三角函数的图象与性质的综合应用（讲义）-2025年高考数学二轮复习（原卷版）

专题09三角函数的图象与性质的综合应用

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

m占nt口马囱.田摊己I白?rq

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................6

05核心精讲•题型突破............................................................8

题型一：齐次化模型8

题型二：辅助角与最值问题9

题型三：与三角函数有关的最值问题9

题型四：绝对值与三角函数综合模型10

题型五：三角函数的综合性质12

题型六：换元法配凑角14

题型七：三倍角公式14

重难点突破：3的取值与范围问题15

差情;奏汨•日标旦祐

三角函数的图象与性质在高考中占据重要地位，是考查的重点和热点。高考对这部分内容的考查主要

集中在两个方面：

1、三角函数的图象方面，这包括图象的变换问题以及根据图象来确定三角函数的解析式。这类问题通

常以选择题和填空题的形式出现，考查学生对图象变换和解析式确定的理解和掌握。

2、三角函数的性质应用方面，这涉及利用三角函数的性质来求解三角函数的值、参数、最值、值域以

及单调区间等问题。这类问题通常以解答题的形式出现，要求学生能够灵活运用三角函数的性质来解决问

题。

此外，三角恒等变换的求值和化简也是高考命题的热点之一。这部分内容既可以单独命题，以选择题

或填空题的形式呈现，难度相对较低；也可以作为工具，与三角函数及解三角形相结合，求解最值、范围

等问题，这时多以解答题的形式出现，难度适中。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年甲卷第8题，5分

同角三角函数基本关理解同角关系，熟2023年甲卷第7题，5分

系式练运用解题2023年乙卷第14题，5分2025年高考三角函数考

2021年I卷第6题，5分查重点：一是同角三角函数基

2024年I卷第4题，5分本关系及诱导公式，需复习三

2024年H卷第13题，5分

角函数定义，题型为选择或填

2024年北京卷第12题，5分

掌握恒等变换，提空，难度适中；二是三角恒等

2023年H卷第7题，5分

三角恒等变换高解题技巧与灵变换，注重公式变形、应用及

2023年I卷第8题，5分

活性

2022年H卷第6题，5分最值问题，同样以选择或填空

2022年浙江卷第13题，6分形式出现，难度为基础至中

2021年甲卷第9题，5分档；三是三角函数的图像、性

年卷第题，分

2024I75质及变换，组合考查为热点，

2024年II卷第6、9题，11分

题型灵活，既可为基础或中档

2024年天津卷第7题，5分

题，也可能成为压轴题。考生

理解三角图像性2024年北京卷第6题，5分

三角函数的图像与性需全面掌握三角函数相关知

质，提升函数应用2023年天津卷第5题，5分

质

能力2023年甲卷第10题，5分识，灵活运用，以应对高考挑

2023年乙卷第6题，5分战。

2023年I卷第15题，5分

2023年H卷第16题，5分

㈤3

牛FK口偏1里・方法拈打

1、三角函数图象的变换

（1）将y=sin尤的图象变换为y=Asm{a>x+（p）（A>0,®>0）的图象主要有如下两种方法:

方法I方法2

-

步

骤

画出尸sinx的图象|画出产sinx的图象

向左，>0）或小的/

一横坐标变为原来的9倍）

向右”V0）平移WI个单,-

步

得到尸（）的图象骤得到尸的图象

$inx+02sintux

-向左”）或平移

横坐标变为原来的2（倍）>0

向右（夕<0）粤个单位长度

一

步—得到产sin（<Jx+0）的图象

|得到产sin（3+p）的图象卜~骤

3

_

纵坐标变为原来的4倍）纵坐标变为原来的4倍）

一

步

卜导到产4sin（or+。）的图象—骤—»得到严4sin（<ux+0）的图象|

4

_

（2）平移变换

函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x作的变换；

（3）伸缩变换

①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长（0<。<1）或缩短（0>1）为原来的_1（倍）（纵坐标y不变）；

CD

②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长（A>1）或缩短（O<A<1）为原来的A（倍）（横坐标x不变）.

