△/8C的重心，则下列说法正确的是(填序号).

①。为［4。］的“银杏点”；

②E为［8,。］的“银杏点”；

③。为［5,C］的“银杏点”；

④C为［4回的“银杏点”.

3

(3)如图2,在RtAEFG中，AEFG=90°.若FG=12,tanZEGF=-.

①求EG的长；

②当点M在边EG上，且M、E、G中有一点为其它两点的“银杏点”.点K在直线/G上，且

ZEFM=ZFKM.求GK的长.

44.（21-22九年级下•山西•阶段练习）阅读理解：

如图1,用A48C中，a,b,c分别是乙4,乙B,NC的对边，"=90。，其外接圆半径为R.根据锐角三角

函数的定义：sin^=-,sin5=-,可得」，=」g=c=2&,

ccsin4smB

即：——-=――=>（规定S沅90°=1）.

sinAsmBsmC

（1）探究活动:

如图2,在锐角△48C中，a,b,c分别是乙4,Z.B,NC的对边，其外接圆半径为R,那么:

舄一舄一袅（用＞、=或＜连接）.

事实上，以上结论适用于任意三角形.

（2）初步应用：

在A48C中，a,b,c分别是zJ,乙B,Z.C的对边，乙4=60。，28=45。，4=6,求6.

（3）综合应用：

如图3,在某次数学活动中，小冰同学测量一古塔CD的高度，在/处用测角仪测得塔顶C的仰角为15。,

又沿古塔的方向前行了100m到达8处，此时4B,。三点在一条直线上，在3处测得塔顶C的仰角为

45°,求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）.（。。1.732,5皿5。=近二变）

4

45.（2021・福建厦门•模拟预测）阅读理解：如图，RM4BC中，a,b,c分别是ZB,/C的对边,

ZC=90°,其外接圆半径为&•根据锐角三角函数的定义：sinA=-,sinB=b,可得

CC

sinAsinBsinC

ahc

即：一;=「=「;=2R,（规定sin900=l）.

sinAsinBsinC

探究活动：如图，在锐角△/台。中，a,b,。分别是N4,NB,NC的对边，其外接圆半径为我,试证

sinAsinBsinC

学以致用：如图，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角

为15。，又沿古塔的方向前行了100m到达8处，此时A,B,。三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的

仰角为45。，求古塔C。的高度（结果保留小数点后一位）.（g°L732,$沦15。=避二正）

4

41经典例题十锐角三角函数的综合】

46.（2024•辽宁•模拟预测）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗

礁.如图1,A,8表示灯塔，灯塔3在灯塔/的正东方向，且与/相距2亚海里，暗礁分布在经过4B

两点的一个圆形区域内，优弧N5上任一点C都是有触礁危险的临界点，//C2就是“危险角”.当船P位

于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？

图I图2图3IH4

【解决问题】

（1）如图2,请你用己学知识判断与“危险角”的大小关系；

【