求与圆有关的阴影部分面积（方法讲解+8种题型）-2025年中考数学一轮复习（原卷版）

、一rsi

A第y八早圆

微专题13求与圆有关的阴影部分面积

（方法详解+8种题型汇总+专题训练）

【题型汇总】

【解题大招】求阴影部分的面积，在近几年中考题中成了新的热点。在求阴影部分的面积试题中，图形一

般都是一些不规则的图形或者没有公式可以直接套用的，在计算由圆、扇形、三角形、四边形等组成的图

形面积时，要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形，将要求的阴影部分的图形转化为可求解的规则

图形的组合，常用的方法有：

1）直接用公式求解.

AC

AMS<

B

aBB1c

S阴影=S扇形ABCS阴影=Sz\ABCs阴影二s四边形ABCD-ab

2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解.

①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形土S常见图形）

图形面积计算方法图形面积计算方法

S阴影=SaACB—S扇形CAD/rS阴影二S扇形BAB，+S半圆

於AB'—S半圆AB

c工AB

S阴影=SaAOB—S扇形CODS阴影二S半圆Ac+S半圆

BC—SAACB

②构造和差法

图形公式

意S阴影二S扇形AOc+S^BOC

户-J)S阴影=SaODC—S扇形DOE

3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用

公式法或和差法创造条件，从而求解.

①全等法

图形公式

阴影二

5句”SSaAOB

②等面积法

图形公式

&且S阴影二S扇形COD

p0P0

③平移法

图形公式

分的面积，并相加得到总面积.但是，这样计算得到的总面积中可能包含了重复计算的部分，即重叠区域.

为了避免重复计算，我们需要减去重叠区域的面积.

容斥原理的核心思想是先计算每个部分的面积，并相加得到总面积，然后再减去重叠区域的面积，最后得

到的结果就是阴影面积.

题型01求弓形的面积

1.（2024•山东枣庄.模拟预测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，弦A8长为4百cm,瓶内液体的最大深度CD=

2cm,则截面圆中液体的面积为

2.（2024.江苏盐城.三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积

所用的经验公式是：弧田面积=弦X矢+矢2）.弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），

公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弦48=8米，半径等于5米

的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为一平方米.

3.（2023・辽宁阜新•中考真题）如图，AB是O。的直径，点C,。是O。上4B异侧的两点，DE1CB,交CB

的延长线于点E,且BD平分乙4BE.

c

（1）求证：DE是。。的切线.

（2）若N4BC=60。，AB=4,求图中阴影部分的面积.

题型02直接利用公式求解

4.（2024•山东青岛・中考真题）如图，A,B,C,。是。。上的点，半径。4=3,AB=CD,^DBC=25°,

连接AD,则扇形4。8的面积为（）

5.（2024.广东深圳.中考真题）如图，在矩形A8CD中，BC=^2AB,。为8c中点，0E=4B=4,则扇

形EOF的面积为

6.（2024.河南・中考真题）如图，O。是边长为4百的等边三角形A8C的外接圆，点。是品•的中点，连接BD,

CD.以点。为圆心，的长为半径在。。内画弧，则阴影部分的面积为（）

.8TC„.16ncy/

A.—B.4TTC.—D.16TI

33

题型03和差法-直接和差法

7.（2024•山西・中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴

影部分为花窗）.通过测量得到扇形4。8的圆心角为90。，OA=1m,点C,。分别为CM,OB的中点，则花

窗的面积为m2.

图1图2

8.（2024.山东东营.中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.东营市某学

校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图，04=20cm,OB=5cm,

纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角乙4。。=120。.现需在扇面一侧绘制山水画,

则山水画所在纸面的面积为（）cm2.

C.125-rtD.150TT

9.（2024•江苏南通・中考真题）如图，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,04与BC相切于点D

（1）求图中阴影部分的面积；

（2）设。力上有一动点P,连接CP,BP.当CP的长最大时，求BP的长.