（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

2、三角函数的单调性

（1）三角函数的单调区间

y=sinx的单调递增区间是2%兀-—,2左兀+—(Z£Z),

22

单调递减区间是2%兀兀+$（左£Z）;

y=cos%的单调递增区间是［2左兀—兀,2匕r］（左GZ）,

单调递减区间是［2左九,2左兀+兀］（左£Z）;

y=tanx的单调递增区间是（左兀一三，左兀+二］（左GZ）.

（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合y=|sinx|,y=sin|x|,

y=|cos%|，_y=cos|x\=cosx的图象进行判断会很快得到正确答案.

3、求三角函数最值的基本思路

（1）将问题化为y=Asin（ox+e）+B的形式，结合三角函数的图象和性质求解.

（2）将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.

（3）利用导数判断单调性从而求解.

4、对称性及周期性常用结论

（1）对称与周期的关系

正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中

心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.

（2）与三角函数的奇偶性相关的结论

若y=AsinQr+e）为偶函数，则有0=左兀+（伏eZ）;若为奇函数，贝!1有。=加（左eZ）.

若、=Acos（ox+e）为偶函数，贝!1有°=加（左eZ）;若为奇函数，则有。=左兀+5人eZ）.

若y=Atan（a>x+e）为奇函数，则有°=々兀（左eZ）.

5、已知三角函数的单调区间求参数取值范删的三种方法

（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解.

（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的

子集，列不等式（组）求解.

（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式（组）求解.

4

0

心真题砒标•精御皿\\

1.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知———=73,贝han[a+?]=()

cos。-sin。I4J

A.2A/3+1B.2^-1C.—D.l—g

2

2.(2024年北京高考数学真题)设函数/(x)=sin@x(o>0).已知/(%)=-!,/(x,)=l,且[再-引的最小

7T

值为:7，则。=()

2

A.1B.2C.3D.4

3.(2024年天津高考数学真题)已知函数"x)=3sin(0x+B(o>O)的最小正周期为兀.则在区间

TTTT

---T上的最小值是()

12o

A.—巫B.--C.0D.-

222

4.(2024年新课标全国II卷数学真题)设函数/(%)=以1+1)2-1,g(无)=cos无+2。尤，当xe(-U)时，曲

线y=/(x)与y=g(x)恰有一个交点，贝|]。=()

A.-1B.3C.1D.2

5.(2024年新课标全国I卷数学真题)当■。2刈时，曲线产sinx与y=2sin(3x-小的交点个数为()

A.3B.4C.6D.8

6.(2024年新课标全国I卷数学真题)已知以》(<7+尸)=m/3!10^311£=2,贝"os(a-0=()

A.—3mB.C.一D.3m

33

jr

7.(多选题)(2024年新课标全国II卷数学真题)对于函数/Q)=sin2x和gQ)=sin(2x-a，下列说法中

正确的有()

A./(x)与g(x)有相同的零点B./(x)与g(x)有相同的最大值

C./(x)与g(x)有相同的最小正周期D./(%)与g(x)的图象有相同的对称轴

8.(2024年北京高考数学真题)在平面直角坐标系xOy中，角。与角夕均以3为始边，它们的终边关于原

TT冗

点对称.若ae,贝!|cos#的最大值为______.

o3

9.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数"x）=sinx-gcosx在[0,可上的最大值是.

10.（2024年新课标全国II卷数学真题）已知a为第一象限角，夕为第三象限角，tana+tan〃=4,

tanatan£=及+1,则sin（a+/3）=.

11.（2023年北京高考数学真题）已知命题P：若名"为第一象限角，且。>力，则tana>tan4.能说明p

为假命题的一组的值为。=，B=.

12.（2023年北京高考数学真题）设函数/0）=5山83夕+38$亩。（0>0,|0]<]].

⑴若/（0）=一孝，求。的值.

（

⑵已知f（x）在区间[-j了r727r]上单调递增，可27r、卜1，再从条件①、条件②_、条件③_这三个条件中选择

一个作为已知，使函数/（X）存在，求0，。的值.

条件①：/^=V2；

条件②：/H=T；

TTTT

条件③：/（X）在区间-万,一§上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

题型一：齐次化模型

【典例14】（2024•高三・江西宜春・期末）己矢口side+2石sin6cos6+3cos2。=4,则tan6=(

A.1B丘C.2D

2-T

,与.J3cos二一2sina

【典例1・2】（2024・高三・河北沧州•期中）已知tana=3,则----(---------

2cosa+3sincr

53

A.HB.D.

HnH

巧

齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如:

"nicosc(一次显型齐次化)

csina+dcos。

asin2a+bcos2a+csinacosa

或者disin2a+bcos2a+csinacosa=>（二次隐型齐次化）

sin2a+cos2a

这种类型题，分子分母同除以cose（一次显型）或者cos2a（二次隐型），构造成tana的代数式，这

个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.

【变式1-2】（2。24・陕西安康三模）已知tan*,则缁黑黑万

1

A.6B.D.2

6CI

e.sin2a

【变式1-3］若tana=2,则—%~—的值为（）

cos2a-sma

244

AB.C.D.

-497

命题预测

则sin2c

1.设。^］。，,卜若tana=()

2cos2a—3

一叵_旦

A.2A/2B.V2C.D.

题型二：辅助角与最值问题

【典例2・1】若函数/(%)=sin%—3cosx在x=%处取得最大值，贝(Jtan/=.

【典例2.2】(2024•高三・江西萍乡•期中)设_&cos^+sin^+(cos^-sin^)2=m(cos^+sin^+l)2,

则实数机的取值范围是—.

第一类：一次辅助角：asin切土bcosa=J"+廿sin(a±0).(其中tan0=?)

a

第二类：二次辅助角asincoxcoscox±bcos2cox[a,b>0）

=鼻sin2cox±g（cos2cox+1）=asin（2cox±°）±g（tan9=。）

asinGXcoscox±8cos2cox

【变式2・。(2024・高三・山东临沂•期中)已知关于1的方程asinx+0+l)cosx+2b+2=O有解，贝IJ/+/的

最小值为.

【变式2-2】已知吧2=cos(c+"),求tan"的最大值_______.

sma

命题预测T

1.［新考法］(2024・高三・江苏苏州•开学考试)设角a、尸均为锐角，贝i］sina+sin力+cosQ+£)的范围

是___________

题型三：与三角函数有关的最值问题

【典例3-1】已知函数〃x)=2sinx+sin2x,则的最小值是.

sinx+1

【典例3-2］函数/(x)=,-.=的最大值是()

\/3+2cosx+sinx

3A/34n40

ARr

-1555

国.巧

三角函数最值问题，一直是高考中的难点与重点。这类题目常融合三角恒等变换，结合函数、导数与

不等式，求解不易。通常，处理三角函数最值问题，可采用以下策略：化一简化法、变量替换法（换元）、

主元突出法、图形与数值结合法，以及导数求极值法。

【变式3-1】已知a,beR,2"+b2=i,则|2。-6-3|的最大值为

【变式3-2］在VABC中，cosA+&COSJB+&COSC的最大值是（）

A.3+；B.2夜-1C.2D.20

命题预测

271

1.已知函数/(x)=sinxcosx+sinx+wcosx(0<x<—),则函数/(%)的最大值为.