题型04和差法-构造和差法

10.（2020.贵州黔西・中考真题）如图，在AABC中，CA=CB,乙4cB=90。，4B=2,点。为48的中点,

以点。为圆心作圆心角为90。的扇形EDF,点C恰在即上，则图中阴影部分的面积为

11.（2024・山东日照・中考真题）如图，在菱形48CD中，AB=2,zB=120°,点。是对角线AC的中点，以

点。为圆心，04长为半径作圆心角为60。的扇形OEF,点。在扇形。EF内，则图中阴影部分的面积为（）

A.合手B.TT-苧C.合1D.无法确定

12.（2024.山东泰安・中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆。'的一个直径端点与半圆。的

圆心重合，若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是（）

4C24省

兀

-兀----

337TV3D.34

13.（2024青海•中考真题）如图，直线2B经过点C,且。4=OB,CA=CB.

o

'D

（1）求证：直线48是。。的切线；

（2）若圆的半径为4,ZS=30%求阴影部分的面积.

题型05割补法

14.（2024・山东威海•中考真题）如图，在扇形40B中，N20B=90。，点C是4。的中点.过点C作CE14。交

脑于点E,过点E作ED1OB,垂足为点D.在扇形内随机选取一点P,则点P落在阴影部分的概率是（）

15.（2024・山东•中考真题）如图，在四边形2BCD中，AD\\BC,4DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以点4为

圆心，以AD为半径作"交力B于点E,以点B为圆心，以BE为半径作肆所交BC于点尸，连接FD交岸于另一

点G,连接CG.

（1）求证：CG为FF所在圆的切线；

（2）求图中阴影部分面积.（结果保留兀）

16.（2020.贵州毕节•中考真题）如图，已知点C,D是以力B为直径的半圆0的三等分点，6的长为皋则图

D-"

A.-B.-C.-

61624

17.（2023・湖北恩施•中考真题）如图，等圆03和。。2相交于A,8两点，。。1经过。。2的圆心。2，若

。1。2=2,则图中阴影部分的面积为（）

A.2兀D.-71

18.（2023・四川・中考真题）如图，半径为5的扇形40B中，4A0B=90。，C是AB上一点，CD10A,CE10B,

垂足分别为。，E,若CD=CE,则图中阴影部分面积为（）

19.（2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如图，在RtAABC中，NB=90。，力。平分NB4C交BC于点点E

是斜边力C上一点，以4E为直径的。。经过点。，交AB于点尸，连接DF.

（1）求证：BC是。。的切线；

（2）若BD=5,tanAADB=V3,求图中阴影部分的面积（结果保留乃）.

20.（2022・贵州遵义・中考真题）如图，在正方形4BCD中，AC和BD交于点。，过点。的直线EF交力B于点E（E

不与4,B重合），交CD于点F.以点。为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M,N.若力B=1,则图中阴影

部分的面积为（）

4_________P

BC

A.---B.---C.---D.---

88842824

题型06容斥定理

21.（2023・四川广安・中考真题）如图，在等腰直角△ABC中，AACB=90°,AC=BC=2&,以点2为圆心,

4C为半径画弧，交48于点E,以点8为圆心，BC为半径画弧，交48于点F,则图中阴影部分的面积是（）

CB

A.K—2B.2n—2C.2ir—4D.4n—4

22.（2022.山东荷泽・中考真题）如图，等腰RtAABC中，AB=2。=e，以A为圆心，以A8为半径作mC

;以8（7为直径作C7出.则图中阴影部分的面积是.（结果保留豆）

23.（2022.贵州铜仁.中考真题）如图,在边长为6的正方形4BCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的

D.12

题型07求图形旋转后扫过的图形面积

24.（2022・广西河池•中考真题）如图,在MAA2C中，N4CB=90°,2C=6,BC=8,将Rt△4BC绕点2

顺时针旋转90。得到在此旋转过程中RtAABC所扫过的面积为（）

B(B。

A.257r+24B.57+24C.257rD.57r

25.(2021•浙江嘉兴・中考真题)如图，在2MBe中，Z.BAC=30°,^ACB=45°,4B=2,点P从点4出发

沿AB方向运动，到达点2时停止运动，连结CP,点4关于直线CP的对称点为4,连接4C,A'P.在运动

过程中，点4到直线力B距离的最大值是；点P到达点B时，线段AP扫过的面积为.

26.(2023•黑龙江•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，己知△力的三个

顶点坐标分别是2(2,—2),C(3,—3).

(1)将△力BC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到请画出

△A/】Q.

⑵请画出△ABC关于y轴对称的△2c2.

(3)将A4B2c2着原点。顺时针旋转9。°，得到△&83C3，求线段在旋转过

程中扫过的面积(结果保留兀).