sinx

2.函数/(%)=的值域是

\/5+4cosx

题型四：绝对值与三角函数综合模型

【典例4-1】已知函数/（X）引sinx|+|cosx|,则下列说法正确的是（）

A.〃x）的最小正周期为万B.〃x）的最小值为4

C.=D,=0在一||,°上有解

【典例4-2】（2024•高三.上海宝山・开学考试）已知f（无）=sin|尤|+|sin尤|+cos|x|+|cos尤|,给出下述四个结

论：

①y=/（x）是偶函数；②y=A*）在（、，当）上为减函数；

③y=/（x）在（再2万）上为增函数;④y=/（x）的最大值为20.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②④B.①③④C.①②③D.①④

Hl巧

yA

y=卜词yA

AZ^\Z^\./C,z、一/

-ITIT2TT3TTA

X7

关于y=卜苗%|和y=sin国，如图，y=w11乂将y=sinx图像中九轴上方部分保留，x轴下方部分沿着x

轴翻上去后得到，故y=kinx|是最小正周期为乃的函数，同理y=Asin（ox+°）是最小正周期为工的函数;

CD

y=sin国是将y=sinx图像中y轴右边的部分留下，左边的删除，再将y轴右边图像作对称至左边，故

y=sin国不是周期函数.我们可以这样来表示：

।,fsinx（xG［2k7r,2k7r+TT］）..sinx(x>0)

sinx=<，sink=

［-sinx（xG（2%»-7i,2kjt））-sinx(x<0)

【变式4-1］关于函数/■（元）=|2sinx|+cosx有下述四个结论：

①f（x）是偶函数；

②/⑴在区间（0,m上单调；

③函数/（X）的最大值为M,最小值为m,则M-m=2逐；

④若l<a<2,则函数y=在I-私汨上有4个零点.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①④B.①③C.②④D.①②③

【变式4-2］关于函数y=〃x）,其中/（力=1311闪+1311尤|有下述四个结论：

①〃X）是偶函数；②/⑺在区间］。，鼻上是严格增函数；

③在［-兀,可有3个零点；④“X）的最小正周期为兀.

其中所有正确结论的编号是（）.

A.①②B.②④C.①④D.①③

命题预测n

1.（多选题）已知函数/（x）=sinx+百|cosx|,则（）

A.乃是的一个周期B.是"%）的一条对称轴

5TT4TT

C./⑴的值域为［-1,2］D.仆）在子芾上单调递减

题型五：三角函数的综合性质

【典例5-1］（多选题）已知函数〃x）=Asin（o尤+9）（A>0,O>0,0<9<TT）,若及其导函数广⑺的部分

图象如图所示，则（）

A./(x+7t)=/(x)

B.函数小）在R总上单调递减

C./'（X）的图象关于点中心对称

D.〃x）+/'（x）的最大值为|

【典例5-2］（多选题）已知函数"x）=»icosox+2j3sin0x,若/g）=2,且/（无则函数/⑺

的最小正周期可能是（）

A.亚B•里C.亚D.龙

1682040

巧

三角函数的综合性质解题，关键在于掌握其基本关系、图像变换及周期性。解题时，先识别函数类型,

利用诱导公式化简，再结合图像分析性质，如单调性、最值等。最后，灵活运用三角函数公式求解，注意

计算准确性。

【变式5-1］（多选题）已知函数〃x）=Asin3+0）卜-另J的最小正周期为兀，其图象

关于直线无=聿对称，且对于VxeR,|〃x）|41恒成立，贝U（）

A.函数小+小为偶函数

B.当尤e一汽时，的值域为一冬冬

C.将函数〃x）的图象向右平移展个单位长度后可得函数g（x）=sin2x的图象

D.将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点

口，。］对称

【变式5-2］（多选题）已知函数/（尤）=sin（&r+。）（。＞0,|。|＜曰）图象的两条对称轴间距离的最小值

为（且彳=/为/（元）的一个零点，则（）

A.〃x）的最小正周期为兀

C./（X）在1,y上单调递增

D.当xeHr,兀］时，曲线y=/⑺与直线y=g的所有交点的横坐标之和为

命题预测

1.［新考法］（多选题）已知函数f（x）=min{sinx,cosx},则（）

A.“X）的图象关于直线对称

B./（"的最大值为日

C./⑺在［-卦）上单调递增

D.方程外力=租（机eR）在（0,2兀）上最多有4个解

2.［新考法］（多选题）设函数“x）=2sin0"xT（〃eN*）的最小正零点为4,则（）

A.的图象过定点仙-⑹B.的最小正周期为会

C.{?}是等比数列D.的前6项和为黑

题型六：换元法配凑角

tan(cr-7+y0)

【典例6-1］［新考法偌sin2（c+#=3sin27,则

tan(a+7+〃)

【典例6-2】己知=:，且0<x<g,贝！|sin（2x-1J=.

巧

三角函数“凑角拆角”问题，常规配凑解法繁琐。采用换元法，可简化步骤，快速求解。

71#,则sin2a=

【变式6-1］已知sina~~

【变式6.2】设方若cos[a+己■|，则sin（2i+巳）的值为

命题预测1

则COS[2X+E]=.

题型七：三倍角公式

【典例7-11著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践

中得到了非常广泛的应用.黄金分割比t=叵L。0.618,现给出三倍角公式cos3a=4cos3a-3cosa和二

2

倍角角公式sin2a=2sintzcostz,则才与sinl8。的关系式正确的为（）

A./=—sinl8°B.f=2sinl8°C.f=75sinl8°D.f=4sinl8°

2

【典例7-2］（多选题）（2024.高三.浙江宁波・期末）已知。为坐标原点,曲线「：（尤2+力2=殴（3尤2-力，

a＞0,P（%,%）为曲线「上动点，贝1J（）

A.曲线「关于y轴对称B.曲线「的图象具有3条对称轴

9~|

c.-a,—aD.|。尸|的最大值为技

巧

三倍角公式：(1)sin3^=3sin^-4sin3^=4sin^sin[y-jsin[y+j.

3

(2)cos36=4cos*-3cos0=4cosOcos[g—6卜os[g+。J.

3

7C

(3)tan3"3tan"t噌6=tanStan--tan—+^

l-3tan2^33

【变式7-1］若不等式机cosx-cos3%-：＜。对任意工£o,|^恒成立，则实数机的取值范围是.

o

命题预测

-已知。为锐角，且需一则黯

重难点突破：W的取值与范围问题

【典例8-1】已知函数/（x）=2sin阳。＞0）在区间W上是增函数，若函数“X）在上的图象与直

线y=2有且仅有一个交点，则。的范围为（

3

A.[2,5)B.[1,5)C.[1,2]D.1,-

【典例8-2】(2024.高三.河北石家庄•期中)己知函数〃x)=6sinCDX-COSCDX-血(G>0)在[0,可上恰有2

个零点，则口的范围为()

~J_29>(L当一

B

A.J?"-JT运

-1129、-1125)

C.，D.

_1212.

国目因

112

1、/(x)=Asin3%+e)在/(%)=Asin3x+°)区间(〃，b)内没有零点=><kjr<aa)+(l)<7i+kjr

k7i<bco+(^<7r+k7i

\b-a\-^

kji-(b

a>--------

co

,,兀+k7i—(/)

b<-------------

co

同理，/(x)=Asin(0x+0)在区间[〃，切内没有零点

\b-a\<^

kji-(b

n'<aco+0<%+左"=<a>--------

CD

k7i<ba)+(/)<7i+k?i

,7i+kji—(b

b<-------------

CD

2、/(x)=Asin(0x+e)在区间(a,b)内有3个零点

T<\b-a\<2T

^T<\b-a\<2T

fcr_0<4<(%+l)7i-cp

<k7v<aco+(/)<7V+k/c

CDCD

+k7T<ba)+(/)<47T+k7T

(k+3)%-0<〃<(%+4)»-(p